Содержание к диссертации
Введение
1 Общие сведения о почти вполне разложимых группах 33
1.1 Основные определения и обозначения 33
1.2 Предварительные сведения 39
2 Почти вполне разложимые группы с примарным регуляторним фактором и их кольца эндоморфизмов 47
2.1 Кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-групп с примарным регуляторным фактором 47
2.2 Регулятор группы EndX+ блочно-жесткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором 54
2.3 Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жесткой пвр-группы с примарным регуляторным фактором 64
2.4 Цепи из групп и их колец эндоморфизмов 75
2.5 Уровневая структура кольца EndX блочно-жесткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором 84
2.6 Прямые разложения ивр-групп с регуляторным фактором — элементарной р-группой 89
3 Почти вполне разложимые группы с циклическим регуляторным фактором и их кольца эндоморфизмов 109
3.1 Общие сведения о пвр-группах с циклическим регуляторным фактором 109
3.2 Классификация блочно-жестких почти вполне разложимых групп с циклическим регуляторным фактором 116
3.3 Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жесткой црф-группы 132
3.4 Уровневая структура кольца EndX блочно-жесткой црф-группы X с примарным фактором 144
3.5 Теорема Бэра-Капланского для блочно-жестких почти вполне разложимых групп с циклическим регуляторным фактором 149
3.6 Теоремы реализации и классификации для блочно-жестких коммутативных црф-колец с единицей 160
4 Связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов 188
4.1 Кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-групп 188
4.2 Булевы алгебры почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов 191
4.3 Двойственность определений почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов 196
5 Локально почти вполне разложимые группы 201
5.1 Почти изоморфизм абелевых групп без кручения счетного ранга201
5.2 Прямые разложения почти изоморфных локально почти вполне разложимых групп 229
5.3 Локально почти вполне разложимые группы с обобщенно циклическим регуляторным фактором 240
Литература 263
- Регулятор группы EndX+ блочно-жесткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором
- Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жесткой пвр-группы с примарным регуляторным фактором
- Классификация блочно-жестких почти вполне разложимых групп с циклическим регуляторным фактором
- Булевы алгебры почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов
Введение к работе
Актуальность темы
Абелевы группы традиционно являются бурно развивающейся в мире областью фундаментальной алгебры, в основания которой внесли свой вклад выдающиеся русские алгебраисты Л.С. Понтрягин, Л.Я. Куликов, А.И. Мальцев, А.Г. Курош, чьи традиции успешно продолжены в России работами И.С. Беккера, С.Я. Гриншпона, С.Ф. Кожухова, ПА. Крылова, А.П. Мишиной, А.А. Фомина, А.В. Яковлева и др., см. [46].
В последние десятилетия теория почти вполне разложимых групп выделилась в самостоятельную ветвь общей теории абелевых групп. Её истоки следует искать в давних результатах, в которых было открыто существование абелевых групп без кручения, не являющихся прямыми суммами групп ранга 1. В то время Александр Геннадьевич Курош в своей знаменитой книге "Теория групп" [18], писал: "Мы увидим позже, что вполне разложимыми группами далеко не исчерпываются все абелевы группы без кручения". Класс почти вполне разложимых групп, безусловно, является наиболее близким к классу вполне разложимых групп конечного ранга, так как состоит из групп, содержащих вполне разложимую группу в качестве подгруппы конечного индекса. Но, в отличие от вполне разложимых групп, однозначно с точностью до изоморфизма представимых в виде прямых сумм неразложимых слагаемых ранга 1, в классе почти вполне разложимых групп реализуется все многообразие неизоморфных прямых разложений, выраженное в терминах рангов слагаемых, которое существует в абелевых группах без кручения конечного ранга, см. [29], [30], [37], [39], [69]-[74], [93].
К первым известным примерам групп с неизоморфными прямыми разло-
Введение 6
жениями относятся группы, построенные Йонсоном в конце 60-ых годов прошлого века в [52, 53], и, таким образом, была отвергнута возможность изоморфных продолжений для любых двух прямых разложений произвольной абелевой группы без кручения конечного ранга, которая до этого являлась предметом обсуждения, что видно из работы Л.Я. Куликова [17]. Возникло новое направление исследований — изучение прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга, и в связи с этим появилось большое число примеров неизоморфных разложений, которые часто именовались патологическими разложениями.
Характерным для большинства примеров являлось то, что в них, часто не будучи так названными, рассматривались именно почти вполне разложимые группы. Значимость этого класса групп конечного ранга отражена в обзоре А.В. Михалева, А.П. Мишиной "Бесконечные абелевы группы: методы и результаты" [20], в котором также прослеживаются связи между различными понятиями эквивалентности и большое внимание уделено проблеме классификации абелевых групп без кручения и их прямых разложений. Невозможность классификации с точностью до изоморфизма привела к понятию почти изоморфизма в работах Леди [58] и [59], а затем к его развитию в новых, эквивалентных формулировках в книге Арнольда [32]. В отличие от квазиизоморфизма (см. В. Jonsson [52],[53], А.А. Фомин [26]), который стирает границы между разложимыми и неразложимыми группами (если последние не являются сильно неразложимыми), и потому не подходит для исследования прямых разложений, почти изоморфизм является удобным инструментом для их классификации. Свойство сильной неразложимости для абелевых групп и модулей, естественно, связано со строением их колец эндоморфизмов, см. А.А. Туганбаев [24]. Следует отметить, что теория некоторых классов мо-
Введение 7
дулей близка к теории абелевых групп, свидетельством чего является книга П. А. Крылова и А.А.Туганбаева "Модули над областями дискретного нормирования" , [9], а также ряд других публикаций, например, [21], [33], [45], [48].
Одними из самых емких и по-прежнему стимулирующих появление новых идей, реализованных, например, в [67], [97], остаются примеры прямых разложений групп конечного и счетного рангов, принадлежащие А. Корнеру, [43], [28, Теоремы 91.1, 91.2]. Наиболее общие выводы о прямых разложениях почти вполне разложимых групп были сделаны в работах Леди [57] и [58], но тем не менее картина их прямых разложений в целом представлялась хаотической.
