Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Кривые на многообразиях. Группы движений и подобий кривыхнамногообразиях 8
1.1. Обобщенные многообразия и кривые на обобщенных многообразиях 8
1.1.1. Кривые в метрических пространствах 8
1.1.2. Обобщенные многообразия. Основные понятия и определения 15
1.1.3. Кривые на нормированных обобщенных многообразиях и их группы подобий 20
1.1.4. Кривые с блочно транзитивной группой подобий 23
1.1.5. Кривые с транзитивной группой подобий 23
1.1.6. Связь ориентированных подобий и подобий образа кривой 24
1.2. Кривые на гладких многообразиях и в аффинных пространствах 30
1.2.1. Основные понятия и определения 31
1.2.2. Подобия гладких многообразий 32
1.2.3. Подобия кривых на гладких многообразиях 34
1.2.4. Кривые с транзитивной группой подобий в аффинных пространствах 39
1.2.5. Замкнутость кривой в аффинном пространстве в терминах ее группы подобий 43
1.2.6. Свойства класса групп движений кривых на многообразиях 45
Глава 2. Кривые и их обобщения. Группы преобразований кривых и определяемость кривой своей группой преобразований . 47
2.1. Модели и отображения абелевых групп в модели 47
2.1.1. Основные понятия и определения 47
2.1.2. Подмодели. Построение модели по заданному семейству преобразований 54
2.1.3. Отображения абелевых групп в модели 56
2.1.4. Строение групп внутренних ориентированных автоморфизмов отображений абелевых групп в модели 62
2.1.5. Расслоенные модели 69
2.1.6. Обобщенно расслоенные модели 73
2.1.7. Произведение метрических пространств 77
2.2. Определяемость кривой своей группой преобразований . 83
2.2.1. Построение отображения абелевой группы в модель по заданной группе автоморфизмов 84
2.2.2. Основные понятия и определения теории кривых в топологических пространствах 88
2.2.3. Построение кривой по заданной группе гомеоморфизмов 90
Библиография
- Кривые в метрических пространствах
- Связь ориентированных подобий и подобий образа кривой
- Отображения абелевых групп в модели
- Построение отображения абелевой группы в модель по заданной группе автоморфизмов
Кривые в метрических пространствах
Хорошо известно, что множества возможных состояний различных эволюционирующих систем (механических систем, физических объектов, организационных структур и сетей) можно рассматривать как гладкие многообразия [15], называемые конфигурационными многообразиями изучаемых систем [8]. Непрерывная эволюция рассматриваемой системы, т.е. множество ее реальных последовательных состояний, представляет собой траекторию точки на конфигурационном многообразии, т.е. кривую вдоль этого многообразия. Понятие траектории развития системы, первоначально возникшее в физике, распространено в [47] на случай эволюционного развития произвольных организационных сетей.
С математической точки зрения кривые на различного рода геометрических объектах (в аффинных пространствах, в топологических пространствах, на гладких многообразиях) являются классическим объектом исследований [1, 38,45]. Широко рассматривавшиеся ранее в математической литературе группы преобразований геометрических объектов (гомеоморфизмов, движений, подобий и т.п.) являются важнейшими и классическими производными структурами, в терминах которых осуществляется классификация геометрических объектов и проводится исследование их различных свойств [40].
