Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Условия изоморфизма групп автоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения 10
1.1. Обозначения и некоторые необходимые результаты 10
1.2. Условия изоморфизма групп автоморфизмов групп ранга 2 16
1.3. Изоморфизм групп автоморфизмов 25
Глава 2. Определяемость абелевых групп их группами авто морфизмов 39
2.1. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения их группами автоморфизмов 39
2.2. Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения идемпотентного типа их группами автоморфизмов 45
Глава 3. Определяемость абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов 52
3.1. Известные результаты 52
3.2. Необходимые условия определяемости абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов 53
3.3. Один класс абелевых групп, определяющихся центрами их колец эндоморфизмов 61
Заключение 66
Литература
- Условия изоморфизма групп автоморфизмов групп ранга
- Изоморфизм групп автоморфизмов
- Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения идемпотентного типа их группами автоморфизмов
- Необходимые условия определяемости абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов
Условия изоморфизма групп автоморфизмов групп ранга
Так как А группа без кручения, то каждый автоморфизм а Є Aut А продолжается единственным образом до автоморфизма делимой оболочки D(A) группы А [29, c. 298], причем г (А) = r(D(A)). Таким образом, Aut Л AutD(A) = GL(r(A),Q). Предположим, что найдется множество К Aut А попарно перестановочных инволюций, причем \К\ 2Г( . Тогда К GL(r(A),Q), что невозможно в силу леммы.
Рассмотрим группу Є Fc конечного ранга. Можем записать = ф=1і. Тогда по лемме 1.1 кольцо () изоморфно кольцу матриц () с рациональными коэффициентами, причем при подходящей перестановке слагаемых группы матрицы имеют блочно-верхне-треугольный вид. Несложно показать (см., например, [18]), что матрица [ji] Є () обратима тогда и только тогда, когда для любого Є {1,2,...,} определитель k обратим в кольце (} ), где k — подматрица матрицы [ji], образованная пересечением всех строк и столбцов и , для которых j = І = k.
Далее в работе мы будем отождествлять группу Aut и группу соответствующих матриц везде, где это удобно.
Пусть Є Fccf, A — множество различных типов прямых слагаемых ранга 1 этой группы и задано разбиение (1.1). Так как типы из множеств i() и j() несравнимы для = , то Aut = Aut 0ГСО, {А)Т х Aut Т(=ОоСА)Т Х Х Aut 0rf=o, (А)Т. Будем говорить, что абелева группа определяется её группой автоморфизмов в классе групп X, если из Aut = Aut , где є X, всегда следует, что = . Аналогичное определение можно сформулировать для определяемости абелевой группы своим кольцом эндоморфизмов. Нам понадобится следующий результат об определяемости абелевых групп их кольцами эндоморфизмов.
Лемма 1.8 (теоремы 1 и 2, [21]) Вполне разложимая группа без кручения определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе Fcd тогда и только тогда, когда каждое её прямое слагаемое ранга 1 почти делимое. 1.2. Условия изоморфизма групп автоморфизмов групп ранга
Изучение изоморфизмов групп автоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения естественно начинать со случая однородных групп. Если г (А) 3 и г (В) 3, то условия изоморфизма групп автоморфизмов сразу следуют из леммы 1.5 и изоморфизма (1.2). Ограничение на п в лемме 1.5 не позволяет ответить на вопрос об изоморфизме групп автоморфизмов однородных вполне разложимых абелевых групп без кручения ранга 2. Этот случай необходимо рассмотреть отдельно. Изоморфизмы линейных групп GL,2(R) исследуются в работах большого числа авторов и рассматриваются для различных классов колец R. В этих работах накладываются дополнительные условия на кольцо или линейную группу, что затрудняет непосредственное использование результатов об изоморфизмах в рамках нашего исследования. Ниже доказываются необходимые и достаточные условия изоморфизма групп автоморфизмов двух вполне разложимых абелевых групп без кручения, одна из которых имеет ранг 2. Если не оговорено обратное, то в этом и последующих параграфах все вполне разложимые абелевы группы без кручения будем считать 2-делимыми.