Важную направляющую роль в общем процессе исследований абелевых групп сыграла монография Л. Фукса "Бесконечные абелевы группы" [28], и, в частности, четкие формулировки поставленных в ней проблем. Среди тех, которые были впоследствии успешно решены, оказались проблемы 67 и 68^ касающиеся возможных рангов неразложимых слагаемых, а также их числа в различных прямых разложениях одной и той же абелевой группы без кручения конечного ранга. Сформулированные в терминах натуральных чисел, эти проблемы решены теоремами, в формулировках которых используются тоже только натуральные числа, однако сами условия имеют сложную структуру и здесь не приводятся.
Теорема 0.0.1 (к проблеме 67)
Пусть 1 < п\ < П2... < ns < п — натуральные числа. Для того, чтобы существовала абелева группа без кручения ранга п, допускающая разложения в прямую сумму п\ неразложимых слагаемых, щ неразложимых слагаемых, ... ns неразложимых слагаемых, необходимо и достаточно, чтобы
Введение
п\ ^ q, где q = q(n, ns) — некоторое натуральное число, определяемое числами п и ns.
Точная формулировка Теоремы 0.0.1 содержится в работе Е.А. Благовещенской [74].
Теорема 0.0.2 (к проблеме 68)
Пусть п = г\ + Г2 +... + rs = 1\ + її +... + It, 1 < s,t < n,— два разбиения натурального числа п в суммы натуральных слагаемых, содержащие соответственно s' и t' единиц. Для того, чтобы существовала абелева группа без кручения ранга п, допускающая как разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых рангов г і, гг,..., rs, так и разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых рангов h,l2,---,lt, необходимо и достаточно, чтобы Т{ ^ г для всех і ^ s и Ц ^ I для всех j ^ t, где г = r(n11', t), I = l(n, s', s) — некоторые натуральные числа.
Точная формулировка Теоремы 0.0.2 содержится в работе Е.А. Благовещенской, А.В. Яковлева [73].
Теоремы справедливы для класса абелевых групп без кручения конечного ранга, но при доказательстве достаточности условий были построены группы из меньшего класса почти вполне разложимых групп, обладающие требуемыми прямыми разложениями. Изучение почти вполне разложимых групп приобрело особую важность, так как выяснилось, что этот класс содержит весь возможный спектр свойств прямых разложений, которые, естественно, связаны со свойствами колец эндоморфизмов представителей этого класса.
С другой стороны, эти группы являются частным случаем так называемых Батлеровских групп, то есть групп, которые являются эпиморфными образами вполне разложимых групп конечного ранга, [41], и они на протяжении уже
Введение 9
ряда десятилетий приковывают внимание многих математиков ([63], [65]). В частности, в [35] было показано, что группы Батлера являются сервантными подгруппами вполне разложимых групп. Внутри теории Батлеровских групп сформировалась самостоятельная теория почти вполне разложимых групп (almost completely decomposable groups). Она базируется на результатах теории вполне разложимых групп и теории конечных групп, и, таким образом, в своем развитии соединяет в себе две области абелевых групп, группы без кручения и периодические группы. Комбинация различных методов, в том числе, теории чисел и теории колец и модулей, также оказывается полезным инструментом исследования.
Достигнутый уровень развития теории почти вполне разложимых групп зафиксирован в книге Адольфа Мадера, которая так и называется "Почти вполне разложимые группы" ("Almost completely decomposable groups"). В частности, в нее [60, Глава 13] вошла теория почти вполне разложимых групп специального вида, с циклическим регуляторным фактором, построенная в работе [93]. Уже после выхода в свет этой книги было показано, что при некоторых дополнительных предположениях эти группы с точностью до почти изоморфизма определяются своими кольцами эндоморфизмов, что показано в работе Е.А. Благовещенской, Г. Иванова, Ф. Шультца [98]. Эта теорема вошла в монографии П.А. Крылова, А.В. Михалева и А.А. Туганбаева "Абеле-вы группы и их кольца эндоморфизмов" , [7, Теорема 25.12] и "Endomorphism Rings of Abelian Groups" , [56], в которых, как и в другой книге этих же авторов "Связи абелевых групп и их колец эндоморфизмов" [8], предлагается иной ракурс для рассмотрения абелевых групп. В них дается широкий охват результатов, относящихся ко всем ветвям теории абелевых групп, в том числе абелевых групп без кручения, и представлены они в тесной взаимосвязи
Введение 10
с их кольцами эндоморфизмов. Основой взаимопроникновения теории групп и теории колец в данном случае служит то обстоятельство, что кольца эндоморфизмов групп без кручения по отношению к операции сложения также являются группами без кручения. Аналогичный факт оказался верным и для более узкого класса, почти вполне разложимых групп, что показано в настоящей работе и по сути заложило ее фундамент. В этой связи следует отметить книгу И.Х. Беккера и С.Ф. Кожухова "Автоморфизмы Абелевых Групп без Кручения" , [2], в которой, в частности, рассматриваются условия, при которых автоморфизм регулятора (однозначно определенной вполне разложимой вполне характеристической подгруппы конечного индекса) порождает автоморфизм всей почти вполне разложимой группы.
Данное исследование относится к бурно развивающейся в последние десятилетия области алгебры, почти вполне разложимым группам, что подтверждается выходом в свет книги А. Мадера [60] в 2000 году, и методологически связано с монографией П.А. Крылова, А.В. Михалева, А.А. Туганбаева [7], появившейся в 2006 году и отражающей современный уровень исследований абелевых групп в целом. Настоящая работа посвящена установлению взаимозависимостей между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов, причем при изучении последних упор делается на их групповые свойства (кольцевые свойства колец эндоморфизмов групп без кручения в целом наиболее полно отражены в ряде работ П.А. Крылова [10]—[13]).
Имеется много примеров исследования абелевых групп с помощью двойственных подходов к различным классам групп. К наиболее красивым и эффективным можно отнести двойственные конструкции А.А.Фомина, [25], [27], а также категориальную двойственность, [47]. Открытая в диссертации двойственность определения почти вполне разложимых структур (групп и их ко-
Введение 11
лец эндоморфизмов) дает способ для доказательства ряда важных результатов.
Этот подход распространяется на введенный в последней главе класс локально почти вполне разложимых групп, состоящий из групп счетного ранга, все вполне характеристические сервантные подгруппы которых конечного ранга принадлежат классу почти вполне разложимых групп. Отметим, что локально почти вполне разложимые группы специального вида, не будучи так названными, обсуждались в упомянутой работе А. Корнера [43], (1969), в связи с их неизоморфными прямыми разложениями, полное описание которых получено только теперь с помощью нового комбинаторного (графического) метода. Важное для классификации почти вполне разложимых групп понятие почти изоморфизма также распространено на случай таких групп счетного ранга.
