Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Изоморфизмы групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами 16
1. Метод инволюций 16
2. Описание изоморфизмов групп обратимых элементов . 25
Глава 2. Изоморфизмы унитарных групп над кольцами 33
1. Метод инволюций 33
2. Описание изоморфизмов унитарных групп 46
Глава 3. Гомоморфизм групп матриц второго порядка 54
1. Предварительные замечания 54
2. Инволюция в группе матриц второго порядка и гомоморфизм 60
Глава 4. Изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами без 67
1. Гомоморфизм линейных групп над ассоциативными кольцами 67
2. Изоморфизмы линейных групп над кольцами без 103
Литература
- Описание изоморфизмов групп обратимых элементов
- Описание изоморфизмов унитарных групп
- Инволюция в группе матриц второго порядка и гомоморфизм
- Изоморфизмы линейных групп над кольцами без
Введение к работе
Главная тенденция теории изоморфизмов классических групп состоит в переходе от разнообразных частных типов коммутативных целостных колец коэффициентов к произвольным коммутативным целостным кольцам, и далее, - к еще более общим, необязательно коммутативным, целостным, и необязательно целостным, кольцам и необязательно конечным размерностям.
Теория автоморфизмов классических групп была начата работой Шрейера и Ван дер Вардена [72], в которой были описаны автоморфизмы группы над произвольным полем. Затем Дьедонне [39] и Риккарт [70] ввели метод инволюций, использованный в дальнейшем ими и многими другими авторами для описания изоморфизмов между большими классическими группами. Для конечных нолей другие доказательства неизоморфности, основанные на сравнении порядков групп, дал Артин [31], [32]. Автоморфизмы и изоморфизмы групп Шевалле и тесно связанных с ними групп над различными полями были найдены в работах [75], [7G], [49]. Теорию изоморфизмов (даже гомоморфизмов) для широкого класса групп, включающего большие линейные группы над бесконечными полями, а также большие классические группы в изотропном случае над бесконечными полями развили Борель и Тите [34].
Первый шаг в построении теории автоморфизмов над кольцами, а именно для группы GLn над кольцом целых чисел, сделали Хуа Ло-ген и Райнер [47], а для группы Spn над этим же кольцом Райнер в [08]. Затем были рассмотрены гауссовы целые числа и области главных идеалов. Автоморфизмы линейных групп над произвольными областями целостности при п ^ 3 описал О'Мира [61]. Автоморфизмы некоторых групп целых точек некоторых расщепляемых групп над нолями алгебраических чисел исследовал Борель [33], при этом автоморфизмы линейных групп над арифметическими областями числовых нолей получаются как частный случай. Метод вычетных пространств, изложенный в "Лекциях" О'Миры, впервые был введен им в
одной из его работ об ортогональных группах в 1968 году. Вскоре он был применен в работе [63] к линейным группам, богатым траисвекциями, и, в частности, к линейным группам над областями целостности при п ^ 3. Затем Солацци [73] описал при n ^ 3 автоморфизмы проективных линейных групп, богатых проективными траисвекциями, а Хан [44] - изоморфизмы таких групп, причем он дал единую трактовку для линейных, симнлектнческих и унитарных групп в размерностях п ^ 5.
Отметим работы Далла [42], [41], в которых решается проблема описания автоморфизмов двумерных групп GL2, SL2, PGL2, PSL2 над произвольной областью целостности V.
Аналогичные результаты получены в [42] для групп SL2, PGL2 и GL,2- Первоначальное предположение, что в характеристике 0 кольцо v должно содержать обратимые элементы, отличные от корней 4-й степени из единицы, ослаблено в [41].
Хан в работе [44] применил метод О'Миры к проективным группам изометрий пространств с рефлексивной формой и развил -в размерностях ^ 5 - единую теорию изоморфизмов их подгрупп, богатых проективными сдвигами. Идеи этой работы нашли отражение в главе 5 "Лекций" О'Миры [64]. Из результатов работы [44] отметим теорию изоморфизмов для линейных, симнлектнческих и унитарных конгруэнц-групп и их проективных образов над областями целостности (в унитарном случае необходимо ограничиться арифметическими областями), не зависящую от характеристики кольца, индекса Витта и поля произвольной характеристики (все это в размерностях ^ 5). Для ортогональных групп, не рассмотренных в работе [44], соответствующая теория была развита Ханом в [45].
Автоморфизмы ортогональных групп над полем F характеристики 2 исследовал Коннорс [37], [38]. В работе [37] он рассмотрел полную ортогональную группу, ее группу вращений, коммутант и ядро снинорной нормы. Автоморфизмы этих групп изучались ранее Дьедонне [40], Стейнбергом [75], Сю Чжеиь-хао [78] и Хамфрисом [49] при различных
ограничениях на поле или геометрию пространства.
Теорию изоморфизмов для конгруэнц-подгрупп классических групп продолжал разрабатывать Солацци. В статье [74] он доказал, в частности, что симилектические и унитарные конгруэнц-группы над областями целостности характеристики ф 2 не изоморфны, если их индексы Витта
В исключительном двумерном случае автоморфизмы конгруэнц-групп исследовал Ю.И. Мерзляков [23]. В этой работе построен также пример, показывающий, что если идеал і не квазирегулярен, то группа может иметь нестандартные автоморфизмы. Это говорит о том, что построение теории автоморфизмов двумерных групп, богатых трансвекциями, является нелегкой задачей. Помфрэ и Макдопальд в работе [G7], используя теорему Капланского [51], утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы GLn (n ^ 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором 2 обратимый элемент.
Продолжая тему, начатую работой [G7], Маккии и Макдопальд [60] исследовали автоморфизмы симплектической группы Spn над локальным кольцом. Автоморфизмы этой группы над произвольным полем были найдены Хуа Ло-геном [46], затем Райнер [G8] описал автоморфизмы Spn над кольцом Z, а Янь Ши-цзянь [80] и О'Мира [G2] - над произвольной областью целостности.
Для коммутативного кольца R с элементом \ при п ^ 3 изоморфизм группы GLn (R) был описан в [77]. В.М. Петечук [28] получил тот же результат при условии п ^ 4. Особый интерес представляет случай \ . R, п = 3, когда могут возникнуть нестандартные изоморфизмы. Для локальных колец они рассмотрены В.М. Петечуком в [27], для любого коммутативного кольца - Ф. Ли и 3. Ли [54].