Идея такой классификации была высказана Феликсом Клейном на его выступлении в 1872 году в Эрлангенском университете и получила название эрлангенской программы [40]. Влияние этой программы на дальнейшее развитие геометрии было чрезвычайно велико. На новом уровне повторилось открытие Декарта: алгебраизация геометрии позволила получить глубокие результаты, которые для старых инструментов были крайне затруднительны или вовсе недостижимы. Подход Клейна оказался применимым к самым абстрактным геометриям – многомерным, неевклидовым и т.д. В начале XX века Исай Шур, Эмми Нётер, Эли Картан и другие математики разработали общую теорию представлений групп и теорию инвариантов. Эти исследования не только существенно обогатили геометрию, но оказались необходимы в физике. Герман Минковский в 1905 году включил в схему Клейна теорию относительности, показав, что с математической точки зрения она представляет собой теорию инвариантов группы Пуанкаре, действующей в четырёхмерном пространстве-времени. Аналогичный подход понадобился в теории элемен тарных частиц, квантовой теории и в других физических теориях [11]. В частности, в интенсивно развивающихся в последние десятилетия направлениях физики — теории струн, суперсимметричной квантовой теории поля и теории специальных сетей (special networks) — кривые на гладкий многообразиях, их группы преобразований и группы преобразований, порожденные параллельным переносом тензора вдоль этих кривых (группы голономий), играют ключевую роль [57].
Настоящая работа посвящена изучению кривых, а также некоторых обобщений этого понятия, в терминах их групп преобразований. Первая глава посвящена исследованию кривых на различных геометрических объектах, а также групп преобразований этих кривых. Исследуются особенности строения группы преобразований в зависимости от типов преобразований, от геометрических свойств кривой и свойств пространства, в котором эта кривая расположена.
В разделе 1.1 рассматривается особый класс топологических пространств — обобщенные многообразия, которые являются обобщением одновременно как гладких многообразий, так и метрических пространств. Исследуются геометрические свойства и производные структуры обобщенных многообразий такие, как группы подобий и группы движений как частный случай подобий. На обобщенных многообразиях рассматриваются кривые, для них также вводятся группы подобий, устанавливаются некоторые связи между геометрическими свойствами кривых и свойствами их групп подобий. В частности, для кривых приводятся различные определения понятия «подобие» и указываются классы кривых, для которых эти различные определения эквивалентны.
В разделе 1.2 исследуются кривые на гладких многообразиях, устанавливаются некоторые связи между геометрическими свойствами кривых и свойствами их групп подобий и движений. Для класса изотропных многообразий получена характеризация кривых с постоянными, периодическими и симметричными кривизнами в терминах их групп движений. Для случая кривых в аффинных пространствах найдены параметризации всех кривых, обладающих транзитивными группами подобий, а также доказано необходимое и достаточное условие замкнутости кривой, обладающей нетривиальной группой подобий. Кроме того, в этом разделе исследуются свойства класса групп движений кривых на многообразии. Исследуется замкнутость этого класса относительно взятия подгрупп, прямых произведений и фактор-групп.
Во второй главе исследуются отображения абелевых групп в модели [22], поскольку модели являются обобщением указанных выше геометрических объектов, а отображения абелевых групп в модели являются обобщением кривых на этих геометрических объектах. При этом группы автоморфизмов таких отображений являются обобщением групп движений и подобий кривых. Глава посвящена решению прямой и обратной задачи взаимной определяемо-сти отображения абелевой группы в модель и ее группы автоморфизмов.
В разделе 2.1 вводится понятие модели, доказывается, что для любого множества, на котором задан согласованный набор отображений между подмножествами, существует модель, для которой указанные отображения будут являться гомоморфизмами между своими областями определений и значений. Этот факт показывает, что модель является обобщением указанных выше геометрических объектов, поскольку последние определяются системой отображений, сохраняющих структуру (гомеоморфизмов для топологических пространств, изометрий для метрических пространств и римановых многообразий). Также в этом разделе вводится понятие отображения абелевых групп в модели, для них определяются автоморфизмы двух видов - положительные и отрицательные, описывается строение групп автоморфизмов в зависимости от свойств отображений. Рассматривается важный частный случай таких отображений — функции действительного аргумента, которые наиболее близки по своим свойствам к кривым. Кроме того, рассматриваются особые классы моделей – расслоенные модели и обобщенно расслоенные модели, которые являются обобщением произведений метрических пространств, а также важного класса многообразий — расслоенных многообразий [4], и исследуется строение полугрупп эндоморфизмов и групп автоморфизмов таких моделей.