Прежде, чем описать цель работы, полезно обсудить (в отдельных случаях пока избегая громоздких строгих формулировок) некоторые известные факты, из которых естественным образом возникло данное направление исследования в теории почти вполне разложимых групп.
Итак, в данной работе рассматриваются почти вполне разложимые группы. То, что прямая сумма групп без кручения ранга 1 называется вполне разложимой группой объясняет название основного рассматриваемого здесь класса групп, поскольку почти вполне разложимой группой называется любая абелева группа X без кручения конечного ранга, которая содержит вполне разложимую подгруппу А так, что Х/А является конечной группой.
Любая почти вполне разложимая группа X ранга п содержит единственную вполне разложимую подгруппу R(X) конечного индекса, изоморфную А или даже с ней совпадающую, которая является ее вполне характеристи-
Введение 12
ческой подгруппой и называется регулятором в X. В большинстве случаев А будет обозначать регулятор R(X). Иногда удобно рассматривать почти вполне разложимую группу X как расширение вполне разложимой группы А при помощи некоторой конечной группы С = Х/А. Группы расширений абелевых групп имеют как самостоятельное значение, так и приложения в качестве эффективного метода исследования групп, чем объясняется большое количество связанных с этим результатов, например, в работе П.А. Крылова [14].
Если в прямом (однозначно определенном с точностью до изоморфизма) разложении регулятора А = фг=1 ПАВ сумму слагаемых ранга 1 любые две различные группы Ак и Aj (к ф j), либо изоморфны, либо удовлетворяют условию Hom(Ak,Aj) = Eom(Aj,Ak) = О, то группы X и А называются блочно-жестшми, если при этом реализуется только вторая возможность, то X и А называются жесткими группами.
Для пвр-группы X вводится регуляторная экспонента е = ехр Х/А, наименьшее натуральное число е со свойством е(Х/А) — О, и используется его каноническое разложение е = YlppPlp (Р — некоторое конечное множество простых чисел).
Если Х/А является циклической группой, то X называется почти вполне разложимой группой с циклическим регуляторним фактором, и для нее [X : А] = ехр Х/А, где [X : А] — индекс регулятора; если, в другом частном случае, Х/А — примарная группа, то X называется почти вполне разложимой группой с примарним регуляторним фактором, и для нее Р состоит из одного элемента.
Будут часто использоваться сокращенные формы записи: "пвр-группа" (англ. acd-group) — почти вполне разложимая группа, "пвр-группа с цр-
Введение 13
фактором" или просто "црф-группа" (англ. crq-group) ~ пвр-группа с циклическим регуляторним фактором; под "пвр-кольцом" и "црф-кольцом" понимаются кольца с соответствующими аддитивными структурами. Под словом "фактор" всегда подразумевается регуляторний фактор X/R(X), если это не оговорено отдельно. Ранг любой абелевой группы С всегда обозначается rkC.
Групповые характеристики, примененные к кольцу, относятся к его аддитивной группе. Нам понадобятся блочно-жесткие почти вполне разложимые кольца, в том числе те, которые содержат подкольца конечного индекса, являющиеся прямыми суммами идеалов ранга 1.
Хорошо известно, что пвр-группа
р&р является суммой пвр-групп Х(р) с одним и тем же регулятором А и р-
примарными регуляторными факторами Х^/А, точнее сщ>{Х^/А) = р1р.
Будем называть такое представление пвр-группы X её примарно-факторным
представлением.
С другой стороны,
EndX= p|EndX(p).
Это означает, что изучение групп с примарным регуляторным фактором и их колец эндоморфизмов является необходимым шагом в исследовании почти вполне разложимых групп в целом.
Отметим их уровневую структуру. Фиксируем р, и пусть р1 = ехрХ^/А, І Є N. Обозначим Y = Х^ и введем QY, делимую оболочку А <8> Q групп А и Y. Отождествляем Ас А1 = {а<8>1 : а Є А} и для любого натурального к обозначаем подгруппу А\ — {а\ : а Є А} группы QA как -г. Ясно,
Р Р Р
Введение 14
что vl ^ = А и А С У С ^. Тогда подгруппы У* = У П , к = 0,1,...,1 составляют уровпевую цепь
У = Yi Э 1/-1 D Y1-2 Э tf-з Э - -. D У2 Э Уі D У0 = Л
пвр-группы У = Х(р) с примарным регуляторным фактором.
Поскольку почти вполне разложимые группы входят в более широкий класс Батлеровских групп, допускающих неизоморфные прямые разложения, см. [43, 44, 67, 72, 73, 74, 95, 96], они в большинстве случаях классифицируются только с точностью до почти изоморфизма — эквивалентности, обозначаемой =пг, которая слабее изоморфизма, но достаточно полно отражает свойства прямых разложений в отличие от квазиизоморфизма.
Теорема 0.0.3 (Д. Арнольд , [32, 12.9 (Ь), с. 144])
Если X uY — почти изоморфные абелевы группы без кручения конечного ранга и X = Х\ ф Х2, то У = Y\ YПТ Х\, Ynr X
В этой связи следует отметить важный результат Т. Фатикони и Ф. Шульт-ца, в котором установлена единственность прямых разложений на неразложимые слагаемые с точностью до почти изоморфизма для пвр-групп с примарным регуляторным фактором.
Теорема 0.0.4 (Т.Фатикони, Ф. Шультц ([44, Теорема 3.5]) Почти вполне разложимые группы с примарным регуляторным фактором имеют единственное с точностью до почти изоморфизма разложение в прямую сумму неразложимых групп.
Из [60, Теорема 9.2.8] следует, что пвр-группы являются почти изоморфными (и, значит, имеют согласованные прямые разложения в смысле Теоремы
Введение 15
Арнольда 0.0.3), тогда и только тогда, когда слагаемые, соответствующие одному и тому же простому числу в их представлениях (1), почти изоморфны. Это по сути означает, что прямые разложения группы X полностью определяются разложениями пвр-груип Х^ с примарными факторами. Поэтому вопрос о том, является ли пвр-групп с примарным фактором разложимой или неразложимой, относится к числу вопросов первостепенной важности при изучении произвольных пвр-групп, см. С.Ф. Кожухов [15].