Ю.В. Сосновский [29] распространил теорию О'Миры [G5] изоморфизмов линейных групп на случай размерностей п = 3,4. В работе [30] описаны изоморфизмы богатых подгрупп симплектической
группы над нолем.
Г.А. Носков [26] описал автоморфизмы группы GLn(v), где v - коммутативное кольцо с единицей и обратимым элементом 2, не порождаемое делителями нуля, причем пространство Max (v) его максимальных идеалов, снабженное топологией Зарисского, нётерово и имеет конечную комбинаторную размерность, а п ^ 2 + dim Маж (v).
Глубокие результаты получены Михалевым А.В., Голубчиком И.З. и Зельмановым Е.И. Ими исследованы изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами матриц. Голубчиком И.З. и Михалевым А.В. в [8] получено описание изоморфизмов линейных груші над ассоциативными кольцами с ^. Аналогичный результат получен Е.И. Зельмановым в [15] при условии т ^ 2. В [12] описан изоморфизм группы GLнад кольцом с обратимыми элементами 2 и 3. В [43] описан изоморфизм группы GLn (R) при п ^ 4 над кольцом матриц. Результаты работы [9] позволяют описывать автоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами в случае, когда гиперболический ранг формы q > 1 и п ^ 5. Для локального кольца этот результат получен Д. Джеймсом [50]. При п = 2k, к ^ 3 и гиперболический ранг формы q максимален, автоморфизмы унитарной группы описаны Е.И. Зельмановым с помощью специализаций некоторых йордаповых систем.
- Систематическое изложение полученных результатов об автоморфизмах классических групп можно найти в обзорных статьях Ю.И. Мерзлякова и О. О'Миры.
Основная цель диссертации - пользуясь методом инволюций описать изоморфизмы линейных и унитарных групп над ассоциативными кольцами, содержащими плотную систему идемпотептов.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы.
Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении. Введем основные понятия и обозначения.
Пусть R - кольцо.
Группа ELn (R) определяется как группа элементарных матриц степени п над R вида Е + \Е^, где 1 ^ і ф j ^ п, А Є Л, Е - единичная матрица порядка п, Ец - матрица порядка п, содержащая 1 на месте (г,.;) и 0 на остальных местах. Под общей линейной группой GLn (R) степени п над R будем понимать группу всех обратимых матриц порядка п над R.
Обозначим через U (R,t) = {А Є R \ ААТ = АТА = 1} унитарную группу, где г - сопряжение в кольце, т.е. антиавтоморфизм мультипликативного второго порядка.
Элемент и Є R называется инволюцией, если а2 = 1. Элемент f Є R называется идемиотеитом, если /2 = /. Идемнотеиты f\ и /2 называют ортогональными, если /1/2 — /2/1 = 0.
Если А и В два элемента группы, то элемент [А, В] = АВА~1В~1 называется их коммутатором.
Множество {e{j ES\l
Первая глава посвящена описанию изоморфизмов групп обратимых элементов над ассоциативными кольцами с обратимой двойкой и содержащими плотную систему идемпотентов. Обратимость двойки в сочетании с некоторыми свойствами кольца позволяет применить метод инволюций. В доказательствах применена вычислительная техника Янь Ши-цзяия, развитая в работах Голубчика И.З. и Михалева А.В., Зельманова Е.И.
Пусть R - ассоциативное кольцо, | Є R. Пусть {/j Є R \ 1 ^ і ^ п} -плотная ортогональная система идемпотентов:
RfiR = R, /і-/,- = 0, 5^/,1 = 1, l^i^j^n. (0.1)
i=l
Обозначим через U (R) группу обратимых элементов кольца R, через Е (R) - ее элементарную подгруппу, порожденную элементами 1 + fixfj,
где х Є R, 1 ^ і Ф j ^ 3.
Пусть І - идеал кольца R, Е (I) - нормальный делитель и E(R), порожденный 1 + foxfj, где х Є і", 1 ^ г ф j ^ 3. Пусть С (I) - прообраз центра при каноническом гомоморфизме (fi : U (R) —> С/ (R/I).
Основным результатом первой главы является
Теорема 0.1. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, | Є R, | Є S. Если есть изоморфизм групп обратимых элементов ср : U (R) —> U (S), то существуют разлооїсения R = R\@R2, S = S\S2, кольцевой изоморфизм в\ : Ri —> S\, кольцевой антиизоморфтзм 02 : 7 -> S2, центральный идемпотсит е = (1,0) Є R\ 0 R2, такие, что
ip (А) = 01 (еА) + 02 ((1 - е) А~1) для всех AGE(R).
При доказательстве основного результата имеют значение
Лемма 0.1. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей, | Є R. Пусть в R определена система идемпотентов {еі,Є2} для которой выполнены условия (0.1). Пусть G, Н - нормальные делители группы U (R) такие, что U (R) = GH, GnH = {1}. Тогда существуют идеалы I и J кольца R, для которых R = I 0 J, Е (I) С G С С (I), Е (J) С Я С С (J).
Лемма 0.2. Пусть R, S - ассоциативные кольца с единицей, ip : U (R) —> U (S) - изоморфизм групп, | Є R, \ Є S. Пусть в кольце R определена система идемпотентов {еі,Є2,єз} условием (0.1). Тогда существуют центральные элементы сц Є Z{S), в кольце S определена ортогональная система идемпотентов {hi,}i2,h^}, Yli=i^li — Iм
<р(1-2(ъ + ej)) = c{j (1-2 ( + hj)), 1 ^ і ф j ^ 3.
Теорема 0.1 и леммы 0.1, 0.2 составляют основные результаты первой главы. В доказательствах используются коммутаторные формулы с элементами 1 + e\rej и инволюциями 1 — 2 (ег- + ej), где г Є R, 1 ^ і ф j ^ 3. Их образы будут такого же вида. Далее, используя коммутаторные формулы над образами, от гомоморфизма групп осуществлен переход к
гомоморфизмам колец. В первой главе доказано, что изоморфизм групп обратимых элементов стандартный на элементарной подгруппе.
Результаты первой главы опубликованы в работах [16], [20].
Во второй главе описаны изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами с обратимой двойкой и содержащими плотную систему идемпотентов.
Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, сопряжениями т\ и т2 соответственно, \ Є Я, \ Є S. Пусть {fi Є R I 1 ^ і ^ 6} - плотная ортогональная система идемпотентов:
RfiR = R, fi-fj = 0, = 1, /?=Л+з, (0-2)
г=\
где 1 ^ і ф j < б, 1 < к ^ 3.
Пусть центр кольца R содержит обратимый элемент а такой, что (аап — 1) обратим в R.
Обозначим через U(R,n) = {А Є R | ATlA = AATl = 1} унитарную группу, через E(R,Ti) - ее подгруппу, порожденную элементами 1 +
firfj - (/гГ/;)Гі, ГДЄ Г Є Я, 1 ^ %ф j ^ 6.
Пусть / - идеал в R. Обозначим через E(R,I,T{) нормальный делитель в E(R,ti), порожденный элементами 1 + firfj — {firfj)n, где г Є /, 1 ^ і' Ф j ^ б, через С (і?, /, ті) - прообраз центра при каноническом гомоморфизме (pi : U (R, т\) —> U (R/I,ti).
Пусть {9і Є S I 1< і ^ 6}, U (5, т2), Е (S, т2), Е (S, J, т2), С (5, J, r2) -второй набор объектов с аналогичными свойствами.
Следующие леммы имеют вспомогательный характер.
Лемма 0.3. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и сопряоїсепием т, \ Є R. Пусть центр кольца содероісит обратимый элемент а такой, что (ааТ — 1) обратим в R. Пусть е2 = є Є R, ReR = R, еТ = 1 — е. Пусть а Є U (R, г), а2 = 1 и а перестановочен со всеми элементами из U (R, т). Тогда а = 1 — 2/, f2 = fZ (R).
Лемма 0.4. Пусть R - ассоциативное кольцо с единицей и сопряоїсеиием т, \ Є R. Пусть {ег- Є R | 1 ^ г ^ 6} - система иделіпотептов, определенная условием (0.2). Пусть G, Н - нормальные делители группы U (R,t), G ф Н — U(R,t), G Г! Н = {1}. Тогда существуют идеалы 1 и J кольца R, для которых R = I@J,IT = I, JT = J, Е(1,т) С G CC(R,I,t), E{J,t) С Н С C{R,J,t).
Лемма 0.5. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, сопряоїсеииями т\ и Т2 соответственно, h Є R, І Є 5. Пусть {а Є Я | 1 ^ і ^ 6}, {gk Є S | 1 ^ k ^ 6} - две системы идемпотентов, определенные условием (0.2). Пусть <р : U(R,Ti) —» U (S, Т2) - изоморфизм унитарных групп. Тогда существуют центральные элементы cij и ортогональная система идемпотентов [h є S I Y%=i hi = 1, h? = hi, 1 ^ і ^ з} такие, что if (і-2 (e{ + ер + є, + є}1)) = cfj (1-2 (Л,- + /ij)), gJe 1 < і ф j < 3.
Основным результатом второй главы является
Теорема 0.2. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, сопряжениями Т\ и Т2 соответственно, | Є R, \ Є S. Пусть tp : U (R, Т\) —> U (5, Т2) - изоморфизм унитарных групп. Тогда существует изоморфизм колеи, 9 : R —> S такой, что <р (А) = О (А) для всех AeE(R,Ti).
В доказательстве используются коммутаторные формулы с элементами 1 + eircj — {eirej)n и инволюциями 1 — 2 (ег- + ер + Cj 4- ej1), где г Є R, Т\ - сопряжение в R, 1 ^ і ф j ^ 3. Доказано, что их образы будут такого же вида. Операция над образами любых двух элементов приводит к тому же результату, что и образ результата операции над этими элементами. Используя коммутаторные формулы над образами, от гомоморфизма групп легко перейти к гомоморфизмам колец.
Результаты второй главы опубликованы в [19], [22].
В третьей главе исследован гомоморфизм групп матриц второго порядка.
Пусть R и S - коммутативные кольца с единицей, | Є R, | Є S, ^ Є R. Пусть GL,2 {R) - группа обратимых матриц над R, Е^ (R) - ее подгруппа,
{ 1 0\ {1 г\
порожденная матрицами I ,1 I, где г Є it.
В третьей главе доказана
Теорема 0.3. Пусть R и S - коммутативные кольца с единицей, \ Є R, 2 Є S, з Є R. Пусть <р : GLi (R) —> GL2 (S) - гомоморфизм групп и кольцо R порооїсдается обратимыми элементами. Тогда существует ортогональный идемпотент є Є М2 (S) и гомоморфизм колец в : М.2 {R) —> еМ2 (S) такие, что ц> (А) = в (А) е + (1-е) для всех А Є E2(R).
Кольца частных и процесс локализации, связанный с их конструкцией, является важнейшим техническим средством коммутативной алгебры. Поэтому 15 доказательстве были использованы локализации кольца S по системам (1 + 1) , где / - максимальный идеал в S. Показано, что трансвекции переходят в трансвекции и гомоморфизм груші индуцирует гомоморфизм колец.
Результаты третьей главы опубликованы в [17].
В четвертой главе диссертации описаны изоморфизмы линейных групп над ассоциативными кольцами без |, содержащие плотные вложения матриц четвертого порядка над кольцом целых чисел.
Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей. Пусті» \ eij Є R I ReuR = R, ^2i=i єц ф 1, 1 ^ i,j ^ 4 > - плотная система матричных единиц, g2 — g Є S, SgS = S, S (1 — g) S = S. Пусть U (R) - группа обратимых элементов, E (R) - ее подгруппа порожденная элементами 1 + єцг (і — єц), 1 + (1- єц) ге,-,-, где г Є R, 1 ^ і ^ 4.
Имеют значения
Лемма 0.6. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, <р : U (R) —» U (S) - изоморфизм групп обратимых элементов. Пусть І Єц Є R I ReuR = R, Хл=і e" Ф *> 1 ^ bj ^ 4 > - плотная система матричных единиц, є2 = є Є S, SeS = S, 5(1 — є) 5 = S. Пусть
Лі = {3fc І к Є Z, к > 0} - мультипликативная система, S\ — SA~{1 -кольцо частных кольца S относительно А\, т : S —ї Si - канонический гомоморфизм. Пусть R' = < J2i=i enreu I г Є R >, М4 (Л') - кольцо (4x4)-матриц. Тогда существуют идемпотепт f Є Si, кольцевой гомоморфизм ві : М4 (R') -> /1S1/ и кольцевой антигомоморфтзм 02 : Mj (і?') —> (1 — f) Si (1 — f), такие, что
np (A) = 0i (A) + 02 (A-1) + 1 - 0i (1) - 02 (1) Ли* всея А Є EA (R').
