Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вербальные подгруппы HNN-расширений
1. Вербальные подгруппы и квазигомоморфизмы 23
2. Ширина вербальных подгруп HNN-расширений 26
3. Ширина вербальных подгруп групп
с одним определяющим соотношением 37
Глава 2. Вербальные подгруппы и финитная отделимость подгрупп в свободной группе
1. Алгоритм вычисления коммутаторной длины 41
2. Представление степеней в виде произведения коммутаторов . 48
3. Алгебра пар 56
4.0 разрешимости некоторых уравнений 66
5. К Вопросу Д. И. Молдаванского о р-отделимости подгрупп свободной группы 74
Глава 3. Группа сопрягающих автоморфизмов и группы кос многообразий
1. Вербальные подгруппы некоторых групп Артина 79
2. Группа кос и группа сопрягающих автоморфизмов 85
3. Теорема о строение группы сопрягающих автоморфизмов 87
4. Свойства группы сопрягающих автоморфизмов 94
5. Другие разложения группы сопрягающих базис автоморфизмов 96
6. Линейные представления группы сопрягающих автоморфизмов 104
7. Линейные представления групп кос некоторых многообразий 112
8. Точное линейное представление группы Aut(F2) 118
Глава 4. Группы подстановок и автоморфизмы свободного модуля
1. Гипотезы Бреннера-Эванса 121
2. Об автоморфном вхождении в подгруппу свободной группы 130
Глава 5. Об обобщении групп фибоначчи и регулярной ис-черпываемости групп
1. Группы с циклическим генетическим кодом 134
2. Асферичность групп Gn(m, к) 140
3. Группы с нечетным числом порождающих 147
4.0 конечности групп Gn(m, к) 150
5.0 регулярной исчерпываемости групп 152
Глава 6. Алгебраические методы в дифференциальных уравнениях и обратных задачах математической физики
1. О классификации по старшей части
дифференциальных уравнений 158
2. Дифференциальные тождества и связи между ними 176
3. Решение обратной задачи для матричного уравнения переноса 188
Литература
- Ширина вербальных подгруп HNN-расширений
- Представление степеней в виде произведения коммутаторов .
- Теорема о строение группы сопрягающих автоморфизмов
- Об автоморфном вхождении в подгруппу свободной группы
Введение к работе
В работе исследуются группы, построенные при помощи групповых конструкций (свободные произведения с объединением, HNN-расширения, полупрямые произведения и др ), группы автоморфизмов свободных групп и свободных модулей, фундаментальные группы компактных трехмерных многообразий, рассматриваются некоторые приложения алгебраических методов
Первоначально группы появились как группы преобразований, вначале конечных множеств, а потом и бесконечных Затем стали изучать преобразования и других множеств Изучение преобразований векторных пространств привело к появлению линейных групп Позднее стали изучаться группы автоморфизмов различных алгебраических систем В последние десятилетия появились и активно изучаются классы гиперболических и автоматных групп, которые можно рассматривать как группы преобразований метрических пространств и группы преобразований слов над некоторым алфавитом [25, 32, 34, 41, 70, 93]
Изучение группы кос и группы сопрягающих автоморфизмов относится к важному направлению в подгрупповом описании группы автоморфизмов свободной группы Для вербальных подгрупп произвольной группы традиционно вызывают интерес вопросы вычисления ширины вербальных подгрупп и длины элементов относительно тех или иных подмножеств
Наиболее общий результат о ширине вербальных подгрупп принадлежит Ю И Мерзлякову [40] всякая вербальная подгруппа алгебраической группы G GLn(fi), где Q — алгебраически замкнутое поле бесконечной степени трансцендентности над простым подшшем, имеет конечную ширину относительно любого слова v В других работах выбирались конкретные группы G, слова v и давались оценки ширины wid(G, v)
Ряд работ посвящен исследованию ширины коммутанта некоторых классических групп относительно коммутатора v = х 1у 1ху Так, например, Томпсон [132] доказал, что если F — поле, то wid(GLn(.F), v) — 1, wid(SL„(.F),?j) 2 при любом п 2 Гоу [92] доказал, что ширина widfSp f.F ), v) коммутанта симплек-тической группы не превосходит 2 при любом п 1
Ито [100] доказал, что при п 5 всякий элемент из коммутанта симметрической группы Sn является коммутатором Оре [116] обобщил этот результат на группу подстановок счетного множества
Отметим, что проблема вычисление ширины симметрической ж знакопеременной группы, а также линейной группы над конечным полем представляет интерес для криптографии (см [13])
Можно показать [144, лемма 1], что ширина wid(G, V), вообще говоря, зависит от множества V, а не только от подгруппы V(G) Поэтому, говоря о наиболее употребительных вербальных подгруппах, мы будем иметь в виду ширину относительно их естественного задания, например, для коммутанта — относительно коммутатора [ж, у] = х 1у"1ху, а для 5-й степени — относительно слова.
