Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп Митина Ольга Викторовна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Митина Ольга Викторовна. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.06 / Митина Ольга Викторовна; [Место защиты: Ин-т математики и механики УрО РАН].- Челябинск, 2009.- 134 с.: ил. РГБ ОД, 61 09-1/430

Содержание к диссертации

Введение

1 Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно 14

1.1 Предварительные сведения 14

1.1.1 Таблицы характеров групп PSL2(q), где q нечетно 14

1.1.2 Два базиса центра комплексной групповой алгебры 17

1.1.3 Общие свойства таблиц характеров групп PSL2(q), q нечетно . 30

1.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно

1.2.1 Классовые кольца характеров 35

1.2.2 Алгебраическая сопряженность 36

1.3 Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно 44

1.4 Теоремы разложения 58

1.4.1 Случай q = 3 (mod 4) или q является квадратом 58

1.4.2 Случай q = 1 (mod 4) и q не является квадратом 60

1.4.3 Ранги 81

1.5 Описание группы центральных единиц целочисленного группового коль ца группы PSL2{17) 83

2 Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно 96

2.1 Предварительные сведения 96

2.1.1 Таблицы характеров групп PGL2{q), q нечетно 96

2.1.2 Два базиса центра комплексной групповой алгебры 99

2.2 Центральные элементы целочисленных групповых колец групп PGL2(q), q нечетно 102

2.3 Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно 105

2.4 Теорема разложения 110

2.5 Ранги 114

2.6 Описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(7) и PGL2{9) 115

Литература 127

Приложения 130

Таблицы характеров групп PSL2(q), где q нечетно
Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно
Таблицы характеров групп PGL2{q), q нечетно
Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно

Введение к работе

Групповые кольца — естественный и важный объект современных алгебраических исследований. Результаты, относящиеся к групповым кольцам, широко используются не только во многих разделах алгебры, но и в других разделах математики, например, в топологии. В теории групповых колец можно выделить два основных направления: исследование кольцевой структуры и исследование мультипликативной структуры. Диссертационные исследования в основном касаются второго направления, т. е. изучаются группы единиц (обратимых элементов) групповых колец.

Вопросы мультипликативной структуры колец сначала рассматривались для колец целых элементов полей алгебраических чисел. К ним относятся теорема Дирихле о группах единиц колец целых полей алгебраических чисел [13] (Теорема П.4.5), результаты Синнота [24], [25] о группах единиц колец целых абелевых полей (полей с абелевой группой Галуа над полем рациональных чисел). Хигман [20] исследовал группы обратимых элементов групповых колец над конечными алгебраическими расширениями кольца целых чисел.

Классическим объектом исследований в теории групповых колец являются целочисленные групповые кольца конечных групп. Интерес к таким кольцам связан с тем, что именно для них наиболее ярко проявляются самые важные характеристики групповых колец конечных групп. Если рассматривать групповые алгебры конечных групп над полями характеристики 0, то классическая теория представлений сводит их изучение к матричным кольцам над телами.

Так как группа центральных единиц совпадает с центром группы всех единиц, то получение информации об этой группе является важной задачей при исследовании группы всех единиц. Дополнительную значимость этому придает тот факт, что в большинстве случаев на центре заканчивается верхний центральный ряд группы единиц. Кроме того, полные описания групп всех единиц целочисленных групповых колец получены лишь для некоторых групп небольших порядков.

В мультипликативной теории групповых колец можно выделить две основные области исследований: построение подгрупп единиц, имеющих определенные свой-ства(свобода, центральность, конечность индекса и др.) и выяснение свойств групп всех единиц. Обзоры состояния исследований групп единиц групповых колец можно найти в работах Бовди [18] и Джесперса [21].

В работах [16, 22] получено описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL₂(5) = А₅. Также в [16] описана группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL₂(9) = А₆.

Основная цель диссертационной работы состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL₂(q) и PGL₂{q), где q нечетно.

Основные задачи диссертационной работы:

получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц;

получить точные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q) и PGL₂{q) при начальных значениях q.

Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп,

теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP.