Теорема 0.4. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, <р : U (R) —> С/ (5) - изоморфтзм групп обратимых элементов. Пусть < Cij Є R I ReuR = R, Yli=i еаФ^-і 1 ^ hj ^ 4 > - система матричных единиц, e2 = є Є S, SeS = S, S (1 — e) S = S. Пусть M\ (R') - кольцо (4 x 4)-матриц над R' = < Х^'=і єцгєц \ г Є R >. Тогда существует идемпотепт f Є S, кольцевой гомоморфизм 0i : М± (Rr) —> fSf, кольцевой антигомоморфтзм 02 : М\ (R') -)-(1-/)5(1- /), такие, что
ip {А) = 01 (А) + 02 (Л-1) + 1 - 01 (1) - 02 (1) для всех АєЕ4 (#').
Основным результатом четвертой главы является
Теорема 0.5. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, (р : U (R) —> U (S) - изоморфтзм групп. Тогда существуют центральные идемпотеиты е и f колец R и S соответственно, кольцевой изоморфтзм 01 : eR -» fS и кольцевой аитиизоморфшзм 02 : (1 — е) R —> (1 — /) S, такие, что
ip (А) = 01 (еА) + 02 ((1 - е) А-1) для всех А Є Е (R).
В доказательствах этих утверждений рассмотрены кольца частных и применен метод инволюций связанный с элементами третьего порядка
1 — 2бц — Є22 + Єі2 — Є2Ь
Результаты четвертой главы опубликованы в [18]. Полученные результаты позволяют перенести описание изоморфизмов с матричных групп, в частности, на сетевые подгруппы в матрицах
и некоторые другие подгруппы в матрицах, содержащие инволюции, отвечающие плотной системе идемпотентов.
Приведем примеры изоморфизма линейных и унитарных групп над сетевыми подкольцами.
1. Изоморфизм линейных групп.
Пусть M/tx/j (R) - кольцо (h х /г)-матриц над R. Пусть
R\= <
^,%СМ,1Х/|(Д), l^jj^k
- множество блочных матриц. На главной диагонали находятся элементы А3 С Mpjxpj(R), р> ^ 3, '}2j=iPJ = h. На остальных местах Bji С Mpjxjj (R) - матрицы над идеалами Iji кольца R, Ijj = R, Iji I[q С Ijq. Выберем идемиотеиты еі, Є2, ез следующим образом:
+
'7Ш
ез,
где e\z Є Л-7, 1 < z < n, n = max {p1,... ,pfc}. Для диагонального подкольца
( /A1 0
0 A2
D= <
IV о о
0 \
Ak )
I^CM^M, l выполнено условие D С Ri С Mh (R). Пусть U (Ri) - группа обратимых элементов кольца R\. Тогда Ri - сетевое иодкольцо, eq Є Ri, RieqRi = Ri, 1 ^ q ^ 3 и изоморфизм —^ U (Si) будет стандартным, где Si - кольцо с аналогичными свойствами. 2. Изоморфизм унитарных групп. Пусть M2hx2h {R) - кольцо (2Л х 2/г)-матриц над R, т\ - сопряжение в R, (М2Лх2Л (Д)Г = M2hx2h (R) И R\ = < Aj,BjiCM2hX2h(R), l^j,l^k - множество блочных матриц. На главной диагонали находятся А7 С M2]>jx2}>> (R), Р7 ^ 3, Ylj=\V^ — 9- На остальных местах Bji С M2[}jx2i/ ~ матрицы над идеалами Iji кольца R, Ijj = R, Iji Iiq С Ijq. Выберем идемпотепты еі, Є2, ез, Є4, Є5, ее следующим образом: е11 + е11 + + е11 = еь '22 + Є^2 + + Є22 = Є2, + ... 4- е33 + + епп + . ' "ті ^3? еп+1,п+1 ^ Єп+1,п+1 + + еп+1,п+1 = е*Ь Єп+2,п+2 + еп+2,п+2 + . . + Єп+2)П+2 = Є5, , еп+3,п+3 + + еп+3,гг+3 + + є2ті,2п + + е2н,2н = eG> «4 Aj,l^z^ 2п, п = max {р1,... ,pfc}, (^J = e]l+tn+t, l^t^ n, e4 = (ei)ri, e5 = (e2)Tl, e6 = (e3)Tl. Для диагонального иодкольца Г /А1 О О А2 D= < IV о О О \ Ак J Aj CMVxV№), 1 ^І< к ВЬІІІОЛИеіІО уСЛОВИе D С Ri С M.2hx2h (R)- Пусть U{Rhn) = {С Є M2hx2h{R)\CnC = ССп = 1} - унитарная группа. Тогда R\ - сетевое подкольцо, е(] Є R\, R\eqR\ = R\, 1 ^ q ^ 6, и изоморфизм ip : U {R\,T\) —> U (S\,T2) будет стандартным, где 5i, Т2 -второй набор объектов с аналогичными свойствами. Выражаю самую искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Голубчику Игорю Захаровичу за постановку задач, постоянное внимание к работе и полезные обсуждения. Раскладывая далее в прямую сумму, можно считать с = ±1. Выделим следующие случаи: 1) Все Є{ равны между собой, тогда (1 — 2/j) д - центральный элемент. Рассмотрим следующую систему идемпотентов: h\ = fig І h2 = hg\ / = (/3 + /4) g , cu = 1, ci3 = c23 = 1 - 2/i4. Тогда p(l-2 {ЄІ + efj) = (1-2 {hi + fy)) Су. 2) Если Є! = 1, є2 = e3 = -єь то р 1 (1 - 2/4) (1-2 (е2 + е3)) / = / . Откуда /4 = 0 и получаем противоречие с условием Є\ = —е2. 3) Если єі = -1, є2 = є3 = -єі, то р 1 (1 - 2/4) (1-2 (е2 + е3)) / = -/ . Следовательно, (1 — 2/4) = с (1 — 2 (/2 + /з)), с Є Z (5). Таким образом, с/4 = -/4, откуда с = -1, /і = 0. ЕСЛИ ЖЄ /її = /4 /, Л2 = /з# , 3 = Ы, с32 = 1, сіз = Сі2 = -1, то у? (1 — 2 (ЄІ + є,)) = Cij (1-2 (ЛІ + fy)). Лемма доказана. 2. Описание изоморфизмов групп обратимых элементов Теорема 1.1. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, \ Є R, Є S. Если есть изоморфизм групп обратимых элементов р : U {R) —» U {S), то существуют разлооїсеиия R = і?