Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Обозначения и предварительные сведения 22
1.1. Группы и групповые функторы 22
1.2. Тождества с константами 24
1.3. О решетке подгрупп 24
1.4. Кольца 27
1.5. Аффинные групповые схемы 29
1.6. Представления групповых схем 31
1.7. Большие подфункторы аффинных групповых схем 32
1.8. Системы корней 35
1.9. Алгебры и группы Шевалле 38
1.10. Коммутационная формула Шевалле и параболические подгруппы 40
1.11. Газложения Брюа и Гаусса 43
1.12. Относительная элементарная группа и принцип расщепления . 44
Глава П. Элементарные вычисления 48
2.1. Унипотентные радикалы противоположных параболических подгрупп 48
2.2. Образующие относительной элементарной группы 50
2.3. Ненормальная элементарная подгруппа 52
2.4. Избавление от знаменателей 53
2.5. Локально-глобальный принцип 54
2.6. Стандартные коммутационные формулы 55
2.7. Относительные версии принципов 58
Глава III. Структура групп Шевалле над кольцами 61
3.1. Ключевая конструкция 61
3.2. Усиление избавления от знаменателей и ключевая лемма 63
3.3. Расширенная элементарная подгруппа 66
3.4. Ширина коммутаторов 67
3.5. Относительная ключевая лемма 69
3.6. Относительные коммутационные формулы 70
3.7. Нильпотентная структура Кі 72
Глава IV. Подгруппы, нормализуемые группой над подкольцом. Системы корней с двойными связями. 77
4.1. Вычисление уровня 79
4.2. Извлечение корневых элементов из унипотентного радикала . 81
4.3. Внутренние модули Шевалле 83
4.4. В параболической подгруппе 86
4.5. Неприводимость рациональных представлений 87
4.6. Описание нормализатора 90
4.7. Противоположные корневые унипотенты 94
4.8. Маленькие элементы и тождество с константами 95
4.9. Теорема сэндвич классификации 100
4.10. Подгруппы, нормализуемые Е{К) 101
Глава V. Подгруппы, содержащие группу над подкольцом. Системы корней с простыми связями . 104
5.1. Построение противоположных унипотентов 106
5.2. Свободные произведения 108
5.3. Нестандартность решетки подгрупп для квазитрансцендентных расширений 112
5.4. Простейшие свойства квазиалгебраических расширений 113
5.5. Характеризация квазиалгебраических расширений 117
Основные обозначения 123
Литература
- Аффинные групповые схемы
- Ненормальная элементарная подгруппа
- Расширенная элементарная подгруппа
- Неприводимость рациональных представлений
Аффинные групповые схемы
Во всей диссертации слово "кольцо" обозначает коммутативное кольцо с единицей. Все кольцевые гомоморфизмы сохраняют единичные элементы. Другими словами, мы всегда работаем в категории унитальных коммутативных К-алгебр, где К - некоторое коммутативное кольцо с единицей. Эта категория обозначается символом Шк- В существенной части диссертации К = Z - кольцо целых чисел. В этом случае объекты категории Шк будут называться кольцами, а морфизмы - гомоморфизмами колец. Радикал Джекобсона кольца R обозначается через Rad R. Мультипликативная группа кольца R обозначается через R\
Через R[t] обозначается кольцо многочленов от одной переменной/: над кольцом R. Для идеала q кольца R положим q[t] = qR[t]. Если г Є R[t\,... ,tn], А - Л-алгебра, а а\... , ап Є А, то через г{а\... , ап) обозначается значение многочлена г в точке а, т. е. образ элемента г под действием гомоморфизма подстановки St ai , здесь е сц R[tii ,tn] — А - единственный гомоморфизм Л-алгебр, отображающий t{ в а{ при всех і = 1,.. . , п. Аналогичное соглашение действует для элементов группы точек G{R) аффинной групповой схемы G.