Многие авторы изучали следующий вопрос как меняется ширина вербальных подгрупп при различных групповых конструкциях, т е если А и В — группы, G — группа, полученная из Л и В при помощи некоторой групповой конструкции (свободное произведение с объединением, HNN-расширение, расширение, сплетение и т д ), то как выражается ширина wid(G, V) через wid(j4, V) и md(B, V)7
В этом направлении Ремтулла [118,119] доказал, что 1) в нетривиальном свободном произведении А В ширина всякой собственной вербальной подгруппы v(A В) относительно слова v бесконечна тогда и только тогда, когда А 3 и В 2, 2) коммутант любой конечно порожденной разрешимой группы ступени разрешимости 3 имеет конечную ширину Вопрос М И Каргаполова, справедлив ли этот результат для произвольной конечно порожденной разре шимой группы, остается открытым (см [30, вопрос 4 34]), хотя доказано [48], что ширина всякой вербальной подгруппы полициклической; группы конечна
В работах X С Аламбергеяова и В А Романькова [2], а также Акхаван-Малаери и Ремтуллы [59] найдена ширина коммутанта свободной нильпотент-ной группы Б Г Смирнова [52] исследовала ширину вербальных подгрупп относительно слов хт, т Є N, в свободной двуступенно нильлотентной группе Nn 2 ранга п Она доказала, что wid(JV„)2,2fe) = 2[п/2] + 1 при п 2, к 1 и widfiVji , x2k+1 ) = 1 при всех натуральных п и к
Далее будем считать, что V — конечное, собственное (т е вербальная подгруппа V{F-i) нетривиальна и отлична от всей группы F2) множество слов
Ширина вербальных подгрупп свободных произведений с объединением исследовалась в работах Р И Григорчука [15], И В Добрыниной [21], а также В А Файзиева [85] Наиболее общий результат принадлежит В А Файзиеву если G = А и В и число двойных смежных классов А по U не меньше 3, а \В U\ 2, то ширина "wid(G, V) бесконечна (В этом случае будем говорить, что G не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины )
Другой подход к вычислению ширины вербальных подгрупп предложил Р И Григорчук [15] Используя связь между второй группой ограниченных когомологий H (G) группы G и шириной коммутаторных вербальных подгрупп группы G, он получил частичный ответ на вопрос из препринта [143], а точнее, доказал, что если группа G = А цВ удовлетворяет условиям из предыдущего абзаца, а V — коммутаторное множество слов, то ширина wid(G, V) бесконечна Кроме того, Р И Григорчук изучал ширину вербальных подгрупп HNN-расширений относительно коммутаторного множества слов
Вопрос о вычислении коммутаторной длины в произвольной группе G сформулировал М Громов [94, р 145] В частности, он спрашивал как связана с1(з) и с1(зт) для натурального т и д € G По-видимому, первый алгоритм вычисления коммутаторной длины в свободной группе был построен Голдстейном и Тернером [90] Затем Каллер [77] дал другой алгоритм вычисления коммутаторной длины, который может быть использован не только для свободных групп, но и для свободных произведений Кроме того, он установил, что если а и Ь — свободные порождающие свободной группы -?2, то для всякого натурального т справедливо равенство cl([a, Ь]т) = [т/2] + 1 Еще один алгоритм вычисления коммутаторной длины молено извлечь из работы А Ю Ольшанского [46] Все эти алгоритмы, в той или иной степени, используют геометрические соображения графы в работе [90], диаграммы на ориентируемых поверхностях в работах [77] и [46]
Группа Вп широко используется Б теории узлов, так как проблема классификации узлов сводится (по теореме А А Маркова) к ряду алгебраических проблем, связанных с группами Вп, п = 1, 2, А А Марков [37] построил нормальную форму слов в группе Вп
Г С Маканина сформулировал следующий вопрос "Построить косу, принадлежащую коммутанту группы кос и не являющуюся коммутатором" (см [30, вопрос 6 22]) Ю С Семенов [50] указал в ?3 элемент, равный произведению двух коммутаторов и не сводящийся к одному коммутатору Н Н Репин [47] показал, что относительно слова [х, у] коммутанты групп В% и Вц имеют бесконечную ширину, а затем В Г Дурнев и В К Шалашов [23] установили, что и любая собственная вербальная подгруппа этих групп, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину Их доказательство основано на том, что группы В3 и ВІ допускают гомоморфизм на свободное произведение Ъч Zi-it а всякая собственная вербальная подгруппа свободного произведения А 5, \А\ 2, \В{ 3, определенная конечным множеством слов, имеет бесконечную ширину При п 5 гомоморфизма группы Вп на такое свободное произведение не существует [22], поэтому необходимы существенно иные соображения
Хорошо известно (см , например, [25, с 25]), что всякая матрица из общей линейной группы GLn(F) надполем F представима в виде произведения элементарных трансвекций и диагональной матрицы, причем из самого доказательства легко вытекает оценка числа элементарных трансвекций, требующихся для такого разложения Это число зависит только от п и не зависит от самой матрицы
Много работ посвящено вычислению ширины линейных групп относительно различных множеств порождающих Перечислим некоторые из них Картер и Келлер [71] доказали, что ширина группы SLn(0), где О — кольцо целых чисел алгебраического числового поля, относительно множества элементарных трансвекций конечна В работе С И Адяна и Меннике [5S] дано более простое доказательство этого факта для случая, когда О — кольцо целых рациональных чисел % К X Закирьянов [24] установил конечность ширины симплектической группы Sp2n(0), п 3, относительно множества элементарных матриц Аналогичные результаты для некоторых групп Шевалле над тем же кольцом О получил О Н Тавгень [54] С другой стороны, ван дер Каллен [102] доказал, что если F — поле бесконечной степени трансцендентности над своим простым подполем, то группа SLn(F[x}) при п 2 имеет бесконечную ширину относительно множества элементарных трансвекций
