Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 11
1.1 Первичный радикал группы 11
1.2 Первичный радикал кольца 15
1.3 Топологическая группа 17
1.4 Топологическое кольцо 20
2 Топологический первичный квазирадикал в кольце 26
2.1 Радикалы топологических колец 26
2.2 Определения, примеры 28
2.3 Отношения включения 32
2.4 Случай колец матриц 37
2.5 Случай колец многочленов 40
3 Топологический первинний радикал топологической группы 50
3.1 Первый подход 50
3.2 Второй подход 55
Литература 61
Введение к работе
Начало общей теории радикалов колец и алгебр было положено в 1953 году А.Г. Курошем [11], которая нашла свое развитие в статях В.А. Андрунакиевича [2] и [3], и многих других. В работе [11] А.Г. Курошем введены основные понятия и указаны основные методы построения радикалов: радикалные и полупростые классы и их характеристики; отношения порядка для радикалов; нижний радикал, порожденный данным классом алгебр, его построение; верхний радикал, определенный некоторым классом алгебр. Одновременно, аналогичные идеи были развиты в работах Амицура [7] и [8]. Хотя основные положения этой теории распространялись кроме колец и на другие алгебраические системы, в частности, группы, она не учитывала специфики последних. Б.И. Плоткин в своей серии работ [19] [20] [21] модифицировал аксиомы этой теории с учетом особеностей групп, во многих пунктах качественно отличной от соответствующей теории в ассоцативных кольцах и не укладывающейся в общую схему теории радикалов А.Г. Куроша. В [12] А.Г. Курош обратился к теории радикалов в группах, и начал её построение на основе своих прежним понятий и результатов. В 1943 году Бэр [10] построил нижний нильрадикал кольца трансфинитным бэровским процессом. Маккой [16] ввел понятия первичного кольца и первичного идеала и с их помо-
щью ввел в рассмотрение первичный радикал - пересечение всех первичних идеалов кольцах. Левицкий [15] с помощью т-последовательностей доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя.
Теория радикалов топологических колец начала развиваться по аналогии с радикалами дискретных колец, т.е. колец без топологии. В теории радикалов топологических колец, как, впрочем, и в дискретном случае, исследования проводились по следующим двум направлениям:
общая теория радикалов;
тория конкретных радикалов.
В цикле работ Капланского по топологическим кольцам существенную роль играл радикал Джекобсона. В [5] В.И. Арнаутов определил топологический радикал Бэра L(R) аналогично нижнему нильрадикалу кольца, который в дискретном случае совпадает с ним, и рассмотрел его свойства (в том числе то, что (L(R))n = L(Rn)) где Rn - кольцо матриц размера п х п над кольцом R. Он в [5] определил 9Я(Я) как множество всех элементов b Є R, для которых любая т'-последовательность, начинающаяся с Ь, является исчезающей, и показал что в классе топологических колех, обладающих базисом окрестностей нуля, состоящим из идеалов, имеет место равенство 9Л(Я) = Пі^ І Р ~~ открытый первичный идеал в R}. В этом классе колец приведен пример, показывающий отличие
m(R) от L(R).
По предложению А.Г.Куроша ( [23] и [24]) К.К. Щукин определил первичный радикал группы как пересечение всех первичных нормальных подгрупп, и доказал, что первичный радикал совпадает с множеством всех строго энгелевых элементов группы.
Данная диссертация посвящена изучению радикальных свойств следующих объектов; квазирадикала fi(R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R); rj{G) = Г\{Р | Р - топологическая первичная нормальная подгруппа}; rf{G) (множество всех топологических строго энгелевых элементов топологической группы).
Цель работы. Изучение свойств топологических аналогов первичного радикала в топологических кольцах и группах.
Методы исследований. В диссертации используются методы теории групп, теории топологических групп, теории колец и теории топологических колец.
Научная новизна. Результаты работы являются новыми. Основными являются следующие:
1. Исследован топологически первичный квазирадикал fi{R) (пересечение всех замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце #), и доказан ряд его свойств.
Приведены примеры, показывающие отличие //(Л) от ранее изучаемых топологических аналогов первичного радикала.
Дано описание топологически первичного квазирадикала (л(Я) как пересечения всех минимальных замкнутых первичных идеалов в топологическом кольце R.
Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец матриц и доказано, что (fi(R))n = fi(Rn).
Исследованы топологически первичные квазирадикалы колец многочленов и доказано, что fi(R[X]) = [fi(R))[X].
Исследован топологически первичный псевдорадикал группы rj(G) = f]{P I Р - топологическая первичная нормальная подгруппа }, и дано его описание как пересечения всех минимальных замкнутых первичных нормальных подгрупп в топологической группе G.
Исследован топологически первичный радикал группы r}'{G), и дано его описание как пересечения всех открытых первичных нормальных подгрупп в классе топологических групп G, обладающих базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по структурной теории топологических
колец и топологических групп. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией топологических колец и топологических групп.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [25], [26].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из трёх глав, содержащих одиннадцать параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют тройной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер раздела, а третье — на номер соответствующего результата. Объем диссертации - 64 страниц, список литературы содержит 26 наименований.