Пусть S мультипликативное (т. е. мультипликативно замкнутое) подмножество в кольце R. Через S R обозначается локализация R в S. Локализацион-ный гомоморфизм R — S lR обозначается через А . Если S = {sk \ к Є N}, то локализация называется главной. В этом случае мы пишем Rs = S R и As : R — Rs для обозначения гомоморфизма локализации. Аналогично мы поступаем в случае локализации в простом идеале р, т.е. в случае S = R \ р. В этом случае локализация обозначается через Rp, а гомоморфизм локализации через Ар.
Строка (si,... , Sk) элементов кольца R называется унимодулярной, если элементы si,... , Sk порождают единичный идеал. Эквивалентно, строка является унимодулярной, если ее элементы не содержатся ни в одном максимальном идеале. Отсюда сразу следует хорошо известное важное свойство унимодулярных строк. ЛЕММА 1.4.1. Если (si,... ,s&) - унимодулярная строка, ami,... }rrik Є N7 то строка (s1,..., sfc) также является унимодулярной.
Множество всех унимодулярных строк длины т над R обозначается через Umm(i2). Пусть а идеал кольца R. Канонический гомоморфизм редукции R — R/a обозначается через ра. Наряду с идеалом а , порожденным всеми произведениями rs, r,s Є а, нам потребуется идеал, порожденный квадратами элементов из а. Он будет обозначаться через а .
Идеал а кольца R называется расщепляющим идеалом, если аддитивная группа кольца R распадается в прямую сумму R = R 0 а, где R - подкольцо в R. Естественно, в этом случае R = R/a. Другими словами, а - расщепляющий идеал, если он является ядром ретракции R — R С R. Например, если R = R [t] - кольцо многочленов, то tR является расщепляющим идеалом. Другим важным примером расщепляющего идеала является фундаментальный идеал аффинной алгебры групповой схемы. Заметим, что если а - расщепляющий идеал кольца R = R 0 а, то а 0д/ С является расщепляющим идеалом кольца R 0д/ С для любой Д -алгебры С.
Пусть К - кольцо, а ср : R — R" и ср : R — R" - гомоморфизмы іС-алгебр. Обозначим через і : R — R 0 R и // : R — R 0 R канонические гомоморфизмы. По универсальному свойству тензорного произведения существует единственный гомоморфизм if-алгебр ср" : R(&KR — R" такой, что ср = ер" о і и ср = ір"оі . Этот гомоморфизм будет обозначаться через (ркф , Для того чтобы отличать его от естественного гомоморфизма ср 0 ср : R 0if R — R" 0if R". Ясно, что ср S K ф = mult о [ip 0 /); где "mult" обозначает гомоморфизм умножения. В случае К = Z мы пишем 0 и 0 вместо 0 и 0 соответственно.
Кроме категории колец нам понадобятся еще категории идеалов и пар идеалов. Объектом категории идеалов над К является пара (Л, а) состоящая из К-алгебры R и идеала а в Л. Аналогично, объектом категории пар идеалов является тройка (R, а, Ь), где а и Ь - идеалы iC-алгебры R. Морфизмом (R, а) — (R , а ) в категории идеалов называется гомоморфизм /С-алгебр ip : R — R! , удовлетворяющий условию (р(й) С а . Аналогично определяются морфизмы в категории пар идеалов. Категория идеалов над К будет обозначаться через Зк, а пар идеалов - через фк Морфизм ip в категории Зк называется сюръективным, если R отображается на R , а а - на а . Отождествляя объект (Л, R) категории Зк с объектом R категории 21#, можно считать, что Шк является полной подкатегорией в Зк-Аналогично, можно отождествить Зк с полной подкатегорией в Ц$к 29 1.5. Аффинные групповые схемы
В настоящей диссертации изучаются только аффинные групповые схемы, поэтому, если не оговорено противное, словосочетание "групповая схема" означает "аффинная групповая схема". Пусть К - кольцо, a G - групповая схема над К. Обозначим через А = K[G] аффинную алгебру схемы G. Через SpK R = Нопіщк(Л,_) будет обозначаться спектр кольца R над К (как видно из формулы, под спектром понимается схема в функториальном смысле, а не пространство простых идеалов, см., например, [81], [82] или [95]). По определению аффинной схемы G = SpKA, поэтому элемент а Є G{R) можно отождествить с гомоморфизмом а : А — R. Мы всегда производим это отождествление, считая, что элементами группы точек G{R) схемы G над /С-алгеброй R как раз и являются гомоморфизмы из А в R. Через GR обозначается аффинная групповая схема 8рд(Л (&к R)- Заметим, что группа GR(R ) канонически изоморфна G(R ) для любой Л-алгебры R (естественно, структура iC-алгебры на R задается композицией структурных гомоморфизмов К — R — R ).