В разделе 2.2 рассматривается задача обратная к той, которая была решена в разделе 2.1: по заданной группе автоморфизмов модели выяснить, существует ли такое отображение некоторой абелевой группы в эту модель, для которого указанная группа будет являться группой автоморфизмов. Также в этой главе решается аналогичная задача для случая кривых в топологических пространствах и групп гомеоморфизмов. Эта задача не является частным случаем предыдущей, так как в данном случае на отображение (кривую) накладывается дополнительное условие непрерывности, которого нет в общем случае для отображений абелевых групп в модели
Связь ориентированных подобий и подобий образа кривой
Топологическое пространство М удовлетворяющее данным условиям назовём обобщённым многообразием, при этом метрические пространства (Xi, pi) назовём картами обобщённого многообразия М.
Отображение / в определении обобщенного многообразия является обратимым, причём обратное отображение f l также удовлетворяет условиям (а) и (б). Продолжим / на векторы касательного пространства Txfi(W) по правилу: f(a) = {/ о а \ а є а}. Из условия (а) следует, что / является биективным отображением между Txfi(W) и Tf fj(W). Причём из условия (б) следует, что при отображении / измеримые векторы переходят в измеримые, а неизмеримые в неизмеримые.
Кроме того при отображении / сохраняется коллинеарность векторов и, в частности, нулевой вектор пространства Txfi(W) переходит при отображении / в нулевой вектор пространства Tf fj(W).
Определим понятие касания двух кривых для кривых на обобщенном многообразии. Рассмотрим две кривые а\: 1\ — М и о : h — М, проходящие о о через точку р є М в моменты t\ є 1\ и Ьі є hi соответственно такие, что ot\(t\) = «2( 2) = Р. Поскольку точка р лежит в некотором открытом множестве Ui, то в силу непрерывности ot\ и «2 существуют открытые множества 1[ С и и Г2 С 12 такие, что о/.і(Іі),а.2(І2) Ui. Скажем, что эти две кривые касаются в точке р, если кривые fioa\ и о«2 касаются в точке fi(p). Очевидно, в силу условия (а) такое определение касания не зависит от выбора множества Ui в котором лежит точка р.
Отношение касание на множестве кривых, проходящих через точку р, как и в случае метрических пространств, является отношением эквивалентности. Таким образом, множество всех кривых, проходящих через точку р, разбивается на классы по этому отношению эквивалентности, и в частности разбивается на классы множество всех кривых a(t) co свойством а(0) = р. Такие классы назовем векторами и обозначим х. Класс, содержащий кривую a(t + to) (т.е. a(to) = р), обозначим [a(t)]t0 или просто [a]to. Множество векторов в точке р є М назовем касательным пространством в точке р и обозначим ТРМ. Очевидно, для каждого вектора единственным образом определено касательное пространство, которому он принадлежит. Обозначим ТМ = {х Зр є М(х є ТРМ)} и назовем это множество касательным расслоением обобщенного многообразия М.
Аналогично случаю метрических пространств для векторов обобщённого многообразия М введём понятие коллинеарности, умножение на элемент из 1 и, в силу условия (б), понятия измеримости векторов, измеримого касательного пространства в некоторой точке р є М (обозначение NTPM) и измеримого касательного расслоения (обозначение NTM). Однако понятие метрической скорости для кривых и векторов на обобщённом многообразии не определено.
Замечание 1.2. В общем случае отображение f в определении обобщенного многообразия не сохраняет топологию на касательных пространствах. Это означает, что топология на касательных пространствах обобщенного многообразия не определена. При дополнительных ограничениях на отображения fi можно добиться того, чтоб топология на касательных пространствах сохранялась, что однако для получения результатов в данной работе не требуется.