іфЛ2, S — іФ52, кольцевой изоморфизм в\ : R\ — S\, кольцевой антиизоморфизм 02 : Я2 — 52, центральный идемпотсит е = (1,0) Є і?і ф і?2, такие, что (р (А) = ві (еА) + 02 ((1 - е) Л-1) (?лл всеж Л Є Е (R). Доказательство. Пункт 1. Докажем, что справедлива формула р (1 + eirej) = I + ві (eirej) - в2 (eirej), l zVi 3, (1.14) где 0i (eirej) = }ц0\ (eirej) hj, 02 (eirej) — hj02 (егге,-) }ц, и выполнены условия: 01 (eirejsek) = 0i {eirej) 0i (ejsek), 02 (eirejsek) = 02 (ejsek) 02 {eirej), (1.15) при различных і, j, k; 0i {eirej) 02 {ekset) = 0, 02 {ekset) 0i {e{rej) = 0, если і ф k, j ф t. (1.16) Известно, что 1 +е\а е2 Є E{R). Легко видеть, что На этом доказательство первого пункта завершено. Пункт 2. Из условий (1.15), (1.16) мы получаем, что 0i и 02 однозначно определены на диагонали и 0i : R —» eiS - гомоморфизм колец, где е\ = 01 (1) - центральный идемпотент кольца R. Из формулы (1.14) следует ср(А) = в1(А) + 92(А-1), (1.29) для всех А Є E(R). Пусть I, J - идеалы кольца S, I = e\S, J = (1 — ei)5, I (В J = S. Положим G = -1 (U (5, 7)), Я = v?"1 (Я (5, J)). Из леммы 1.1 E (R, eR) CG, (Я, (1 - e)R) С Я, где є - центральный идемпотент кольца і?. Пусть В EE(R,eR). Тогда /?(Я) - 1 Є І = eiS. По формуле (1.29): (5)-1 = 01( -1) + 02(5 -1), где 01 (В — 1) e\S, 02 (Я-1 — і) Є (1 — еі)5. Следовательно, 02 (Я-1 - 1) = 0, eR С if ег02. Аналогично, (1 — е)Я С Кегві. Поскольку /? - изоморфизм групп, то но формуле (1.29), Кегві П Кегв2 — 0. Таким образом, eR = Кегв2, (1 - e)R = Кегвь Кегві Є Кегв2 = R. Проведя аналогичные рассуждения для отображения -1, получим, что 7m0i ІШ02 = S. Это завершает доказательство теоремы. В настоящей главе описаны изоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами с обратимой двойкой и содержащими плотную ортогональную систему идемпотеитов. Новым здесь является то, что, как и в первой главе, идемпотенты не сопряжены. Также как в работах Голубчика И.З. и Михалева А.В., в отличие от работ Зельманова Е.И., наложено условие на центр. В первом параграфе сформулированы и доказаны леммы, играющие вспомогательную роль. Во втором - получено описание изоморфизма унитарных групп над ассоциативными кольцами. Этот результат, в частности, распространяется на ортогональные и симплектические группы. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, сопряжениями т\ и Т2 соответственно, \ Є R, \ Є S. Пусть {/І Є R I 1 і 6} - плотная ортогональная система идемпотеитов: б RfiR = R, /«/,- = 0, /i = l, /?=Л+з, (2.1) І=І где 1 і ф j 6, 1 к 3. Пусть центр кольца R содержит обратимый элемент а такой, что (aaTl — 1) обратим в R. Обозначим через С/(Л, т\) — {А Є R \ АпА = ААп = 1} унитарную группу, через E(R,T\) - ее подгруппу, порожденную элементами 1 + firfj - (firfjY1, где г Є R, 1 гф j 6. Пусть / - идеал в R. Обозначим через E(R,I,T\) нормальный делитель в E(R,TI), порожденный элементами 1 + firfj — (firfj)4, где г Є /, 1 г ф j 6, через С (Я, /, ті) - прообраз центра при каноническом гомоморфизме (pi : U (R, т\) — U (R/I,TI). Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей. Пусть {eij R\l i,j 4}- система матричных единиц такая, что 53 ец ф 1, ReuR = R. Пусть g2=geS,S(l-g)S = S, SgS = S. Пусть U (R) - группа обратимых элементов, Е (R) - ее подгруппа порожденная элементами 1 + ЄЦГ (1 — ЄЦ), 1 + (1- ец) гец, где г Є й, 1 і 4. Лемма 4.1. Пусть S - ассоцгштивиое кольцо с единицей, Є S, a, b 6 5, а2+а+1 = О, Ь2 = 1, bob = а2. Тогда существует {с.ц Є S 1 i,j 2} - полная система матричных единиц такая, что b — cyi + Є21, а = -ец - е2і + Єі2. Лемма 4.2. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единящей, п 4, {eij Є Мп (R) 1 i,j n}; t = {fij Є S I 1 i, j 2} - системы матричных единиц, St = {/21S/12 + /us/11 s Є 5} - диагональное под-кольцо, Si - подкольцо в St, S - централизатор кольца Si в St, С (R) центр кольца R, ф : Еп (R) —» U (S) - гомоморфизм групп, ф (1 + гец) = 1 + (г), Gi = {а Є Д„ (С (Д)) а Є 1 + (Єц + е22) М„ (Л) (еп + е22)} , С2-{1 + г(еіз + е24) гЄ Д}, Яі = {heU(S)\ h = eifu + 2/22 + (1 - /11 - /22)/1(1 - /n - /22)}, #2 = fa U (S) $ = a/11 + b/12 + c/21 + a/22 + I-/11- /22} , где Є\,Є2 Є S , a,b,c,d Є Si. Пусть далее ф (Gi) С ІУЬ ф (G2) Q Н2 и существует элемент а G\ такой, что для Ь = /цф (a) /i2 (а-1) /21, Ь2 — /и - неделитель пуля в кольце /nSf. 7Ъг ?а X?J- (г) Х ш (s) = 0 для всех r,s R, I i,k 2, 3 j,m 4. Лемма 4.3. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, п = 4, р : 4 (R) — U (S) - гомоморфизм групп, ip(l + гец) = 1 + Хц (г) для всех г Є R, 1 г ф j n, w пусть Xij (Г) Xifc («) = О, Х (г) Xfci (5) = 0, r,sR,i j,i k, (4.1) Хгі (г) Хц (s) - 0, r, s Є Я, 1 і, і, , / п. (4.2) Тогда существуют /2 = / Є S, кольцевой гомоморфизм 9\ : М\ (R) — /S/ м кольцевой антигомоморфизм 02 : М4 (і?) — (1 —/) S (1-/), такие, что р(А) = 9\ (А) + #2 ( _1) + 1 — #і (1) — #2 (1); я осея; Ле4(Я). Лемма 4.4. Пусть М2 (S) - ассоциативное кольцо с единицей, \ Є M2(S), a,b,c Є M2(S), a2 = b2 = с2 = 1, ab = ba, c lac = b. Тогда существует система матричных единиц t = {дц 1 i,j 2} такая, что ab = 1-2 (011+022), 6=1- 2#22 + Ьь с = 0І2 + #21 + сь гс?е 6і, Сі Є (1 - 011 - 722) М2 (S) (1 - 011 - 022). Лемма 4.5. Пусть S - ассоциативное колгщо с единицей, С (S) - центр кольца S, є, А Є C(S), г Є S, Ar - неделитель нуля в S, є2 = 1, Н -подгруппа в GL2(S)? порооїсдепная элементами [l + Arrei2,ei2 + ЄЄ21], еі2 + Є2ь для всех г Є R. Тогда централизатор группы Я в кольце М2 (S) совпадает с центром кольца М2 (S). Достаточно полные доказательства лемм 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5 можно найти в работе [43]. Лемма 4.7. Пусть R и S - ассоциативные кольца с единицей, Lp : U (R) — / (S) - изоморфизм групп обратимых элементов. Пусть \ eij Є R I ReaR = R, X =i ea Ф -і 1 г?І 4 - система матричных сть единиц, е = е S такой, что SeS = S, S (1 — е) S = S. Пу Лі = [Sk I к Є Z, k 0} - мультипликативная система, S\ = SA 1 -кольцо частных кольца S относительно Ai, т : S — S\ - канонический гомоморфизм. Пусть R = \ ]СІ=І епгеи \ г Є R(, М\ (R ) - кольцо (4 х 4)-матриц. Тогда существуют идемпотеит / Є Si, кольцевой гомоморфизм ві : М4 (R ) - fS\f и кольцевой антигомоморфизм 6 М.\ (R ) — (1 — /) 5i (1 — /), такие, что rip (А) = Єї {А) + 6 2 (А-1) + 1 - ві (1) - 6 2 (1) d/ія всея А Є Е+ {R ). Из (4.5) и определения кольца TJ получаем, что (4.12) fijfst = fstfij, иКі,і 2, 3 5,t 4. Из равенств (4.G) видим, что ст/гу = fijCm, cm/i+2j+2 = /;+2,j+2Cm, где Пункт 1. Докажем, что е\Є2 = 0. Пусть 9ij = /ij/33j # J+2 = Л7/34» (4-13) Рг+2,і = /гі/43, 9i+2,j+2 = fijfu, (4-14) где 1 г ,.7 2. Из формул (4.11), (4.12), (4.13), (4.14) получаем, что 3 = {gst l s,t 4} - полная система матричных единиц кольца еіЄ2»$іЄіЄ2. Элементы Ylast9st будем изображать в виде матриц. Из равенств (4.9), (4.10), (4.11), (4.13), (4.14) получаем: Л = (езз + ей) h (е3з + е44) + (1 - езз - Є44) h (1 - е33 - е44), [/і, 1 - еп - е22 + Є12 + е2і] Є 1 + (1 - Є33 - е44) Мп (R) (1 - е3з - Є44) , [h, 1 - ЄЦ - Є22 + Єі2 + Є21, 1 - Єзз - Є44 + Є34 + Є43] = 1. Тогда из (4.4) для любого d Є U (5), лежаїцего в централизаторе элементов (1 — 2езз — Є44 + Є34 — Є43) и р (1 — 2 (езз + Є4і)), получаем, что [r(d) ,bhb2] = 1. Пусть x Є S, такой, что 3_A;ir (ж) = -ді2+ди 9з2, где Qij из (4.13), (4.14). Тогда г (ж2) = 0, 32 = 0, di = 1 + 3 Є U (S). Тогда Приравнивая в последнем равенстве элементы на месте (1,4) получаем, что A#i4 = 0. Следовательно, 0 = Л Yli=i 9н — е1е2; т.к. Л - обратимый в S\. Значит, е\Є2 = 0. Пункт 1 завершен. Положим СЗ =Т(р(1 — ЄЦ - Є22 - Єзз - Є44 + Єі3 + Є24 + Є31 + Є42) , ei = 1 - - (1 + ai + af) , e2 = 1 - - (l + a2 + 0 . Тогда c = 1, c3aic3 = a2, c36ic3 = 62, c3cic3 = c2, c3eic3 = e2, c = 1. Из равенств е\Є2 = 0 и (4.11), элементы {Д, /z+2j+2 1 f,j 2} можно дополнить до полной системы матричных единиц {fst 1 s,t 4} кольца (ei + е2) 5i (ei + е2) так, что СЗ = /l3 + /24 + /зі + /l2 + (1 - Єї - Є2) С3 (1 - Єї - Є2) . Элементы "52І j=\ Qijfij, где «jj Є 5 будем изображать в виде матриц. Из (4.6) с\ коммутирует с кольцами Tj, 1 j = 2, и значит, с\ коммутирует е /ij, /i+2,i+2, где 1 г, і 2, следовательно, Множество элементов д Є U (R), которые коммутируют с элементами 1-2 (ец + Є22 + Єзз + Є44), 1 - 2ец - Є22 + Єі2 - Є21 - 2е33 - Є44 + е34 - Є43, 1 — ец - Є22 + еі2 + егі — езз _ Є44 + Є34 + Є43 обозначим через Gz- Тогда из (4.3), (4.4), (4.5) т р(д) коммутирует с а\а2, bib2, с\с2, и элементы 1 + /із+ /24, І + /31 + /24 коммутируют с aia2, hb2, ас2. Но из (4.3), (4.4), (4.5) ai 22 = Tip (1 - Єц - Є22 + Є12 + Є21 - 2e33 - Є44 + Є34 - Є43) , Ьф2 = Tip (1 - Єц - Є22 + Єі2 + Є21 - Єзз - Є44 + Є34 + Є43) , СіС2 = гір (1 - 2 (єц + е22 + езз + Є44)) . Также как в пункте 1 получаем, что существуют xi,x2 S, х\ = О, 2 _ х О, Л = 3fc, такие, что (1 + х{) = ip (д{), (1 + х2) = р (д2), 9и92 Є G3 и rip (gi) = 1 + Л (/із + /24), Tip (g2) = 1 + A (/31 + /42)-Пусть А Є Gi, тогда Л/ІЛ/І коммутирует с С?