Обозначим через д Є G{A) - общий элемент схемы G, т. е. тождественное отображение ісЦ : А — А. Элемент а Є G{R) индуцирует гомоморфизм групп точек G(a) : G(A) — G(R) по правилу G(a)(h) = а о h для всех h Є G(A). Отсюда следует, что образ элемента д под действием G(a) равен а. В дальнейшем для кольцевого гомоморфизма Lp : R — R мы обозначаем индуцированный гомоморфизм G((p) : G{R) — G(R ) тем же символом ср. Это не может привести к путанице, потому что всегда можно определить смысл символа по типу аргумента этого гомоморфизма. В соответствии с этой договоренностью имеем а(д) = а о ісЦ = а. Пусть а идеал кольца R. Как обычно, главной конгруэнц-подгруппой (7(Д, а) называется ядро гомоморфизма редукции ра : G{R) — G{R/a). Напомним, что аффинная алгебра групповой схемы является алгеброй Хопфа. Легко видеть, что единичный элемент ек Є G{K) совпадает с отображением коединицы А — К. Пусть / обозначает фундаментальный идеал, т. е. ядро коединицы ек- Тогда д Є G(A,I) = Ker G{ex)- Заметим, что ек является ретракцией структурного отображения К — Л, следовательно, / является расщепляющим идеалом. Легко заметить, что условие а Є G(R, q) эквивалентно коммутативности следующей диаграммы:
Ненормальная элементарная подгруппа
После работы X. Басса [72] долгое время считалось, что нормальность элементарной подгруппы является следствием стабилизации и зависит от размерности кольца. Теорема А. А. Суслина [50] о нормальности ЕП(Л) в GLn(i?) для любого коммутативного кольца R была в 1977 году очень неожиданным результатом. Несмотря на то, что идеи, достаточные для доказательства нормальности элементарной подгруппы в любой группе Шевалле, присутствовали уже в [50], доказательство появилось только девять лет спустя в работе Дж. Таддеи [124] и использовало другую вариацию метода локализации. Мы приведем доказательство, основанное непосредственно на локально-глобальном принципе, как это сделано в работе В. А. Петрова и А. К. Ставровой [43] для более общего случая изотропных редуктивных групп.
ТЕОРЕМА 2.6.1. Подгруппа E(R) нормальна в G(R). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любая клетка Гаусса содержится в GE, а клетки Гаусса являются открытым покрытием схемы G (см. параграф 1.11). По лемме 1.7.3 для любого локального кольца R имеет место равенство GE(R ) = G(R ). Для корня а Є Ф и элемента а Є G(R) рассмотрим элемент h = xa(t)a Є G(R[t\). Пусть m - максимальный идеал кольца R. Тогда Am(a) = da для некоторого d Є T(Rm) and а Є E(Rm). Так как тор нормализует любую корневую подгруппу, то Xm(h) Є E(Rm[t}). Теперь, по теореме LGP h Є E(R[t}). Подставляя вместо t произвольный элемент г Є R получаем ха{г)а, откуда следует результат.