Поскольку свойства прямых разложений групп заложены в их кольцах эндоморфизмов, возникает вопрос о совпадающих характеристиках колец эндоморфизмов для почти изоморфных пвр-групп.
Из перечисленных результатов следует, что "патологические" прямые разложения одной и той же группы, как их принято называть (то есть не допускающие существования подходящей перестановки неразложимых слагаемых, приводящей к установлению почти изоморфизма между слагаемыми с одинаковыми номерами) имеют место только в случае групп, для которых ре-гуляторный фактор Х/А не является примарным. Об этом свидетельствуют теоремы из книги Л. Фукс [28, Теоремы 90.1, 90.2, 90.3], а также многочисленные результаты А. Мадера [60, 13.1], А. Корнера [43], Д. Рейда [67], А.В. Яковлева [29], [30], а также [69]-[74]. Полное описание прямых разложений с точностью до почти изоморфизма получено для класса так называемых блочно-жестких пвр-групп с циклическим регуляторным фактором, см. [74] и [96]. Этот класс заслуживает особого внимания как источник новых идей, а также ввиду того, что допускает лаконичные формулировки многих результатов.
Часть результатов, полученных для групп специального вида, распространяется на пвр-группы с произвольным регуляторным фактором (не цикличе-
Введение 16
ским и не примарным). Кроме того, устанавливаются некоторые двойственные связи между пвр-группами и их кольцами эндоморфизмов.
Интересным представляется описание новых классов групп счетного ранга, допускающих неизоморфные прямые разложения, а также введение подходящего отношения эквивалентности, обобщающего известный почти изоморфизм, для осуществления классификации в этих группах.
Поскольку кольца эндоморфизмов пвр-групп сами являются пвр-группами, рассматриваемые как аддитивные структуры, факт существования таких колец рождает проблему, связанную с возможностью определения кольцевой структуры на пвр-группах. Изучение колец сопряжено с проблемой реализации, то есть установления изоморфизма между ними и определенными подкольцами колец эндоморфизмов некоторых групп (или с самими кольцами эндоморфизмов групп). В связи с классическими результатами (см. [38], [54]) представляет интерес выявление новых классов групп, определяемых своими кольцами эндоморфизмов.
И, наконец, традиционно важной в алгебре является проблема описания группы автоморфизмов кольца End(X), в данном случае, для пвр-группы X. При этом из известного включения End(X) С End(yl) возникает вопрос о возможности продолжения кольцевого автоморфизма с End(X) на End(A).
Теперь стало возможным сформулировать
Цель работы
Установить связи (в том числе, двойственные) между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов для выявления групповой структуры последних и распространения специальных методов теории почти вполне разложимых групп на кольца.
Определить новые классы групп без кручения счетного ранга, являю-
Введение 17
щихся почти вполне разложимыми в локальном смысле, и на основе полученных закономерностей распространить на них теорию почти вполне разложимых групп.
3) Ответить на традиционные для алгебры вопросы теоремами классификации для групп и колец, реализации колец, теоремами об определяемое групп их кольцами эндоморфизмов (аналог теоремы Бэра-Капланского), об идентичности прямых разложений почти изоморфных групп счетного ранга (аналог теоремы Арнольда), критериями неразложимости групп и колец.
Процесс совместного исследования почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов естественным образом распадается на этапы, сводящиеся к решению отдельных задач:
Исследовать пвр-группы X с примарным регуляторным фактором совместно с их кольцами эндоморфизмов End (А") для получения групповых характеристик последних.
Установить связи между пвр-группами X с произвольным регуляторным фактором и их кольцами эндоморфизмов End(X). Исследовать группу Aut(EndpQ).
Построить теорию блочно-жестких пвр-групп X с циклическим регуляторным фактором, включающую их классификацию, построение End(X) и Aut(EndpQ), определение на группах кольцевых структур.
На класс локально почти вполне разложимых групп счетного ранга (все вполне характеристические сервантные подгруппы которых конечного ранга принадлежат классу почти вполне разложимых групп) распространить
Введение 18
теорию пвр-гругш, включая обобщение понятия почти изоморфизма и доказательство аналога теоремы Арнольда о прямых разложениях.
Как видно из перечисленного, для достижения прогресса в некоторых случаях пришлось ограничиться рассмотрением блочно-жестких групп. Также в большинстве случаев, если не оговорено противное, рассматриваются пвр-группы кольцевого типа, то есть имеющие регулятор, каждое прямое слагаемое которого ранга 1 изоморфно подгруппе рациональных чисел Q, являющейся аддитивной группой некоторого кольца с единицей.
Общая методика исследования
Используются методы теории абелевых групп, относящиеся к конечным группам и группам без кручения, а также специальные методы теории почти вполне разложимых групп, которые здесь распространены на почти вполне разложимые кольца. Вложение группы в её делимую оболочку приводит к эффективному использованию матричной техники. Определяющую роль в применении матричных методов играет традиционный подход линейной алгебры в комбинации с теорией чисел. Найден комбинаторный (графический) способ построения и классификации прямых разложений групп счетного ранга определенного класса. Развита новая техника параллельных перемещений групп без кручения в их общей делимой оболочке, что приводит к двойственности определений почти вполне разложимых структур и важным следствиям. Применяются общие методы теории колец и модулей.
Научная новизна
Все основные результаты работы являются новыми. К ним можно отнести следующие.
Введение 19
1. Установлено, что кольца эндоморфизмов почти изоморфных пвр-
групп также являются почти изоморфными пвр-группами.
Для блочно-жесткой пвр-группы X доказано, что любой автоморфизм кольца End X однозначно продолжается до автоморфизма кольца End А. Для случая р-примарного фактора получено разбиение кольца End А на / + 1 непустые попарно дизъюнктные области инвариантности по отношению ко всем В Є Aut(EndX), где ехрХ/А = р1. В случае циклического фактора построена группа автоморфизмов кольца End X.
Для блочно-жесткой пвр-группы X, содержащей вполне разложимую подгруппу А (не обязательно являющуюся регулятором), такую что р = ехр(Х/А) для некоторого простого >, получено наилучшее из возможных необходимое условие неразложимости, связанное только с числом тк(Х/А).
