Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий Людковский, Сергей Викторович

Введение к работе

Актуальность темы

Одним из важнейших разделов современной алгебры является топологическая алгебра, которая берёт своё начало с работ С. Ли 1880-х годов о топологических группах и работ о неархимедовых полях, например, р-адических чисел впервые введённых К. Гензелем в 1899 г. Всевозможные локальные поля возникающие из поля рациональных чисел с помощью пополнений по мультипликативным нормам были описаны А. Островским в 1935 году.

Данная работа посвящена построению новых классов вполне несвязных нелокально компактных групп преобразований над бесконечными полями с неархимедовыми нетривиальными мультипликативными нормами. В ней исследуется их структура и изучаются их представления. Для этого используется и развивается вспомогательный аппарат теории квазиинвариантных мер. Более того, выяснены специфические особенности таких объектов и исследуются новые классы некоммутативных неассоциативных алгебр на последовательностях таких вложенных подгрупп. Исследуемые группы относятся к классу групп Ли, так как они имеют структуру многообразий, а групповые операции в них непрерывны или дифференцируемы в зависимости от различных классов гладкости.

Часть топологической алгебры, посвященная структуре, и представлениям локально компактных групп хорошо разработана. Этим вопросам были посвящены многочисленные статьи и книги. При этом активно использовались (неотрицательные) меры Хаара на локально компактных группах, которые инвариантны при левых или правых сдвигах, порожденных элементами группы. Это послужило основой для теории С*-алгебр или вполне регулярных коммутативных колец, которые использовались в теории унитарных представлений. При изучении представлений локально компактных групп С*-алгебры возникают как алгебры операторов ассоциированные с унитарными представлениями. Также широко используются банаховы *-алгебры или банаховы симметричные кольца как алгебры функций L¹(G,/j,, С) со значениями в поле комплексных чисел С относительно свёртки на локально компактной группе G

с нетривиальной (неотрицательной) мерой Хаара /і или С*-алгебры на пространстве L²(G, /і, С) для локально компактной абелевой группы или компактной группы [16, 6].

Однако, согласно теореме А. Вейля [23], существование нетривиальной неотрицательной меры, лево (или право) квазиинвариантной относительно всей топологической группы, влечет ее локальную компактность. Это означает, что на топологической не являющейся локально компактной группе G мера может быть лево (или право) квазиинвариантной лишь относительно собственной подгруппы G'_: G' ф G. Это препятствует применению традиционных С*-алгебр для исследования представлений групп, так как алгебры, ассоциированные с квазиинвариантными мерами топологических не являющихся локально компактными групп, обладают гораздо более бедной структурой: они некоммутативны и неассоциативны. Таким образом, для топологических не являющихся локально компактными групп эта область была менее разработанной.

Имеются существенные различия в теории представлений локально компактных групп и не локально компактных топологических групп. Далее рассматриваются Хаусдорфовы топологические группы, что не является сильным ограничением, так как аксиома отделимости То для топологической группы влечёт выполнение аксиомы Тз.5 ^в силу примера 8.1.17 и теоремы 8.1.20 [9]. Так каждое сильно непрерывное неприводимое унитарное представление компактной группы конечномерно и, следовательно, сильно непрерывно. При этом групповой гомоморфизм Т : G —> и(Н) называется унитарным представлением, то есть, T_gf = T_gTf для любых g,f Є G_: Tg-i = Т* - эрмитово сопряженный унитарный оператор, Т_е = I - единичный оператор на Н для единичного элемента є Є G_: где U(H) - унитарная группа, а Н - гильбертово пространство над полем комплексных чисел С.

Определение. Представление Т топологической группы G в унитарную группу U(H) называется непрерывным (сильно непрерывным), если Т непрерывен относительно топологии в U(H) индуцированной операторной нормой (сильной операторной топологией соответственно).

Для локально компактных абелевых (то есть, коммутативных) групп

непрерывное унитарное представление всегда одномерно, то есть является характером. Тогда как для нелокально компактных абелевых групп могут быть бесконечномерные топологически неприводимые сильно непрерывные унитарные представления [3, 11]. Для некоммутативных локально компактных групп сильно непрерывные топологически неприводимые унитарные представления могут быть бесконечномерными.