Теперь мы докажем стандартные коммутационные формулы и относительную коммутационную формулу, которая является совместным обобщением стандартных. Для разных групповых функторов и различными методами формула была получена в работах [25], [26], и [91]. Для доказательства коммутационных формул мы снова, как и при доказательстве леммы 1.5.1, применим метод общего элемента. В первых трех главах диссертации мы не предполагаем, что подгруппа E{R) совершенна, поэтому мы формулируем стандартные коммутационные формулы как включения. Эти включения являются равенствами при некоторых условиях на систему корней или обратимость двойки. Относительная стандартная коммутационная формула была получена в работах [25, 26, 91]. ТЕОРЕМА 2.6.2. Пусть а и Ь - идеалы кольца R. Тогда имеет место относительная коммутационная формула [E(R,a),G(R,b)\ EE(R,a,b). Включение превращается в равенство, если Ф Ci,Gi или у кольца R нет полей вычетов из двух элементов. В частности, [E{R, a), G{R)] E{R, а) и [E{R), G{R, а)} E{R, а). Эти включения превращаются в равенства при чуть более слабых предположениях: Ф т C l G i или у кольца R нет полей вычетов из двух элементов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним, что через А = Z[G] обозначается аффинная алгебра схемы G, через g - общий элемент схемы G, а через I - ее фундаментальный идеал, который является расщепляющим. Пусть t - независимая переменная. Для а Є Ф рассмотрим элемент h = [xa(t),g] Є G(A[]). Так как элементарная подгруппа нормальна, то h Є і?(А[]). С другой стороны, h сравним с единичным элементом по модулю іипо модулю I[t]. Так как оба идеала tA[t] и I[t] являются расщепляющими, то из принципов расщепления 1.12.1 и 1.12.2 следует, что h є Е(А[і\) П G(A[],L4[]) П G(A[t],I[i\) = E(A[t]J[t])nG(A[t\M[i\) = EE(A[t],I[i\M[i\).
Пусть теперь а = [xa(r),b] для некоторых г Є R и 6 Є G(R). Доопределим гомоморфизм 6 : А — R до гомоморфизма ср : А[] — R, отображающего t в г (по универсальному свойству кольца многочленов это можно сделать, причем единственным образом). Имеем (р(д) = Ъ{д) = Ь (здесь мы отождествляем д с его образом в G(A[t})), следовательно, (p(h) = а. Пусть г Є а, а Ь Є G(R,b). Тогда Lp(tA[i\) = rR С a, a (p(I[t\) = Ъ{1) С а, откуда a = ip(h) Є (p(EE(A[t],tA[t],I[i\)) EE(R,a,b).
Теперь результат следует из формулы (1.1.1) и того факта, что EE(R,a,b) нормальна в E{R).
Утверждения о том, что включения превращаются в равенства, следуют из того, что E{R,a,b) [E{R,a),E{R,b)]. Для случая а = R (или, что очевидно эквивалентно, b = R) это утвержде ние получено М.Р. Стейном [117, Следствие 4.4]. Общий случай доказан в [90, Лемма 17]. Эти результаты получены при условиях из формулировки данной теоремы, причем известно, что в большей общности они неверны.
Использование общего элемента позволяет одновременно с коммутационными формулами доказать ограниченность ширины некоторого множества коммутаторов по отношению к любому функториальному множеству образующих. Обобщение следующего результата получено в теореме 3.6.1, здесь мы хотим продемонстрировать применение метода общего элемента на простейшем примере. Пусть S : tyi — беів - функториальное множество образующих (см. параграф 1.1) для функтора ЕЕ. СЛЕДСТВИЕ 2.6.3. Существует константа L Є N такая, что для любого кольца R и любых идеалов а и b в R ширина множества {[ха{г),Ь] г є а, Ъ є G{R, \)} относительно S(R, а, b) не превосходит L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЯСНО, ЧТО если р : (Л, а, Ь) — (R1, а , Ь ) отображает а Є E(R, q) в b Є E(R , q ), то ширина 6 относительно S(Rf, qf) не превосходит ширины а относительно 5(Л, а, Ь). Теперь результат следует из доказательства предыдущей теоремы, так как любой элемент рассматриваемого множества яв ляется образом элемента h Є EE(A[t], I[t],tA[t]), построенного в этом доказа тельстве.