Так как группа матриц GL fi?) над кольцом R изоморфна группе автоморфизмов Ghn(M) свободного n-мерного модуля М = Rn, то естественно изучать разложения автоморфизмов из G Ln(M) в произведение простых автоморфиз мов, которые в случае коммутативного кольца І? исчерпываются трансвекциями и дилатациями Теорема Дьедонне [78] утверждает, что если V — n-мерное векторное пространство над полем F, то всякое преобразование а Є GL„(y), не являющееся большой дилатацией, представимо в виде произведения п — 1 хрансвекций и одного простого преобразования, если же о является большой дилатацией, то она представима в виде произведения п трапсвекций и одного простого преобразования В работе [139] было получено обобщение теоремы Дьедонне для группы автоморфизмов GL„(M) свободного n-мерного модуля М = R" над некоторым кольцом R В качестве следствия установлено, что ширина группы SLn(Z) относительно множества коммутаторов не превосходит 10 при всех п 3 (Известно, что при п = 2 эта ширина бесконечна) Тем самым улучшена оценка М Ньюмена [113] ширина группы SL„(S) не превосходит сіп(тг) + 40, где с = 21п(3/2) Отметим, с другой стороны, что для достаточно больших п эта ширина 4 (см [133])
Для произвольной группы G, содержащей элементы конечного порядка к, можно поставить вопрос об описании элементов из G представимых в виде произведения элементов порядка к В частности, если I — некоторое натуральное число, то возникает вопрос об описании элементов из G имеющих длину I относительно множества элементов порядка к
Ряд работ посвящен ответу на этот вопрос в знакопеременной группе Ап Так Моран [111] доказал, что в Ап при п 2 не всякий элемент представим в виде произведения двух инволюций из Ап, хотя всякий элемент представим в виде произведения двух элементов порядка 3 (см [60]) В работе [69] доказано, что всякий элемент из Ап при п 15 представим в виде произведения двух элементов порядка 5
Исходя из этих результатов Бреннер и Зване [69] сформулировали проблему описания четных подстановок, представимых в виде произведения двух подстановок порядка к, к 4 В частности, они сформулировали следующие гипотезы
Гипотеза 1. При любых целых к 4 л т 1 всякий элемент группы Aim представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из т циклов длины к
Гипотеза 2. Пусть к — простое натуральное число, сравнимое с 1 по модулю 4 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 412 3fc_5 2 не является произведением двух подстановок порядка к в группе A K-I
Гипотеза 3. Пусть к — простое натуральное число, к 7 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 3122К 2 не является произведением двух подстановок порядка к в группе А -г
Справедливость первой гипотезы была доказана при /с = 4,т 1и& 5; т = 1 (см [68], [62]) В полном объеме справедливость первой гипотезы установлена в работе автора [137] Справедливость второй гипотезы была установлена при к = 5 в работе [69] Там же было отмечено, что при к = 7 справедли вость третьей гипотезы была проверена Листом, который использовал таблицу характеров иг компьютерные вычисления
Фундаментальные группы компактных двумерных многообразий хорошо известны [38] и достаточно подробно изучены В то же время [28, §5 1] для п 4 каждая конечно определенная группа может быть реализована как фундаментальная группа некоторого замкнутого ориентируемого «-многообразия Случай трехмерных многообразий является наиболее сложным, поскольку, как показал Столлингс [128], не существует алгоритма, позволяющего по конечному генетическому коду группы определить является ли данная группа фундаментальной группой некоторого трехмерного многообразия
Отметим, что класс групп Gn(m, к) содержит многие известные и активно изучавшиеся ранее группы При т = 1, к — 2 имеем Gn(l, 2) = F(2, п) группы Фибоначчи, введенные Конвеем в [76] Как показали Хеллинг, Ким и Менни-ке [98], если п 4 четно, то F(2,n) являются фундаментальными группами трехмерных многообразий Более того, при п 8 эти многообразия являются гиперболическими С другой стороны, как заметил Маклахлан [108], если п нечетно, то F(2,n) не может быть фундаментальной группой гиперболического трехмерного орбифолда (в частности, многообразия) конечного объема Асферичность и аторичность широкого класса обобщенных групп Фибоначчи были исследованы Прищеповым [117] При m = 2, к = 1 имеем G„(2,1) = S (ТІ.) -группы Сирадски, изучавшиеся в [125], где было показано, что они являются фундаментальными группами трехмерных многообразий
Кроме того, в работе [72] сформулирован следующий вопрос являются ли группы Gn(m, к) фундаментальными группами трехмерных многообразий17
Следуя А И Мальцеву [36], будем говорить, что подгруппа Н группы G финитно отделима от элемента g є G \ Н, если существует гомоморфизм р группы G в некоторую конечную группу, при котором (р(д) р(Н) Подгруппу, которая отделима от всех не входящих в нее элементов, называют финитно отделимой Рассматривая вместо гомоморфных отображений на конечные группы гомоморфизмы в группы какого-либо другого класса 1С, придем к определению отделимости в классе 1С Проблема финитной отделимости подгрупп тесно связана с проблемой вхождения элементов в подгруппу [36]
Из результата М Холла [96] следует, что любая конечно порожденная подгруппа свободной группы является финитно отделимой Д И Молдаванский сформулировал следующий
Вопрос ([30, вопрос 15 60]) Верно ли, что любая конечно порожденная р -изолированная подгруппа свободной группы отделима в классе конечных р— групп?