Для классических некомпактных локально компактных групп Ли бесконечномерные унитарные представления были построены в работах И.М. Гельфанда и М.А. Наймарка, например, для группы аффинных преобразований прямой, SL(n,TV), SL(n,C), SO(n,C) при п > 2, SU(n,m), SO(n,m) при пт > 2. Они использовали в своих работах лево или пра-воинвариантные меры Хаара на этих группах. Конечномерные группы Ли обладают тем преимуществом, что они ещё удовлетворяют, по крайней мере локально, формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа, устанавливающей биективное соответствие между локальной группой и отвечающей ей алгеброй Ли. В случае бесконечномерных групп Ли формула Кэмпбелла-Хаусдорфа не обязана выполняться даже локально.

Еще в шестидесятых годах прошлого века один из основоположников теории представлений локально компактных групп И.М. Гельфанд сформулировал проблему о построении унитарных представлений топологических (не являющихся локально компактными) групп с помощью квазиинвариантных мер на них или соответствующих конфигурационных пространствах. При этом случаи групп для многообразий над неархимедовыми полями ранее не рассматривались.

Интерес к топологическим (в особенности, не являющимся локально компактными) группам объясняется как развитием самой математики, так и естественно возникающими потребностями в них теоретической и математической физики, например, квантовой механики на многообразиях, теории суперструн, квантовой гравитации, калибровочной теории и даже в такой традиционной области как гидродинамике. Среди них наиболее важны группы диффеоморфизмов и геометрические группы обёрток многообразий (как семейств эквивалентности отображений / : М —> N одного многообразия М в другое N, сохраняющих отмечен-

ные точки So Є М и уо Є N_} /(so) = Уо)

С другой стороны, значительная часть топологической алгебры посвящена топологическим полям, теории чисел и неархимедову анализу. Более того, теория топологических полей исторически послужила отправной точкой развития топологической алгебры. В отличии от классического анализа (то есть над полями R вещественных чисел и С комплексных чисел) неархимедов анализ сравнительно молод, многие из его разделов разработаны недостаточно.

Имеются принципиальные различия между классическим и неархимедовым анализами. Многообразия над неархимедовыми полями вполне несвязны. Нормированное пространство X над неархимедовым полем можно представить в виде дизъюнктного объединения шаров, и каждая пара шаров в X либо не пересекается, либо один их них содержится в другом. При этом замкнутый шар положительного радиуса в X также открыт, то есть открыто-замкнут в X. В классическом случае большую роль играют гильбертовы пространства над R или С, но в неархимедовом случае билинейная форма на линейном пространстве над Q_p не может дать нормы.

Для неархимедовых метрических пространств (X, d) вместо неравенства треугольника выполняется более сильное ультраметрическое неравенство:

d(x,z) < max(d(x, у), d(y, z)) для любых x,y,z Є X, где d - ультраметрика на X. Равномерное пространство становится ульраравномерным с соответствующим ультра неравенством в терминах окружений диагонали. Для равномерных пространств X. Фрейденталь, Дж. Р. Исбелл и И. М. Козловский [17, 5] развили теорию их полиэдральных разложений в виде пределов обратных спектров, где полиэдры брались в банаховых или нормированных пространствах над полем вещественных чисел R, но оставалась проблема содержательных разложений для ультраравномерных пространств. В диссертации также представлено решение этой проблемы с полиэдрами в банаховых или нормированных пространствах над неархимедовыми локально компактными полями. Это послужило также для изучения структур групп преобразований неархимедовых многооб-

разий и самих многообразий в качестве равномерных пространств.

В классическом случае при определённых условиях бесконечномерное многообразие над R можно вложить в соответствующее линейное пространство над R в качестве открытого подмножества [18]. В диссертации был доказан специфический неархимедов вариант о вложении вполне несвязного бесконечномерного многообразия М над неархимедовым полем К при определённых условиях в качестве открыто-замкнутого подмножества в бесконечномерное линейное пространство X над К, например, для банахова многообразия М и банахова пространства X. Это существенно упрощает рассмотрение вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий.

Пространства непрерывных функций на вполне несвязных компактах со значениями в неархимедовых полях полных как равномерные пространства имеют локальные разложения в ряды по базисным многочленам, введенным Амис в 1960-х годах [10]. Аналитические функции на поле р-адических чисел Q_p даже при і Є Q_p, где і² = —1, имеют отличные свойства от комплексных голоморфных функций. Теорема Лиувил-ля о комплексно голоморфных функциях для них не выполняется, так как существуют аналитические функции / : Q_p —> Q_p ограниченные и отличные от постоянных [22].