Будем называть вполне разложимую абелеву группу неоднородной, если она не является жесткой или однородной группой.
Лемма 1.9. Пусть А, В є Fcd,r(A) = 2 и Aut А = Aut . Тогда группы А и В одновременно являются однородными, неоднородными или жесткими.
Доказательство: Если Aut Л = Aut , то г (В) = 2 (воспользуемся здесь леммой 1.11, которая будет доказана позднее). Пусть одна из групп, например группа Д однородная. Тогда Aut Л и Aut В — некоммутативные груп пы. Следовательно, типы прямых слагаемых группы В сравнимы. Предположим, что типы прямых слагаемых не равны. Тогда Aut В — разрешимая группа ступени 2, что невозможно, так как второй коммутант группы Aut Л не равен единице. Получили, что типы прямых слагаемых группы В равны, т.е. В — однородная.
Пусть теперь типы слагаемых ранга 1 группы А сравнимы, но не равны. Тогда Aut А — разрешимая группа ступени 2. Значит, такова и Aut В. Это возможно только когда типы прямых слагаемых ранга 1 группы В сравнимы, но не равны.
Осталось рассмотреть случай, когда группа А жесткая. Так как Aut А = Aut В и Aut А — коммутативная группа, то Aut В тоже коммута тивная. Следовательно, В — жесткая группа. Если группа А є Fcd — однородная ранга 2, А = А\ 0 А\, то Aut А = GL(2, Е(А\)). Непосредственными вычислениями проверяется, что все инволюции в GL(2)E(A\)) можно условно разделить на три вида:
Изоморфизм групп автоморфизмов
Вопросы определяемости абелевой группы своей группой автоморфизмов и кольцом эндоморфизмов связаны между собой. Поскольку из изоморфизма колец эндоморфизмов следует изоморфизм групп автоморфизмов абелевых групп, то определяемость группы своей группой автоморфизмов влечет определяемость кольцом эндоморфизмов. Действительно, пусть группа определяется своей группой автоморфизмов в классе X и — некоторая группа из этого класса. Тогда из Aut = Aut следует, что = . Если кольца изоморфны, то изоморфны и группы их обратимых элементов. Тогда из () = () получаем, что = . Таким образом, группа определяется своим кольцом эндоморфизмов. Из теоремы 1.4 и леммы 1.11 предыдущей главы сразу следует Лемма 2.1. Пусть F. Тогда:
1. Если группа конечного ранга определяется своей группой автоморфизмов в классе групп конечного ранга из F, то она определяется группой автоморфизмов и в классе Fc ;
2. Если блочно-жесткая группа А конечного ранга определяется своей группой автоморфизмов в классе блочно-жестких групп из Fcd, то она определяется группой автоморфизмов в классе Fc .
Лемма 2.2. Пусть А Є Fcd. Если группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd, то А — почти делимая группа и г (А) 1.
Доказательство: Пусть А Є Fcd и А — определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd. Предположим, что А не почти делимая груп-па.Тогда А не определяется своим кольцом эндоморфизмов (лемма 1.8), а значит, не определяется и группой автоморфизмов в классе Fcd. Пусть теперь группа А почти делимая и г (А) = 1. Если группа А почти делимая, то Aut А = Z(2) х I I Z = Aut В, н где В — любая почти делимая группа не изоморфная А. Опять получаем, что группа А не определяется своей группой автоморфизмов в классе абелевых групп без кручения ранга 1. Противоречие. Лемма 2.3. Пусть А Є Fc — однородная группа не обязательно конечного ранга. Группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе однородных групп из Fcd тогда и только тогда, когда А — почти делимая и г (А) 1. Доказательство: Необходимость следует из леммы 2.2. Покажем достаточность. Пусть Aut Л = Aut . Тогда г (А) = г (В) = п. Пусть группы А и В конечного ранга, А = фп А,- и В = @пВа. Тогда Aut A = GL(r(A), E(AT)), где AT — группа ранга 1. По лемме 1.5 получаем, что Е(АТ) = Е(Ва). Так как А — почти делимая группа, то Ат = Ва (лемма 1.8) и А = В.