Расширенная элементарная подгруппа
Сначала, пусть G имеет присоединенный тип. Рассмотрим максимальный идеал m кольца А, и положим F = А/т. Любой элемент группы C{F) лежит в одной из клеток Гаусса и, по предыдущей лемме, централен. Так как центр присоединенной группы тривиален, то С (А) лежит в конгруэнц-подгруппе L(A,m) для любого максимального идеала m кольца А. Пересечение этих конгруэнц-подгрупп равно L(A, Rad А). По разложению Гаусса 1.11 (см. также [61, Proposition 2.3]) последняя группа целиком лежит в главной клетке Гаусса. Теперь из леммы 4.3.2 следует, что С (А) тривиально.
В общем случае, так как гомоморфизм G{A) — Gaci($, А) биективен на уни потентном радикале борелевской подгруппы (следовательно, любой параболи ческой подгруппы), образ С (А) в присоединенной группе по-прежнему действу ет тривиально на внутреннем модуле Шевалле. По доказанному выше этот об раз тривиален. Так как ядро отображения в присоединенную группу лежит в центре, то группа С (А) центральна. В этом параграфе Н обозначает подгруппу в G(A), содержащую Е{К). В этом случае ц(Н) является /С-алгеброй. Другими словами, ц(Н) - это наибольшее подкольцо в А, для которого Eyq(H)) Н. Назовем множество С\(Н) подкольцом, ассоциированным с Н. Пусть R = ц(Н), а Р - параболическая подгруппа в G.
Очевидно, что заключение леммы 4.2.1 эквивалентно условию а Є E{R). Ясно также, что при Е(К) Н включения [Е(К),а] Н и Е(К)а Н эквивалентны. Отсюда вытекает следующая переформулировка леммы 4.2.1.
ЛЕММА 4.4.1. Если для элемента а Є U(A) выполнено включение Е(К)а Н, то а Є U(R).
ЛЕММА 4.4.2. Пусть Н - подгруппа в G(A), содержащая Е(К), и пусть R = с\(Н) - К-алгебра, ассоциированная с Н. Предположим, что d Є Н принадлежит параболической подгруппе Р(А) группы G(A). Тогда d Є NA(R).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем d = ab для некоторых b є Up (А) и а є Lp(A). Для любого и Є Up(R) элемент ud принадлежит Н П Up(A). По лемме 4.4.1 ud Є E(R).
Предположим сначала, что G имеет присоединенный тип. Рассмотрим представление 7Г группы Р на внутреннем модуле Шевалле Up /[Up, Up]. Ясно, что Up лежит в Кег7г, поэтому 7г(а) = 7r(d), а по доказанному в первом абзаце w(d) Є GLm(R).
По теореме 4.3.3 ограничение 7Г на Lp является точным, следовательно, по лемме 1.6.2 а Є G{R). В частности, а нормализует E(R), и поэтому E{R)b = E{R)d Я. По лемме 4.4.1 получаем Ь Є E(R), откуда d Є G(R).
Пусть теперь группа G соответствует произвольной решетке весов, а Г] : G — Gaci($, —) - морфизм схем, индуцированный вложением решетки весов. Тогда Кетг]А центрально для любого кольца А. Пусть Н = Г]А(Н). Заметим, что С\(Н) = R. Действительно, если ха(г) Є Н, то сха(г) Є Н для некоторого центрального элемента с. Тогда Е{К)Х(Г = Е{К)СХ(Г Н. По лемме 4.4.1 получаем ха(г) Є Н, т. е. г Є R. Следовательно, с\(Н) С Л, а обратное включение очевидно.
Мы уже доказали, что Г)А(ІЇ) принадлежит Gaci($, c\(H) j = Gaci($, R). В частности, Еасі(Ф, R)d = Еасі(Ф, R). Так как образ E(R) под действием щ совпадает с Еас1(Ф, R), то E{R)d E{R) Кегщ- Следовательно,
Пусть R - подкольцо в А, содержащее К. Для описания нормализатора NA(R) группы E{R) в G{A) нам понадобится изучить неприводимость рациональных представлений над кольцами. Ясно, что для кольца обычное понятие неприводимости (свободный модуль Rn является простым С(Д)-модулем) не имеет смысла. Мы изучим следующий аналог понятия абсолютной неприводимости представления групповой схемы. Назовем представление Lp : G — GLn абсолютно неприводимым над кольцом К, если образ срк порождает полное матричное кольцо Мп(К) как /С-модуль. Так как для любой /С-алгебры R матричное кольцо МП(Л) порождено образом Мп(К) как Л-модуль, то абсолютная неприводимость над К влечет абсолютную неприводимость над любой К- алгеброй.