До работ В.Х. Шикова [22] главным образом использовались пространства аналитических функций р-адических чисел, что полезно в теории жёсткой геометрии, теории гомологии и когомологии неархимедовых аналитических многообразий и математической физике [2], но является довольно ограничительным. Несколькими годами позже В.Х. Шиков исследовал неархимедовы функции классов гладкости С^п типа Гёльдера. Для их корректного определения он использовал не только операторы дифференцирования, но также операторы разделённых разностей для функций и непрерывные продолжения этих операторов, когда они существуют. При этом получается, что пространство Cⁿ⁺¹(U, Q_p) вкладывается компактным оператором в Cⁿ(U, Q_p) аналогично классическому случаю над полем действительных чисел, тогда как при использовании одного лишь дифференцирования над Q_p получается обратное включе-

ниє, где U - компактное открыто-замкнутое подмножество в Q" п Є N. Он работал с конечномерными линейными пространствами над неархимедовыми полями. Эти поля могут быть локально компактными или не локально компактными.

Напомним, что под локальным полем понимается коммутативное недискретное локально компактное поле. В дальнейшем рассматриваются поля нулевой характеристики, если не оговорено иное.

Для исследования нелокально компактных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями в диссертации потребовалось развить эту теорию на случай пространств функций на бесконечномерных линейных пространствах над неархимедовыми полями. Это было также необходимо для построения квазиинвариантных мер на многообразиях и топологических вполне несвязных группах.

В неархимедовом анализе для функций из поля р-адических чисел Q_p в поле действительных чисел R используется понятие псевдодифферен-цируемости, которое было перенесено с классического случая на неархи-медов в [2]. Это связано с тем, что кроме локально постоянных функций не существует дифференцируемых функций из открытого подмножества в Q_p в R. Это послужило мотивацией для исследования в диссертации наряду с квазиинвариантностью также псевдодифференцируемости мер на неархимедовых банаховых пространствах X со значенмяи в R или локальном поле отличном от неархимедова поля над которым задано X.

Другое отличие имеется в теории меры: так теоремы Лебега о сходимости интегралов и Радона-Никодима для интегралов и мер со значениями в неархимедовых полях не выполняются. Вместо них имеются весьма специфические неархимедовы аналоги. При этом пространства интегрируемых функций также имеют особые свойства.

Основы теории мер и интегрирования со значениями в неархимедовых полях заложили преимущественно А.П. Монна, Т.А. Спрингер, А.СМ. ван Роой и В.Х. Шиков в 1960-1970-х годах [20]. Но ни они, ни другие авторы не изучали в достаточной степени квазиинвариантные меры со значениями в поле действительных чисел или неархимедовом на бесконечномерных банаховых пространствах или многообразиях над неархи-

медовыми полями. Так, например, не было теорем о квазиинвариантности или псевдодифференцируемости мер на бесконечномерных банаховых пространствах над неархимедовым полем относительно линейных и нелинейных операторов, удовлетворяющих определенным условиям. Поэтому стояла проблема развития такой теории квазиинвариантных мер на бесконечномерных банаховых пространствах и многообразиях над неархимедовыми полями. Это было необходимо для построения квазиинвариантных мер и стохастических процессов на нелокально компактных группах преобразований.

В неархимедовом случае теория операторных алгебр также весьма специфична. Под С*-алгебрами над неархимедовыми полями имеются в виду другие объекты по сравнению с операторными алгебрами над полем комплексных чисел, а теорема Гельфанда-Мазура для неархимедовых алгебр не выполняется в общем случае [20].