Благодарность. Автор рад представившейся возможности выразить благодарность своим научному руководителю д.ф.-м.н. профессору А.В. Михалеву за постановку задач, постоянное внимание к работе, и полезные советы и к.ф.-м.н., доценту СТ. Главацкию за многочисленные обсуждения и комментарии, полезные советы, и ценную помощь. А также за их теплое отношение, сделавшее совместную работу очень приятной. Также благодарен всем сотрудникам кафедры высшей алгеб-
«
ры механико-математического факультета Московского государственного университета.
Первичный радикал кольца
Определение 1.2.1. Пусть R - кольцо. Идеал Р, Р ф R, в R называется первичным идеалом, если из АВ С Р следует А С Р или В С Р, где А и В - идеалы в R. Кольцо R называется первичным кольцом если {0} является первичным идеалом. Определение 1.2.2. Пусть R - произвольное кольцо, тогда идеал Rad(R) = П{ I Р первичный идеал в R} пазивается первичным радикалом кольца R. Определение 1.2.3. Пусть R произвольное кольцо с единицей, элемент а Є R называется строго нильпотентным элементом если для любой последовательности ао — а, ап+і Є anRan, существует А; Є N такое что, at = 0. Предложение 1.2.1. Первичный радикал кольца R совпадает с множеством всех его строго пильпотентных элементов. Предложение 1.2.2. Пусть R - произвольное кольцо с единицей, тогда Rad(Rn) — (Rad(R))n. Определение 1.2.4. Непустое подмножество К кольца R навивается га-системой, если для любых а,Ь К найдется элемент х R, такой что ахЬ К. Предложение 1.2.3. Идеал I кольца R, І ф R, будет первичным тогда и только тогда, когда R\I является т-системой. Предложение 1.2.4. Пусть I - идеал кольца R, К - т-система eRuIf\K = 0, Тогда 1. Множество всех таких идеалов J кольца R, что I С J, J П К = 0, индуктивно. Максимальные элементы этого множества являются первичными идеалами KOAb R, содероісащими идеал I. 2. Мнооїсество всех таких гп-систем К , что К С К{ и К1 Г\ І 0, индуктивно. Максимальные элементы этого множества являются дополнениями к минимальным над I первичным идеалам. Следствие 1.2.1. Лобой первичный идеал codepotcum некоторый минимальный первичный идеал. Поэтому в лобом кольце R; Rad(R) = f]{I \ I - минимальный первичный идеал в R} 1.3 Топологическая группа Определение 1.3.1. Множество G навивается топологической группой, если : 1. G - группа; 2. G - топогогическое пространство; 3. Групповые операции, имеющиеся в G непрерывны т.е. если а иЬ элементы G, то для всякой окрестности W элемента ab найдутся окрестности U иУ элементов а и b такие, что UV С W; если а Є G, то для всякой окрестности V элемента а"1 найдется такая окрестность U элемента а, что U 1 С V. Предложение 1.3.1. Если совокупность подмножеств Бе является базисом окрестностей единицы топологической группы G, то выполнены следующие условия; GJV1) є Є Пкеш, V; GN2) для любых подмножеств U uV из 93е существует такое подмножество W Є 23с, что W С GNS) для любого подмножества U Є 25е существует такое подмножество V Є 23е, что VV С Ї7; GN4) для любого подмиооїсества U Є 23е существует такое подмножество V є 93е? что V l С GN5) для любого подмножества U Є 25е любого а Є G существует такое подмножество V Є Предложение 1.3.2. Пусть Q3e - совокупность подмно-оісеств группы G, удовлетворяющая условиям GN1-GN5. Тогда на G существует (и притом единственная) топология, в которой G является топологической группой, а 23е - базис окрестностей единицы.
Предложение 1.3.3. Пусть 93 с - базис окрестностей единицы топологической группы G. Топологическая группа G отделима тогда и только тогда когда, ПУЄШ = Iе} Предложение 1.3.4. Замыкание Н подгруппы Н топологической группы G есть подгруппа группы G. Если Н - нормальная подгруппа, то Н - тоже нормальная подгруппа. Предложение 1.3.5. В отделимой группе G замыкание коммутативной подгруппы Н есть коммутативная подгруппа. Предложение 1.3.6. В отделимой группе G множество Mf элементов, перестановочных с элементами произвольного MHOOfcecmea M С G, есть замкнутая подгруппа. В частности, центер группы G замкнут в G. Предложение 1.3.7. Для того, чтобы подгруппа топологической группы была открыта, необходимо и достаточно, чтобы она содероісала внутреннюю точку. Всякая открытая подгруппа замкнута. Определение 1.3.2. Пусть X - подмножество топологической группы G, X топологически порождает G, если в G не существует собственной замкнутой подгруппы, содержащей X (иными словами: X порождает всюду плотную подгруппу в G [17]. Теорема 1.3.1. ЕслиХ - вполне регулярное пространство, то существует топологическая группа F со следующими свойствами: F\) X - подпространство в F; F z) X топологически порождает F; Fs) Каково бы пи было непрерывное отобраоїсепие ір пространство X в произвольную топологическую руппу G, существует отобраэ/сеиия ф из группы F в G, для которого (рх = фх непрерывный гомоморфизм для любой точке х из X. Теорема 1.3.2. ЕслиХ - вполне регулярное пространство, то топологическая группа со свойствами i \ ,F i }F$ единственна с точностью до топологического изоморфизма, переводящего все точки X в самих себя. Определение 1.3.3. Эту единственную топологическую руп-пу со свойствами F\, F2 и F$ назовём свободной топологической группой пространства X. Теорема 1.3.3. Всякое вполное регулярное пространство образует свободный базис (в алгебраическом смысле) своей свободной топологической группы. Теорема 1.3.4. Всякое вполное регулярное пространство замкнуто в своей свободной топологической группе. Теорема 1.3.5. F есть свободная топологическая группа, если существует вполное регулярное пространство такое, что F является его свободной топологической группой.