Пусть заданы два обобщенных многообразия М\ и М . Любое непрерывное отображение j: М\—) М можно продолжить на ТРМ\ для любой точки р є М\ по правилу f(a) = {/ о а \ а є а}. В общем случае это множество не является элементом Tji M . В случае, если для некоторой точки р є М и для всех [а] є ТРМ\ имеет место / ([а]) С [/ о а] є Т М назо вем отображение / обобщенно дифференцируемым в точке р. Отображение dfp : TpMi — Tf(p)M2, действующее по правилу dfp([a\) = [/ о а] назовем при этом обобщенным дифференциалом отображения / в точке р. Гомеоморфное отображение /: М\ — М назовём изоморфизмом этих обобщенных многообразий, если для любой точки р є Мі справедливо: 1. / является обобщенно дифференцируемым в точке р; 2. х Е NTpMi тогда и только тогда, когда dfp(x) є NTf M2. Лемма 1.8. Отображение обратное к изоморфизму также является изоморфизмом.
Доказательство. Действительно, пусть это не так, тогда для обратного отображения некоторого изоморфизма f:M\— М нарушено одно из двух выше указанных условий. Пусть нарушено первое, тогда возможны два случая:
1. Существуют точка q Є М и векторы х Є TqM2 и у є Tf-i Mi и кривая а є у такие, что f l(x) с у и а ф f l(x). Но так как / биективно отображает М\ на М"2, то / биективно отображает и множество всех кривых на М\ на множество всех кривых на М . Отсюда f(a) ф х и х с f(y). Но ж и f(y) — векторы, т. е. классы, которые либо не пересекаются, либо совпадают, следовательно, х = f(y), но f(a) є f(y) = х. Получено противоречие.
2. Существуют точка q Є М и векторы х Є TqM2 и y,z Є Tf-i Mi, у ф z и кривые а,(3 Є f l(x) такие, что а є у, а (3 є z. Но тогда f(a),f((3) Є х, f(a) є f(y), f(/3) Є f(z). Но f(y) и f(z) — различные векторы, так как у Ф z и / — биекция, причем f(y) П х ф 0 и f(z) П х Ф 0, следовательно, f(y) = х = f(z) — противоречие.
Таким образом, отображение / биективно отображает векторы обобщенно го многообразия М\ на векторы обобщенного многообразия М . Рассмотрим произвольные q є М2, у Є TqM2 и положим для изоморфизма / в условии 2 р = f l(q), х = f l(y), получаем: для любой точки q є М f l(y) Є NTPM\ тогда и только тогда, когда f(f l(y)) = у Є NTf M2, т.е. условие 2 для отображения /_1. Следовательно, и это условие для f l нарушено быть не может.
Рассмотрим мультипликативную полугруппу поля С. Определим на ней конгруэнцию по правилу: х у, если х2 = у2. Фактор-полугруппу С/ обозначим С+. В полугруппе С+ естественным образом определено коммутативное умножение, которое будем обозначать символом , и деление на все элементы, кроме 0. Tакже можно определить умножение элемента ж є С на элемент у є С+ по правилу х у = у х = ф(х) у, где ф — естественный гомоморфизм полугруппы С в С+.
Отождествим С+ с полуплоскостью {z Re(z) 0} U {іу \ у 0} (как множества). Подмножество С+, в которое отображается Ш при естественном гомоморфизме, обозначим Ш+ и отождествим с множеством неотрицательных вещественных чисел. При таком отождествлении определено произведение элементов х є С и у є С+ как умножение комплексных чисел. Обозначим такое произведение ху.
Пусть теперь М обобщенное многообразие. Частичную функцию п: ТМ — С+ будем называть нормой вектора, если она удовлетворяет условию п(Хх) = А п(х) для всех Л є Ш и для всех х є ТМ, для которых она определена. Обобщенное многообразие с заданной на нем нормой будем называть нормированным обобщенным многообразием.