Изложенные в диссертации результаты работы были представлены в качестве докладов на Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006), Всероссийской научной конференции "Математика. Механика. Информатика", посвященной 30-летию ЧелГУ (Челябинск, 2006), конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2006), 38-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007), алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2007), Международной конференции "Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В.П. Шункова (Красноярск, 2007), Международной школе-конференции по теории групп, посвященная 60-летию А.С. Кондратьева (Челябинск, 2008), конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2008).

Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах [26]-[35].

Текст диссертации состоит из введения, двух глав, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 130 страниц.

Первая глава называется "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL₂(q), где q нечетно". В этой главе через G обозначена группа PSL₂(q), где q нечетно и является степенью простого числа. Глава содержит 5 параграфов. В параграфе 1.1 вводятся основные понятия, приводятся обозначения и таблица характеров групп PSL₂(q), q нечетно (см. табл. 1). Обозначим є = (—1)^^9-1^²,

а —А —є q - 2 + є q -є q + є _ є + Jeq
Я\ = ^ , (72 = ^ , <7з = —g—, 4 = —g—, а также 5₊ = ,

₌ g-₄/gg 9

Таблица 1: Таблица характеров группы PSL₂(q), q нечетно

Рассматриваются два упорядоченных базиса центра комплексной групповой алгебры CG. Базис из классовых сумм

Y(G) = (y(l),y(c),y(d),y(a2),y(a),...,y(a^qi),y(b),...,y(b^q2)),

где у(х) — классовая сумма для класса x^G, 1, с, d, а₂, {а¹ \ I = 1,..., <7д},

{Ь^т | т = l,...,q₂} — представители классов сопряженности группы G. Базис из

— 6 —

минимальных центральных идемпотентов

E{G) = (e(l_G), е(Єі), е(&), е((р), e(xi),..., e(_Xqi), е(бі),..., e(0_w)),

где e(x) — минимальный центральный идемпотент, соответствующий характеру х> 1g> ъ 2, Vj ІХі і * = !>> 9і}> {^і І І — І)---» 2} — множество всех неприводимых комплексных характеров группы G. Связь между этими базисами описывается следующими формулами [13, 33, (33.9) и (33.11)]. Для любых х Є Irr(G) и а; Є X(G)

^Є(Х) = т Е *Ш*) ^п »(х) = \x^G\ ]Г ^-е(_Х),

где degx — степень характера х> X(G) — множество представителей классов сопряженности, Irr(G) — множество всех неприводимых комплексных характеров.

В параграфе 1.2 рассматриваются целочисленные групповые кольца, исследуются общие свойства центральных элементов целочисленных групповых колец групп G. Определена система представителей классов сопряженных характеров.

В параграфе 1.3 исследуются общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец группы G. Рассматривается нормализованная группа V центральных единиц, т. е. таких центральных единиц, что сумма их коэффициентов при разложении по элементам группы равна 1. Для произвольного элемента v Є V через j_v(x) обозначен коэффициент при классовой сумме у(х) класса x^G в разложении по базису из классовых сумм Y(G); через ДДх) ~~ коэффициент при минимальном центральном идемпотенте е(х), который соответствует характеру х в разложении по базису из минимальных центральных идемпотентов E(G). Через р и а обозначены первообразные корни из 1 степени д₃ и 4 соответственно.

Для сокращения записи используются следующие обозначения:

^г»(^а) ⁼ Ет»(^а'). Г„(а,аг*) = ХХ-1)'7«(а')» для г = 1,.. .,
1=1 1=1

ГМ, Р¹) = tip'¹¹ + Р^и)ъ(а¹);

Г«(6) = Е ъ(Ь^т), Г„(Ь, alt) = (-1)^т_Ъ(Ь^т), Для j = 1,..., q₂

m=l m=l

г„(ь,с?³) = Е ip~^im + v^jrnhv(b^m);

m=l

Д>(х) = E Pv(Xi), B_v(x, alt) = E(-i)^(xt). Д^ля і = і,..., gi

г=1 i=l

А,(х,^) = (р-" + /)&Ы;

і=1

Д,(0) = Е &(%), ^Bv(0, alt) = Е {-l)^jPv(0j), длят = 1,..., q₂3=1 j=\

Д,(0,О - (сг-'^т + ОД,(0,-).