Пусть теперь группы А и В бесконечного ранга и г = т(А). Тогда группа А есть свободный модуль М бесконечного ранга над кольцом R = Е(АТ) и группа Aut Л изоморфна группе AutдМ. Применяя лемму 1.6 получим, что Е(А) = Е(В). Поскольку почти делимая группа определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп без кручения, то А = В. Замечание. Если группа А, удовлетворяющая условиям теоремы, имеет конечный ранг, то она определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd. Действительно, если ранг группы А конечный, то из изоморфизма Aut Л = Aut В и теоремы 1.4 получаем, что группа В тоже однородная. Теорема 2.1. Пусть группа А Є Fcd имеет конечный ранг. Группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd тогда и только тогда, когда А почти делимая группа и для каждого минимального типа т Є A выполняется неравенство г(АТ) 1.
Доказательство:
Необходимость. Пусть группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcd. Тогда А — почти делимая группа (лемма 2.2). Предположим, что найдется такой минимальный тип для которого г (А ) = 1. Поскольку А — почти делимая группа конечного ранга, то найдется такой номер j, что для любого Пусть т" = (hi, hi, где ki = hi для любых і = j и hj = 0. Построим группу В следующим образом: В = ф w л Ат 0 Вт/. Покажем изоморфизм групп Aut А и Aut . Рассмотрим Q С QA — связное подмножество, содержащее т . Тогда
Так как QA — связное множество, то Z(E(A)) = Аа: где Аа — некоторая рациональная группа типа а. Пусть Х(а) = а — гомоморфизм группы Aut Л в Z(AutA), сохраняющий центральные элементы (а Є Z(AutA): Х(а) = а). Покажем существование такого гомоморфизма. Так как а Є Г (А,-/), то а = ±ПрєР(а)Р1рі гДе Р(а) Рос(Ат ). Определим рЄР(а)ПР00(А(Т) т.е. оставим в а те множители р1р, для которых р соответствует символу оо в типе рациональной группы Аа. Следовательно, а Є Г(Дг) = Z{Ax\tA). Всякому элементу а поставим в соответствие элемент [а ,..., а ]. Очевидно, что полученное отображение является гомоморфизмом.
Положим ф(а) = аа 1ф(а ), где ф{а!) — изоморфизм групп Z(Aut А) и Z{Ax\t В). Так как множества QA и &В — связные, то Z(Aut А) и Z(Aut В) изоморфны некоторым рациональным группам. По построению группы В получаем, что Г(Z(Auk В)) является подгруппой r(Z(Auk А)) и а = 1. Осталость показать сюръективность. Покажем, что для всякого /З Є Aut В найдется а такой, что ф(а) = /3. Отождествляя группы автоморфизмов групп А и В с соответствующими группами матриц с рациональными коэффициентами, можно считать, что Aut В Aut А. Рассмотрим ограничение гомоморфизма А на группу Aut . Обозначим через А/? образ автоморфизма /3 при гомоморфизме
Определяемость вполне разложимых абелевых групп без кручения идемпотентного типа их группами автоморфизмов
Поскольку всякая группа идемпотентного типа определяется своим кольцом эндоморфизмов в классе всех таких групп, то представляет интерес вопрос определяемости этих групп своими группами автоморфизмов в этом классе. Необходимые и достаточные условия определяемости в этом классе должны быть сложнее чем в классе Fcd. Однако, можно получить некоторые интересные результаты накладывая дополнительные ограничения на рассматриваемые группы. Так, например, можно полностью решить вопрос определяемости
Покажем теперь, что группа А = А\ 0 Z определяется своей группой автоморфизмов. Действительно, если Aut А = Aut В для некоторой группы Є Fcdi, то г (А) = г(В): В = В\ 0 2 [т{В\) т(В2)). По теореме 1.2 получим, что Hom(Z,Ai) = Hom(_B2,-Bi), так как группы Л и почти делимые, то А\ = В\. Кроме того, из теоремы 1.2 следует, что AutZ = Aut 2- Следовательно, B i = Z (теорема 2.2).
Предположим, что А — неоднородная или жесткая 2-делимая группа. Тогда по условию 1 настоящей теоремы она не определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcdi.