Теорема 1.3.6. Всякая топологическая группа топологически изоморфна топологической фактор группе некоторой свободной топологической группы, 1.4 Топологическое кольцо Предложение 1.4.1. Если совокупность 23 0 подмножеств является базисом окрестностей нуля топологической абеле-вой группы А, то выполнены следующие условия: В N2) для любых подмножеств U uV изЪ0 существует такое подмножество W Є 330; что W С U П У; BN3) для любого подмножества U Є 93 0 существует такое подмножество V B0j что У + У С [/; BN4) для любого подмножества U Є 930 существует такое подмножество V 250 о —У С У. Предложение 1.4.2. Пусть 230 базис окрестностей нуля топологического кольца А. Тогда вместе с BNl-ВЩ выполнены также следющие условия: BN5) для любого подмножества U Є 230 существует такое подмиооісество V 9S0, что V.V С U; BN6) для любого подмноэюества U Є 230 и любого элемента а Є А существует такое подмиооісество V Є В07 что аУ CU и V.a С U. Предложение 1.4.3. Пусть 93 0 - совокупность подмио-оісеств абелевой группы А, удовлетворяющая условиям BNl-ВЩ- Тогда на А существует (и притом единственная) топология, в которой А является топологической группой, а 930 -базис окрестностей нуля. Предложение 1,4.4. Пусть 930 - совокупность подмножеств кольца А, удовлетворяющая условиям BN1-BN6. Toil гда на А существует (и притом единственная) топология в которой А является топологическим кольцом, а В0 - базис окрестностей нуля. Предложение 1.4.5. Пусть А - топологическое кольцо, В и С - подмножества в А. Тогда [В]н.[С]д С [?.С], где [C]R -замыкание подмножества С в R. Определение 1.4.1. Пусть А и А1 - топологические абелевы группы. Отобраоюение ц \ А —» А! называется непрерывным (открытым) гомоморфизмом, если (р является гомоморфизмом абелевых групп и непрерывным (открытым) отобраоїсе-нием топологических пространств. Гомоморфизм групп, яв-ляющийся одновременно непрерывным и открытым, называется топологическим гомоморфизмом. Если ср - непрерывный (открытый, топологический) гомоморфизм, являющийся би-екцией, то (р называется непрерывным (открытым, топологическим) гомоморфизмом. Определение 1.4.2. Пусть R и R - топологические кольца, (р: R — R - гомоморфное (изоморфное) отобраоїсение кольцо R в (па) кольцо R! . Будем говорить, что р непрерывный, открытый или топологический гомоморфизм (изоморфизм) топологического кольца R в (на) топологическое кольцо R , если р является соответственно непрерывным, открытым или топологическим гомоморфизмом (изоморфизмом) аддитивной топологической группы топологического кольца R в (па) аддитивную топологическую группу топологического кольца R .