Замечание 1.3. 1. Необходимость определения нормы как отображения касательного пространства в полугруппу С/С2 вызвана тем, что норма является обобщением длины вектора на псевдо-римановом многообразии, которая определяется как один из квадратных корней из скалярного квадрата вектора. Для того, чтобы операция извлечения корня была однозначна, необходимо отождествить точки х и —х комплексной плоскости. Таким образом, операция извлечения квадратного корня является однозначной функций (и даже гомоморфизмом) между полугруппами С и С+.
Отображения абелевых групп в модели
В данном разделе исследуются отображения абелевых групп в модели, а также группы автоморфизмов таких отображений. Дается описание строения указанных групп автоморфизмов в зависимости от свойств отображений, а также рассматривается важный частный случай таких отображений — функции действительного аргумента. Кроме того, рассматривается особый класс моделей — расслоенные модели, и исследуется строение групп автоморфизмов таких моделей.
. Основные понятия и определения Пусть S,J — множества. Отношением р арности J на множестве S назовем подмножество р множества SJ. Моделью назовем пару (51, Е), где S — множество, Е = {pi і є /} — набор отношений, / — индексное множество. Множество S будем называть носителем модели (5, Е).
Гомоморфизмом моделей (5 1, Е) и (5 2, S) с одинаковыми наборами отношений назовем отображение f:S\ — S2 такое, что для любого р є S и любой функции s є р функция /(s) є р, где /(s) действует по правилу /(s)(j) = /(s(j)) для всех j є D(s). Эндоморфизмом модели (5і, Е) назовем гомоморфизм f:S— S. Моноид всех эндоморфизмов модели (5, Е) обозначим EndfS, Е]. Автоморфизмом модели {S, Е) назовем биективный эндоморфизм / этой модели такой, что f l также является эндоморфизмом. Группу всех автоморфизмов модели (5і, Е) назовем полной группой автоморфизмов этой модели и обозначим Aut(5 , Е) либо Aut(S), если набор отношений фиксирован. Любую подгруппу этой группы назовем группой автоморфизмов модели S.
Замечание 2.1. 1. Полугруппы P[Sn\Sn-i n-i- - iS] и P(Sn\Sn-i n-i- - iS) не зависят от выбора ; при і п. В частности, всегда можно полагать, что j =«,» при і п.
В полугруппах P[Sn n- - iS] и P(Sn n- - iS) всегда можно полагать, что среди ; не более одного символа «». Максимальным (по включению) множеством среди Si (і є 0,п), на котором определено действие этих полугрупп, является множество, имя которого стоит в записи указанных полугрупп сразу после символа «» слева, любо это множество S, если символ «» в записи полугрупп отсутствует. Назовем это множество областью определения указанных полугрупп.
В частности среди всех полугрупп преобразований множества Q с областью определения М, которые можно построить по полугруппе Р, максимальными по включению является P[Q,M\S] и P(Q,M\S).
Если Р — группа, то P(Sn п i S) является группой при любом п є N и любом выборе і,..., п и S\,..., Sn. Если ее область определения Si для некоторого і, назовем ее группой преобразований множества Sn c областью определения Si построенной по группе Р. Доказательство. (1) и (2) следуют тривиально из свойства ограни чения отображения /\А = /\В\А для А С В. (3) следует из того, что пре образования полугруппы слева должны оставлять на месте все множества, которые оставляют на месте преобразования полугруппы справа, таким обра зом все преобразования в полугруппе слева содержатся в полугруппе справа. (4) доказательства не требует. Если на множестве S определена модель, то качестве символа Р можно взять End или Aut. Тогда получатся определения соответствующих полугрупп эндоморфизмов либо групп автоморфизмов.