з, где її = 1 - ЄЦ - Є22 - Єзз - Є44 + Єіз + Є24 + Є31 + Є42. Таким образом, получаем что тер (А) тір (h) гір (А) тір (h) коммутирует с А2 (/зі + /42) (/із + /24) = А2/І22- Поскольку A2 = 32fc, а 3 - обратимый элемент в S, то тір (А) тір (її) тір (А) тір (її) коммутирует с h22, и так как тір (А) - обратимый элемент кольца S, то Tip (h) тір (А) тір (h) h22 = h22Tip (h) тір (A) Tip (h). Ho h2 = 1. Значит, тір (h) Іі22тір (h) = h\\ и тір(А)1і\\ = Ііцтір(А), для всех А Є G\. Итак, Tip(G{) С H\. Пункт 2 завершен. Положим Gz = {асас а Є G\, с = 1 - еп - е22 - е3з - е44 + еіз + е24 + e3i + е42} . Из того, что Tip (Gi) С Н\, если д Є тір ((?з), т0 9 = eghn + e(Jh22 + (1- /ІЦ - h22) g(l- hn - h22), (4.20) где єд Є St. Пусть G4 = {1 + r (еіз + e24) \r Є R}. Так как 0 1 0 г 0 0 10 \0 0 0 1 / с с/ 0 0 0 0 а 6 \ 0 0 с с/У /ab00\/l0r0\ / 1 0 г 0 \ 0 1 0 г 0 0 10 \0 0 0 1 / /а И 0\ с с/ 0 0 0 0 а 6 V 0 0 с с?/ где a,b,c,d Є С (і?), г Є R, то [С?з, d] = 1. Таким образом, получаем т /? (1 + г (еіз + Є2і)) коммутирует с а\а2 и 1 — ((аіаг) + i«2 + і) = /ill + /i22- Значит, Т (1 + Г (еіз + Є24)) Коммутирует С /in + /i22 И Tt (1 + Г (еіз + Є24)) = х\ (г) уі (г) 2/2(0 Е2(г) + г (г), (4.21) где xi (г), Х2 (г), г/1 (г), г/2 (г) Є Sj, z (г) Є (1 - hn - h22) Si (1 - hu - h22). Следовательно, x\ (r), z2 (r), /i (r), 2/2 (г) коммутируют с e5, (4.22) для r Є R, g Є rip ((. И кольцо Sj, где t = {/ 1 і, j 2}, является кольцом (2 х 2)-матриц над кольцом St, где t = {Д,- 1 i, j 4}. Пусть (л = I U2= eSj. Тогда ai = f 1 x )+1-/111- Л22, «2 = f Q j + 1 - /Hi - /122 (4.23) и из (4.17), (4.18) h = ( Є 2 )+(1-/111- /122) 61 (1 - hn - h22), b 2 = ( и I + (1 - Л" - M i (1 - /111 - /122) -Из (4.3), (4.4) aia2,M2 Є ту ( 32), из (4.22), (4.23) xi (r)»2/1 (r)) 2 (r), г/2 (г) коммутируют с 7i и cr2. (4.24) Пункт 3. Покажем, что у\ (г) г/2 (s) = г/2 («) г/і (г) = 0, для всех r,s Є R, ГДС J/i (0 5 2/2 (г) из (4.21). Действительно, a 0 \ / 1 г \ / a"1 0 \ _ / 1 ar\ О I ) \0 1 ) \ 0 1 ) \0 1 I 1 s\ f 1 ar\ _ I 1 or\/l s oijl o і у \ o 1 J \ 0 1 Из (4.3) элементы а\Тір (1 + r (еіз + e2.i)) a-1 HT (1 + S (еіз + Є24)) коммутируют, и из (4.21), (4.23), (4.24) xi(s) г/1 (s) \ I xi(r) о-іг/1 (r) 2/2 (s) 2 (s) У V 2/2 W o-f1 x2 (r) У2 (г) ох х2 (г) J у г/2 («) ж2 (s) Кроме того элементы ту? (1 + г (еіз + Є24)) и тер (1 + S (віз + Є24)) коммутируют, из (4.21) х\ (s) Уі (s) \(xi (г) 2/1 (r) \ = f xi (r) 2/1 (r) \(x (s) 2/1 (s) 2/2 (s) #2 (s) у у 2/2 (г) ж2 (г) у у у2 (г) z2 (г) J \ У2 (s) #2 (s) (4.26) Вычитая из равенства (4.25) равенство (4.26) и приравнивая элементы на местах (1,1) и (2,2) из (4.25) получаем, что ( Г1 - 1) У1 (в) 2/2 (г) = ( п - 1) 2/1 (г) 2/2 (в), (4.27) (oi - 1) 2/2 (5) 2/1 (У) = (сі1 - 1) 2/2 (г) 2/1 (s). Аналогично, рассматривая вместо ai элемент а , получаем ((Л - 1) 2/1 (5) 2/2 (г) = (erf1 - 1) 2/1 (г) 2/2 ( ), (4.28) (of1 - 1) 2/2 (s) 2/1 (г) = (01 - 1) 2/2 (г) 2/1 (s). Далее, (а\ — 1 + erf1 — l) = I 1. Значит, складывая равенства (4.27) и (4.28), получаем, —3?/i (s) 2/2 (г) = —3?/i (г) 2/2 ( s). Но 3 - обратимый элемент в кольце Si и значит, 2/1 (s) 2/2 (0 = 2/1 (г) 2/2 (s). И из (4.27) (af1 -di) 2/1 (s) 2/2 W = 0. Далее, [ 2 1 1 {а\1 аі) = ( 0 3 ) тогда 32/1 (s) У2 (г) = 0, 2/1 (s) 2/2 (г) = 0. Аналогично, у2 (s) 2/1 (г) = 0. Пункт 3 завершен. Пункт 4- Покажем, что х\ (г) = гс2 (г) = 1, z (г) = 1 — /in — / 22, где г Є R. Действительно, (1 + г (еіз + Є24))- = 1 + г (ei3 + е2і) и из (4.21) яі W 2/1W [ жі (_г) 2/1 (_г) = ( 1 2/2 (г) ж2 (г) J у 2/2 (-г) ж2 (-г) у у 0 1 Следовательно, х\ (г) 2/1 (-г) + 2/1 (г) 2 (-г) = 0, 2/2 (г) жі (-г) + ж2 (г) 2/2 ( r) = 0. Отметим работы Далла [42], [41], в которых решается проблема описания автоморфизмов двумерных групп GL2, SL2, PGL2, PSL2 над произвольной областью целостности V. Аналогичные результаты получены в [42] для групп SL2, PGL2 и GL,2- Первоначальное предположение, что в характеристике 0 кольцо v должно содержать обратимые элементы, отличные от корней 4-й степени из единицы, ослаблено в [41]. Хан в работе [44] применил метод О Миры к проективным группам изометрий пространств с рефлексивной формой и развил -в размерностях 5 - единую теорию изоморфизмов их подгрупп, богатых проективными сдвигами. Идеи этой работы нашли отражение в главе 5 "Лекций" О Миры [64]. Из результатов