Содержание к диссертации
Введение
1 Основные понятия 19
1.1 Предварительные сведения об абелевых группах 19
1.2 Языки и модели второго порядка 26
2 Прямые теоремы и разделение задачи на случаи 32
2.1 Доказательство “более легких” импликаций в теореме 32
2.2 Подготовительная работа в группе автоморфизмов 41
2.3 Подготовительная работа в кольце эндоморфизмов 46
2.4 Разделение задачи на случаи 48
3 Ограниченные р-группы. 53
3.1 Разделение пар инволюций 53
3.2 Выделение специальных множеств (по Шелаху) 55
3.3 Специальные множества для случая ограниченных групп. 59
3.4 Интерпретация группы А для каждого элемента F" 61
3.5 Доказательство первого случая в теореме 64
4 Прямые суммы делимых и ограниченных р-групп . 67
4.1 Сравнение мощностей множеств экстремальных инволюций. 67
4.2 Доказательство второго случая в теореме 69
5 Группы с неограниченной базисной подгруппой. 73
5.1 Сравнение порядков экстремальных инволюций
5.2 Выделение базисной подгруппы 74
5.3 Выделение формульных множеств в базисной подгруппе 77
5.4 Введение структуры на базисной подгруппе 78
5.5 Интерпретация теорий второго порядка подгрупп B и D 80
5.6 Интерпретация логики первого порядка группы A 81
5.7 Интерпретация ограниченной логики второго порядка группы G 82
5.8 Интерпретация фактор-группы G/B 86
5.9 Разложение фактор-группы G/B на прямые слагаемые 89
5.10 Интерпретация логики второго порядка группы A 90
6 Заключение: критерий элементарной эквивалентности 93
Литература 94
- Языки и модели второго порядка
- Подготовительная работа в группе автоморфизмов
- Выделение специальных множеств (по Шелаху)
- Выделение формульных множеств в базисной подгруппе
Введение к работе
Актуальность темы
Работа посвящена элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых р-групп и ее связи со свойствами второго порядка самих групп.
Две модели U и W одного языка первого порядка С (например, две группы или два кольца) называются элементарно эквивалентными, если любое предложение ср языка С истинно в модели U тогда и только тогда, когда оно истинно в модели Ы'. Любые две конечные модели одного языка элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда они изоморфны. Любые две изоморфные модели элементарно эквивалентны, однако для бесконечных моделей обратное неверно. Например, поле С комплексных чисел и поле Q алгебраических чисел элементарно эквивалентны, но не изоморфны, так как имеют различную мощность1.
Классической книгой по теории моделей (в том числе, и по элементарной эквивалентности) является книга «Теория моделей»1. Подробным обзором 1984 года результатов по элементарной эквивалентности и смежным вопросам является обзор В. Н. Ремесленникова и В. А. Романькова «Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп»2. Более новые результаты включены в обзоры Е.И. Буниной и А.В. Михалева3 4, а также — в обзор В.Гоулда, А.В.Михалева, ЕА. Палютина, А.А.Степановой5. Справочный материал по теории моделей можно найти в книгах6 7 8 9. Испытательным полигоном для большинства результатов теории моделей служат алгебра, теория чисел и анализ. Среди многочисленных книг и обзоров по приложениям теории моделей можно выделить те, в которых затрагиваются приложения к теории групп. Основные методы доказательств разрешимости и неразрешимости элементарных теорий изложены в книгах Тарского, Мостовского, Робинсона10 и Ю. Л. Ершова7.
1Кейслер Г., Чэн Ч.Ч. Теория моделей. Москва, Мир, 1977.
2Ремесленников В.Н., Романьков В. А. Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп. Алгебра. Геометрия. Топология. Итоги науки. ВИНИТИ, 1983, 3-79.
3Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear and algebraic groups. Journal of Mathematical Sciences, 2002, 110(3), 2595-2659.
4Bunina E.I., Mikhalev A.V. Elementary properties of linear groups and related questions. Journal of Mathematical Sciences, 2004, 123(2), 3921-3985.