Решена проблема классификации для блочно-жестких црф-групп и полуправильных коммутативных црф-колец с единицей, найден критерий неразложимости, решена проблема определения кольцевых структур данного вида на группах. Для правильных колец получена теорема реализации.
Установлены двойственные связи между почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов, дающие эффективный способ доказательства важных результатов как для групп конечного ранга (в Главе 4), так и счетного ранга (в Главе 5).
Определено понятие почти изоморфизма для групп без кручения счетного ранга и доказан аналог теоремы Арнольда о прямых разложениях блочно-жестких локально почти вполне разложимых групп, в случае обобщенно циклического регуляторного фактора для них построена графическая теория прямых разложений.
Введение 20
7. В классах блочно-жестких црф-групп (конечного ранга) и групп из п. 6. (счетного ранга) с обобщенно циклическим фактором доказана их опре-деляемость кольцами эндоморфизмов с точностью до почти изоморфизма (теоремы типа Бэра-Капланского).
Таким образом, в диссертации основано и развито новое направление исследований: совместное изучение почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов. В качестве приложений получены эффективные методы исследования почти вполне разложимых коммутативных колец с единицей и обосновано распространение построенной теории на группы, почти вполне разложимые в локальном смысле (имеющие счетный ранг).
При этом доказан ряд теорем классификации, реализации для колец, типа Бэра-Капланского для групп, получены критерии неразложимости групп и колец.
Таким образом, в диссертации основано и развито новое направление исследований: совместное изучение почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов. В качестве приложений получены эффективные методы исследования почти вполне разложимых коммутативных колец с единицей и обосновано распространение построенной теории на группы, почти вполне разложимые в локальном смысле (имеющие счетный ранг).
При этом доказан ряд теорем классификации (Теоремы 3.2.1, 3.2.11, 3.6.8, 3.6.18, 5.3.5), реализации для колец (Теорема 3.6.4), типа Бэра-Капланского для групп (Теорема 3.5.6, 5.3.14), получены критерии неразложимости групп и колец (Теоремы 3.6.9, 3.6.19, 5.3.6).
Теоретическая и практическая ценность
Работа носит теоретический характер. Установленные в ней связи между
Введение 21
почти вполне разложимыми группами и их кольцами эндоморфизмов расширяют представления об аддитивных структурах. Разработан общий подход, снимающий ограничения, связанные с конечностью рангов, и сформирован новый взгляд на прямые разложения, реализованный для локально почти вполне разложимых групп счетного ранга. Структурирована теория коммутативных пвр-колец с единицей, выяснено, что существование неизоморфных прямых разложений пвр-групп проявляется в многозначности определения на них кольцевых структур данного вида, причем сами кольца являются однозначно разложимыми.
Разработанные методы могут быть использованы в дальнейшем развитии теории абелевых групп, а также колец и модулей как в целом, так и при исследовании колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов (в том числе, кольцевых), в частности, модулей над дедекиндовыми кольцами.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на Международном семинаре "Компьютерная алгебра и информатика" в Московском Государственном Университете (2005), на Международных алгебраических конференциях в Москве (2000, 2004), С. Петербурге (1997, 2002), Екатеринбурге (2005), Новосибирске (1989), на Международной конференции по алгебраической комбинаторике во Владимире (1991), на Всероссийском Симпозиуме по Абелевым группам в Бийске (2005), на алгебраическом семинаре в МГУ (2005), на Всероссийской конференции "Фундаментальные исследования в технических университетах" в С. Петербургском Государственном Политехническом Университете (2006), на 4-ом Европейском математическом конгрессе (Швеция, 2004), на Европейских и международных алгебраических конференциях в Германии (1998,1999, 2002), Италии (2002), на специальных конференциях но абелевым
Введение 22
группам, кольцам и модулям в Германии (1993), Италии (1994, 1999), Ирландии (1998), а также на регулярных алгебраических семинарах в университетах Германии (Нюрнберг-Эрланген 2002, Эссен 2000), Швеции (Стокгольм 1998, Упсала 1998), Австралии (Сидней 1999, Перт 1999), США (Коннектикут 1999), на Нью-Йоркском семинаре по теории групп (1999).
Содержание докладов отражено в опубликованных тезисах [75] - [83].
Некоторые результаты диссертации вошли в книги: A. Mader. "Almost completely decomposable abelian groups" , 2000, П.А. Крылов, А.В. Михалев и А.А. Туганбаев "Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов" , 2006,
P. Krylov, A. Mikhalev and A. Tuganbaev "Endomorphism Rings of Abelian Groups" , 2003.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 15 статей [84] - [98].
Краткое содержание работы
Все рассматриваемые группы — абелевы и редуцированные, так как теория абелевых групп без кручения сводится к редуцированному случаю.
Регулятор группы EndX+ блочно-жесткой пвр-группы X с примарным регуляторным фактором
Здесь мы рассматриваем группы из класса А с одним и тем же регулятором А, который предполагается блочно-жестким. Таким образом класс А состоит из блочно-жестких почти вполне разложимых групп X кольцевого типа с регулятором где Т = Tcr{X) = ТСТ(Л) состоит из попарно несравнимых идемпотентных типов и пт обозначает ранг r-однородной компоненты Ат = А(т) группы Л, прямой суммы Пг экземпляров группы т (Z С т С Q). Положим е = ехрХ/А и, как и в Главе 1, определим канонические эпиморфизмы и индуцированные гомоморфизмы Мы будем пользоваться определениями мультипликативной группы TypAutA (1.2.3), почти изоморфизма (1.2.4) и, совпадающим с ним понятием слабого изоморфизма (1.2.6) Следующая характеристика кольца эндоморфизмов пвр-группы является частью [60, Лемма 8.1.5].