работы [44] отметим теорию изоморфизмов для линейных, симнлектнческих и унитарных конгруэнц-групп и их проективных образов над областями целостности (в унитарном случае необходимо ограничиться арифметическими областями), не зависящую от характеристики кольца, индекса Витта и поля произвольной характеристики (все это в размерностях 5). Для ортогональных групп, не рассмотренных в работе [44], соответствующая теория была развита Ханом в [45]. Автоморфизмы ортогональных групп над полем F характеристики 2 исследовал Коннорс [37], [38]. В работе [37] он рассмотрел полную ортогональную группу, ее группу вращений, коммутант и ядро снинорной нормы. Автоморфизмы этих групп изучались ранее Дьедонне [40], Стейнбергом [75], Сю Чжеиь-хао [78] и Хамфрисом [49] при различных ограничениях на поле или геометрию пространства. Теорию изоморфизмов для конгруэнц-подгрупп классических групп продолжал разрабатывать Солацци. В статье [74] он доказал, в частности, что симилектические и унитарные конгруэнц-группы над областями целостности характеристики ф 2 не изоморфны, если их индексы Витта В исключительном двумерном случае автоморфизмы конгруэнц-групп исследовал Ю.И. Мерзляков [23]. В этой работе построен также пример, показывающий, что если идеал і не квазирегулярен, то группа может иметь нестандартные автоморфизмы. Это говорит о том, что построение теории автоморфизмов двумерных групп, богатых трансвекциями, является нелегкой задачей. Помфрэ и Макдопальд в работе [G7], используя теорему Капланского [51], утверждающую, что проективные модули над локальным кольцом свободны, определили автоморфизмы группы GLn (n 3) над коммутативным локальным кольцом, в котором 2 обратимый элемент. Продолжая тему, начатую работой [G7], Маккии и Макдопальд [60] исследовали автоморфизмы симплектической группы Spn над локальным кольцом. Автоморфизмы этой группы над произвольным полем были найдены Хуа Ло-геном [46], затем Райнер [G8] описал автоморфизмы Spn над кольцом Z, а Янь Ши-цзянь [80] и О Мира [G2] - над произвольной областью целостности. Для коммутативного кольца R с элементом \ при п 3 изоморфизм группы GLn (R) был описан в [77]. В.М. Петечук [28] получил тот же результат при условии п 4. Особый интерес представляет случай \ . R, п = 3, когда могут возникнуть нестандартные изоморфизмы. Для локальных колец они рассмотрены В.М. Петечуком в [27], для любого коммутативного кольца - Ф. Ли и 3. Ли [54]. Ю.В. Сосновский [29] распространил теорию О Миры [G5] изоморфизмов линейных групп на случай размерностей п = 3,4. В работе [30] описаны изоморфизмы богатых подгрупп симплектической G группы над нолем. Г.А. Носков [26] описал автоморфизмы группы GLn(v), где v - коммутативное кольцо с единицей и обратимым элементом 2, не порождаемое делителями нуля, причем пространство Max (v) его максимальных идеалов, снабженное топологией Зарисского, нётерово и имеет конечную комбинаторную размерность, а п 2 + dim Маж (v). Глубокие результаты получены Михалевым А.В., Голубчиком И.З. и Зельмановым Е.И. Ими исследованы изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами матриц. Голубчиком И.З. и Михалевым А.В. в [8] получено описание изоморфизмов линейных груші над ассоциативными кольцами с . Аналогичный результат получен Е.И. Зельмановым в [15] при условии т 2. В [12] описан изоморфизм группы GL i над кольцом с обратимыми элементами 2 и 3. В [43] описан изоморфизм группы GLn (R) при п 4 над кольцом матриц. Результаты работы [9] позволяют описывать автоморфизмы унитарных групп над ассоциативными кольцами в случае, когда гиперболический ранг формы q 1 и п 5. Для локального кольца этот результат получен Д. Джеймсом [50]. При п = 2k, к 3 и гиперболический ранг формы q максимален, автоморфизмы унитарной группы описаны Е.И. Зельмановым с помощью специализаций некоторых йордаповых систем. - Систематическое изложение полученных результатов об автоморфизмах классических групп можно найти в обзорных статьях Ю.И. Мерзлякова и О. О Миры. Основная цель диссертации - пользуясь методом инволюций описать изоморфизмы линейных и унитарных групп над ассоциативными кольцами, содержащими плотную систему идемпотептов.Описание изоморфизмов групп обратимых элементов
Описание изоморфизмов унитарных групп
Инволюция в группе матриц второго порядка и гомоморфизм
Изоморфизмы линейных групп над кольцами без
Похожие диссертации на Изоморфизмы линейных и унитарных групп над кольцами