5Гоулд В., Михалев А.В., Палютин Е.А., Степанова А.А. Теоретико-модельные свойства свободных, проективных и плоских й*-полигонов. Фундаментальная и прикладная математика, 2008, 14(7), 63-110.
6Теория моделей. Справочная книга по математической логике. Часть I. Перев. с англ. М.: Наука, 1982.
7Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М. Наука, 1980.
8Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука. — 1970.
9Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. — Пер. с англ. М.: Мир, 1976.
10Tarski A., Mostowski A., Robinson R. M. Undecidable theories. Amsterdam. North-Holland Publishing Comp., 1953.
Кроме того, в книге Ю. Л. Ершова приведена классификация полных теорий абелевых групп и показано на примерах из алгебры, как работает метод модельной полноты и родственное понятие относительной алгебраической замкнутости. Результаты по проблеме разрешимости элементарных теорий до 1964 года с подробным изложением методов доказательств освещены в обзоре Ю. Л. Ершова, И. А. Лаврова, А. Д. Тайманова, М. А. Тайц-линa11. Вопросы разрешимости расширенных теорий, особенно расширенных теорий абелевых групп, разобраны в обзоре А. И. Кокорина и А. Г. Пи-нуса12.
Известная теорема Бэра-Капланского13 утверждает, что периодическая абелева группа определяется своим кольцом эндоморфизмов: если две группы имеют изоморфные кольца эндоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1960 году Лептин14 доказал аналогичную теорему для групп автоморфизмов абелевых р-групп для р ^ 5: если две группы имеют изоморфные группы автоморфизмов, то сами группы также изоморфны. В 1989 году Либерт15 доказал такую же теорему для случая р ^ 3. Также Либерт классифицировал все изоморфизмы между группами автоморфизмов двух абелевых р-групп (р ^ 3). Наконец, в 1998 году Шульц16 доказал аналогичную теорему для случая р = 2. Однако затем в этой статье была найдена ошибка, не устранимая внутренними методами. Таким образом, случай р = 2 все еще остается открытым.
Е.И. Бунина и А.В. Михалев17 установили связь между свойствами второго порядка абелевой р-группы и свойствами первого порядка ее кольца эндоморфизмов. В этой работе были раздельно доказаны необходимые и достаточные условия элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов для различных случаев, однако критерий получен не был — оставались некоторые случаи, в которых эти условия не совпадали между собой.
Цель работы
Цель работы состоит в развитии старых и создании новых методов для выражения свойств второго порядка абелевых р-групп с помощью свойств
11Ершов Ю.Л., Лавров И. А., Тайманов А. Д., Тайцлин М.А. Элементарные теории. Успехи мат. наук, 1965, 20(4), 37-108.
12Кокорин А. И., Пинус А. Г. Вопросы разрешимости расширенных теорий. Успехи мат. наук, 1978, 33(2), 49-84.
13Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. т. 1,2. Мир, Москва, 1974.
14Leptin H. Abelsche p-Gruppen und ihre Automorphismengruppen, Math. Z., 73 (1960), 235-253.
15Liebert W. Isomorphic automorphism groups of primary abelian groups. II. Contemp. Math., 87 (1989), 51-59.
16Schultz P. Automorphisms which determine an Abelian p-group. Abelian groups, module theory, and topology, Marcel Dekker Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, 201, Eds. D. Dikranjan and L. Salce, 1998, 373-379.
17Бунина Е.И., Михалев А.В. Элементарная эквивалентность колец эндоморизмов абелевыхр-групп. Фундаментальная и прикладная математика, том 10 (2004), вып. 2, 135-224.