Определения, примеры
Пусть R - топологическое кольцо. Замкнутый идеал І в R называется топологическим первичным идеалом, если из АВ С / следует АС. I или В С I, где А и В - замкнутые левые идеалы в R. Предложение 2.2.1. Если R - топологическое кольцо, AC. R, BCRu Доказательство. Пусть х = Y2a M ШяИя» ГДе а % Є [ДІЯ) b { Є [Bf]ji, и U - произвольная окрестность х. Для любого і найдётся окрестность U[: а[Ъ[ Є U[, причём U[ + ... + U n С U, и найдутся окрестности Vi,Wi . а\ V{, Ь { Wi, такие что Уг Wi С U-. Так как а[ [A]R и а- Є К для любого г, то найдётся СІІ Є А П Vi. Так как Ь[ Є [В]ц} аналогично найдётся ЬІ Є В nWi. Следовательно, Так как J2 aih Є АВ, то x [АВ]д. Предложение 2.2.2. Пусть R - топологическое кольцо, А и В - левые идеалы в R, а I - замкнутый идеал. Следующие условия равносильны: 1. если АВ С /, то АС. I или В С I; 2. если А и В - замкнутые идеалы и АВ С /; то А С. I или ВСІ. Доказательство. Ясно, что 1) = 2) Докажем , что 2) = 1). Если А и В левые идеалы и АВ С /, то Следствие 2.2.1. / является топологическим первичным идеалом тогда и только тогда, когда I - замкнутый первичный идеал. Определение 2.2.2. Пусть R - произвольное топологическое кольцо, fi(R) = П{ I Р замкнутый первичный идеал в R}. Назовём (см. [5]) последовательность Ьі, 6г, Ьз» - - элементов кольца R m -последовательностью, если Ь{+\ Є ()2. Назо- вём последовательность 01,02,63,... элементов топологического кольца R исчезающей, если для любой окрестности нуля V существует такое п, что Ьп Є V. Обозначим через Wl(R) множество всех элементов Ь є #, для которых любая т -последователыюсть, начинающаяся с 6, является исчезающей. Обозначим (см. [5]) через И(Й) замыкание суммы всех топологических нильпотентных левых идеалов топологического кольца R. Для каждого предельного ординала а определим замкнутый идеал %\a(R) следующим образом: 9(i?) = 0 и предположим, что 9Ча(Л) определены для всех а /3. Если /? предельно, то возьмём Ra(R) = %\a(R) . Если же /3 = j то рассмотрим R = R/9\7(R) и в качестве tRp(R) возьмём прообраз идеала D\(R) в R. Существует такой ординал т, что ЩТ(Л) = fKr+i(R), обозначим L(R) = fRT(R). Приведём примеры, которые показывают, что fi(R) ф L(R) и fi(R) ф Tl{R). Пусть R - свободно порождённое кольцо с бесконечным числом образующих 0,1,0,2, «з? и Ап обозначает множество всевозможных конечных сумм слов вида Ьа ... а са ,.. щпс1, где щ. пробегают все а\ и 6, с, d - либо целые числа, либо произвольные слова из R (см. [6, с. 1226]). Известно, что Ап образует базис окрестностей нуля топологии на R. Пусть р - простое число и Вр = {Y1 а{г... a,in 3j: щ. = ар}, т. е. Вр состоит из конечных сумм, которые имеют сомножитель ар.
Очевидно, что Предложение 2.2.3. Вр - первичный замкнутый идеал. Доказательство. Если А и В - такие левые идеалы в R, что А Вр.я В BPi то найдётся х = ан - агп Є А с таким слагаемым щх... щк, что а ф аР) 1 s к. Найдётся также У ]С ал ajn Є- В с таким слагаемым dj1... a , что a_js 7 ftp, 1 5 /. Тогда #г/ 5р, т. е. УШ Вр и Вр - первичный идеал. Пусть х Ylah -ain произвольный элемент из R\ Вр. Тогда найдётся по крайней мере одно слагаемое a ... аут в х 53 ai\ - in, такое что для любого jk, 1 к т, a,jk ф ар. Таким образом, все элементы в х + Ат содержат слагаемое, которое не обладает сомножителем ар. Поэтому существует такая окрестность х + Ат, что (х + Ат) П Вр — 0, т. е. Вр замкнут. Следовательно, fi(R) Cf]pBp = {0}, но M(R) = R [5, с. 1226], а это значит, что f (R) ф 9Л(Я). Покажем, что fi(R) ф L(R). Пусть R и Вр определены как и ранее, определим новый базис {А п} окрестностей нуля. Пусть Лт= \}2ач---агп 3aih...aijm:aij=a2l l k mj, т. е. А!т состоит из конечных сумм, в каждом слагаемом которых 22 появится сомножителем по крайней мере т раз. Ясно, что А!п является идеалом, что А т+1 С А т и {Afrn} является базисом окрестностей нуля в пологический нильпотентный идеал, так как для любой окрестности нуля С найдётся А п, такой что А п С С. Если п т, то А т Я А п С. С, & если т щ то {Агт)п С А п С С Следовательно, Ь(й) Покажем, что Вр замкнут. Пусть х = Y1 ач агп \ Вр тогда существует по крайней мере одно слагаемое а ... a,jn в х, такое что a,jk Ф ар для любого jk 1 & ш. Таким образом, все элементы в а: + УІ57г+1 имеют слагаемое, которое не обладает сомножителем ар, и поэтому (х 4- Afm+l) Г) Вр = 0, т. е. Вр - замкнутый первичный идеал. Тогда fJ (R) С f) Вр = {0}, L(R) ф {0}. Отсюда fi{R) ф L(R). 2.3 Отношения включения Предложение 2.3.1. Пусть I - замкнутый идеал в топологическом кольце R и со: R — R/I - естественный гомоморфизм. Если А - топологический первичный идеал в R такой, что I С. А, и В - топологический первичный идеал в R/I, то со{А) и ш 1(В) - топологические первичные идеалы. Доказательство. Ясно, что и (А) и ьо 1{В) - замкнутые идеалы. Также ясно, что и)(А) - первичный идеал, т. е. со(А) -топологический первичный идеал. Пусть С и D - такие левые идеалы в R, что CD С ш г(В), тогда {(С+ I)/I)({D+ 1)/1) QB, значит, {{С+ 1)/1) С В или {{D + 1)/1) С Б, тогда С С tj_1( ) или D С ш_1(5), т. е. оГ В) -топологический первичный идеал.
