Введение к работе
Целью работы является исследование структуры подгрупп свободных периодических групп достаточно большого нечетного периода и периодических произведений групп. Изучаются также автоморфизмы свободных периодических групп.
Актуальность темы исследования. В диссертации исследуются свободные периодические группы нечетного периода, которые также называются свободными бернсайдовыми группами.
Свободная бернсайдова группа B(m,n) периода n и ранга m имеет следующее задание
B(m,n) = (ai,a2, ...,Om | Xn = 1),
где X пробегает множество всех слов в алфавите {af1, af1,... , а^}.
Группа B(m,n) есть факторгруппа свободной группы Fm ранга m по нормальной подгруппе Fm, порожденной всевозможными n-ми степенями элементов из Fm. Любая периодическая группа периода n с m порождающими является факторгруппой группы B(m,n). В известной проблеме Бернсайда о периодических группах ставился вопрос: будет ли конечной всякая конечно порожденная группа, удовлетворяющая данному тождественному соотношению вида xn = 1 (см. [1])?
Проблема Бернсайда привлекала внимание выдающихся алгебраистов многих стран в силу естественности и максимальной простоты своей постановки. Положительный ответ на вопрос Бернсайда до сих пор получен только для значений n < 4 и n = 6. Сам Бернсайд в статье [1] доказал конечность групп B(m,n) для любого числа порождающих m и n < 3, а также конечность B(2,4). В работе [2] И. Н. Санов доказал конечность при n = 4 для любых m. В 1958 году Маршалл Холл в работе [3] доказал конечность для n = 6 и любых m.
В 1968 году П. С. Новиков и С. И. Адян в совместной работе [4] впервые опубликовали отрицательное решение проблемы Бернсайда. В этих статьях было доказано, что для любого нечетного периода n > 4381 и любого числа порождающих m > 1 свободная периодическая группа B(m,n) бесконечна.
В 1975 году вышла монография С. И. Адяна [5], в которой такой же результат был доказан для любых нечетных периодов n > 665 и любого числа порождающих m > 1.
Так как свободная бернсайдова группа B (m, n) является факторгруппой групп B(m,nk) при любых k > 1, то из этого результата непосредственно вытекает бесконечность бернсайдовых групп B(m, n) для m > 1 и любых периодов, которые имеют нечетный делитель > 665.
Число n = 665 до сих пор остается наименьшим значением периода, для которого доказана бесконечность групп B(m,n). В частности, открыт вопрос о бесконечности группы B(2, 5).
Для решения проблемы Бернсайда в работе [4] была построена теория преобразований периодических слов, в которой дана классификация периодических и приведенных слов в группе B (m, n) для каждого нечетного n > 4381. В монографии [5] эта теория была усовершенствована и распространена на все нечетные периоды n > 665.
Характерной особенностью созданной теории является то, что в ней большое число взаимосвязанных утверждений доказывается совместной индукцией по натуральному параметру а, называемому рангом. В результате индуктивного доказательства получается задание группы B(m,n) с помощью некоторой бесконечной системы определяющих соотношений, классифицированных по рангам. Изложенный в работах [4], [5] подход заключается в том, что, начиная со свободной группы Fm = B(m,n, 0), последовательно добавляются определяющие соотношения вида An = 1: сначала для всех элементарных периодов ранга 1, затем для всех элементарных периодов ранга 2 и т. д. При этом элементарные периоды ранга а, так же, как и все сопутствующие им понятия для ранга а, определяются на базе отношения равенства слов в уже построенной группе B(m,n,a — 1).
Развитая в фундаментальных работах [4], [5] теория открыла путь к решению и других важных проблем теории групп, которые долгое время оставались открытыми. Подробный обзор результатов, полученных в этом направлении, содержится в недавно опубликованной обзорной статье [6].
Результаты о свободных бернсайдовых группах, полученные на базе этой теории, показывают, что группы B(m,n) обладают многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно свободных групп. Как установлено С. И. Адяном в [5], при m > 1 и любом нечетном n > 665 верны следующие утверждения:
Центр группы B(m, n) тривиален.
Всякая коммутативная или конечная подгруппа группы B (m, n) является циклической.
Для любого конечного m > 1 группа B (m, n) имеет показательный рост.
При m > 65 и n > 665 (а также при любом m > 1 и нечетном n = ks, где k > 665 и s > 1) группа B(m, n) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.
Группа B(2, n) содержит изоморфные копии свободных периодических групп B(m, n) любого конечного ранга m > 1.
В работе [7] В. Л. Ширванян доказал вложимость свободной группы
B(
Некоторые усиления этих результатов изложены в главах 1,2 и 4 диссертации.
В работе С. И. Адяна [8] было доказано, что при m > 1 и нечетных n > 665 группа B(m, n) является неаменабельной и случайные блуждания на этих группах невозвратны (решение проблемы Г. Кестена). Заметим, что группы B(m, n) - первые примеры неаменабельных групп, удовлетворяющие нетривиальному тождеству (а именно, тождеству xn = 1).
В главе 2 диссертации доказывается, что все конечно порожденные бесконечные подгруппы группы B (m, n) при n > 1003 обладают свойством равномерной неаменабельнсти, которое является естественным усилением понятия неаменабельности и было введено в 2005 году в работе [9].