Пусть Q С М С S. Элементы моноида End[Q,M5] (либо группы Aut(Q,M\S)) назовем эндоморфизмами (соответственно автоморфизмами) множества Q в множестве М. Элементы моноида End[Q, S] (либо группы Aiit(Q, S)) назовем эндоморфизмами (соответственно автоморфизмами) множества Q (в модели S). Элементы моноида моноида End[QIS] (либо группы Aut(Q\S)) назовем внутренними эндоморфизмами (соответственно автоморфизмами) множества Q (в модели S). Моноид End[Q, M\S] (либо группу Aut(Q,M\S)) назовем полной полугруппой (соответственно группой) эндоморфизмов (соответственно автоморфизмов) множества Q в множестве М. Моноид EndfQ, ] (либо группу Aut(Q,S)) назовем полной полугруппой (соответственно группой) эндоморфизмов (соответственно автоморфизмов) множества Q (в модели S). Моноид End[Q IS] (либо группу Aut(Q\S)) назовем полной полугруппой (соответственно группой) внутренних эндоморфизмов (соответственно автоморфизмов) множества Q (в модели S). Подполугруппы (соответственно подгруппы) указанных полугрупп (соответственно групп) назовем полугруппами (соответственно группами) эндоморфизмов (соответственно автоморфизмов) множества Q.
Рассмотрим полугруппу P[Sn п i S] для некоторой цепочки 5П С С Si С S. Очевидно, что отношение Po[Sn п i S] = {( ?i, #2) I 9i- 92 P[Sn n i S] Л Ух Є Sn(gi(x) = g2{x))} является конгруэнцией на P[Sn n i S]. Аналогично отношение Po{Sn n i S) = {(gi, 2) I #ъ#2 P{Sn n i S) Л Ух є Sn(gi(x) = #2(ж))} является конгруэнцией на P(Sn п i S). Рассмотрим подполугруппу Po{Sn п i S) = {д є P(Sn n i S) І Уж є Sn(g(x) = x)} полугруппы P[Sn n- - i S1. Элементы этой подполугруппы будем называть тривиальными преобразованиями множества Sn в полугруппе P[Sn п i S]. Очевидно, в случае, если Р — группа, то Po(Sn п i S) является нормальной подгруппой в P(Sn п i S). В случае, если Р полугруппа эндоморфизмов либо группа автоморфизмах будем говорить о тривиальных эндоморфизмах либо, соответственно, автоморфизмах.
Замечание 2.2. Пусть S — модель, М с S, тогда endo[MS] = {{g,g) \ g є End[M, S]}, Auto(MS) = {id}. Пусть M С S, полугруппы G и H действуют на M. При этом не требуется, чтобы действие элементов групп G и Н было определено на S. Будем говорить, что полугруппы G и Н действуют эквивалентно на М, если для любого g є G существует h є Н такой, что g(y) = h(y) для всех у є М, и для любого h є Н существует g є G такой, что h(y) = g(y) для всех у є М. Замечание 2.3. 1. Две полугруппы, действующие эквивалентно на некотором множестве, либо одновременно являются либо одновременно не являются полугруппами эндоморфизмов этого множества.
Полугруппы, действующие изоморфно на некотором множестве, действуют на нем эквивалентно. Пусть полугруппа Р действует на множестве М, ро — конгруэнция на Р. Элемент фактор-полугруппы Р/ро, являющийся образом элемента g є Р при естественном гомоморфизме Р в Р/ро, обозначим дРо. Рассмотрим множество МРо = {х є S V(#1,(72) Ро(ді(%) = 92(%))}. Следующая лемма устанавливает, что на множестве МРо можно естественным образом определить действие полугруппы Р/ро.
Лемма 2.1. Пусть М — множество, Р — полугруппа преобразований этого множества, ро — конгруэнция на Р. Тогда множество МРо = {х є S V(#i,#2) Po(gi(%) = 92(%))} является инвариантным подмножеством множества М относительно действия полугруппы Р. Кроме того, фактор-полугруппа Р/ро является полугруппой преобразований множества МРо, действуя на нем по правилу дРо(х) = д(х) для всех g є Р и для всех х є MQ0. Причем группы Р и Р/ро действуют эквивалентно на МРо.