Если К - алгебраически замкнутое поле, то по теореме Бернсайда наше определение совпадает с общеупотребительным. Мы покажем, что для групповых схем Шевалле-Демазюра представление абсолютно неприводимо над К тогда и только тогда, когда оно неприводимо над любой К-алгеброй, являющейся алгебраически замкнутым полем (при условии, что некоторые простые числа обратимы в К). Пусть if : G — GLn - представление групповой схемы G. Напомним, что еа (а Є Ф) обозначают корневые элементы базиса Шевалле алгебры Шевалле (Ф, -R), где R - произвольное кольцо. Элементы группы G{R) и ее алгебры Ли (Ф, R) будем отождествлять с их образами в матричном кольце Mn(R) под действием гомоморфизмов, индуцированных (р. Обозначим через тп{р ) наибольшее целое такое, что еа 0 над Z для некоторого а Є Ф.
ЛЕММА 4.5.1. Пусть р - представление групповой схемы Шевалле-Дема-зюра G. Пусть V - некоторое множество простых чисел, содержащее все простые, не превосходящие т((р), а К = (V) lZ. Представление р абсолютно неприводимо над К тогда и только тогда, когда оно неприводимо над любой К-алгеброй F, являющейся алгебраически замкнутым полем. Более того, в этом случае R-модуль, порожденный образом элементарной подгруппы E(R) совпадает с Mn(R) для любой К-алгебры R.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F - простое поле характеристики charF ф. V, и пусть F - его алгебраическое замыкание. Так как F = К/(char F)K или F = Q, то F является iC-алгеброй. По теореме Бернсайда G(F) порождает Mn(F) как векторное пространство над F. Заметим, что над алгебраически замкнутым полем G{F) = E{F). Так как эта группа порождена корневыми унипотентными элементами ха(г), то множество {ха(г) \ а Є Ф, г Є F} порождает Mn(F) как F-алгебру. Сейчас мы покажем, что образ Е{Ъ) в Mn(F) порождает это матричное кольцо как векторное пространство над F
Неприводимость рациональных представлений
Мы будем использовать следующие обозначения из коммутативной алгебры. Простой спектр кольца К обозначается через Spec К, а его комбинаторная размерность, т. е. размерность Крулля кольца К, через dim К. Высота простого идеала р, т.е. размерность Крулля кольца Кр, обозначается через htp. Простой делитель идеала а кольца К - это простой идеал, содержащий а. Если К нетерово, то любой его идеал имеет конечное число минимальных простых делителей. Радикал идеала а - это пересечение всех простых делителей а. Ясно, что он совпадает с пересечением всех минимальных простых делителей а.
Начнем с того, что покажем, что квазиалгебраические расширения стабильны относительно локализации.
ЛЕММА 5.4.1. Пусть А - квазиалгебраическое расширение кольца К, a S -мультипликативное подмножество в К. Тогда S lA является квазиалгебраическим над S lK.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ДЛЯ любого с є S_1A существуют г є А и s є S такие, что XS{T) = Xs(s)c. Так как г не является квазитрансцендентным над К, то существует многочлен / Є K[t] с коэффициентом 1 при t для некоторого А; Є N такой, что f(r) = 0. Пусть g(t) = Xs(f(st)). Тогда g(c) = Xs(f(r)) = 0. 114 При этом к-й коэффициент д равен элементу Xs(sk), который обратим в S lK. Таким образом, произвольный элемент с кольца S А не является квазитранс цендентным над S К. Следующее несложное утверждение будет несколько раз использоваться в дальнейшем. ЛЕММА 5.4.2. Пусть К[с] - произвольная К-алгебра, порожденная одним элементом с, а а - идеал в К. Положим с = ра(с) Если f Є K/a[t] ненулевой многочлен такой, что /(с) = 0; то qc а. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно видеть, что ядро канонического отображения К [с] — К/а[с] равно а [с]. Если / - прообраз / в K[t], то f(c) Є а [с], т.е. существует многочлен g Є a[t] такой, что (/ — g)(c) = 0. Ясно, что / — g не лежит в идеале a[t], откуда цс а. П
Понятие квазиалгебраического расширения тесно связано с понятием квазиконечного расширения. Напомним определение и несколько свойств квазиконечных расширений из работы [111]. /С-алгебра А называется квазиконечной, если для любого простого идеала р Є Specif кольцо А к к(р) является конечномерным (возможно тривиальным) векторным пространством над&(р), где к(р) обозначает поле вычетов Кр/р. Хорошо известно, что если А является /С-алгеброй конечного типа, то она квазиконечна тогда и только тогда, когда каждый р Є Spec К имеет конечный или пустой прообраз под действием канонического гомоморфизма Spec Л — Specif.