Наряду с исследованием свойств бернсайдовых групп B(m,n), в монографии [5] построенная теория была применена для решения других известных проблем теории групп. В частности, в ней изложено отрицательное решение проблемы конечного базиса для групп и положительное решение известной проблемы Конторовича о существовании конечно порожденных некоммутативных аналогов аддитивной группы рациональных чисел.
В работе [10] (см. также [11]) С. И. Адян установил, что созданная теория может быть использована для построения новой операции умножения групп, обладающей основными свойствами классических операций свободного и прямого произведений групп. Такая операция строится для каждого нечетного n > 665 и называется n-периодическим произведением. Этой работой открылись новые возможности в теории периодических групп. В ней показано, что теория Новикова-Адяна может быть использована для построения и изучения факторизаций свободных произведений по специально выбранным соотношениям вида Xn = 1. Именно построение теории на базе свободных произведений позволяет ввести понятие n-периодического произведения групп. Исследованию некоторых свойств периодических произведений и их приложениям посвящена третья глава диссертации.
Существенный прогресс в исследованиях бесконечных периодических групп был достигнут в работах А. Ю. Ольшанского [12] - [15].
В работах [12], [13] построены первые примеры бесконечных неа- белевых групп, любая собственная подгруппа которых - циклическая группа (решение ряда известных проблем: проблемы О. Ю. Шмидта о существовании квазиконечных групп, отличных от квазициклических групп Cp^, проблемы Р. Бэра о существовании нетеровой группы, не являющейся почти полициклической, проблемы С. Н. Черникова о существовании артиновой группы, не являющейся почти абелевой).
В работе [14] было изложено более короткое доказательство теоремы Новикова-Адяна для нечетных n > 1010 с привлечением диаграмм ван Кампена - геометрической интерпретации выводимости соотношений в группе из определяющих ее соотношений.
В работе [15] для любого простого числа n > 1078 построена бесконечная 2-порожденная группа, все собственные подгруппы которой - циклические группы порядка n (решение проблемы А. Тарского).
В работе [16] последный результат был распространен на любые нечетные периоды n > 1078. В 1991 году С. И. Адян и И. Г. Лысенок усилили результаты указанных работ [15] и [16]. В их совместной работе [17] для любого нечетного числа n ^ 1003 была построена бесконечная 2-порожденная группа, каждая собственная подгруппа которой содержится в некоторой циклической подгруппе порядка п. Результаты этой работы используются в главе 4 для доказательства некоторых аппрок- симационных свойств свободных бернсайдовых групп и для построения бесконечных убывающих и возрастающих цепочек нормальных подгрупп при любых m > 1 и п ^ 1003.
В 1989 году вышла в свет монография [18] А. Ю. Ольшанского, в которую вошли как результаты работ [12] - [15], так и решения ряда других важных старых задач теории групп, полученные на пути дальнейшего развития и приложения теории периодических групп.
Очень важным событием в исследовании бесконечных периодических групп явилась публикация работ С. В. Иванова и И. Г. Лысенка, в которых доказана бесконечность свободных бернсайдовых групп для всех периодов, начиная с некоторого. В работе С. В. Иванова [19] это доказано для всех п = 512k > 248, а в работе И. Г. Лысенка [20] - для всех n = 16k > 8000.
Методы исследования. В диссертации применяется теория Новикова-Адяна, созданная для исследования периодических групп, а также другие известные методы комбинаторной теории групп; в частности, используются различные модификации конструкций монстров Тарского.
Основные результаты.
Любая нециклическая подгруппа группы B(m,n) при нечетных п > 1003 содержит подгруппу, изоморфную группе бесконечного ранга B(то, п).
Все конечно порожденные подгруппы группы B(m,n) при нечетных n > 1003 имеют равномерно экспоненциальный рост и равномерно неаменабельны.
Все собственные свободные n-периодические подгруппы группы B(m,n) при нечетных n > 1003 не являются нормальными подгруппами как в самой группе, так и в любой строго промежуточной группе.
Если группа B(m,n) при нечетном n > 1003 является нормальной подгруппой некоторой n-периодической группы G, то G есть прямое произведение подгруппы B(m,n) и ее централизатора в G.
При нечетных n > 1003 все нормальные автоморфизмы группы B(m,n) являются внутренними. Подгруппа внутренних автоморфизмов Inn(B(m,n)) является максимальной среди тех подгрупп группы Aut(B(m,n)), в которых порядки элементов не превосходят n.
Получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы в n-периодическом произведении двух групп Gi G2 множитель Gi являлся НФ-подгруппой, т.е чтобы любая конгруэнция на ней была продолжаема до конгруэнции на всей группе.
Доказано, что для каждого нечетного n > 1003 и m > 2 группа B(m,n) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.
Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в научных статьях автора, список которых приведен в конце автореферата.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по свободным бернсайдовым группам и их подгруппам, группам автоморфизмов периодических групп, n- периодическим произведениям групп.
Полученные результаты докладывались на научно- исследовательских семинарах в Московском государственном университете, в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН и на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и геометрии Ереванского государственного университета.
Они были представлены на следующих международных конференциях: Международная конференция по алгебре и логике, посвященная 75- летию со дня рождения С.И.Адяна, Москва, МИАН, 5-10.02, (2006); Международная конференция «Combinatorial and Geometric Group Theory». Vanderbilt University, Nashville, TN, USA, May 5-10, (2006); The First Int. Algebra and Geometry Conference. 16-20 May, 2007, Yerevan; Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, Москва, МГУ, 27.05-3.06, (2008); Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, Новосибирск, 24-28.08, (2009).