В пользу этой гипотезы говорит результат Е Д Логиновой [33, § 3] о том, что во всякой конечно порожденной нильпотентной группе любая р —изолированная подгруппа отделима в классе конечных р-групп
Цель работы. Целью диссертации является исследование вербальных подгрупп в некоторых классах групп, в частности, вычисление ширины вербальных подгрупп и вычисление длины элементов относительно различных множеств порождающих, изучение различных обобщений групп кос (группы Артина, группы сопрягающих автоморфизмов, группы кос многообразий), решение ряда известных проблем теории групп, сформулированных такими математиками, как П де ля Арп, Бреннер, М Громов, Кавикиоли, Д И Молдаванский, Розенбер-гер и др
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми
Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории групп, теории линейных групп, маломерной топологии, методы классической алгебры, теории дифференциальных уравнений и теории обратных задач математической физики
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер Полученные результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов
Апробация. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных и международных конференциях в Свердловске (1989), в Красноярске (1993, 2002), в Омске (1995), в Санкт-Петербурге (1997), в Новосибирске (2000, 2004), в Туле (2001, 2003), в Екатеринбурге (2001), в Гаєте (Италия, 2003), в Варшаве (2003), в Москве (2003, 2004) Они обсуждались на специализированных семи нарах "Эварист Галуа", "Теория групп", "Алгебра и логика" (ИМ СО РАН и НГУ), на семинаре по алгебре в Красноярском университете, на семинаре по теории групп в МГУ
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах
І136И160]
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, разбитых на 26 параграфов, содержит 6 рисунков, б таблиц и изложена на 206 страницах Список литературы содержит 160 наименований
В диссертации получены следующие основные результаты -доказано, что группа не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины, когда она является HNN-расширением со связанными подгруппами отличными от базовой группы, в частности, когда она порождается более чем двумя элементами и определяется одним соотношением,
- доказано, что во всякой неабелевой свободной группе существует конечно порожденная изолированная подгруппа, не являющаяся р-отделимой ни для какого простого р (отрицательный ответ на вопрос 15 60 Д И Молдаванского из Коуровской тетради),
-доказано, что существет континуум неизоморфных двупорожденных групп, обладающих регулярно исчерпывающей последовательностью линейного роста и не являющихся группами полиномиального роста (отрицательный ответ на вопрос 14 27 А Байяна из Коуровской тетради, а также на вопрос П де ля Арпа),
- найдены условия представимости четных подстановок в виде произведения двух подстановок заданного порядка и, как следствие, подтверждены первые две гипотезы Бреннера-Эванса и опровергнута третья,
- найденные оценки значений функции длины на коммутанте свободной группы относительно множества коммутаторов частично отвечают на вопрос М Громова и на вопрос Эдмундса и Розенбергера,
- доказано, что СЬп — группа сопрягающих базис автоморфизмов разлагается в полупрямое произведение некоторых групп и это разложение согласовано с соответствующим разложением группы крашеных кос, из полученного разложения выводится, что в группах Сп и СЬп при п 4 проблема вхождения в конечно порожденные подгруппы неразрешима,
- построены точные линейные представления следующих групп группы кос Bn(S2) сферы S2, группы классов отображений М(0,п) сферы с п выколотыми точками, группы кос В3(Р2) проективной плоскости Р2, группы автоморфизмов Autfi ) свободной группы ранга 2, также построены линейные представления группы СП1 продолжающие представления Бурау и Лоуренс-Крамера группы кос Вп, К другим результатам, имеющим и самостоятельный интерес относятся
- построен чисто алгебраический алгоритм, позволяющий по произвольному элементу из коммутанта свободной группы находить его коммутаторную длину,
- понятие ширины коммутанта распространяется на производные подалгебры Вычислена ширина производных подалгебр некоторых алгебр,
- доказано, что если элементы х, у, z, v, w свободной группы удовлетворяют уравнению [и, w][x, у] — 2, то ранг группы (ж, j/, z, v,w) не превосходит 2 (ответ на вопрос Эдмундса и Розенбергера),
- дан отрицательный ответ на вопрос 11 20 из Коуровской тетради, сформулированный Ґаглионом я Спеллманом,
- для свободной абелевой группы А конечного ранга и ее подгруппы Н найден критерий, позволяющий для элемента а є А проверить существует ли автоморфизм tf Є Aut{.4) такой, что а? Є Н (ответ на вопрос В Н Безверхнего),
- доказано, что группа кос, а также многие группы Артина конечного и бесконечного типов не имеют собственных вербальных подгрупп конечной ширины,
- доказано, что многие из групп Кавикиоли-Хегенбарта-Реповша с нечетным числом порождающих не могут быть фундаментальными группами гиперболических трехмерных многообразий конечного объема (частичный ответ на вопрос Кавикиоли, Хегенбарта и Реповша)
Ширина вербальных подгруп HNN-расширений
Пусть Fn — свободная группа со свободными порождающими хи , ж„, п 2, У - множество слов из Fn Слово v из Fn назовем коммутаторным, если оно лежит в коммутанте F„ группы Fn Множество V назовем коммутаторным, а определяемую им вербальную подгруппу коммутантпой, если V содержит только коммутаторные слова Множество V будем называть собственным, если вербальная подгруппа V(Fn) является собственном (т е отличной от единицы и всей группы) подгруппой группы Fn Отметим, что если G не свободна, то собственное множество V не обязательно определяет собственную вербальную подгруппу V(G) (в качестве примера можно взять любую простую группу G, которая вообще не содержит собственных вербальных подгрупп) Если же V — несобственное множество слов, то, очевидно, V{G) — несобственная вербальная подгруппа в любой группе G Тем не менее, если G содержит свободную неабелеву подгруппу и V — собственное множество слов, то подгруппа V(G) отлична от единицы Если в группе G всякое собственное множество слов определяет собственную вербальную подгруппу, то будем называть G богатой вербальными подгруппами
Покажем, что ширина вербальной подгруппы зависит от слов, ее определяющих ПРИМЕР Пусть JV2)2 - свободная двупорожденная группа ступени нильпотентности два, т е iV2,a = гр(ж, у 11 [у, х, х] = [у, х, у] = е) и v = х\ — слово от переменной х\ Нетрудно проверить, что вербальная подгруппа v(N2l2) исчерпывается элементами