Пусть теперь А — однородная 2-делимая группа и Aut А = Aut В для некоторой группы В Є Fcdi. Тогда по теореме 1.1 получаем Е{А) = Е{В). Из определяемости вполне разложимых абелевых групп без кручения идем-потентного типа их кольцами эндоморфизмов получаем, что А = В. то B — связное множество и рВ = В для некоторого простого числа р. Рассмотрим множество диагональных инволюций К в группе Aut , \К\ = 25. Покажем, что существует изоморфизм 0, который сохраняет диагональный вид инволюций. Пусть ф1 : Aut — Aut Л. Тогда ф1(К) — множество коммутирующих инволюций в Aut Л и 01(іС) = 25. Так как 2А = А, то по лемме 1.12 получаем, что дф1(К)д с I I Aut АТ = Aut ATl х Aut АТ2 х Aut АТз для подходящего д Є Aut Л. Таким образом, ф2(К) = [К1, ±1, К ], где ф2(К) = дф1(К)д 1 и \К1\ = \К%\ = 22. Поскольку r(ATl) = г(АТз) = 2, то, пользуясь доказательством леммы 1.10, получим, что 702( От = [Т1 1ТГ 1?7з "з7з ] = [=t1? =t1] Тогда ф(а) = 702{a)l l изоморфизм групп Aut В и Aut А, сохраняющий диагональный вид инволюций.
Рассмотрим в К подмножество L С (Птєо Aut Вт). Всякая инволюция є из множества L не сопряжена ни с одной инволюцией из К \ {є}, и любая инволюция є из К \ L сопряжена с некоторой инволюцией є ф є из К. Так как при изоморфизме сопряженные инволюции переходят в сопряженные, то L С ф{Ь): где L С "(ПтєО Aut А7"). Поскольку все инволюции из ф(К)\Ь сопряжены с некоторыми отличными от них инволюциями из ф(К): то ф(Ь) = L .
Пусть К = ф(К). Пользуясь обозначениями теоремы 1.5, рассмотрим образ KTUA С К при изоморфизме ф 1. Так как на множестве KTUA тождественно действует группа подстановок 5 2 и изоморфизм ф 1 сохраняет диагональный вид инволюций, то на ф 1(КТ1 ) С К группа 5 2 тоже действует тождественно.
Аналогично доказательству теоремы 1.5 получаем, что Ф (Кп,А) = К а!,В для некоторого типа (Т\ Є &в- Рассматривая централизаторы множеств КТиА и KffbB, получим С{КТЪА) — C{K(JUB)I Aut ATl х Р2 х Рз = Aut Ваі х і?2 х 3 Далее, следуя доказательству теоремы 1.5, получим, что 2Ваі = Ваі и ATl = Ваі. Аналогично получаем, что АТз = Ваз для некоторого типа о"з Є &в. Так как Z(AutB) = Z(2) x Z и множество QB связное получаем, что 2Ва2 = Ва2. Тогда группа В — 2-делимая.
Из свойства 3 теоремы 1.5 получаем, что тип о"2 минимальный. Следовательно, Т2 = о"2 и А = В. Таким образом, мы получили, что группа А определяется своей группой автоморфизмов в классе Fcdi и при этом не удовлетворяет условиям теоремы 2.5. Глава 3 Определяемость абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов
Будем говорить, что группа А из некоторого класса абелевых групп X определяется своим центром Z(E(A)) кольца эндоморфизмов в этом классе, если из изоморфизма Z(E(A)) = Z(E(B)), где В принадлежит классу X, следует А = В. Класс групп, определяющихся своим центром кольца эндоморфизмов в классе X, обозначим через K(ZE). Если K(ZE) = {0} или K(ZE) = 0, то класс X авторы статьи [28] называют TVC-классом.
В работе [28] были найдены достаточные условия принадлежности группы классу Fn(ZE), где Fn - класс всех вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного фиксированного ранга п, описаны TVC-подклассы для различных классов абелевых групп X. Приведем формулировки этих результатов.