В частности, не были изучены группы обёрток и группы диффеоморфизмов неархимедовых многообразий, а также квазиинвариантные меры даже на неархимедовых банаховых пространствах. Для классических многообразий М группы петель были исследованы лишь для римано-вых многообразий и только для М, являющейся единичной окружностью S¹. Эти группы не удовлетворяют даже локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Для многообразий отличных от окружности или сферы петлевая интерпретация теряется, поэтому они названы группами оберток. Известны группы, называемые также группы петель, но под ними имеют в виду группы С^п-отображений многообразия М в локально компактную группу Ли с поточечной операцией умножения, поэтому эти группы удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Впервые группы петель для отображений из окружности в локально компактные римановы многообразия были введены С. Лефшецем в 1940-х годах. Для многообразий над неархимедовыми полями они ранее не изучались. Для общих многообразий отличных от окружности и сферы петлевая интерпретация уже теряется, поэтому их обобщения названы группами обёрток. Необходимо отметить, что для многообразий над неархимедовыми полями их конструкция и топологизация в диссер-

тации принципиально отличны от случая римановых многообразий.

Несмотря на то, что группы диффеоморфизмов и обёрток могут быть сами снабжены структурой гладкого многообразия с дифференцируемыми групповыми операциями, они не удовлетворяют ни в какой окрестности единичного элемента (локально) формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. Поэтому их исследование существенно отличается от групп Ли, локально удовлетворяющих формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа.

Проблема об исследовании стохастических процессов и квазиинвариантных переходных мер на топологических, возможно, не являющихся локально компактными, группах Ли, не удовлетворяющих локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа и об отыскании для группы G ее плотной подгруппы G'_: относительно которой мера квазиинвариантна обсуждалась и ставилась Макки, Кирилловым и Гельфандом в их статьях в конце 50-х и в 60-х годах 20 века. В неархимедовом случае эта проблема практически не рассматривалась ранее.

Для построения представлений вполне несвязных групп преобразований многообразий над неархимедовыми полями стояла ассоциированная проблема в построении квазиинвариантных мер с помощью теории стохастических процессов на неархимедовых банаховых пространствах и многообразиях. Поскольку данный предмет не является главным в диссертации, то это описывается лишь кратко и подробно дано в опубликованных статьях автора, приведенных в списке литературы. Эта задача имела специфические особенности: необходимо было исследовать алгебраические стохастические процессы на пространствах функций (непрерывных или интегрируемых) из линейного пространства X над локальным полем К в линейное пространство Y над К и распространить затем эту теорию на случай соответствующих равномерных пространств отображений из многообразия М в многообразие N над К и далее на вполне несвязные группы, которые могут быть нелокально компактными.

Развитие теории представлений нелокально компактных вполне несвязных групп потребовало от автора исследования квазиинвариантных мер, но теория меры не является главным предметом диссертации. С другой стороны, полученные результаты тоже представляют значительный ин-

терес. В частности, был сформулирован и доказан неархимедов аналог теоремы Колмогорова о продолжении цилиндрического распределения со значениями в неархимедовом поле до меры. Эта проблема была сформулирована А.СМ. ван Роой около двенадцати лет тому назад [26, 24]. Практически в диссертации была решена более общая проблема для проективной системы пространств с мерами, включающей в себя также впервые сформулированный и доказанный нерахимедов аналог теоремы Прохорова, откуда, в частности, был выведен неархимедов аналог теоремы Колмогорова. Это естественным образом индуцирует изометричные представления в неархимедовом банаховом пространстве, как описано в статьях автора.

При изучении унитарных представлений как правило используются непрерывные или дифференцируемые представления. Изучение дифференцируемое представлений важно, так как позволяет, например, с помощью представлений групп Ли строить представления соответствующих алгебр Ли. Поэтому вопрос дифференцируемости представлений тоже рассматривался в диссертации.

Реже изучаются разрывные представления. Впервые для локально компактных групп Бихтелер [14] доказал существование разрывных представлений. Однако вопрос о существовании неизмеримых представлений топологических групп является более тонким и ранее не исследовался.

К этому вопросу тесно примыкает также другая проблема о восстановлении унитарного представления группы по ее ограничениям на подгруппу. Хорошо известна теория Фробениуса-Макки об индуцированных представлениях для локально компактных групп [13]. В ней используется мера Хаара. Для топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп теория индуцированных представлений с помощью квазиинвариантных мер была практически неразработанной. С другой стороны, важно знать имеет ли данная подгруппа нетривиальные унитарные представления. Топологическая группа, не имеющая непрерывных нетривиальных унитарных представлений, называется экзотической. Такие группы почти не были исследованы и впервые были введены в 1975 году [19]. В статьях автора диссертации эта тема была

также продолжена для подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп, таких как группы петель [8].