Легко показать, что всякий такой элемент представим в виде произведения трех значений слова v С другой стороны, нетрудно проверить, что элемент g = хАу4[у, х], принадлежащий (А ), не представим в виде произведения двух значений слова v Поэтому wict(N2,2,w) — 3
Если же мы рассмотрим слово и = х\х\х\, то нетрудно заметить (см , [25, п 15 1 10]), что оно определяет ту же вербальную подгруппу, что и слово v, и тем не менее легко видеть, что для него Wld{N2!2) и) = 1 Покажем, что ширина вербальной подгруппы относительно несобственного множества слов конечна Лемма 1.1. Пусть G — группа, V — несобственное мнсчясество слов Тогда ширина wid(G, V) конечна
Доказательство. Будем считать, что V(G) = G (случай V{G) = 1 тривиален) Известно (см , например, [25, теорема 15 1 90]), что V эквивалентно (т е определяет ту же вербальную подгруппу) множеству слов вида W = {х{, Uj I j Є J, щ G F } Так как V — несобственное множество слов, V{G) = W(G) = G, то s = 1 Следовательно, в множестве V найдутся слова, произведение которых равно несобственному слову v = х 1 x "v , аг Є Ъ, v F , у которого 5 = н о д(ац, ,ап) = 1 Для завершения доказательства остается воспользоваться следующим утверждением
Лемма 1.2 ([118, с 274]) Если слово v = х"1 x%»v , где аг Є Ъ, v Є F n, не является коммутаторным и s = н о д(оі, , ап) то для любого элемента g группы G его s-я степень д3 лежит в v{G) и является значением слова v
Будем говорить, что группа G не имеет собственных вербальных подгрупп конечной ширины, если для всякого конечного множества V, определяющего собственную вербальную подгруппу V(G), ширина wid(G, V) бесконечна
Напомним определения и некоторые свойства HNN-расширений (см , например, [32, гл 4, 2]) Пусть G — группа, А и В — ее подгруппы, р А —— В — изоморфизм ИШ -расширением группы G относительно А, В и ц называется группа G = rp(G,t И Г1 at = р(а), аА), причем G называется его базой, t — проходной буквой, А и В — связанными подгруппами
Слово w = gotClgi iStign? g G, єг = ±1, представляющее некоторый элемент из G , называется приведенным, если в нем не встречаются подслова t 1glt, где д, Є А, И i ?ji-1, где д3 Є В Если слово w приведено и п 1, го оно представляет неединичный элемент из С? , но один и тот же элемент из G может быть представлен различными приведенными словами Тем не менее, для приведенных слов справедлива
Лемма 1.3 (см [32, с 259]) Пусть и = gQtl tSngn uv h0tSl t5mhm — приведенные слова Предположим, что и = v в G Тогда т = п и г% = 5г, г = 1, , п
Сигнатурой элемента g Є G назовем последовательность знаков sqn = (єі, )«) г"і = ±1, в любом приведенном представлении 9 9otlgi f»gn элемента g (ввиду леммы 1 3 от выбора представления сигнатура не зависит) Единицы и запятые в записи сигнатуры удобно опускать и писать именно знаки щщ = (+ — — + )итд Если а = (єі, ,еп)і - сигнатура, то число ег = п назовем ее длиной, а a l = (—є„, , —Єї), - обратной сигнатурой Очевидно, sqnp-1 = (sqm;)-1 Определим произведение аг сигнатур а, т как сигнатуру, получающуюся приписыванием т после а Если с = о \р, г = p Vi, р = г, то определим еще r-произведеиие а{г]т = ахт\ Непосредственно из определений вытекает
Лемма 1.4. ДЛЯ всяких g, h&G найдется такое целое число г = r[g, К) О, что sqngh = {sqncr)[r}(sqnh), причем sqng — аїр, squh = р гті, \p\ = т
Нам потребуется еще следующее представление слов из G Пусть w = gotSl 9i te"9m g G, г — il) приведенная форма элемента wzG Назовем слово w положительным (отрицательным), если все показатели є, положительны (соответственно, отрицательны) Слово w назовем однородным, если оно либо положительно, либо отрицательно Если w не однородно, то его молено представить в виде произведения подслов чередующихся знаков, т е если w = Ро 15і ЇЕ & Є +1 t6!ign и все показатели Е1, ,єг одного знака, а єг+і имеет другой знак, то положим w = w\w , где го; = #otlpi е с7г — однородное подслово, a w1 = i,+15i+i tnQn Подслово го! назовем начальным квазислогом слова w Аналогично, в слове w выделим начальный квазислог и запишем ui! = W2W1 , где v)i - максимальное однородное подслово слова w Продолэкая эту процедуру, представим w в виде произведения W = и)гиі2 Wp, множители гог которого называются квазислогами слова w
Хорошо известно, что свободное произведение А В содержит свободную неабелеву подгруппу тогда и только тогда, когда \А\ 3, \В\ 2 Аналогично, свободное произведение с объединением А В содержит свободную неабелеву подгруппу тогда и только тогда, когда \А ї/ 3 и В U\ 2 (см [103]) Покажем, что HNN-расширение G = rp{G, t ] t lAt = В, (р),в котором Аф G ф В, содержит свободную неабелеву подгруппу Действительно, пусть а,Ъ — нетривиальные представители смежных классов группы G по подгруппам А и В соответственно Положим х = atb, у — t 1atbt Так как а $ А, Ь В, то можно показать, что никакой элемент группы {х, у) не сопряжен в G с элементом из G, а это и означает [32, с 189], что хжу порождают свободную неабелеву подгруппу Легко проверить, что в этом случае G богата вербальными подгруппами
Представление степеней в виде произведения коммутаторов .
Рассмотрим некоторый символ г Є А и найдем его образ под действием левой подстановки Нетрудно проверить, что он равен д_1(т_1[г]/ (г )) При действии правой подстановки на г нетривиально будет действовать только подстановка -1r_1[i](U и она переведет символ гк в символ /j. 1(r 1[I] (ijt))I т е на символах из множества А равенство (3) выполняется Рассмотрим теперь символ //() Є А Под действием левой подстановки он перейдет в символ т[г]( (г ,)) При действии правой подстановки нетривиальным образом на символ /І(Ч) будет действовать только подстановка т[г], которая переведет его в символ т[ї](/фь)) Аналогичным образом равенство (3) проверяется для символов из множеств В и В Лемма доказана
Установим взаимно однозначное соответствие между множеством подстановок Sp х Sq и множеством спариваний Q, сопоставив тождественной подстановке начальное спаривание w0, а произвольной подстановке s = (г,/?) Є Sp х Sq спаривание WQ = (JIQ, VQ) Тогда все множество спариваний Г2 является орбитой, полученной из начального спаривания, действием группы Sp х Sg Следовательно, все множество подстановок Е является орбитой ОгЪ(сг0) подстановки сто = аШо, построенной по начальному спариванию ш0, при действии группы Sp х Sq, г е S = ОгЬ(ш„)
Мы получили следую щий чисто алгебраический алгоритм вычисления коммутаторной длины c\(z) По начальному спариваншо а 0 строим подстановку сто Используя лемму 2 4, находим орбиту этой подстановки при действии группы Sp х S7 В этой орбите находим подстановку, имеющую наибольшее число независимых циклов и по лемме 2 3 вычисляем cl(z)
При реализации этого алгоритма приходится перебирать все подстановки, лежащие в орбите Orb(w0), число которых равно р д!