первого порядка таких производных структур, как группы автоморфизмов и кольца эндоморфизмов, в установлении связи между элементарной эквивалентностью производных структур и эквивалентностью второго порядка самих групп. Основным задачами диссертации являются: продолжение теоремы Бэра-Капланского об изоморфизмах колец эндоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности, продолжение теорем Лептина и Либерта об изоморфизмах групп автоморфизмов абелевых р-групп на случай элементарной эквивалентности, усиление результата Е.И. Буниной и А.В. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп, получение критерия элементарной эквивалентности групп автоморфизмов и колец эндоморфизмов абелевых р-групп в терминах эквивалентности второго порядка самих групп.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации состоят в следующем:
усиление результата Е.И. Буниной и А.В. Михалева об элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов абелевых р-групп в виде полного критерия элементарной эквивалентности;
интерпретация логики второго порядка абелевой р-группы (р ^ 3) в группе ее автоморфизмов, разработка методов кодирования элементов абелевой группы в группе ее автоморфизмов;
критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов редуцированных абелевых р-групп (р ^ 3);
критерий элементарной эквивалентности групп автоморфизмов абелевых р-групп (р ^ 3) с ненулевой делимой частью.
Методы исследования
В работе используются классические методы теории абелевых групп, теории автоморфизмов и эндоморфизмов периодических абелевых групп, теории моделей и математической логики. Также автором разработаны некоторые новые методы выражения свойств второго порядка абелевых р-групп через свойства первого порядка их групп автоморфизмов (для р ^ 3) и колец эндоморфизмов.
Теоретическая и практическая ценность
Работа имеет теоретический характер; полученные в ней результаты могут быть использованые в различных задачах теории групп, математической логики, теории моделей.
Апробация диссертации
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и международных конференциях:
школа-семинар ”Синтаксис и семантика логических систем“, посвя-щённая памяти профессора Ю.E. Шишмарёва (Владивосток, 25–29 августа, 2008 г.);
международная алгебраическая конференция на Украине (Харьков, Украина, 18–23 августа 2009 г.);
XVII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных “Ломоносов” (Москва, 12–15 апреля 2010 г.);
международная конференция “Logic Colloquium 2010” (Париж, Франция, 25–31 июля 2010 г.);
международный алгебраический симпозиум, посвящённый 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А. В. Михалёва (Москва, 15–18 ноября 2010 г.);
9-ая международная летняя школа “Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры” (Эрлагол, 22–27 июня 2011 г.);
семинары “Алгебра и теория моделей”, “Теория групп” и “Кольца и модули” кафедры высшей алгебры МГУ (неоднократно) в 2007–2013 гг.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 5-ти работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-5].
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, шести глав, содержащих 23 раздела, и списка литературы. Библиография содержит 38 наименований. Текст диссертации изложен на 98 страницах.
Языки и модели второго порядка
Теперь введем некоторые понятия, связанные с логикой второго порядка. Язык второго порядка определяется так же, как и язык первого порядка, с тем лишь отличием, что в нем добавлены предикатные переменные. Именно, если Р1 — предикатная переменная, а t\,... ,ti — термы, то знакосочетание Pl(t\,..., ti) является формулой, а если ip — формула, то знакосочетание {УР1{у\1..., г /) р ) также является формулой, и вхождение переменной Р1 в нее является связанным. Выполнимость произвольной формулы ср в модели U с универсумом А определяется естественным образом так, что предикатным переменным вида Р1 сопоставляются произвольные подмножества множества А1. Теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка (обозначение: Th2(/")). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, если их теории второго порядка совпадают.
Важным примером для нас будет групповой язык. Мы будем считать, что в нем нет функциональных и константных символов и есть единственный трехместный предикатный символ Q3, отвечающий за умножение. Вместо Q (x\,X2,X:i) мы будем писать Х\ = Х2 х% или, если речь идет об абелевых группах, то Х\ = Х2+Х3. В качестве примера предложения второго порядка можно привести предложение, выражающее простоту группы:
Пусть к — некоторое кардинальное число. Выполнимость формулы ср в модели U с универсумом А с ограничением к определяется так же, как и обычная выполнимость в логике второго порядка с тем лишь отличием, что предикатным переменным вида Р1 сопоставляются произвольные подмножества множества А1 мощности не больше к. к-Ограниченной теорией второго порядка модели U называется множество выполнимых в ней предложений второго порядка с ограничением к (обозначение: Th ([/")). Две модели эквивалентны в логике второго порядка, ограниченной х: если совпадают их -ограниченные теории второго порядка. Заметим, что если к А, то теории Тп2(У) и Th (?7) совпадают. Если же к оо, то эквивалентность в ограниченной логике второго порядка равносильна элементарной эквивалентности.