Эта тема исследований обсуждалась диссертантом также с академиком, доктором физико-математических наук Гельфандом Израилем Моисеевичем летом 1996 года на математическом отделении международного института теоретической физики (ICTP) в г. Триесте в Италии. Гельфанд И.М. отметил, что это направление исследований интересно, актуально, является новым и важным как для теории представлений, так и для неархимедова анализа. Более того, Гельфанд И.М. предложил развить его теорию, опубликованную совместно с Вершиком и Граевым в Успехах математических наук в 1975 году, о пуассоновых мерах на конфигурационных пространствах и унитарных представлениях групп диффеоморфизмов римановых многообразий на новый случай групп диффеоморфизмов неархимедовых многообразий.

Таким образом, данная область топологической алгебры является актуальной, как для развития математики, так и для развития теоретической и математической физики.

Целью работы является:

1) Определение и исследование топологических (возможно, не являю
щихся локально компактными) групп преобразований неархимедовых
многообразий, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток.

1. Изучение групповой и топологической структуры топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп преобразований многообразий.

2. Развитие в неархимедовом случае вспомогательного инструмента теории квазиинвариантных мер. Построение и исследование квазиинвариантных мер на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах преобразований неархимедовых многообразий и на ассоциированных конфигурационных пространствах.

3. Исследование ассоциированных с квазиинвариантными мерами алгебр и унитарных представлений, также их измеримости, непрерывности, восстановлению их по ограничению на подгруппу, исследование индуциро-

ванных представлений, изучение существования экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

Научная новизна Основные результаты диссертации следующие:

1. Определены группы диффеоморфизмов и группы обёрток многообразий на банаховых пространствах над неархимедовыми полями. При этом для этих групп рассмотрены как конечномерные, так и бесконечномерные многообразия над соответствующими полями. Для групп диффеоморфизмов и групп обёрток исследована их групповая и также топологическая структура. Доказано, что эти группы вполне несвязны и не удовлетворяют локально формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа. В неархимедовом случае по сравнению с классическим найдены принципиальные отличия в их строении.

2. Построены квазиинвариантные меры на этих группах относительно плотных подгрупп. В неархимедовом случае это потребовало развития теории квазиинвариантных и псевдодифференцируемых мер на неархимедовых банаховых пространствах. При этом в неархимедовом случае построены как аналоги гауссовых мер, так и более широкие классы мер.

3. С помощью предыдущих результатов диссертации также построены вспомогательные квазиинвариантные меры пуассонова типа на соответствующих конфигурационных пространствах.

4. Построены регулярные сильно непрерывные унитарные представления плотных подгрупп вполне несвязных групп, в частности, групп диффеоморфизмов и групп обёрток, ассоциированные с квазиинвариантными мерами как на группах, так и на соответствующих конфигурационных пространствах. Исследованы условия, накладываемые на меры и группы, при которых такие унитарные представления топологически неприводимы.

5. С использованием квазиинвариантных мер построены неассоциативные некоммутативные гильбертовы алгебры, для них доказан аналог теоремы Гельфанда-Мазура. Показано, что, в частности, для локально компактных групп эти алгебры сводятся к С*-алгебрам, но в общем случае топологических групп, не являющихся локально компактными, структу-

pa этих неассоциативных некоммутативных гильбертовых алгебр иная.

6. Исследованы индуцированные представления топологических групп с помощью квазиинвариантных мер на топологических группах. Рассмотрен вопрос о существовании экзотических и неэкзотических подгрупп топологических (возможно, не являющихся локально компактными) групп.

7. Доказано существование неизмеримых представлений и автоморфизмов топологических групп, а также соответствующее исследование проведено для общих локально компактных групп.

Все основные результаты глав 1-5 получены автором диссертации и являются новыми. Тем самым в пунктах (1 — 5) решена проблема И.М. Гельфанда об унитарных представлениях не локально компактных групп, в пунктах (1,3) решена проблема Макки-Кириллова-Гельфанда о мерах на не локально компактных группах, в пункте (2) решена проблема А.СМ. ван Роой о неархимедовых мерах на банаховых пространствах, в пункте (6) решена проблема об индуцированных представлениях топологических, возможно, не являющихся локально компактными, групп (как развитие по сравнению со случаем локально компактных групп соответствующей теории Макки), в пункте (7) решена обобщенная проблема Бихтелера о существовании неизмеримых унитарных представлений.