Покажем, что в некоторых случаях (например, когда z является собственной степенью) число перебираемых подстановок можно уменьшить Рассмотрим правильный n-угольник вершины которого занумеруем числами 1,2, ,п обходя многоугольник по часовой стрелке Хорошо известно (см , например, [29, гл 7, 3]), что группой симметрии этого n-угольника является группа диэдра Dn, которая порождается вращением многоугольника в его плоскости на угол I KJn вокруг центра вписанной в многоугольник окружности и отражением многоугольника относительно оси, проходящей через центр и одну из вершин Ранее мы сопоставили слову z длины п четыре непересекающихся подмножества А, А, В, В объединение которых равно М = {1, 2, , п} Будем называть множества Л и Л, а также В и В противоположными Группой симметрии Sym(.z) слова z назовем максимальную подгруппу группы диэдра Dn, обладающую следующим свойством всякий элемент из Sym(z) является подстановкой множества {А, А, В, В} и переводит противоположные множества в противоположные
Группа симметрии Sym( ) является подгруппой группы Sp х Sg Поэтому Sp х Sq можно представить в виде объединения левых смежных классов по подгруппе Sym(z) Определим действие группы Sym(z) на множестве подстановок Е, положив для элемента д є 5ут(;г) и подстановки стмеЕ При этом действии множество S распадается в объединение непересекающихся орбит Справедлива
Лемма 2.5. Подстановки из S, лежащие, в одной орбите при действии группы Зут(г), имеют одинаковое число независимых циклов
Доказательство. Напомним определение кругового графа и матрицы пересечений из работы [90] Пусть аи — подстановка из S соответствующая спариванию w = ( ,j )eft На окружности S1 отметим п вершин, которые, занумеруем числами 1,2, , те, обходя окружность по часовой стрелке Каждую вершину «А, Є А соединим ребром с вершиной, имеющей номер /x(tfc), к — 1, ,р Аналогично, каждую вершину с номером j( Є В соединим ребром с вершиной, имеющей номер (ji), 1 = 1, ,q Построенные таким образом ребра будем называть внутренними Ребра, лежащие на окружности, назовем граничними Построенный 3-граф называется круговым графом, соответствующим спариванию ш, и обозначается символом Гш Занумеруем некоторым образом внутренние ребра этого графа числами от 1 до п/2 и построим квадратную матрицу Мы порядка п/2 с элементами из поля Ъ2 Бели обозначить через тч, г, з = 1, , /2, элемент матрицы Мш стоящий на пересечении г й строки и j-ro столбца, то положим тгг = 0 при всех г = 1, , п/2 При г ф j положим m4 = 1, если внутреннее ребро с номером г пересекает внутреннее ребро с номером j, и тг} = 0 в противном случае Так определенная матрица Ми называется матрицей пересечений Как установлено в [90] ранг матрицы Мш равен 2с1(гш)
Рассмотрим некоторую подстановку тш из S и построим по ней круговой граф Ты и матрицу пересечений Мы Если элемент д лежит в группе Syrn(z), то его действие на aw индуцирует действие на Гы при котором внутреннее ребро {i,j}i соединяющее вершины і и 2 перейдет во внутреннее ребро {д(г),д(з)} Полученный граф Г будет круговым графом для подстановки а% Нетрудно так выбрать нумерацию внутренних ребер полученного графа, что матрица пересечений, соответствующая подстановке о% будет равна Мш Теперь требуемое утверждение следует из леммы 2 2
Ввиду доказанной леммы, при вычислении коммутаторной длины cl(z) мы можем перебирать не все подстановки из Е, а ограничиться представителями орбит на которые разбивается множество Е при действии группы Sym(z) Обозначим символом ОгЬ(ш0) это множество представителей Учитывая установленные ранее результаты, получаем основное утверждение настоящего параграфа
Теорема 2.1. Пусть z Є F% Тогда его -коммутаторная длина равпа где v = тах{щш аш Є Orb(w0)} К сожалению, группа симметрии для многих слов оказывается тривиальной, но если z = ит} то Sym(z) т
В следующем параграфе будет предложен метод вычисления нижний границы коммутаторной длины c\(z), который в сочетании с алгоритмом вычисления с1(гш) позволяет находить значения коммутаторной длины, не перебирая все подстановки из Orb(wo) Этот подход будет реализован в четвертом параграфе настоящей главы
Найдя по слову z оптимальное спаривание, т е такое спаривание, что подстановка аи имеет наибольшее число независимых циклов, используя хорошо известную процедуру (см [38, гл 1, 7] или [90]), представим квадратичное слово гш в виде произведения наименьшего числа коммутаторов Заменив в этом представлении все порождающие aj, , ар порождающим а, а все порождающие !, , bq порождающим Ь, получим представление исходного элемента z в виде произведения наименьшего числа коммутаторов
Теорема о строение группы сопрягающих автоморфизмов
Классическим объектом исследования комбинаторной теории групп является группа автоморфизмов Autfi ) свободной группы Fn ранга п 2 со свободными порождающими х1; х2, , хп Известно [27, 79], что группу Aui i ) можно построить из циклических групп при помощи свободного и полупрямого произведения Вопрос о том, можно ли распространить этот результат на случай п 2 остается открытым Если обозначить Ап = Fn/F — фактор-группа группы Fn по ее коммутанту F , то всякий автоморфизм группы Fn индуцирует некоторый автоморфизм группы Ап, а потому существует гомоморфизм Aut(Fn) —-+ Aut(A.)