Получены соотношения между различными коэффициентами нормализованной центральной единицы. Для целых положительных п и s через del(n,s) обозначено множество всех целых положительных делителей числа п, не превосходящих s.

Предложение 1 (глава 1, предложение 14). Пусть v Є V. Тогда выполняются следующие утверждения.

Д,(1₀) = 1.
Если q = 1 (mod 4) и q не является квадратом, то

1 п Л

/Ц6) = я + ^Чрл/й/, А,(6) = ^ж—^—Vgy, где

V=7v{^c)-lv(d), х = l+2qx' для х'= ~~^'l~~——jv{a₂)-r_v(a)+T_v(a,alt). Если q = 3 (mod 4) или q является квадратом, то

/Ш)=&(6) = 1,

т. е. у = 0, х = 1, х' = 0.

з) /Ш = і.

^,) Для любого і = 1,... ,qi

/3_v(_Xi) = 1 + «z((-l + (-1)%Ы - 2Г„(а) + Г„(а, р*))-5 частности, для п Є {3, 4, 6} и г Є del(^3,1) таких, что п і —

/Ш) = і-

5j Для любого j = 1,..., q₂

P_v{6j) = 1 + eq(2T_v(b) - T_v(b, a*)). В частности, если З Є del(4, 2) и 3 j — q^, то

/5,(%) = І-

6) Пусть х ~ неприводимый характер группы G, поле которого либо Q, либо мнимое квадратичное расширение поля Q. Тогда

Pv(x) = 1-

Предложение 2 (глава 1, предложение 19). Пусть v Є V, целые числа х, у определены как в п. 2 предложения 1. Тогда выполняются следующие равенства.

1) 7,(1) = щ (1 + Я² + Ч* + ^B_v(x) + ЩВ_У{9)) =

= 1 - eq₃(jv(c) + 7«(<0) - (711(02) + 2Г„(о)) = = 1 + е<74 (7»(с) + 7«(d)) + 2є0Г„(Ь).

Ю 7»(с) = Т77Г (¹ + 4(еж + g₃?y) + 2eq_AB_v(x) ~ 2eq₃B_v{9)) = = -7»(d) - 7«Ы - 2Г„(о) - 2Г„(Ь).

5; 7r(d) = |ї (1 + &(єя - q₃qy) + 2sq₄B_v{_X) - 2eq₃B_v(9)) = = ~ъ(с) - _ЪЫ - 2Г„(а) - 2Г„(Ь).

4) ЪЫ = — (1 + (-1)"¹⁺¹ж + 2Д,(х, ой)). <7?з

5j Для любого I = 1,..., #i

_7и(а') = — (1 + (-l)'a: + А,(х, р'))

5) Для любого т = 1,..., q<±

_lv(b^m) = -—(l + B_v(e,a^m)).

В параграфе 1.4 доказаны теоремы разложения группы центральных единиц в прямое произведение подгрупп, которые устроены проще, чем вся группа. Отдельно рассматриваются случай q = 3 (mod 4) или q является квадратом и случай q = 1 (mod 4), q не является квадратом. Это связано с разными свойствами таблиц характеров групп G в этих случаях.

Теорема 1. Пусть = 3 (mod 4) или q является квадратом, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G = PSL2(q). Тогда

V = АхВ, где

A = {v Є V | /3_v(dj) - 1 для j = 1,..., g₂}

= {v Є К I 7u(b^m) = 0 Лит = 1,...,й}, Б = {и Є V І /3„(хі) = 1 d/w » = 1,..., ft}

= {w Є V | 7„(a*) = 0 Аля Z = 1,..., ft + 1} ,

зАесъ a^?1+1 = a₂.

Лемма 1 (глава 1, лемма 26). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G,

A = {veV\ A,(i) = &,(&) = 1, #,(0,-) = 1 ^ляі - 1,...,}. Тогда выполняются следующие утверждения.