Эндоморфизмы абелевой группы А образуют кольцо относительно операций сложения и композиции гомоморфизмов. Это кольцо мы будем обозначать через End (Л). Теорема 4 (Бэр [15], Капланский [25]). Если А и С — периодические группы, кольца изоморфизмов которых изоморфны, то группы А и С изоморфны. Если группа А = D0G, где группа D делима, группа G редуцированна, то выразимым рангом группы А мы будем называть кардинальное число гехр = тах(/і),Мс), где /І_О — это ранг группы D, a \IQ — это ранг базисной подгруппы группы G. Теорема 5 ([1]). Для любых бесконечных р-групп А\ и А2 из элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов End {А\) и End (А2) следует совпадение теорий второго порядка Th?, ( 4i) и 1п2 \А2) групп А\ и А2, ограниченных кардинальными числами Гехрі-А-і) и Г ехр{А2) соответственно. Теорема 6 ([1]). Для любых абелевых групп А\ и А2 если группы А\ и А2 эквивалентны в языке второго порядка С-2, то кольца End (Ai) и End (А2) элементарно эквивалентны. Теорема 7 ([1]). Если абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из ТЩ(А\) = Th ) следует элементарная эквивалентность колец End (Лі) и End(A2). Автоморфизмы абелевой группы А образуют группу относительно операции композиции. Эту группу мы будем обозначать через Aut (А). Теорема 8 (Лептин [26]). Если р 5 и А, С — некоторые р-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны. Теорема 9 (Либерт [27]). Если р 3 и А, С — некоторые р-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны. Теорема 10 (Шульц [30]). Если р 2 и Л,С - некоторые р-группы с изоморфными группами автоморфизмов, то группы А и С изоморфны. Аналогичные теоремы об элементарной эквивалентности групп автоморфизмов доказываются в данной диссертации.
В главе 1 вводятся определения и известные теоремы, необходимые в данной работе. Первый параграф посвящен сведениям из теории абелевых групп. В нем вводятся основные понятия об абелевых р-группах, рангах абелевых групп, делимых группах, сервантных и базисных подгруппах, кольцах эндоморфизмов и группах автоморфизмов абелевых р-групп. Второй параграф посвящен необходимым сведениям из теории моделей. В нем определяются язык и модели второго порядка, эквивалентность второго порядка, язык второго порядка абелевых групп, ограниченные теории второго порядка.
Глава 2 посвящена доказательству импликаций теоремы 41 в обратную (“легкую”) сторону, а также подготовке к доказательству импликаций в прямую сторону.
В первом параграфе выражается элементарная теория кольца эндоморфизмов (а значит, и группы автоморфизмов) в теории второго порядка абелевой группы. Доказывается следующая теорема.
Подготовительная работа в группе автоморфизмов
Таким образом, последовательность а\,... , aq, на которой должна выполняться формула (/9 в модели End (А), — это последовательность множеств пар элементов модели А, удовлетворяющих условиям 1)-3).
Установим тождественную биекцию между элементами модели End (А) и соответствующими множествами пар модели А. Пусть при этой биекции элементу ai модели End (А) соответствует множество АІ С А х А.
1. Если формула ср имеет вид Xi = Xj, то выполнимость формулы ср на последовательности ai,...,aq означает, что щ = а т.е. щ и aj — совпадающие эндоморфизмы модели End (А), а множества АІ и А, состоят из одних и тех же элементов, т. е. в модели А на последователь ности Аі,..., Aq выполнена формула
2. Если формула ср имеет вид Xi = Xj + Xk, то выполнимость формулы ср на последовательности а\,..., aq означает, что ai = aj + а&, т.е. эндоморфизм ai есть сумма эндоморфизмов aj и (ik, а это означает, что в модели А для каждого элемента Ъ Є А и для каждых таких, что U, мы имеем &і = &2 + Ь:І (т.е., формально говоря то и равносильно выполнимости в модели Л формулы ср.