Следствие 2.3.1. Пусть топологическое кольцо R является непрерывным гомоморфным образом топологического кольца R. Если fi(R) = R, то fi(R) = (R). Следствие 2.3.2. Если R - топологическое кольцо, то МД/МД)) = {о}. Следствие 2.3.3. fi{R) является пересечением всех замкнутых идеалов I в R, таких что fj,(R/I) — {0}. Предложение 2.3.2. Пусть I - идеал в кольце R и Р - первичный идеал в R. Тогда Р Г] I является первичным идеалом в кольце I. Доказательство. Пусть А и В - идеали в / такие, что АВ С І П Р. Пусть (A)R - идеал в R, порожденный идеалом А, то (A)R.{B)R САВСРГІІ. Значит, (A)R С Р или {B)R С Р и, так как, Р - первичный идеал, то А С {A)R С Р или В С (B}R С Р. Поскольку А С I и В С I, то А С Р П I или В С Р П I т.е. РП/ первичный идеал в /. Следствие 2.3.4. Пусть R - топологическое кольцо и I -замкнутый идеал в R, и пусть R/I и I не имеют замкнутых первичных идеалов. Тогда R тоже не имеет замкнутых первичных идеалов, т. е. если }л{1) — I и fi(R/I) = R/I, то fi{R) = R. Следствие 2.3.5. Пусть I идеал топологического кольца R, тогда и(1) С / п {Щ- Предложение 2.3.3. Пусть J - первичный идеал в кольце I и I - идеал в кольце R. Тогда J является идеалом в R. Доказательство. Так как {J)R С J, то {J)R С J, следовательно, J {J)R- Следствие 2.3.6. ц(1) является идеалом в топологическом кольце R для каэ/сдого идеала I. Предложение 2.3.4. Для открытого идеала I топологического кольца R имеем (i{I) = fi{R) П /. Доказательство. Если I как кольцо имеет замкнутый первичный идеал J, то I \ J является m-системой в / (и также в R) (см. [1]), I\J - открытое множество в R и J - замкнутый идеал в R, такой что JC\(I\J) = 0. Следовательно, существует первичный идеал Р} такой что J С Р, Р П (/ \ J) = 0 и Р Г) / = J, Р - замкнутый идеал, потому что в противном случае Р С [P]R и [P]RC\(I\J) Ф 0, но так как I\J- открытое множество, то PC\(I\J) ф 0, что неверно. Следовательно, существует замкнутый первичный идеал Р в R, такой что J = Р Л /, т. е. fi(I) С f]{P П I \ Р - замкнутый первичный идеал в R} = /І(#) П /. Предложение 2.3.5. Пусть R - топологическое кольцо. Если для любого идеала І в R, который как кольцо имеет замкнутими первичный идеал J, существует замкпутиый первичный идеал Р в R, такой что J = Р Г) I, тогда: 1. i(R) как кольцо не имеет собственных замкнутиых первичных идеалов (т.е. (л{К) - fi-кояьцо), и если I - такой идеал в R, что как кольцо I не имеет собственных замкнутных первичных идеалов, то I С fi(R) (т.е. если /Lt(I) = I то I Cfi(R)); 2. Л/д(Я) не содержит идеалов вида I/[i(R) О (где JJ (R) С / - идеал в R) таких что fi(I/fi(R)) = I/fx(R). Следствие 2.3.7. Пусть К - класс топологических колец. Если для любого кольца RtiK и любой идеал І в R, который как кольцо имеет замкнутиый первичный идеал J, существует замкпутиый первичный идеал Р в R, такой что J — Р П I тогда, /л является радикалом в классе /С. Доказательство.
Случай колец многочленов
Теперь рассматривается топологический первичный квазирадикал топологического кольца многочленов Л[Х], где R - ха-усдорфово топологическое кольцо с единицей и X - полное регулярное топологическое пространство (см. [4, с. 392]). Если X - вполне регулярное пространство, то через Fx обозначим свободную полугруппу с единицей, которую порождает множество X . Пусть R - кольцо с единицей, тогда полугрупповое кольцо RFx называется кольцом многочленов и обозначается через R[X]. Пусть R - хаусдорфово топологическое кольцо с единицей, X - вполне регулярное пространство и А - семейство всех непрерывных действительных функций на X, такое что для любого закрытого подмножества F в X и любого элемента х Є X \ F существует (р Є А, такое что 1 — (р А, (р(х) = 1 и (р(у) = 0 для любого у Є F. Пусть Р0{Х) - {7 I 7: U{0} - XU{0} и 7(0) = 0, где 0 Є R}. Через 7 для любого 7 Є PQ(X) обозначаем эндоморфизм на {0} U Fx, такой что 7( - 22 ... -Хпп) (l(xi))kl (7( 2)) 2 . (7( 1)) ", и пусть Г = {7 7 Л)(-Х") (см- [4]). Пусть V Є ОЗо(Д), Ф{уъ-, } Л, п Є N, 0 є Є R, тогда через U(V, Ф, тг, є) (см. [4]) обозначаем множество всех таких элементов и Є R[X], что причём # равно 0 или сумме одночленов из R[X] степени больше или равной п. Будем отождествлять естественным образом кольцо R с под-кольцом кольца R[X]. Предложение 2.5.1. Пусть R - топологическое кольцо и А - левый идеал в R. Тогда: 1. А замкнут в R тогда и только тогда, когда А[Х] замкнут в R[X]. В. Если А плотен в R, то А[Х] плотнен в R[X].