А является подгруппой группы V.
А = {« Є V | 7„(с) = 7»(<0, 7«(b^m) = 0 идя т = 1,..., д₂}.

Лемма 2 (глава 1, лемма 28). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G,

С = {v Є V I P_v(Xi) = Pv(Qj) = ¹ для і = 1, . . . ,qi, j = 1,. . . ,q₂} . Тогда выполняются следующие утверждения.

С является подгруппой группы V.
С = {v Є V\j_v(b^m)=0 для т = 1,..., q₂,

7и(а') = (—1)^г_17и(а) для 1=1,... ,qi+l}, здесь a^9l+1 = а₂.

Теорема 2. Пусть q = 1 (mod 4) и q не является квадратом, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G = PSL2(q), подгруппы А и С определены как в леммах 1 и 2. Тогда

V = FxB, где

F={veV\ p_v{9j) = 1 для j = 1,...,<7з}

= {v Є V I ъ{Ь^т) = 0 для т = 1,..., q₂}; B = {ve V I Д,(6) = Pv(b) = 1, Pv(Xi) = 1 для і = 1,...,_qi}

= {v Є V I j_v(c)=j_v(d), 7„(a') = 0 для I = 1,... ,q_x + l} .

Кроме того, \V : A x В x C\ ^ 2.

Дальнейшее изучение групп центральных единиц связано со свойствами решений уравнения Пелля х² — Ку² = 1 для целого положительного К, не являющегося квадратом. По п. 2 предложения 1 A,(i) = х + ^^/qy, &(&) = х — ^^fqy, где х, у удовлетворяют этому уравнению Пелля. В результате получено достаточное условие, которое позволяет уточнить теорему 2.

Теорема 3. Пусть q = 1 (mod 4) uq является нечетной степенью простого числа,

V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового колъ-

q(q-l)²ца группы PSL₂(q), К = , (%о,Уо) ~ наименьшее целочисленное решение

уравнения х² — Ку² = 1. Если х₀ = —l(mod 2q), то

V = АхВхС, где

A = {v Є V І /Ш) = Д,(6) = 1, /Щ) = 1 для j = 1,..., ?₂}

= {v Є V І 7»(с) = lv(d), ъФ) = 0 для m = 1,..., q₂, } , В = {v Є V І Д,(&) = /5,,(6) = 1, Pv(Xi) = 1дляг = 1, ...,_Ql}

= {v Є V I 7„(c)=7_v(d),7„(a')=0 для I = 1,...,} , С ={v Є V I A,(x») = Pv{Qj) = 1 дляг = 1,...,qi uj = 1,...,}

={_V Є F | ₇,(b^m) = 0, m = 1,..., g₂, 7^)=(-1)^4(^), *=1, , 9i+l}-

— 10 —

Теорема 4. Пусть q = 1 (mod 4), q не является квадратом, К = —— и (xq, уо)

— наименьшее целочисленное решение уравнения х² — Ку² — 1. Пусть также q < 150, тогда Xq ^ l(mod 2g) при q Є {97,137} и х₀ = — l(mod 2q) при других q .

Следствие 1. При q < 150 указанное в теореме 3 разлооїсепие группы V может нарушаться только при q = 97 и q — 137.

В параграфе 1.5 получено точное описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2(17).

Теорема 5. Пусть U — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PS 1,2(17). Тогда

U = (-1) х А х В х С, где

1. A=(v),

и = 1762572/(1) + 9792{у(с) + y(d)) - 19584у(а₂) + 13848(г/(а) - т/(а³));

2. В = (_Vl) х (v₂),

vi =56555902193у(1) - 3534743887(у(с) + y(d)) - 5415541825?/(&)--1227603669y(b²) + 3534743887?/(b³) + 6643145494^),

v₂ =1486659281185y(l) - 92916205074(y(c) + y(d))-

-142349823632y(b) - 32258067455y(b²) + 92916205074?/(6³)+ +174607891087//(6⁴);

3. C={v₃),

v₃ = 145г/(1) + 41y(c) - 25y(d) + Щу(а₂) - у {a) + y(a²) - y(a³)).

Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSLo(q), где q нечетно, определены в [6] и [7].

Вторая глава называется "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL₂(q)i где q нечетно". Структура второй главы аналогична структуре первой главы. В этой главе через G обозначена группа PGL₂(q), где q нечетно п является степенью простого числа. Глава содержит 6 параграфов. В параграфе 2.1 приводятся основные обозначения и таблица характеров групп PGL/2(q), q нечетно (см. табл. 2). Также рассматриваются два упорядоченных базиса центра комплексной групповой алгебры CG. Базис из классовых сумм

^Y(G)= \у(1),у{с),у(а2),у(Ь₂),у(а),...,у{а^Я~^~),у(Ь),...,у(Ь^3±^~)) ,

где у(х) — классовая сумма для класса x^G, 1, с, а₂, b₂,{a^l \ I = 1,..., ^q~~~^~~~²},

{Ь^т | т = 1,..., ~~^q+~~2~²} — представители классов сопряженности группы G. Базис из

минимальных центральных идемпотентов

E{G) = ( e(l_G), е(ф), e(y>i), е(у₂), e(xi), -, е(хя-є-2),е(Єі),..., е(вд_+є-₂) J ,

Таблица 2: Таблица характеров группы PGL₂(q), q нечетно

где е(\) — минимальный центральный идемпотент, соответствующий характеру х₅1(7, t^/;, <^ь <Р2, {Хг | г = 1,..., ⁹~~~2~~~²}, ( | і = 1,..., ⁹⁺2~²} — множество всех неприводимых комплексных характеров группы G.

В параграфе 2.2 определена система представителей классов сопряженных характерен группы G.

В параграфе 2.3 исследуются общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп G. Для произвольного элемента v нормализованной группы центральных единиц V получены соотношения между коэффициентами 7и при разложении по базису из классовых сумм и коэффициентами (3_V при разложении по базису из минимальных центральных идемпотентов.

Предложение 3 (глава 2, предложение 23). Пусть и Є У. Тогда выполняются следующие равенства.

_ъ{1) = 1 - е*(ъЫ + 2Г„(а)) + е^ЫЬ) + 2Г„(6)).
Ъ(с) = ~\ЫЫ + 2T_v{a) + 7,() + 2Г„(Ь)).
ъЫ = фщ{1 + B_v{_X,alt)).

Для любого / = 1,..., ^q~^s₂~
Для любого т = 1,..., ~~^q+~~₂~²

^ъ{п ⁼ wh)^^1+{~^1)т⁺^Bv{6,⁰⁾*

В параграфе 2.4 доказана теорема разложения группы центральных единиц в прямое произведение подгрупп, которые устроены проще, чем вся группа.

-12 —

Лемма 3 (глава 2, лемма 54). Пусть V — нормализованная группа центральных

единиц целочисленного группового кольца группы G,

A = {v Є V І Д,(0,.) = 1 для j = 1,..., 2±|^} .

Тогда

А — подгруппа группы V;
A = [v Є V | -)'_v(b^m) = 0 для т = 1,..., ^} (включая ъ^))-

Лемма 4 (глава 2, лемма 55). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G,

В = {v Є V І А,(хі) = 1 &ш г = 1,..., ^} -Тогда

В — подгруппа группы V;
В = {v Є V I 7«(^а0 = О для 1 = 1,..., ^¹} (включая 7v(«2)j-

Теорема 6. Нормализованная группа центральных едииц целочисленного группового кольца группы G = PGL₂(g), где q нечетно, равна прямому произведению подгрупп А и В, определенных в леммах 3 и 4.

В параграфе 2.5 доказана формула для вычисления рангов групп центральных единиц. Через u(s) обозначено количество целых положительных делителей целого положительного числа s.

Теорема 7. Ранги групп центральных єдиний, целочисленных групповых колец групп PGL/2(q), где q нечетно, вычисляются по формуле

rank(U(Z(ZG))) = q + 2 - u(q - 1) - v{q + 1).

Следствие 2. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGL₂(q), где q нечетно, тривиальна тогда и только тогда, когда q = 3 или д = 5.