3. Если формула (/9 имеет вид Xi = Xj Xk, то выполнимость формулы ср на последовательности аі,... ,aq означает, что щ = aj а , т.е. эндоморфизм ai есть композиция эндоморфизмов aj и а/;, а это означает, что в модели А для каждого элемента Ъ\ Є А и для каждого b2 Е А такого, что (&і,&2) 4«, существует &з Є А такое, что (&і,&з) Є Д? и (&з5 &г) Д. Это и равносильно выполнимости в модели А формулы ср.
4. Если ср имеет вид 2 выполняются в модели End (А) на последовательности а і,..., aq тогда и только тогда, когда в\ и 02 вы полняются в модели А на последовательности Ai,..., Aq, то очевидно, что формула ср выполняется в модели End (А) на последовательности а\,..., aq тогда и только тогда, когда формула ср выполняется в модели А на последовательности Ai,..., Aq, так как
6. Наконец, предположим, что формула ср имеет вид Ухіф. Формула ср выполняется в модели End (А) на последовательности а\,..., aq тогда и только тогда, когда формула ф выполняется в моде ли End (А) на последовательности ai,..., a -i, a, &«+i,... ,aq для любого а Є End (А), т. е. формула выполняется в модели А на последователь ности Ai,..., Aj_i, Л, Aj__i,..., Aq для любого множества А С А х А, являющегося эндоморфизмом кольца А, т. е. удовлетворяющего форму ле Endom. Таким образом, формула ср выполняется в модели End (А) на последовательности 2i,..., aq тогда и только тогда, когда формула Ухіф := yPXi(vi V2)(Endom(PXi) = ф) выполняется на последовательности Ai,..., Aq в модели А. Предположим теперь, что абелевы группы А\ и А2 эквивалентны в языке L i. Рассмотрим произвольное предложение ср языка первого по рядка теории колец, истинное в кольце End (Ai). Тогда предложение ср истинно в группе А\, а значит, и в группе А . Следовательно, предло жение ср истинно в кольце End (А2). Таким образом, кольца End (Ai) и End (А2) элементарно эквивалентны. Для следующей теоремы нам понадобится написать несколько формул. 1. Формула Gr(P(v)) := VaVb(P(a) A P(b) = Зс(с = a + 6 Л P(c)) А Р(0)Л Л Уа(Р(а) = 36(6 = —а Л Р(Ь))) истинна для множеств {а Є А \ Р(а)}, являющихся подгруппами вД и только для них. 2. Формула характеризует циклические подгруппы в А
Теорема 33. Если абелевы группы А\ и А2 редуцированны и их базисные подгруппы счетны, то из ТЩ{Аі) = ТЩ Аъ) следует элементарная эквивалентность колец End А\ и End А2 (и, значит, элементарная эквивалентность групп A lit А\ и Aut А2). Доказательство. Мы знаем (см. теорему 27), что для редуцированной р-группы А действие любого эндоморфизма ер Є End (А) полностью определяется его действием на базисной подгруппе В. Более того, пусть А С Д В также является и базисной подгруппой в А . Тогда любой гомоморфизм ср : А — А также полностью определяется своим действием на В. Действительно, если— А ty?l(&) = {Р2{Ь) для всех Ъ Є , то для ср := ері — cf2 — А мы имеем ср(Ь) = 0 для всех Ъ Є В. Значит, ср индуцирует гомоморфизм ср : А /В — А. Но группа А /В делима, а группа А редуцированная, т. е. ср = 0. Следовательно, ср = 0.
Выделение специальных множеств (по Шелаху)
Обозначим множество всех таких троек через Q. Теперь благодаря тому, что мы можем “кодировать” эндоморфизмы, получаем
Теорема 35. Существует формула ср(...); удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi}ie/j множество элементов из Q. Тогда можно найти векторі) такой, что формула ty?(/,#) истинна в Q тогда и только тогда, когда f = f\ для некоторого і Є /І.