Более подробно формулировки теорем основных результатов приведены далее.

Общие методы исследования В диссертации используются методы топологической алгебры, а именно, методы неархимедова анализа, метод алгебр проекционных операторов в теории представлений групп, метод квазиинвариантных мер на группах и ассоциированных конфигурационных пространствах, С*-алгебры и также неассоциативные алгебры.

Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в топологической алгебре, в частности, в неархимедовом анализе, теории представлений нелокально компактных групп, алгебрах мер и алгебрах функций, стохастическом анализе на топологических (возможно, не являющихся локально компактными) группах, а также в теоретической и математической физике, в частности, в калибровочной теории, теории суперструн,

квантовой гравитации, гидродинамике и т.д.

Апробация работы Результаты диссертации докладывались на международных конференциях:

1. "Groups'97"B университете г. Бат (Англия) в августе 1997 г.;

2. "Italian-Spanish conference on general topology and applications "в университете г. Триест (Италия) в 1999 г.;

3. "Workshop on measure theory and real analysis'^ университете г. Гори-ция (Италия) в 1999 г.;

4. "p-Adic analysis "в университете г. Векшё (Швеция) в 2001 г.; на семинарах:

5. теоретического отдела института Общей физики РАН в 1997 г.;

6. отдела математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН в 1998 и 2010 г.г.;

7. лаборатории чистой математики университета г. Клермон-Ферран (Франция) в 1999 г.;

8. математического отделения университета г. Триеста (Италия) в 1999

г.;

9) математического отделения университета г. Сиена (Италия) в 2000 г.;

10. факультета прикладной математики университета г. Эльче (Испания) в 2000 г. и в 2001 г.;

11. математического отделения Фламандского университета ULB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

12. кафедры дифференциальной геометрии математического факультета Валлонского университета VUB г. Брюсселя (Бельгия) в 2004 г.;

13. математического отделения университета г. Антверпена (Бельгия) в 2004 г.;

14. математического отделения университета г. Падова (Италия) в 2004

г.;

15) математического отделения университета г. Милана (Италия) в 2005

г.;

16. математического факультета университета г. Дармштадта (Германия) в 2006 г.;

17. кафедры высшей математики Московской государственной академии

приборостроения и информатики в 2005 г.;

18. кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета в 2009 г.;

19. конференции и заседании кафедры прикладной математики Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета) МИРЭА в 2006 г. и 2009;

на семинарах Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова:

20. П.С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии в 1997-2002 годах;

21. кафедры высшей алгебры в 2000, 2001, 2003, 2004, 2007 и 2009 годах;

22. кафедры высшей геометрии и топологии в 1998-2000 и 2004 годах;

23. кафедры теории функций и функционального анализа в 2002, 2003 и 2007 годах.

Публикации Результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора [1]-[52]. Все результаты диссертации опубликованы в журнальных статьях.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 5 глав и 19 параграфов. Полный объем диссертации - 314 страниц (в том числе оглавление и введение - 19 страниц), приложение занимает 57 страниц. Библиография включает 173 наименования и занимает 16 страниц.

Похожие диссертации на Представления вполне несвязных групп преобразований неархимедовых многообразий

Корни Артина абелевых многообразий и представления группы Вейля-ДелиняСабитова Мария Наилевна

Почти вполне разложимые группы и связи с их кольцами эндоморфизмовБлаговещенская Екатерина Анатольевна

Эффективные свойства вполне разложимых абелевых группМельников, Александр Геннадьевич

Абелевы группы, изоморфные собственной вполне характеристической подгруппеНикольская, Мария Михайловна

-вполне транзитивные абелевы группы без крученияРогозинский, Михаил Иванович

Свойства вербальных подгрупп, автоморфизмы и линейные представления некоторых групп преобразованийБардаков Валерий Георгиевич

Группы преобразований кривыхРогозинников Евгений Алексеевич

Комбинаторная структура группы вибрациональных преобразований плоскости Гизатуллин Марат Харисович

Свободные и несвободные группы дробно-линейных преобразований Игнатов Юрий Александрович

Надгруппы нерасщепимого максимального тора, содержащие одномерное преобразование, в полной линейной группе над полемДжусоева, Нонна Анатольевна