Доказательство. Покажем, что МРо является инвариантным подмножеством относительно преобразований полугруппы Р. Предположим противное, пусть существует точка у є МРо и g є Р такие, что д(у) = х ф МРо. Тогда по определению множества МРо существует пара (#і,#2) Є Ро такая, что д\(х) т д2(х). Так какро конгруэнция на Р, имеем (дід,д2д) є ро, в частности, д\д{у) = д2д{у). Но д\д{у) = д\{х) ф #2(ж) = д2д{у). Противоречие. Покажем корректность определения действия полугруппы Р/ро на МРо. Пусть #і,#2 Р такие, что (#і,#2) Є Ро. Тогда д\(у) = #2(2/) для всех у є МРо. Эквивалентность действий Р и Р/ро на МРо очевидна из корректности опре деления действия Р/ро на МРо. П Следствие 2.1. Пусть М — множество, G — группа преобразований этого множества, Go — нормальная подгруппа в G. Тогда множество
MQ0 = {х є М У до є Go(go(x) = х)} является инвариантным подмножеством множества М относительно действия группы G. Кроме того, фактор-группа G/GQ является группой преобразований множества MQ0, действуя на нем по правилу gGo(x) = g(x) для всех g є G и для всех х є MQ0. Причем группы G и G/GQ действуют эквивалентно на MQ0.
Построение отображения абелевой группы в модель по заданной группе автоморфизмов
В разделе 2.1 было получено описание строения групп автоморфизмов отображений абелевых групп в модели. В настоящем разделе решается обратная задача: по заданной группе автоморфизмов модели выяснить, существует ли такое отображение некоторой абелевой группы в эту модель, для которого указанная группа будет являться группой ориентированных автоморфизмов. При этом среди всех отрицательных автоморфизмов будем рассматривать только отрицательные автоморфизмы основного типа, поскольку, как ранее было показано, только такие автоморфизмы могут являться непрерывными преобразованиями кривых. Также в этой главе решается аналогичная задача для случая кривых в топологических пространствах и групп гомеоморфизмов. Эта задача не является частным случаем предыдущей, так как в данном случае на отображение (кривую) накладывается дополнительное условие непрерывности, которого нет в общем случае для отображений абе левых групп в модели. Приводится конструктивное решение указанных задач для класса групп автоморфизмов, относительно которого в теореме 2.4 было установлено необходимое условие того, что только группы этого класса могут являться группами внутренних ориентированных автоморфизмов отображений абелевых групп в модели. В ряде случаев для кривых в топологических пространствах исследуется вопрос о единственности построенной кривой и о ядре действия группы на построенной кривой.
Пусть (X, +) — абелева группа. Согласно первой части теоремы 2.3 для того, чтобы группа автоморфизмов G модели S являлась группой положительных автоморфизмов некоторого отображения а: X — S необходимо, чтобы существовала нормальная подгруппа Go в G такая, что G/Go является гомоморфным образом некоторой подгруппы из X. При этом Go была бы максимальной подгруппой в G, которая действует тривиально на точках а(Х). Покажем, что этих условий также и достаточно для существования отображения такого а: X — S. Теорема 2.14. Пусть (51, Е) — модель, (X, +) — абелева группа. Пусть G — группа автоморфизмов модели S, Go — нормальная подгруппа G такая, что G/Go является гомоморфным образом некоторой подгруппы из X.
Множество So = {р є S \ У до є Go(go(p) = р)} непусто тогда и только тогда, когда существует отображение а: X — S, для которого G является группой положительных автоморфизмов, а Go — максимальной подгруппой тривиальных автоморфизмов в G.