Легко видеть, что конечное расширение является квазиконечным, и композиция квазиконечных расширений квазиконечна. В следующей лемме мы докажем, что квазиалгебраическое расширение конечного типа является квазиконечным. В примере 5.4.4 показано, что обратное вообще говоря неверно, причем даже для К-алгебр, порожденных одним элементом. ЛЕММА 5.4.3. Элемент с К-алгебры А не является квазитрансцендентным над К тогда и только тогда, когда К[с] - квазиконечная К-алгебра. Если А - квазиалгебраическая К-алгебра конечного типа, то она квазиконечна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что алгебра А = K[ci,... , сп] является квазиалгебраической над К. Тогда для данного р Є Specie существуют многочлены /і,...,/п Є КЩ такие, что fi(ci) = 0 для всех значений і, причем 115 образы всех fi в &(р)[] ненулевые. Так как А к к(р) порождено над к(р) конечным числом алгебраических элементов, то оно конечномерно. Поэтому А квазиконечна над К. Те же рассуждения при п = 1 показывают, что если с не является квазитрансцендентным, то алгебра К[с] квазиконечна над К.
Обратно, предположим, что для с Є А алгебра К[с] квазиконечна над К. Для любого максимального идеала m кольца К имеем канонические изоморфизмы к(т) = К/т и К [с] кк(т) = К/т[с]. Поэтому кольцо К/т[с] конечно порож дено над К/т. Следовательно, существует ненулевой многочлен / Є ІІГ/mft] такой, что /(с) = 0, где с = рт(с). По лемме 5.4.2 имеем qc т. Таким об разом, цс не содержится в произвольном максимальном идеале m кольца К, следовательно, с не является квазитрансцендентным над К. ПРИМЕР 5.4.4. Если К = F[x,y] кольцо многочленов от двух переменных над полем F, a s = -, то K[s] очевидно является квазиконечным над К. Но это кольцо не является квазиалгебраическим расширением К, так как элемент ys = - является квазитрансцендентным (ясно, что qys = xK[s] +yK[s] Ф К\ \). Таким образом, образующие квазиалгебраического расширения должны удовлетворять дополнительным условиям, которые будут сформулированы в следующем параграфе. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.4.5. Пусть с Є А. Обозначим через [сп множество всех старших коэффициентов многочленов из Qc степени п. Очевидно, что является возрастающей цепочкой идеалов кольца К. Положим г = іск = U » neN
Элемент с называется квазиалгебраическим над К, если он не является квазитрансцендентным и сНт/С/г0 = 0. Другими словами, с является квазиалгебраическим, если цс = К, а любой простой делитель [с является максимальным идеалом.
Обозначим через К целое замыкание кольца К в А. Из Основной Теоремы Зарисского [111, Ch.4, Theorem 1] следует, что если А - квазиконечная К-алгебра конечного типа, то существует такой элементе Є К, что Кs = As. Более того, s может быть выбрать вне любого наперед заданного простого идеала кольца А. В следующей лемме доказан результат в духе Основной Теоремы Зарисского для расширений, не содержащих квазитрансцендентных элементов. Она играет важную роль в оставшейся части главы.