Класс X будем называть Л-классом, если с каждой группой Л Є X он содержит и прямую сумму её копий Аа = ()а А для любого кардинала а. Класс X будем называть А -классом, если он является Л-классом, но замкнут относительно конечных прямых сумм, т.е. А, В Є X влечет А 0 В є X. Теорема 3.1 ([28]) Обозначим через А, F, L, S классы всех абелевых групп, абелевых групп без кручения, периодических абелевых групп, сепа-рабельных абелевых групп без кручения соответственно. Тогда
Теорема 3.2 ([28]) Если группа А Є Fn является делимой группой или почти делимой жесткой группой, то она принадлежит классу Fn(ZE). Следствие 1 ([28]) Класс Y\{ZE) состоит в точности из почти делимых групп ранга 1. Пусть G Є Fn, п 1 и QQ — множество всех (различных) типов прямых слагаемых ранга 1 группы G. Рассмотрим на множестве VLQ отношение эквивалентности введеное в первой главе. Запишем разбиение множества группы без кручения ранга 1 типов otj. Заметим, что среди типов otj могут быть равные. Если Q - некоторое конечное множество типов, то множество всех различных инфимумов классов эквивалентности будем называть сопряженным с Q и обозначать через [Щ. Тогда [QG] множество всех различных типов прямых слагаемых ранга 1 аддитивной группы кольца Z(E(G)).
Необходимые условия определяемости абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов
Необходимые условия определяемости абелевых групп центрами их колец эндоморфизмов Будем говорить, что группа G Є Fcd удовлетворяет свойству ( ), если: 1) группа G - почти делимая, Предположим, что т т" цепочка типов из Q и в G \ {т"} не содержится типов меньших типа т . Учитывая условие 6, получаем, что тип т несравним ни с каким другим типом из c отличным от т". Строим группу Н следующим образом:
Теорема 3.4. Группа G Є Fn (1 п 4) определяется в классе Fn своим центром кольца эндоморфизмов, тогда и только тогда, когда она либо делимая, либо все ее прямые слагаемые ранга 1 почти делимы и типы этих слагаемых попарно несравнимы.
Доказательство: Необходимость. Пусть группа G принадлежит классу Fn(ZE). Предположим, что она не является делимой. Тогда согласно условиям 1, 3 и 4 свойства ( ) она редуцированная, почти делимая и каноническая, т.е. \G\ = п = r(G). Если п = 2, то, учитывая условие 2, получаем, что типы прямых слагаемых несравнимы. При п = 3 согласно условиям 5, 6 снова получаем, что все типы из Q — несравнимые.
Пусть o — множество всех (различных) почти делимых типов. Подмножества , " множества о назовем сравнимыми, если существуют сравнимые типы Є ! и " Є ! . Подмножество из о будем называть -множеством, если оно состоит из нетривиальных связанных подмножеств с одинаковым инфимумом равным , а число таких подмножеств — длиной -множества. Подмножества , ! множества о будем называть подобными, если их сопряженные множества равны и соответствующие -подмножества имеют одинаковую длину. В частности, два -множества одинаковой длины являются подобными.
Почти делимую группу Є Fn будем называть минимальной, если каждое ее -подмножество !G минимально, т.е. множество {" Є с \ с : "} не ПУСТ0 и Для любого -множества С о подобного !G И несравнимого с Q \ !G имеем !G .
Следствие 1. Для любого п 3 существуют не делимые группы из Fn(ZE) со сравнимыми типами прямых слагаемых ранга 1. Действительно, для п = 4 существование такой группы следует из примера 3.1. Осталось применить теорему 3.6.
Лемма 3.1. Пусть группа G Є Fn удовлетворяет свойству ( ). Если Z(E(G)) = Z(E(H)) для некоторой группы Н Є Fn(H = G), то существует группа Н Є F m (m п) такая, что Z(E(G)) = Z(E(H )) и Н удовлетворяет свойству ( ).
Доказательство: Пусть Z(E(G)) = Z(E(H)) и группа G удовлетворяет условиям 1-7 свойства ( ). Тогда группа Н удовлетворяет условиям 1-3.