Ядро этого гомоморфизма, состоящее из автоморфизмов, действующих тождественно по модулю коммутанта F называется группой IА—автоморфизмов и обозначается символом lA(Fn) (см [32, гл 1, 4]) Так как Ап Жп — свободная абелева группа ранга тг, то Aut(.An) изоморфна общей линейной группе GLn(S) над кольцом целых чисел 7L Поэтому при изучении группы Aut(.Pn) желательно было бы изучить строение группы IAfFn) Группа IA(i ) изоморфна группе внутренних автоморфизмов Innfi )) которая, в свою очередь, изоморфна F2, а потому основной интерес представляет случай п 3 Д Нильсен для случая п 3 и В Магнус для всех п показали (см [32, гл 1, 4]), что группа IA (Fn) порождается следующими автоморфизмами %jk хг і—yxt[x3,xk] при А; ф г, j, ж; і— xi при / ф г, -« і ЯТ \ } Uj ХгХл Xi I Ж; при г J, при 1 ф г, где [а, Ь] = а-1 1 —- коммутатор элементов оаб Определяющие соотношения группы 1А( РП) при п 3 до сих пор неизвестны, а как установили Крстич и Маккул [105] группа IA(F3) не является конечно определенной
Подгруппа группы IA(Fn), порожденная автоморфизмами etJ, 1 ъ ф j п, называется группой сопрягающих базис автоморфизмов В дальнейшем будем обозначать ее символом СЪп
Группа СЪп является подгруппой группы сопрягающих автоморфизмов Сп (Напомним, что всякий автоморфизм из Сп переводит порождающий хг в элемент /j-1 #„.(,)/,, где /3 Є Fn, а я- — некоторая подстановка из симметрической группы Sn ) Очевидно, если -к — тождественная подстановка, то этот автоморфизм лежит в группе СЬп Множество автоморфизмов из С , оставляющих на месте произведение тлхч хп образует группу кос Вп Группа Вп содержит нормальную подгруппу Рп, такую, что фактор-группа Вп/Рп изоморфна симметрической группе Sn Как установила А Г Савушкина [49, лемма 3], группа кос Вп пересекается с подгруппой СЬп по группе крашеных кос Рп Строение группы Рп достаточно хорошо известно [37, 66] Интересно было бы выяснить как группа Рп расположена в СЬП? Кроме того, группа Рп разлагается в полу прямое произведение свободных групп Рп = Un X (!/„_! X ( \(UZ\U3)) ), (1) где иг і-і,г = 2,3, ,п Возникает естественный вопрос можно ли группу СЬп аналогичным образом разложить в полу прямое произведение некоторых групп7
Группа кос В„ вкладывается в группу автоморфизмов Aut(F„) При этом порождающий o z, г = 1,2, , ті — 1, определяет автоморфизм ?г Xi S— xi при l ф г, г - 1 Порождающий а„ группы крашеных кос Рп определяет автоморфизм ХІ і—» хг при s г или г г, Л"1 1 t fy ҐП /Ji ЛЇ А Ґ -І Как установил Э Артин, автоморфизм /? из AutfF ) принадлежит группе кос Вп тогда и только тогда, когда /Ї удовлетворяет следующим двум условиям где тг — некоторая подстановка из Sn} а а, Є ,F„
Как было отмечено выше, автоморфизмы, удовлетворяющие условию 1), называются сопрягающими автоморфизмами Сопрягающий автоморфизм, действующий тождественно по модулю коммутанта F называется сопрягающим базис автоморфизмом Как показал Маккул [109], группа сопрягающих базис автоморфизмов СЪп имеет следующие определяющие соотношения (условимся здесь и в дальнейшем обозначать разные индексы разными буквами)
этом параграфе будет Так как правые части этих равенств лежат в D;_i, то при сопряжении элементом e L порождающих группы X?j_i мы по-прежнему остаемся в группе Z?(_i Следовательно, Dk-i действительно лежит в нормализаторе группы Dj-i Используя индукцию, из этой леммы легко выводится Следствие, Подгруппа Dn -± нормальна в группе СЬп Следующая лемма является одним из утверждений основной теоремы Лемма 3.9. Группа сопрягающих базис автоморфизмов СЬп при п 2 является полупрямым произведением Покажем, что Cbn Dn_i X Gbn-\ Ввиду леммы 3 8 подгруппа Z?n-i нормальна в СЪп
Рассмотрим соотношения (3)-(5), определяющие группу СЪп Разобъем их на три непересекающихся подмножества В первое подмножество будут входить соотношения, содержащие только порождающие группы Ai-i Так как у любой пары порождающих группы -D„-i один из индексов равен ТІ, то в первое подмножество входят только соотношения из (4) следующего вида e njr» = Sjn n, 1 г з п-1 (8)
Следовательно, элементы єі„, є-щ, , n-i,n порождают абелеву подгруппу груп пы Dn-i Также легКО Проверить, ЧТО Элементы nl,„2j )Єп,п-1 являются свободными порождающими свободной группы Fn i Во второе подмножество соотношений входят соотношения, содержащие только порождающие группы Cbn i Наконец, третье подмножество состоит из соотношений, содержащих одновременно порождающие групп D„_i и Cbn_i Покажем, что эти соотношения определяют действие группы СЬп-і на подгруппе Z?„_]_
Об автоморфном вхождении в подгруппу свободной группы
Для произвольной группы G, содержащей элементы конечного порядка к, мояшо поставить вопрос об описании элементов из G представимых в виде произведения элементов порядка к В частности, если I — некоторое натуральное число, то возникает вопрос об описании элементов из G представимых в виде произведения I элементов порядка к Этот вопрос был сформулирован Бреннером-Эвансом [69] для группы подстановок Sn при I — 2 В частности, они просили указать для каждого натурального к такую константу N(k) (если она существует), что при всех п N(k) всякая подстановка из знакопеременной группы Ап представима в виде произведения двух подстановок каждая из которых в разложении на независимые циклы содержит только циклы длины к и 1 Там же они сформулировали следующие гипотезы
Гипотеза 1. При любых целых к 4 и т 1 всякий элемент группы Aim представим в виде произведения двух подстановок, каждая из которых в разложении на независимые циклы состоит из т циклов длины к