Еще нам понадобится пользоваться теоремой Шелаха для случая неразложимых прямых слагаемых базисной подгруппы В. Для этого нужно интерпретировать отображения множества экстремальных инволюций из В в себя. Для этого по отображению / построим согласно предыдущему параграфу два автоморфизма f\ и /2, соответствующие базисной подгруппе , и положим Композиция отображений очевидным образом выражается через последнюю формулу.
Таким образом, мы получаем теорему Шелаха в следующем виде. Пусть Q — множество экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым из В. Теорема 36. Существует формула ср(...); удовлетворяющая следующему условию. Пусть {fi}ie/j множество элементов из Q. Тогда можно найти вектор]) такой, что формула tp(f,g) истинна в Q тогда и только тогда, когда f = f\ для некоторого і Є /І.
Специальные множества для случая ограниченных групп.
Сначала сформулируем, какие специальные множества мы хотим получить. Нам требуется получить два множества. Первое из них должно содержать /ij независимых экстремальных инволюций подгруппы АІ, для каждого і = 1,... , k, второе — /І = щ независимых экстремальных инволюций подгруппы А\ (также независимых с инволюциями первого множества), а третье — /І пар инволюций, соответствующим независимым прямым слагаемым группы Л/, каждое из которых является суммой счетного числа слагаемых, соответствующих инволюциям второго множества.
По теореме 2.35 мы видим, что существует формула (/?(#; /), удовлетворяющая следующему условию. Если {fi}ie/j — множество элементов из Г2, то существует вектор g такой, что формула ср(д] /) истинна в Q тогда и только тогда, когда / = /« для некоторого і Є /І. Зафиксируем эту формулу ср. означает, что любая подгруппа группы АІ, содержащая все такие слагаемые Af, что имеет ту же мощность, что и Ai, т.е. что мощность множества этих / равна щ.
Последняя часть формулы означает, что для любого / такого, что tp{g,f ), группа, порожденная всеми остальными / такими, что /?(#,/), не пересекается с / , т.е. множество всех / таких, что , независимо.
Это множество мы будем обозначать через Fj. Оно состоит из щ независимых экстремальных инволюций, соответствующих прямым слагаемым группы АІ. Естественно, такое множество получается для любого вектора ді, удовлетворяющего формуле ( ), поэтому следовало бы писать не Fj, а Fj( ), что мы и будем делать далее. Однако в случаях, когда параметр несущественен, мы будем его опускать.
Теперь нам нужно получить множество F , состоящее из /І = щ независимых экстремальных инволюций подгруппы А\. Это делается совершенно аналогично предыдущему случаю, следует лишь добавить условие независимости этих инволюций и инволюций из F/. Обозначим соответствующую формулу через
Выделение формульных множеств в базисной подгруппе
Счетный случай отличается только тем, что может не существовать “слоя” Aj мощности /І = 6 j, который нужен для кодирования элементов. Но вместо этого мы определим специальное множество Fo, содержащее по одной экстремальной инволюций для всех порядков, и вместо инволюций порядка pi будем использовать инволюции из Fo. Оставшаяся часть доказательства повторяет доказательство предыдущих случаев.
Тем самым мы доказали следующую теорему. Теорема 38. Если кольца эндоморфизмов абелевых р-групп (либо группы автоморфизмов абелевых р-групп, р 3) А\ и А2 элементарно эквивалентны, то группы сами группы А\ и А2 обладают эквивалентными в логике второго порядка делимыми частями и базисными подгруппами.
Интерпретация логики первого порядка группы А
В этом параграфе мы хотим выразить логику первого порядка группы А в языке первого порядка ее группы автоморфизмов. Для этого достаточно интерпретировать каждый элемент группы с помощью некоторого автоморфизма и задать формулы для сравнения элементов на равенство и сложения элементов.