Доказательство. Необходимость. Пусть So 0 и G/Go является гомоморфным образом подгруппы Y из X. Обозначим через ф соответствующий гомоморфизм. Рассмотрим множество всех смежных классов X/Y. Выберем из каждого смежного класса по представителю и обозначим через Z множество этих представителей. Тогда имеет место следующее дизъюнктное объединение: zeZ Рассмотрим произвольное отображение a: Z — So и продолжим его на множество X следующим образом: любой элемент х є X единственным образом представим в виде х = у + z для некоторых у EY и z є Z. Тогда положим
Такое определение корректно в силу леммы 2.1. Получено отображение а: X — S. Покажем, что его положительной группой автоморфизмов является G. Действительно, для любого д є G такого, что QGQ = ф(у ) для некоторого у є Y, и любого х є X такого, что х = у + z, где у є Y, z є Z, имеет место
Отсюда, g — положительный автоморфизм сдвига у для отображения а. Подгруппа Go действует тривиально на точках а(Х), так как а(Х) С So, а на So группа Go действует тривиально.
Достаточность. Если предположить, что So = 0, то группа Go не фикси рует ни одной точки в S. Но по условию Go действует тривиально на точках а(Х). Противоречие. Рассмотрим теперь случай, когда группа G удовлетворяет п. 1 и 2 теоремы 2.3 (для случая отрицательных автоморфизмов основного типа). Следующая теорема устанавливает условия, при которых существует отображение а: X — S, для которого G будет являться группой ориентированных автоморфизмов.
Теорема 2.15. Пусть (S, Е) — модель, (X, +) — абелева группа. Пусть G — группа автоморфизмов модели S, G+ и Go — нормальные подгруппы G такие, что Go G+ и G/Go изоморфна полупрямому произведению G+/Go на С2, причем G+/Go является гомоморфным образом некоторой подгруппы из X, С2 = {1,а}, причем a(gGo)a = g lG$ для всех g є G+, и автоморфизмы (gGo)a множества So = {р Є S Vgo Є Go{go{p) = р)} для всех g є G имеют неподвижные точки.
Тогда существует отображение а: X — S, для которого G будет являться группой ориентированных автоморфизмов, G+ — максимальной подгруппой положительных автоморфизмов в G, а Go — максимальной подгруппой тривиальных автоморфизмов в G. Доказательство. Пусть Y — подгруппа в X, гомоморфным образом которой является G+/Go. Обозначим через ф соответствующий гомоморфизм. Рассмотрим множество всех смежных классов X/Y. Выберем из каждого смежного класса по представителю и обозначим через Z множество этих представителей. Заметим, что множество (-Z) = {—z \ z є Z} также является множеством представителей смежных классов из X/Y. Действительно, рассмотрим произвольный смежный класс х + Y. В множестве Z выберем представитель z класса (—х) + Y. Следовательно, z Є (—х) + Y, отсюда (—z) є х + Y, т. е. (—z) — представитель класса х + Y. Также в множестве (-Z) каждый смежный класс имеет ровно одного представителя, так как, если некоторый класс x + Y имеет два представителя (—z\) и (— 2), то в множестве Z класс (—x)+Y имеет два представителя z\ и Z2, что невозможно.
Для элемента z Є Z возможны две ситуации: 1. Элементы z и (—z) представляют один и тот же смежный класс в X/Y. Обозначим через Z\ множество таких элементов z. Заметим, что при этом 2z Є Y 2. Элементы z и (—z) представляют разные смежные классы в X/Y. Разобьем множество таких смежных классов на пары по правилу: если класс U обладает представителем z\ є Z, то в пару ему поставим класс V, представителем которого в множестве (-Z) будет элемент (—z\). Покажем, что, если представителем класса V в множестве Z является элемент Z2, то в множестве (-Z) представителем U будет (— 2), т.е. порядок элементов в паре не является существенным. Действительно, если (—z\) и Z2 — представители класса V для некоторого z Є X, то (—z — z\) є Y, отсюда (—2) Є z\ + Y, т.е. (—Z2) — представитель того же класса, что и z\, а именно класса U. Выберем теперь для каждой такой неупорядоченной пары (U, V) классов по паре представителей вида (z, —z), где z Є Z. Множество всех первых компонент выбранных пар представителей обозначим ZQ, множество всех вторых компонент выбранных пар представителей обозначим ZQ .