Лемма 2.2.1 Пусть X Є А и для целого положительного числа е выполняется еХ С А. Тогда Глава 2. Почти вполне разложимые группы с примариым фактором и их кольца эндоморфизмов или, в эквивалентной форме, Мы используем условия изоморфизма групп, которые тесно связаны с предыдущим описанием и даются в [60, Лемма 8.1.6] в следующей форме. Лемма 2.2.2 Пусть пвр-группы X и X содержат одну и ту же вполне разложимую группу А, и для целого положительного числа е выполняется еХсА иеХ сА. 1. Если а : X — X является изоморфизмом, таким что Аа С А, то а сужается до а Є Aut А, причем еХа = еХ . 2. Если а Є Aut Л и еХа = еХ , то существует единственный изоморфизм а : X — X , такой что a Мы рассматриваем EndX как подкольцо кольца End Л. В Предложении 1.2.10 было показано, что, если X является пвр-группой, то EndX — тоже пвр-группа по отношению к операции сложения. Переформулируем это предложение для случая блочно-жестких групп. Предложение 2.2.3 Пусть X — блочно-жесткая пвр-группа кольцевого типа с регулятором А = фгєГ АТ, регуляторным показателем е, множеством критических типов Т = ГСТ(Х) и пт = rk 1. имеется цепочка колец eEnd(A) С End(X) С End(.A); Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением класса А блочно-жестких пвр-групп кольцевого типа, все эти группы имеют один и тот же регулятор А ранга п, который характеризуется антицепью Т = ТСГ(А). В этом случае т-ранг группы R(EndX+) равняется пт2, и EndX+, как и ее регулятор, являются блочно-жесткими группами. На этом основании следующие факты, касающиеся блочно-жестких пвр-групп X, оказываются справедливыми и для их колец эндоморфизмов EndX+, рассматриваемых как группы по отношению к операции сложения.
Напомним, что регулятор A = R(X) блочно-жесткой пвр-группы X — это вполне разложимая подгруппа наименьшего индекса, которая однозначно определена и однозначно разложима в прямую сумму т-однородных компонент Ат = А(т) = Х(т), являющихся сервантными, а потому вполне характеристическими в X, [96, Введение]. Любая вполне разложимая подгруппа А конечного индекса блочно-жесткой пвр-группы X Є А изоморфна ее регулятору А, который является вполне характеристической подгруппой в X. Справедливо следующее утверждение, если А АиА сХ, тогда А С А, (2.11) поскольку однородные группы Ат сервантны в X и, следовательно, содержат соответствующие слагаемые А т из канонического разложения А = 0гєГ А т. Это означает, что регулятор R(X) блочно-жесткой пвр-группы X содержит любую подгруппу группы X, изоморфную R(X). Пусть р - простое число. Если в X существует подгруппа А = А такая, что Х/А — р-примарная группа, тогда Х/А = (Х/А )/(А/А ) тоже р-примарна, и X является пвр-группой с р-примарным регуляторным фактором. Мы рассматриваем группы X Є А с примарным регуляторным фактором Х/А и регуляторным показателем е = р1 = ехр Х/А для некоторого І Є N. Перечисляя все критические типы группы X, мы можем написать Т = Tcr(A) = {71,...,7}. Из разложения регулятора А = 0г=1 Ц на Tj-однородные компоненты Ап рангов щ сразу следует, что кольцо End (Л) изоморфно кольцу М, состоящему из матриц F размера п х п блочно-диагональной формы, имеют только один ненулевой блок Мщ(ц). Для F М это будет символически записываться в виде F = (Fi)l i k, или, что то же самое, F = {FT)TGT, означающем, что nT х пг-матрицы FT состоят из элементов соответствующих колец т Є ТСГ(А), Ъ С г С Q.
Автоморфизмы кольца эндоморфизмов блочно-жесткой пвр-группы с примарным регуляторным фактором
Как и выше, мы рассматриваем X Є А: блочно-жесткие почти вполне разложимые группы кольцевого типа с регулятором А = фТ тГ(А) т — Фтєтсг(Л) птт и регуляторным показателем е = ехр Х/А. Мы используем разложение SA = End А = фгег в прямую сумму т-однородных компонент т = ЕікІЛт и цепь ЄЕА Q Я &А, данную в Предложении 1.2.10. Напомним, что т изоморфно кольцу МПт(т) всех пт х пт матриц с элементами из соответствующего кольца г С Q, см. (2.13). Мы применяем подход, рассмотренный в книге П.А. Крылова, А.В. Михалева и А.А. Туганбаева "Связи Абелевых Групп и их Колец Эндоморфизмов [8, Глава 1, раздел 5], наряду с понятиями, введенными Д. Рейдом [67] и Д. Арнольдом [32]. Следуя этому, мы можем однозначно продолжить любой эндоморфизм а абелевой группы Y без кручения до линейного преобразования а 1 Є End(F) g Q ее делимой оболочки Y g Q, отождествляя Y cY g 1 = {?/ 8 1 : у Є Y}. Беря во внимание изоморфизм End(Q+) = Q и используя определение [6, 10.2.1] тензорного произведения гомоморфизмов, получим, что (a 8 г) G End(F) g Q действует на (у q) Є Y g) Q следующим образом: (у 8 )(о; g) г) = (i/a 0 дт). Естественно, мы рассматриваем End(F) как под-кольцо кольца End(g(F g) Q), состоящее из тех а, которые удовлетворяют Ya С Y. Легко видеть, что если Y — кольцо и а — кольцевой эндоморфизм на Y, то a (g) 1 — кольцевой эндоморфизм кольца У g Q. Вполне уместно использовать символ qy вместо (y S q) для обозначения элемента из Y g Q. Тогда а Є End (У) продолжается до всех элементов делимой оболочки группы Y с помощью соотношения (qy)a = q(ya), где у Є Y. Вернемся к группам X м Е+. Пусть В Є Aut() — кольцевой автоморфизм.
Напомним, что регулятор группы ?+, вполне инвариантная подгруппа того же ранга, что и сама Е+, совпадает с И+ по следствию 2.2.6. Тогда В может рассматриваться как эндоморфизм группы Е+ с дополнительными предположениями ффВ — фВфВ для всех ф,ф S и 1ZB = % (см. леммы 2.2.1, 2.2.2). Из End+ С End Тс4" выводим, что эндоморфизм В может быть продолжен до линейного преобразования В 1 Є В % Q делимой оболочки % Q регулятора 7с\ отождествленного с К 1. Напомним, что 1Z+ = St является блочно-жесткой вполне разложимой группой. Пусть 7+ = 0тЄу /д) 1 т с однородными компонентами %т = Н[т]+ (см. (2.19)). Известно, что End(1Z+)+ также является блочно-жесткой вполне разложимой группой с тем же самым множеством критических типов, что и 7+ и X, т.е. антицепью (см. (2.13), (2.14)). Из леммы 2.2.2 и (2.18) получаем, что В Є AutlZ = П%тсг(А) Aut7r и, как элемент прямого произведения, эндоморфизм В записывается в виде По Предложению 1.2.10 и Лемме 2.2.4 получаем, что матричное кольцо Н[т] содержит еМПт(т), то есть еМПт(т) С Н[т] С МПт(т). Тогда Q-алгебра полным матричным кольцом размерности пт над Q. Для того, чтобы упростить обозначения, мы будем использовать одни и те же символы для эндоморфизмов (автоморфизмов) изоморфных структур, если это не будет приводить к путанице. Таким образом, предположим, что Вт определено на Н[т]. Так как КетВт = 0, мы можем естественным образом продолжить Вт с Н[т] на кольцо MnT(Q) = Н[т] Q, отождествляя Вт с Вт g 1 Є EndН[т] Q, которое действует на (/i g g) Є #[r](g (Q) с помощью равенства (hq)(BTl) — (hBTq).