Заметим, что любой элемент группы А имеет конечный порядок. Поэтому существует неразложимое прямое слагаемое Д; = (ЬІ) базис ной подгруппы В большего порядка. Тогда существует автоморфизм /, тождественный на прямом дополнении к ВІ и переводящий bi в bi + а. Таким автоморфизмом и будет кодироваться элемент а. Выделим такие автоморфизмы / формулой:
Рассмотрим редуцированную абелеву р-группу G, для которой известно разложение G = G\ 0 G2 = Giow 0 G/jn, где группа G/jn имеет ранг базисной подгруппы, равный финальному рангу /i/jn. Также известно разложение базисной подгруппы В = B\ow 0 Bfin, где /0w С G/ou,, Gfin С A/jn. В этом параграфе мы хотим выразить логику второго порядка группы G, ограниченную /i/jn, а затем с помощью полученного результата — выразить логику второго порядка группы G, ограниченную мощностью В. Нам потребуется множество независимых пар инволюций, где каждая пара соответствует прямому слагаемому группы Bfin. В каждом таком прямом слагаемом должны содержаться неприводимые прямые слагаемые сколь угодно высокого порядка. Всего таких пар должно быть їїfin. Как мы уже видели выше, такое множество можно выделить благодаря теореме 37. Обозначим это множество через F/jn.
На каждом прямом слагаемом, соответствующем паре (,є) из Ffin, интерпретируем элемент группы G c помощью автоморфизма точно так же, как и в предыдущем параграфе, с тем лишь отличием, что вместо неразложимых прямых слагаемых из В надо брать неразложимые прямые слагаемые из G y Два автоморфизма объявим эквивалентными (т.е. кодирующими один и тот же элемент группы), если они отличаются на автоморфизм, тождественный
Оставшаяся часть доказательства выразимости логики второго порядка полностью аналогична предыдущим подобным рассуждениям (см. упражнение 4). Теперь докажем следующую теорему. Теорема 39. Пусть G и G — редуцированные абелевы р-группы с базисными подгруппами В и В соответственно, р 3. Тогда если Aut G = Aut G , то Th2 (G) = Th2 \G ).
Доказательство. Рассмотрим данную редуцированную группу G. Пусть В — ее базисная подгруппа мощности цв = \В\. Мы хотим выразить теорию второго порядка группы G, ограниченную мощностью /i_g, с помощью теории первого порядка группы автоморфизмов Aut G. Согласно теореме 38, в этой теории первого порядка выражается полная теория второго порядка группы В. Мы будем считать, что группа G неограничена. Как мы уже знаем, можно выразить теорию второго порядка группы G, ограниченную финальным рангом \ijin базисной подгруппы В. Далее мы будем выражать формулы теории Th2B{G) через формулы теорий Tfi2(B) и T/i2/m(G). Заметим также, что выражение формул теории Tti2(B) и формул теории T/i2/m(G) может быть согласованно, т. е. существует формула, показывающая, когда в формулах этих теорий выражается один и тот же элемент Ъ Є В.
Чтобы выразить теорию второго порядка группы G, ограниченную мощностью /ig, необходимо уметь выражать произвольную “последовательность” мощности не больше цв элементов группы G. Для этого разобьем элементы группы В на \ів классов счетной мощности. На каждом классе независимо будет выражаться один элемент из ді,д2,... (или не выражаться ни один элемент). Разбиение элементов на классы можно осуществить одним отображением / на множестве В: два элемента Ъ\ и &2 лежат в одном классе, если f{b\) = /(&2). Условия, что всего таких классов /ІД и что каждый класс счетен, легко записываются в логике второго порядка. Также на каждом классе можно выделить унарную операцию “следующий за” с помощью отображения S. Это операция позволит отождествить каждый класс с множеством натуральных чисел. Обозначим необходимые условия на отображения / и S через Correct(f, S).
Рассмотрим класс Bk элементов группы В и элемент ?&, который мы хотим выразить на этом классе. По теореме 28, для элемента gk существует сходящаяся к нему в р-адической топологии последовательность элементов базисной подгруппы В. Такую последовательность можно задать отображением /& из счетного класса Bk в элементы &1, &2, . На такую последовательность надо наложить условие сходимости к элементу gk в р-адической топологии. Мы наложим более сильное условие