Пусть группа Н не является канонической. Тогда найдется тип г такой, что г(НТ ) 1. Построим группу Н следующим образом:
Пусть выполнены условия теоремы и Н не удовлетворяет условию 7. То есть найдется тип т Є н такой, что существует единственный тип т", для которого выполнено условие т" т . По доказанному, можем считать, что группа Н удовлетворяет условиям 1-6 теоремы. Если это не так, то заменим группу Н на Н , как показано в доказательстве, нужное количество раз. Группу Н построим следующим образом:
либо пусто, либо все типы из Wii(J сравнимы с Qc \ « Доказательство: Пусть выполнены условия теоремы. Для тривиального класса эквивалентности утверждение теоремы очевидно. Предположим, что найдется не тривиальный класс эквивалентности Г и минимальный тип о" Є Qi такой, что множество W a не пусто. Покажем тогда, что всякий тип г Є Wii(J сравним с множеством типов QQ \ V Предположим противное. Пусть найдется тип г Є W a не сравнимый с Qc\ i. По определению множества Wii(J получаем следующее:
В примере 3.1 указана не делимая группа, которая определяется своим центром кольца эндоморфизмов. Фактически этот пример описывает целый класс групп из Y±(ZE). Запишем приведенный пример группы в общем виде. Пусть G = А\ 0 Ач 0 А% 0 А Є F4, где
Пусть имеет место первый случай. Тогда (G) = {Н) и т(В ) = т(А ). Без ограничения общности будем считать, что т{В\) максимальный тип в Q\(H). Тогда і Є N(B\), і Є 7V( 2) и і Є N(B ), поскольку inf Г2і(С) т{В\) и тип т{В\) не сравним с т[В ).
Предположим, что j Є N{B\). Следовательно, Є N{B2) и j Є N(B ). Тогда либо к Є 7V( 2), либо А; Є N(B ), что невозможно, так как группа Н удовлетворяет условию 5 теоремы 3.3. Заметим, что приведенную выше теорему можно доказать полным перебором всех возможных групп из класса F4, множество типов которых имеют два связанных подмножества с соответствующими инфимумами. Покажем теперь, что класс групп описанных в теореме 3.9 вместе с делимой группой и всевозможными жесткими группами ранга 4 составляют класс Y±(ZE). Доказательство: Пусть G не является делимой и не является жесткой группой. Покажем, что выполнено третье условие теоремы. Так как группа G Є Y±(ZE\ то по теореме 3.3 G удовлетворяет свойству ( ). Из условий теоремы 3.3 можем считать, что VLQ = Qi(G) U (G), где Qi(G) = {Т(АІ),Т(А2),Т(АЗ)}: (G) = {Г(УІ4)} — связные множества и т(А\) — максимальный тип.
Предположим, что Ut=i2 3 ( ) Э A?2 и A?2 {i,j,k}. Следовательно, &2 Є N(A2) или А?2 Є N(As). Заметим, что &2 не может принадлежать множествам N(A2) и N(As) одновременно. Пусть &2 Є A ( 2) и &2 ІУ(Аз). Тогда из определяемости группы G своим центром кольца эндоморфизмов следует, что N(As) U { 2} (А ) и А (Аз) U {j} D А Л ). Так как j ф к% то А Л ) С N(As). Получили противоречие.
В диссертационной работе получены некоторые необходимые и достаточные условия изоморфизма двух групп автоморфизмов вполне разложимых абелевых групп без кручения. Получен критерий определяемости вполне разложимой абелевой группы без кручения конечного своей группой автоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп без кручения. Для класса вполне разложимых абелевых групп без кручения ранга 2 получены условия, необходимые и достаточные для изоморфизма двух групп автоморфизмов. Найдены достаточные условия определяемо-сти вполне разложимой абелевой группы без кручения конечного ранга идемпотентного типа в классе всех таких групп. Приведены примеры групп показывающие, что полученные условия не являются необходимыми. В диссертации рассмотрен вопрос определяемости абелевой группы центром своего кольца эндоморфизмов, получены необходимые условия определяемо-сти вполне разложимой абелевой группы центром своего кольца эндоморфизмов в классе всех вполне разложимых абелевых групп без кручения конечного фиксированного ранга, исследованы некоторые классы абелевых групп, которые определяются центрами колец эндоморфизмов.