Было подчеркнуто, что Вт 8 1 сохраняет не только операцию сложения, но также и (матричное) умножение в кольце Н[т] Q, и в этом смысле Вт индуцирует кольцевой автоморфизм всего кольца МПт (Q). Суммируя вышесказанное, (см. (2.37)), мы утверждаем для всех г Є ТСГ(А), что Классический результат [5, Глава 2, Теорема 10] Джекобсона гарантирует нам, что любой автоморфизм полного матричного кольца над Q является внутренним. Это означает, что для любого автоморфизма /3 в MUT(Q) существует такая обратимая матрица В Є M„T(Q), что f3 действует на произвольной матрице С Є MUT(Q) следующим образом: Мы рассматриваем те (З Є Aut(MnT(Q)), которые также являются автоморфизмами кольца Н[т] С MnT(Q). Покажем, что из /З Є AutН[т] следует Р Є AutМПт(т). Следующая лемма не нуждается в доказательстве. Лемма 2.3.1 Пусть автоморфизм (З Є Aut(Mnr(Q)) задан на элементах С Є MUT(Q) С помощью равенства С(3 = В 1СВ с обратимой матрицей В Mnr(Q). Тогда для любых r,q N существует матрица В — В, также определяющая автоморфизм (3 с помощью С(3 — (В) 1СВ и (В) г = Г-В 1. я Следствие 2.3.2 Пусть автоморфизм /З Є Aut(Mnr(Q)) определен на элементе С Є Mnr(Q) с помощью Cf3 = В 1СВ. Тогда для любого простого / отображение /3 может быть определено с помощью такой обратимой матрицы В Є MUT(Q) с целыми коэффициентами, что по крайней мере один ее элемент взаимно прост с /.
Классификация блочно-жестких почти вполне разложимых групп с циклическим регуляторным фактором
Поскольку почти изоморфные группы имеют изоморфные регуляторы (см. [60, Лемма 9.1.10]), не умаляя общности считаем, что А = R(X) = R(X ) для некоторой вполне разложимой блочно-жесткой группы А со множеством критических типов Т = Тс-(Л). Возьмем главные разложения X = Y ф А и X — У ф А", в которых Y и У — жесткие црф-группы, А и А" —- вполне разложимые группы. Из [60, Теорема 9.2.7] получаем, что Y =nr Y и А = А". Снова, не умаляя общности полагаем, что почти изоморфные группы У и У имеют один и тот же регулятор U = R(Y) = R(Y ). По [60, Теорема 9.2.4] почти изоморфизм совпадает со слабым изоморфизмом для пвр-групп, значит группы Y и Y слабо изоморфны. Из Определения 1.2.6 слабого изоморфизма следует, что существует Р Є TypAut U, для которого eYp = eY в U = U/eU при некотором целом е, удовлетворяющем условию eY, eY С А. По теореме 1.2.7 имеем, что Х/А = Х /А, полагаем е = ехрХ /А = expX/A = expY/U = expY /U по Замечанию 3.1.2. Из канонического разложения жесткой группы U = фгЄ UT на однородные компоненты ранга 1 попарно несравнимых типов следует, что где Є(т) = [т/e -f. Жесткие црф-группы записываются в виде Y = (U,b), Y — {U,b ), где eb = Y TETOvr и eb — 12тет0V T ДЛЯ некоторых элементов vT,v T Є UT. Значит, щр = v T, где p\jj— автоморфизм группы ранга 1 порядка б(т). Это означает, что порядки элементов V HV TBUT совпадают, то есть числа mT(Y) = mT(Y ) для всех т Є TQ, что приводит к требуемым равенствам mT(X) = тт(Х ) для всех т ЄТ. Обратно, предположим, что R(X) = R{X ) и mT(X) — mT(X ) для всех типов т. Тогда автоматически получается, что в главных разложениях X = Y ф А и X = Y ф А" регуляторы жестких групп Y и Y изоморфны по Теореме 3.1.1 и, значит, А = А". Не умаляя общности, положим U = R(X) = R(X ).
Обозначим Т0 = T Y) = ТСГ(У), т = mT(X) = тт(Х ) и е = \сттет0 тпт. По определению инвариантов тт(Х) и тт(Х ) групп X и X ясно, что е = ехр Х/А = ехр Xі/А. Достаточно доказать, что существует р Є TypAut U, для которого eYp = eY в U = U/eU. Жесткие црф-группы записываются как Y = (U,b), Y = (U,b ), где eb — Y1TT0VT И е Лтет V T причем по условию tv = \v T\ = mT в группе f/r порядка е(т), где /г, г Є Г0, - г-однородная компонента группы U. Значит, щ и v T — образующие элементы подгруппы порядка тпт циклической группы \UT\ (ясно, что mre(r), поскольку порядок любого элемента конечной группы является делителем её порядка). Пусть число гт Є Z со свойством gcd(rT,mT) = 1 удовлетворяет условию rTvT = v T. В [60, Лемма 12.6.7], показано, что естественный гомоморфизм ф : (Z/e(r)Z)x — (Z/mrZ)x, определенный как (а + е Щф = а + mTZ сюръективен, значит, существует целое число /г, взаимно простое с Є(г), та- кое что /r = rT modmT. Очевидно, умножение элементов группы UT на /г осуществляет её автоморфизм, скажем, рт, отображающий щ- на v T. Поскольку это верно для всех г Є Го, из 3.14 следует, что требуемый автоморфизм Р =(» Рт, -)тєТо Є TypAut U, построен.