В параграфе 2.6 получено точное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL₂{7) и PGL/2{9).

Теорема 8. Пусть U — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGZ^CO- Тогда

U = (-1) х (v), где

v = 4201у(1) - 700у(с) + 1Шу(а₂) - 990у(а) + 990у(а³).

Теорема 9. Пусть U — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGL₂(9). Тогда

U = (-1) х (v) х (vi) х (v₂), где

v = -213443999у(1) - 21344400у(с) + 42688800у(а₂) + 30185540?/(а) - 301855402/(а³), «і = 9217у(1) - 1152у(с) + 23042/(6₂) - 1864у(6) - 7122/(6²) + 7122/(6³) + 1864у(6⁴), v₂ = 9217у(1) - 1152у(с) - 2304у(Ь₂) - 712у(Ь) + 1864у(6²) + 1864(/(6³) - 712у(Ь⁴).

Результаты диссертации позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL/2(q) и PGL2(q), где q нечетно,

находить центральные единицы;

строить подгруппы конечного индекса;

находить ранги групп центральных единиц;

полностью описывать группы центральных единиц таких колец.

Таблицы характеров групп PSL2(q), где q нечетно

В работах [16, 22] получено описание группы центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2(5) = А5. Также в [16] описана группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PSL2(9) = А6. Основная цель диссертационной работы состоит в построении теории для исследования центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q) и PGL2{q), где q нечетно. Основные задачи диссертационной работы: получить результаты как о свойствах отдельных центральных единиц, так и о свойствах групп всех центральных единиц; получить точные описания групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q) и PGL2{q) при начальных значениях q.

Для изучения центральных единиц привлекаются методы теории конечных групп, теории характеров, теории чисел и компьютерной алгебры. Для вычислений используется компьютерная система GAP.

Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно

Основные результаты диссертации опубликованы в десяти работах [26]-[35]. Текст диссертации состоит из введения, двух глав, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 130 страниц. Первая глава называется "Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно". В этой главе через G обозначена группа PSL2(q), где q нечетно и является степенью простого числа. Глава содержит 5 параграфов. В параграфе 1.1 вводятся основные понятия, приводятся обозначения и таблица характеров групп PSL2(q), q нечетно (см. табл. 1). В параграфе 1.2 рассматриваются целочисленные групповые кольца, исследуются общие свойства центральных элементов целочисленных групповых колец групп G. Определена система представителей классов сопряженных характеров. В параграфе 1.3 исследуются общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец группы G. Рассматривается нормализованная группа V центральных единиц, т. е. таких центральных единиц, что сумма их коэффициентов при разложении по элементам группы равна 1. Для произвольного элемента v Є V через jv(x) обозначен коэффициент при классовой сумме у(х) класса xG в разложении по базису из классовых сумм Y(G); через ДДх) коэффициент при минимальном центральном идемпотенте е(х), который соответствует характеру х в разложении по базису из минимальных центральных идемпотентов E(G). Через р и а обозначены первообразные корни из 1 степени д3 и 4 соответственно.

Получены соотношения между различными коэффициентами нормализованной центральной единицы. Для целых положительных п и s через del(n,s) обозначено множество всех целых положительных делителей числа п, не превосходящих s. В параграфе 1.4 доказаны теоремы разложения группы центральных единиц в прямое произведение подгрупп, которые устроены проще, чем вся группа. Отдельно рассматриваются случай q = 3 (mod 4) или q является квадратом и случай q = 1 (mod 4), q не является квадратом. Это связано с разными свойствами таблиц характеров групп G в этих случаях.