Доказательство. Пусть А замкнут в R л f Yl akzk Є R[X] \ A[X], причём zk Fx, a,k Є R. Найдётся і Є К, такое что щ ф А. Пусть 5$о(Д) базис окрестностей нуля в R, тогда существует V Є %$o(R), такое что (а + V) П А = 0. Пусть degzi = п, tp = { - -: X - {j}7 1 j тг} и = . Тогда (ад + U(V,(р,п + 1,є))Г\Л[Х] = 0, следовательно, (/ + U(V, pt n + 1, є)) П Л[Х] - 0, т. е. А[Х] замкнут в R[X]. Так как А[Х] замкнут в R[X]} то А = А[Х] П R замкнут в R. Пусть теперь / Є R[X] и U(V,ip,n,e)) — произвольная A[X] плотно в R[X]. Предложение 2.5.2. Пусть R - кольцо и I - идеал в R. Если I - первичный идеал в R, то 1[Х] - первичный идеал в R[X]. Доказательство. Пусть X {х}, f(x)g(x) Є 1[Х] и f(x) /[X], где f(x) = ao+ai -h . .+anxnt g{x) — bQ+bix+.. .+bmxm и f{x)g{x) = CQ + CIX + . . . + ст+пхт+1 . Пусть к — тіп{г Є N щ /}. Тогда bQ Є І (так как ск = (афк-\-аіЬк-і-\-. -+ -1 1)+ 60), т. e. bs Є I и, следовательно, #(#) Є /[x]. Теперь пусть /Ш С /[ж], причём А и В - левые идеалы в R[x] и А $ /[ж]. Тогда найдётся /(ж) F \ /[яг]. Так как А-БС УІІ? С /[ж], то f(x)g(x) Є /[ж] для любого д(х) Є /?, и из доказанного следует, что В С 1[х], т. е. /[ж] - первичный идеал в R[x]. Повторяя это рассуждение, получаем, что 1[х\, 2] - первичный идеал в Л[жі,2] и что І[хі,..., х„] - первичный идеал в R[xi,..., 2гп]. Пусть X - некоторое множество и f{x)g(x) Є /[X], причём /, # Є /2[ж], и пусть {жі,... ,я?п} - множество всех элементов из X, которые появились в / и д. Тогда fg 1[х±,... ,хп]и, следовательно, / Є /[жі,..., хп] С /[X], значит, 5 Є і"[а?і, , хп] С /[X]. Отсюда /[X] - первичный идеал в R. Следствие 2.5.1. Если I - замкнутый первичный идеал в топологическом кольце R, то 1[Х] - замкнутый первичный идеал вВ[Х\. Предложение 2.5.3. Пусть R - кольцо, X = {XJ \ j Є J} -множество, jo Є J и IT: R[X] — R- отображение, заданное следуюгцим образом: для / = 5 cijZj Є R[X], Zj Є Fx, &j Є R, 7г(/) = %0, если deg j0 — 0 и для любого j JQ degZj ф 0. 1. Если I - первичный идеал в R} то п 1(1) - первичный идеал eR[X], отг-1(ЛПЛ = /. 2. Если Р - первичный идеал в R[X], то Р П R - первичный идеал в R. 3. Если R - топологическое кольцо, то 7Г - непрерывный и открытый гомоморфизм.
Доказательство. 1. Пусть А и В - идеалы в R[X]. Если А В С п"1 ), то іг(А)тг(В) С/и, следовательно, тг(А) С / или 7г(Р) С I, т. е. А С тГ1 ) или Б С іг-\ї). 2. Пусть А и В - идеалы в R и АР С Р П Р. Так как А[Х]Р[Х] С (Р П Р)[Х] С Р, то А[Х) С Р или Р[Х] С Р, а значит, Л = А[Х] Г)РСРПРилиР = Р[Х] П R С Р П Р. 3. Пусть І/ Є о(Д), тогда U(V, tpt щ є) С тг"1 ) и тг(ї7(У, ,п, є)) = V для любых (р, п, є, т. е. 7г непрерывен и открыт. Предложение 2.5.4. Пусть R - топологическое кольцо, тогда y,(R[X]) = Qu(P))[X]. Доказательство. Из Предложения 2.5.3 следует, что если / -замкнутый первичный идеал в Р, то 7т"1 (7) - замкнутый первичный идеал в R[X] и п г(1) П R = /, а если Р - замкнутый первичный идеал в R[X], то Р П Р - замкнутый первич- ный идеал в R. Поэтому u(R[X]) C\R = fJ-(R) и, следовательно, Если Р - замкнутый первичный идеал в Р[Х], то из Следствия 2.5.1 следует, что (Р П Я) И - замкнутый первичный идеал в R[X] и (Р П R)[X] С Р. Поэтому уи(Р[Х]) = {Р Р - замкнутый первичный идеал в Л[ ]} = = {(Р П R) [X] Р - замкнутый первичный идеал в Д[А"]} С С М{/[Х] / - замкнутый первичный идеал в R} = fi(R[X]). Предложение 2.5.5. Пусть R - топологическое кольцо, 1. Если Р - топологический нильпотентный идеал в R[X], то Р П R - топологический нильпотентный идеал в R. 2. Если Р - топологический нильпотентный идеал в R7 то Р[Х] - топологический нильпотентный идеал в R[X]. Доказательство. 