Таким образом, мы доказали, что Y =tp У, то есть Y =пг У, из чего, поскольку вполне разложимые слагаемые А и А" главных разложений групп X и X изоморфны, следует желаемое X =пг X . D Замечание 3.2.2 Из того, что любая группа без кручения конечного ранга почти изоморфна самой себе, получаем, что в различных главных её разложениях X = Y А црф-группа Y определяется единственным образом с точностью до почти изоморфизма, а вполне разложимое слагаемое А! единственно с точностью до изоморфизма. Инварианты группы тТ(Х) теперь целесообразно называть инвариантами почти изоморфизма, поскольку для почти изоморфных блочно-жестких црф-групп они совпадают. Отметим, что обнаружение этих чисел тТ(Х), которые, если известен регулятор, характеризуют группу с точностью до почти изоморфизма, сыграло большую роль в построении графической теории прямых разложений црф-групп в [74], [93], [96], которая получила обобщение в последней главе на некоторый класс групп счетного ранга.
Булевы алгебры почти вполне разложимых групп и их колец эндоморфизмов
Пусть К — коммутативное кольцо с единицей /, такое что К+ — блочно-жесткая почти вполне разложимая группа. В дальнейшем примем краткую форму для его групповых характеристик и будем называть такое кольцо блочно-жестким коммутативным пвр-колъцом с единицей.
Известно, что End(K+) содержит в качестве подкольца умножения (слева) на элементы из К. Отождествляя К с его изоморфной копией в End (А4"), имеем вложение которое называется регулярным представлением кольца К, если при этом отождествлении К совпадает с End(K+), мы говорим, что К является Е-колъцом, см. [7, Глава 1, раздел 3]. Обозначим регулятор аддитивной группы кольца К как R = R(K+), и пусть п = rk К+. Существует однозначно определенное разложение и Т — TCT{R) = Тсг(К+) представляет собой антицепь, при этом пт обозначает ранг т-однородной компоненты RT в Л, то есть RT изоморфна прямой сумме пт копий группы г (Z С г С Q, п = ітЄТ пт)- Поскольку R — вполне характеристическая подгруппа в К+ и R С К+ С f для числа е = exp(K+/R), любой эндоморфизм группы К+ определяется образами элементов R, и из [60, Лемма 8.1.5] известно, что Глава 3. Почти вполне разложимые группы с циклическим фактором и их кольца эндоморфизмов 161 Далее, из [98, Предложение 3.1] следует, что Концентрируя внимание на операции суммирования в кольцах, мы имеем дело с почти вполне разложимой группой End(K+), для которой Tcr(End{K+)) = Tcr.(End(i?)) состоит из идемпотентных типов, так как End(i?) = YlfeJ End(Rr) является блочно-жесткой вполне разложимой группой как аддитивная структура. Комбинируя (3.54) и (3.57), получаем цепь Поскольку тип любого элемента из End(R) идемпотентен, это верно и для группы R, так как R С End(R). Отсюда следует, что tp(RT) = tp(End(/?r)) и так как Tcr(R) = ТСГ(К+) является антицепью. Это означает, что К+ — группа кольцевого типа со множеством критических типов Tcr(K+) = Tcr(R) = Tcr(End(R)). С этого момента ограничимся рассмотрением црф-колец К, для которых K+/R — циклическая группа, е = exp(K/R). Пусть Т — Tcr(R). Для упрощения обозначений введем группу X = К+. Возьмем главное разложение X = Х\ ф Y, в котором Х\ — жесткая группа со множеством критических типов Tcr(Xi) С ТСТ(Х), таким что 1. г Є Tcr(Xi) если и только если тт{Х) ф 1, 2. mT{X\) = тт[Х) для всех т Є Tcr(Xi), при этом числовые инварианты mT = mT(X) = mT(Xi) аддитивной группы были введены в Главе 3. Напомним, пусть X = (R,b), где R — регулятор
Почти вполне разложимые группы с циклическим фактором и их кольца эндоморфизмов 162 в X, и b Є X — элемент, удовлетворяющий условию eb = а для некоторого а Є R, то есть b + R — образующий элемент циклической группы X/R, тогда eb = Х тег VT представляется в виде суммы слагаемых vT Є RT. Пусть обозначает естественный эпиморфизм. Используем (3.5): Если г . Тсг{Х), полагаем mT = 1, и r/mTr = mr (или gcd(mr,p) = 1), при условии т(р) = со. (3.62) Пусть — главное разложение, Го = Тсг(Хі), Лі = R(X\) к Х\ = (R\,b). Тогда 6 — элемент из делимой оболочки регулятора группы Х\, где аг Є і?(Хі) имеет ; высоту 0, если т(р) = 0, и/)-высоту со, если т{р) = со. В главных разложениях одной и той же группы X слагаемые, обозначенные Y, вполне разложимы и однозначно определены с точностью до изоморфизма, в то время как жесткие црф-слагаемые Х\ определены только с точностью до почти изоморфизма, см. [96, Теорема 3.5]. Следовательно, любые две почти изоморфные блочно-жесткие црф-группы изоморфны, если и только если они допускают главные разложения, жесткие црф-слагаемые которых изоморфны. Данная в Теореме 3.2.11 классификация таких групп базируется на этом факте. Глава 3. Почти вполне разложимые группы с циклическим фактором и их кольца эндоморфизмов 163 Следуя (3.13), мы можем сделать подходящий выбор элементов ат Є R\, имеющих типы т, так что Из критерия почти изоморфизма мы видим, что класс изоморфизма жесткого црф-слагаемого Х\ в главном разложении группы X определяется целыми числами sT, т Є То, так как тпт являются инвариантами почти изоморфизма (то есть они совпадают для почти изоморфных групп). Напомним, что по Определению 3.1.5 блочно-жесткая црф-группа X кольцевого типа, допускающая стандартное представление (3.63), в котором sT = 1 для всех г Є Го, называется правильной црф-группой. В основном наше обсуждение будет касаться црф-групп, которые являются правильными. Из Леммы 3.2.9 следует Замечание 3.6.1 Достаточным условием правильности црф-группы X является существование для нее главного разложения, характеризуемого числами sT = 1 только для типов т, соответствующих однородным компонентам регулятора ранга 1. Мы знаем, что End(if+) С End(R) = П єт End(.Rr). Для любого разложения т-однородной компоненты