Гипотеза 2. Пусть к — простое натуральное число, сравнимое с 1 до модулю 4 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 4}2 гк ъ 2 не может быть представлена в группе Лзц,-і в виде произведения двух подстановок порядка к
Гипотеза 3. Пусть к — простое натуральное число, к 7 Тогда никакая подстановка, имеющая циклический тип 3122t, 2 не может быть представлена в группе A4fc_i в виде произведения двух подстановок порядка к
Следующая теорема, установленная в кандидатской диссертации (см также [137]) подтверждает первую гипотезу
Теорема 4.1. Для любых целых чисел к 4, т 1 всякая подстановка из знакопеременной группы А т представима в виде произведения двух подстановок, каждая из которых разлагается на т независим/ых циклов длины к Далее мы рассмотрим две оставшиеся гипотезы Бреннера-Эванса Прежде чем приступать к доказательству, введем вначале некоторые определения Пусть Р — некоторая подстановка из Sn Тогда под действием группы (Р) множество М = {1, 2, , п} разбивается на непересекающиеся орбиты Mi, , Mi Действие подстановки Р на всем множестве М индуцирует ее действие на каждой орбите Мг Будем называть ограничение Рг = Р\м, циклом подстановки Р, а множество Мг - носителем цикла Рг и обозначать Мг = supp(Pt)
Представив Р в виде произведения независимых циклов Р = Pi Pi, определим упорядоченную последовательность чисел т{Р) = (т1: Т[), где тг — длина цикла Рг, которую назовем циклическим типом, (или просто типом) подстановки Р Понятно, что циклический тип определяется неоднозначно, а зависит от порядка следования циклов Рг в разложении Р Р\ Р[ Среди всех типов подстановки Р будем выделять та,кой тип, что его компоненты расположены в иевозрастающем порядке Для сокращения записи, тип т(Р) = (п, П,т 2, ,т2, ,rs, , Гд) будем записывать в виде т(Р) = т"1т2 т 1
Подстановку, имеющую циклический тип й 1! 3 при некоторых а Ф 0 и /3 будем называть k-подстпаповкой Множество всех -подстановок группы Sn обозначим символом S„ Если подстановка Р из Sn представима в виде произведения Р = А В, где ЛиВ — /г-подстановки, то Р будем называть k—представимой подстановкой, а представление Р А В — к-пре.дст.авлением
Пусть задано некоторое представление Р = А В подстановки Р в виде произведения подстановок А и В из Sn Назовем это представление расщепляемым, если множество М, на котором действуют подстановки А и В, можно так разбить на два непустых непересекающихся подмножества М , М", что А и В действуют на них инвариантно Если такого разбиения не существует, то назовем это представление нерасщепляемым
Если Р = А В — расщепляемое представление, то положим А = А\м , А" = А\м" и аналогично, В = В\м , В" = В\м» Тогда наше представление можно записать в виде Р = А В = А А" В В" = А В А" В"
Если при этом представление Р = А В являлось fc-представлением и каждое из представлений Р = А В ТА Р" — А" В" также является -представлением, то исходное представление назовем расщепляемым к-представлепием
В работе Голдстейна и Тернера [91] каждому представлению Р = А В подстановки Р из Sn сопоставлялась компактная ориентированная поверхность SA В Напомним эту конструкцию Пусть А = А\Аъ Aq и В = Ві-Вг ВГ — разложения подстановок А и ? в произведение независимых циклов Каждому циклу Д, г — 1, , q, сопоставим диск DAi, граница которого разбита на столько ребер, сколько символов содержит цикл Д Эти ребра ориентированы по часовой стрелке и помечены символами из цикла А, так, что при обходе по часовой стрелке границы дисіса DA%, получим цикл Аг Аналогично, сопоставим каждому циклу В3, j 1, , г, диск Да так, что обходя границу этого диска по часовой стрелке, получим цикл В}, но ребра ориентируем против часовой стрелке Тогда SA,B ориентированная поверхность, полученная отождествлением для каждого символа г Є М двух ребер (в соответствии с ориентацией) помеченных символом г Очевидно, если Р = А В — нерасщепляемое представление, то поверхпость SA В оказывается связной В противном случае, она распадается на несколько непересекающихся поверхностей
Легко заметить, что SAB будет иметь столько вершин, сколько независимых циклов имеет подстановка Р — А В Кроме того, ЗА В содержит п ребер и А + = q + г граней, где \Х\ — число независимых циклов подстановки X Следовательно, если поверхность SA,B является связной, то для нее справедлива формула Эйлера-Пуанкаре \А Я-п + (Л + 5) = 2-23] где д род ориентированной поверхности SAjB Ввиду того, что д О, из этого равенства легко получить следующую оценку \А В\ п + 2 {\А\ + \В\) (1)
Эту оценку мы и будем использовать при описании подстановок не являющихся й-представимыми Для -подстановок А и В из 5„ легко найти максимальное значение правой части неравенства (1) Если, при этом, в группе Ап найдется подстановка, число независимых циклов .которой больше найденного максимума, то такая подстановка не имеет нерасщепляемых / -представлений в группе Sn Доказательство отсутствия расщепляемых -представлений проводится с использованием индуктивных рассуждений В этом и состоит идея доказательства основной теоремы, сформулированной ниже
Бертрам [62] изучал подстановки, представимые в виде произведения двух циклов длины к, к 4, и доЕіазал, что если /сип — натуральные числа, причем, к Аяк п [4fc/3] + 1, то всякая четная подстановка из Ап является &-представимой Если же п [4А/3] -f 1 , то в группе Ап найдется подстановка Р для которой не существует никакого -представления Р = А В при условии, что А и В содержат не более одного цикла длины к При доказательстве этого факта, для каждого натурального п 4, был указан класс сопряженных элементов группы Ап такой, что всякая подстановка из этого класса имеет в разложении на независимые циклы наибольшее число неединичных циклов, по сравнению с подстановками из других классов группы Ап