Теорема 1. Пусть = 3 (mod 4) или q является квадратом, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G = PSL2(q). Тогда V = АхВ, где A = {v Є V /3v(dj) - 1 для j = 1,..., g2} = {v Є К I 7u(bm) = 0 Лит = 1,...,й}, Б = {и Є V І /3„(ХІ) = 1 d/w » = 1,..., ft} = {w Є V 7„(a ) = 0 Аля Z = 1,..., ft + 1} , зАесъ a?1+1 = a2. Лемма 1 (глава 1, лемма 26). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G, A = {veV\ A,(i) = &,(&) = 1, #,(0,-) = 1 ляі - 1,...,}. Тогда выполняются следующие утверждения. 1) А является подгруппой группы V. 2) А = {« Є V 7„(с) = 7»( 0, 7«(bm) = 0 идя т = 1,..., д2}. -9 Лемма 2 (глава 1, лемма 28). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G, С = {v Є V I Pv(Xi) = Pv(Qj) = 1 для і = 1, . . . ,qi, j = 1,. . . ,q2} . Тогда выполняются следующие утверждения. 1) С является подгруппой группы V. 2) С = {v Є V\jv(bm)=0 для т = 1,..., q2, 7и(а ) = (—1)г_17и(а) для 1=1,... ,qi+l}, здесь a9l+1 = а2. Теорема 2. Пусть q = 1 (mod 4) и q не является квадратом, V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G = PSL2(q), подгруппы А и С определены как в леммах 1 и 2. Тогда V = FxB, где F={veV\ pv{9j) = 1 для j = 1,..., 7з} = {v Є V I ъ{Ьт) = 0 для т = 1,..., q2}; B = {ve V I Д,(6) = Pv(b) = 1, Pv(Xi) = 1 для і = 1,...,qi} = {v Є V I jv(c)=jv(d), 7„(a ) = 0 для I = 1,... ,qx + l} . Кроме того, \V : A x В x C\ 2.

Дальнейшее изучение групп центральных единиц связано со свойствами решений уравнения Пелля х2 — Ку2 = 1 для целого положительного К, не являющегося квадратом. По п. 2 предложения 1 A,(i) = х + /qy, &(&) = х — fqy, где х, у удовлетворяют этому уравнению Пелля. В результате получено достаточное условие, которое позволяет уточнить теорему 2.

Таблицы характеров групп PGL2{q), q нечетно

"Группы центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q)i где q нечетно". Структура второй главы аналогична структуре первой главы. В этой главе через G обозначена группа PGL2(q), где q нечетно п является степенью простого числа. Глава содержит 6 параграфов. В параграфе 2.1 приводятся основные обозначения и таблица характеров групп PGL/2(q), q нечетно (см. табл. 2). В параграфе 2.3 исследуются общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп G. Для произвольного элемента v нормализованной группы центральных единиц V получены соотношения между коэффициентами 7и при разложении по базису из классовых сумм и коэффициентами (3V при разложении по базису из минимальных центральных идемпотентов. Предложение 3 (глава 2, предложение 23). Пусть и Є У. Тогда выполняются следующие равенства. 1) ъ{1) = 1 - е (ъЫ + 2Г„(а)) + е ЫЬ) + 2Г„(6)). 2) Ъ(с) = \ЫЫ + 2Tv{a) + 7,() + 2Г„(Ь)). 3) ъЫ = фщ{1 + Bv{X,alt)). 5) Для любого / = 1,..., q s2 6) Для любого т = 1,..., q+2 2 ъ{п = wh) 1+{ 1)т+Bv{6,0) В параграфе 2.4 доказана теорема разложения группы центральных единиц в прямое произведение подгрупп, которые устроены проще, чем вся группа. -12 — Лемма 3 (глава 2, лемма 54). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G, A = {v Є V І Д,(0,.) = 1 для j = 1,..., 2± } . Тогда 1) А — подгруппа группы V; 2) A = [v Є V -) v(bm) = 0 для т = 1,..., } (включая ъ )) Лемма 4 (глава 2, лемма 55). Пусть V — нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G, В = {v Є V І А,(ХІ) = 1 &ш г = 1,..., } -Тогда 1) В — подгруппа группы V; 2) В = {v Є V I 7«(а0 = О для 1 = 1,..., 1} (включая 7v(«2)j Теорема 6. Нормализованная группа центральных едииц целочисленного группового кольца группы G = PGL2(g), где q нечетно, равна прямому произведению подгрупп А и В, определенных в леммах 3 и 4. В параграфе 2.5 доказана формула для вычисления рангов групп центральных единиц. Через u(s) обозначено количество целых положительных делителей целого положительного числа s. Теорема 7. Ранги групп центральных єдиний, целочисленных групповых колец групп PGL/2(q), где q нечетно, вычисляются по формуле rank(U(Z(ZG))) = q + 2 - u(q - 1) - v{q + 1).