1. Пусть V Є %$Q(R), тогда найдётся U = U(Vi p,n,e) Є Шо(Я[-Х"]), такая что Ur = U П R, Найдётся к Є N, такое что Рк CU, a (Pf]R)k С Р , поэтому (PnR)k С tf, и так как (РП R)k С R, то (PCiR)k CUnR = Uf, т. е. РПР - топологический нильпотентный идеал в R. 2. Для любого U = U(V, (р, п, є) Є B0{R[X]) найдётся А; Є N, такое что Рк С V. Для любого / = Е аа Є {P[X])kt и для любого а Є У4: аа Є Рк: и так как Pfc является идеалом и Рк С У, то (Р[Х])А С U(V, ptn,e), т. е. Р[Х] -топологический нильпотентный идеал в Д[Х]. Предложение 2.5.6. Пусть R - топологическое кольцо. 1. Если I - идеал в R, то R[X]/I[X] и (R/I)[X] топологически изоморфны. 2. Пусть J\ и J2 - идеалы в R, J\ С J2 и (р: R/J\ — R/J2, (p(r + J\) =r + J%. Если I - топологический нильпотентный идеал в R/Ji, то (р{1) тоже топологический нильпотентный идеал в R/J2} и если фг R —У R/Ji, і = 1,2, -естественный гомоморфизм, то ф 1 ) С -0 (/). Доказательство. 1. Пусть ф: (R/I)[X] - R[X]/I[Xl где (Е( + /)) = Е raza+I[X\i &га Є R: za Є JPX-. Очевидно, ф - корректно определённый изоморфизм. Также ясно, что ф(11(У 4- /, tpt п, є)) — U(V,(p,n,) + 1[Х], где V Є %$a(R). Поэтому ф непрерывен и открыт (см. [4, с. 75]) и, следовательно, ф - гомеоморфизм.
Второй подход
Лемма 3.2.1. Для любых элементов а,Ъ,с и d группы G справедливы следующие соотношения. Определение 3.2.1. Пусть G - топологическая группа. Элемент а Є G назовем топологически строго энгелевым элементом, если для любой окрестности единицы V и для любой последовательности Ді,/і2,-.. элементов G существует N N такое, что хп Є V для п N, где х\ = а,Хі+і = [ХІ, [аг»,/]]. Mnootcecmeo всех топологически строго эпгелевых элементов топологической группы G обозначим через rj (G). Так как rad(G) - первичный радикал группы, совпадает с множеством всех строго энгелевых элементов группы [23], то ясно что rad(G) С rf(G), и в дискретном случае rad{G) = rf(G). Предложение 3.2.1. Пусть G - топологическая группа, Н замкнутая нормальная подгруппа группы G и ф: G — G/Н -естественная проекция. Тогда ф{г\!{G)) Q г}!{G/Н). Доказательство. Пусть х - произвольный элемент из i)f{G) и ф(х) = х - его образ в G/H. Если ф(Ы) - некоторая последовательность в G/H и ф(х\) = х, Ф(ХІ+І) = [Ф{х{) [Ф(ХІ),Ф( І)]]І тогда для любой окрестности единицы V в G существует N Е N такое, что хп Є V для п N, где х\ = х, ХІ+І = [х [a?,-, hi]]. Следовательно, для п N получаем ф(хп) Є ф{У), т.е. х Є rflGIH). Следствие 3.2.1. r/(G) содероісится в пересечении всех за-мкнутных нормальных подгурпп Н таких, что факторгруппы по ним не содержат неедииичных топологически строго эпгелевых элементов. Доказательство. Пусть Н - такая замкнутная подгруппа в G, что G/H не содержит неединичных топологически строго энгелевых элементов. Если ф: G — G/H - естественный гомоморфизм, то по Предложению 3.2.1 получаем, что ф{г),{0)). С r/ (G/H) = {е}, где е - единица группы G/Н значит, T/(G) С Н. Предложение 3.2.2. Пусть G - топологическая группа, тогда f]r(G) С ( ]{Н Н - открытая первичная нормальная под-группа в G}. Доказательство. Пусть Н - открытая первичная подгруппа в G. Тогда G/H является дискретной подгруппой и, следовательно, r) (G/H) = n{G/H) = {е}, где є - единица группы G/H. По Следствию 3.2.1, получаем, что 77(G) С Н. Предложение 3.2.3. Пусть G - топологическая группа с базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп. Тогда rf(G) = П{- I Н открытая первичная нормальная подгруппа в G}. Доказательство. Пусть х f T? (G), тогда существуют последовательность {h{} и окрестность единицы V в G, такие, что Можно считать, что V - нормальная подгруппа.
Поэтому множество всех нормальных подгрупп, содержащих V и не пересекающихся с последовательностью {а }, не пусто. По лемме Цорна существует максимальная нормальная подгруппа К, не пересекающаяся с последовательностью {ХІ}. Так как V Q К, то К - открыта. Покажем, что К - первичная подгруппа (см. Лемма 1, [3]). Пусть А и В - нормальные подгруппы такие, что АКиВК. Имеем КСА1 = АКкКСВі = ВК. Тогда существуют хп Є А\ и хт Є В\. Пусть для определенности т п, и пусть (х) — нормальная подгруппа, порожденная ж. Тогда .- Q (s +i) Я. [fa), (ХІ)] С (ХІ) С ... С (х2) С рі), (жі)] С (жі), С]] = [я„, (хп)] С [(ягп), (яп)] С [(а?„), (жт)] С С [Лі,Ві], т.е. [Ai, i?i] 2 Я". Так как А,ВиК- нормальные подгруппы, то [Лі, В і] = [АК, ВК] = [А, В]К. Теперь если [А, В] С К, то [J4I,5J С К, что противоречит доказанному выше. Следовательно, х П{ I # открытая первичная подгруппа в G}. Отсюда и из Предложения 3.2.2 получаем требуемое. Следствие 3.2.2. В топологической группе G с базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп, r) (G) является замкнутой нормальной подгруппой. Лемма 3.2.2. Для любых элементов а,Ъ,с и d группы G справедливы следующие соотношения. 1. Из Леммы 3.2.1 следует, что [ab, cd] = [ab, d] [ab, c]d = = [a, (M(M [M)d = [a, d]6 [M M M"- 2. Из первой части и Леммы 3.2.1 следует, что [ab-[ab,с]] = [аЬ, [Ь, с ] [о, с]] = [а, [а, с}}" [Ь, [а, с}} [а, [Ь, « ]]М» [6, [Ъ, c\fA Лемма 3.2.3. Пусть G - топологическая группа с базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп, х 6= rf(G) , {aj, {cj} и {h{} - последовательности элементов из G. Пусть ух = х , yi+1 = Ы\[УТ\Ы\С{ и V - окрестность единицы, являющаяся нормальной подгруппой. Тогда существует N Є N такое, что уп Є V для п N. Доказательство. Пусть Y\ = у\ — х , у ± [у 1, [у1, hi]]Cl — [yTAvuhfr = [yu[yi,hf]]a? = Ь.Ьл.л?1]] 14 = КГ\ где Y2 = \yu[yi,hf]\ , г/з = ІУІ\[У?М}С = Уг = K,[ W ]]- Индуктивно получаем последовательность Уп+1 = [К„, [Гп, ОД], где ап Є G как х = Y\ Є n (G), то существует N Є N такое, что Yn Є V для п N. Следовательно, уп = Уп1Сі "ап 1Сп 1 Є Т для п N. Предложение 3.2.4. Пусть G - топологическая группа с базисом окрестностей единицы , состоящим из нормальных подгрупп.
Тогда r\ {G/rf(G)) = {е}, где е - единица группы Gh\G). Доказательство. Пусть х - произвольный элемент из rf {G / if {G)) и V - произвольная окрестность единицы в G, являющаяся нормальной подгруппой. Тогда V — ф(У) = 0(V?/(G)) - окрестность единицы в G/r] (G), где ф: G — G/rf(G) - естественный гомоморфизм. Пусть {hi} — произвольная последовательность элементов G, ф(Ііі) = hi, х ф 1{х), Х\ = ж, ХІ+\ = [х{, [ХІ, hi]] и ф(хі) — Х{. Тогда ясно, что х\ = х , ХІ+І = [Зїі, [xi,hi\]. Так как х Є rf {G / г) {G)), то существует N Є N такое, что хп Є V — 0(V7/ (G)) для п N. Поэтому существуют а$ &V иЬо Є w {G) такие, что хп — а Ьо Є Vrf(G). По Лемме 3.2.2 получаем хп+\ — [ао&о [ацЬо,їіп+і\\ = = мальная подгруппа, то a\ Є V. Далее аналогично по Лемме 3.2.2, хп+2 — [tti i, [ai6i,/in+2]] = Пусть а2 - [оь [аь hn+2}} [bu [аи hn+2]] [аи [Ьи h +2]fa + и h = [к, [bu Kl+2]\[ai,hn+2\ Т0ГДа хп+2 = афг где а2 Є V. Индуктивно получаем последовательность ао)а1)а2»-- из элементов К и последовательность &о, &ь &2 По Лемме 3.2.3, и из того что &о /( ) следует, что существует М Є N такое что Ь Є У, для і М. Следовательно, если п N и г М, то хп+і = афі Є V.V С У. Поэтому если п N + М, то жп Є К т.е. ж Є rf(G). Этим теорема доказана. Таким образом, в классе топологических групп G, обладающих базисом окрестностей единицы, состоящим из нормапьных подгрупп, rf является радикалом. Назовём его топологическим первичным радикалом. Известно (см. [9], стр.78), что всякая локально компактная вполне несвязная группа G с совпадающим левой и правой равномерными структурами обладает базисом окрестностей единицы, состоящим из нормальных подгрупп, т.е. в этом класе топологических групп TJ!{G) является радикалом.