Следствие 2. Группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGL2(q), где q нечетно, тривиальна тогда и только тогда, когда q = 3 или д = 5. В параграфе 2.6 получено точное описание групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2{7) и PGL/2{9). Теорема 8. Пусть U — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGZ CO- Тогда U = (-1) х (v), где v = 4201у(1) - 700у(с) + 1Шу(а2) - 990у(а) + 990у(а3). -13 Теорема 9. Пусть U — группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы PGL2(9). Тогда U = (-1) х (v) х (vi) х (v2), где v = -213443999у(1) - 21344400у(с) + 42688800у(а2) + 30185540?/(а) - 301855402/(а3), «і = 9217у(1) - 1152у(с) + 23042/(62) - 1864у(6) - 7122/(62) + 7122/(63) + 1864у(64), v2 = 9217у(1) - 1152у(с) - 2304у(Ь2) - 712у(Ь) + 1864у(62) + 1864(/(63) - 712у(Ь4). Результаты диссертации позволяют в группах центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL/2(q) и PGL2(q), где q нечетно, находить центральные единицы; строить подгруппы конечного индекса; находить ранги групп центральных единиц; полностью описывать группы центральных единиц таких колец.

Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно

Будем считать, что центр Z(ZG) целочисленного группового кольца вложен естественным образом в центр Z(CG) комплексной групповой алгебры.

Выясним связь между коэффициентами в разложениях произвольного центрального элемента целочисленного группового кольца группы G по базисам Y(G) и E{G). Введем для сокращения формул дополнительные обозначения. Далее рассматриваются только целочисленные групповые кольца.

Сохраним обозначения и подходы из раздела 1.1.2. Будем считать, что центр Z(ZG) целочисленного группового кольца вложен естественным образом в центр Z(CG) комплексной групповой алгебры. В частности, можно разлагать элементы из Z(ZG) по базису из минимальных центральных идемпотентов E(G).

Выясним какие характеры целые или их значения принадлежат Z[y/—d\ для целого положительного числа d. Множества значений алгебраически сопряженных характеров совпадают, поэтому достаточно рассматривать только представители алгебраически несопряженных характеров.

В этом разделе получены соотношения между различными коэффициентами нормализованной центральной единицы для G = PGLo(q), где q нечетно.

Обозначение. Обозначим через V нормализованную группу центральных единиц, т. е. таких центральных единиц, что сумма их коэффициентов при разложении по элементам группы равна 1. Сохраним обозначения из разделов 2.1 —2.3.

Напомним, что q является степенью нечетного простого числа, через V обозначена нормализованная группа центральных единиц целочисленного группового кольца группы G — PGL2(q), т. е. для любого uev A,(iG) = i. Кроме того, по определению V /3V(1G) — 1, по лемме 48 A,(i/ ) = (3( Pl) = Pv{}P2) = 1) т. е. для произвольного v Є АП В все коэффициенты j3v = 1. Поэтому А П В = 1. Следовательно, Л-І9 = ЛХІ?СТЛ Для доказательства обратного включения возьмем произвольный элемент и Є V. Определим элемент v из центра комплексной групповой алгебры группы G следующим образом.

Положим для любого j = 1,..., q+ Pvifij) = /3u{6j), a все остальные коэффициенты при минимальных центральных идемпотентах положим равными 1, в том числе /3v(xi) 1- Этот элемент обратим в центре комплексной групповой алгебры группы G.

Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп Митина Ольга Викторовна

Таблицы характеров групп PSL2(q), где q нечетно

Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PSL2(q), где q нечетно

Таблицы характеров групп PGL2{q), q нечетно

Общие свойства центральных единиц целочисленных групповых колец групп PGL2(q), где q нечетно

Похожие диссертации на Группы центральных единиц целочисленных групповых колец конечных линейных групп