Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Гипотезы об усилении теоремы Брауэра о конечных простых группах 11
1.1. Постановка задач 12
1.2. Стандартные элементы и подгруппы групп Шевалле 15
1.3. Теорема об ограниченности числа симплектических групп над полем четного порядка с заданным сс-параметром вложения инволюции 18
1.4. Унитарные группы над полем четного порядка 25
1.5. Параметр вложения инволюции в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций 28
Глава 2. Аналог теоремы Херстейна о дифференцированиях локально нильпотентных матричных колец 38
2.1. Задачи о йордановых и лиевых дифференцированиях колец NT(T, К) 39
2.2. Гиперцентральные дифференцирования и основныетеоремы 40
2.3. Доказательство основных теорем 44
Список литературы 49
Наиболее употребительные обозначения 56
- Теорема об ограниченности числа симплектических групп над полем четного порядка с заданным сс-параметром вложения инволюции
- Параметр вложения инволюции в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций
- Задачи о йордановых и лиевых дифференцированиях колец NT(T, К)
- Гиперцентральные дифференцирования и основныетеоремы
Введение к работе
Традиционно, различные вопросы в теориях групп и колец приводят к вопросам структурного строения, описания автоморфизмов, а для колец также дифференцирований.
Давний интерес вызывает зависимость порядка конечной простой группы G от определенных подмножеств централизатора Cq(t) ее инволюции т. По классической теореме Брауэра [1] (1954 г.) существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции. Обобщение разрабатывает В.П. Шун-ков. В [15] введен параметр вложения инволюции
t(GtT) = max\gCG(T)n(TGTG)\.
В.П. Шунков анонсировал теорему [19]: существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.
В случае конечных групп эта теорема усиливает теорему Брауэра и основывается на следующем предположении.
Гипотеза (А). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции.
4 Усиленный вариант этой гипотезы высказал В.М. Левчук [34].
Гипотеза (Б). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и заданным числом сопряэюенных и перестановочных с нею инволюций.
Очевидно, всякое семейство Л4 конечных простых групп, дающее контрпример к гипотезе (А) или (Б), является бесконечным, а отбросив из М любое конечное подсемейство, получим аналогичный контрпример. По модулю известной классификации конечных простых групп, группы лиева типа вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами, исчерпывают все конечные простые неабелевы группы.
В работах О.В. Головановой (Листовой), В.М. Левчука и А.Г. Лихарева гипотезы (А) и (Б) подтверждены для групп Шевалле над полем четного порядка исключительных типов и типа Ап, для знакопеременных групп и для простых групп с одним классом сопряженных инволюций [3], [4], [5], [13], [14]. Таким образом, исследование гипотез сведено к группам Шевалле, причем в случае основного поля четного порядка - к группам Шевалле классических типов.
В строении простой группы лиева типа важную роль играет унипотентная подгруппа; для лиева типа Ап-\ - это группа унит-реугольных матриц, изоморфная присоединенной группе кольца NT(n, К) нильтреугольных п хп матриц над полем К. Более общим является локально нильпотентное кольцо NT(T, К) (или NT(n, К) при Г = {1, 2,--- , п}) всех финитарных нильтреугольных Г-матриц
5 с произвольной цепью Г матричных индексов.
Согласно классической теореме И.Н. Херстейна [31], йордано-вы дифференцирования (или дифференцирования ассоциированного кольца Иордана) первичного кольца характеристики ф 2 тривиальны, т.е. являются дифференцированиями самого кольца. Напомним, что аддитивное отображение (3 : R —) R кольца R называют его дифференцированием, если оно удовлетворяет условию j3(ab) = j3(a)b-\-aj3(b) (a,b Є R). Проблема перенесения теоремы Херстейна изучалась и для полупервичных колец (J. М. Cusack Source, М. Bresar, J. Vukman, и др.), а с другой стороны, для колец и алгебр треугольных и нильтреугольных п X п—матриц (с ненулевым нильпотентным идеалом) с различными ограничениями на кольцо коэффициентов (G.M. Benkart, J.M. Osborn, S.P. Coelho, C.P. Milies, S. Jondrup, D. Benkovic и др.). Лиевы дифференцирования изучали P.S. Blau, G.A. Swain, E. Killam, G.A. Swain, W.S. Martindale III, C.R. Miers, B.E. Johnson (в частности, для if-алгебр NT(n, К) в [37]).
В диссертации исследуется
Задача (В). Найти нетривиальные йордановы и лиевы дифференцирования кольца NT(T, К) над ассоциативным кольцом К с единицей с произвольной цепью Г матричных индексов.
Цель диссертации - исследовать гипотезы (А), (Б) и задачу (В). В диссертации используются классические методы теории групп и колец, а также специальные матричные представления унипотент-ных подгрупп групп лиева типа. Диссертация включает введение,
две главы и список литературы. Номер теоремы, леммы и др. включает последовательно номер главы и порядковый номер в главе.
Основные результаты диссертации направлены на усиление теоремы Р. Брауэра о конечных простых (неабелевых) группах (гипотезы (А), (Б)) и решение задачи (В):
вычислен ее—параметр вложения инволюции (т.е. число сопряженных и перестановочных с нею инволюций) в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций;
гипотеза о конечности числа конечных простых групп с заданным се—параметром вложения инволюции, сведенная ранее к группам лиева типа, редуцирована в случае основного поля характеристики 2 к ортогональным группам;
доказано, что йордановы и лиевы дифференцирования кольца NT{Y, К) финитарных ннльтреугольных Г-матриц над ассоциативным кольцом К с единицей действуют тривиально по модулю третьего гиперцентра (аналог теоремы Херстейна).
В первой главе напоминается определение из [15] параметра вложения инволюции г в произвольную группу G. Вводится определение: число сопряженных и перестановочных с г инволюций группы G называем сопряженно-коммутативным параметром или, кратко, се—параметром (вложения) инволюции г в G с обозначением cc(G,r). (В [41] и [42] использовался также термин сопряженно-коммутативная ширина.) Далее в 1.1 отражается современное со-
стояние гипотезы (А) и ее усиления - гипотезы (Б) о се—параметрах вложения инволюций конечных простых групп.
Ранее в работах О.В. Головановой, В.М. Левчука и А.Г. Лихарева гипотеза (Б) была сведена к группам Шевалле. В случае основного поля четного порядка гипотеза сведена к классическим типам и подтверждена для групп PSLn (q); следующие, центральные в главе 1 теоремы сводят гипотезу к ортогональным группам.
Теорема 1.1. Существует только конечное число простых симплектических групп над конечным полем четного порядка с за-данным ее—параметром вложения инволюции.
Теорема 1.4. Пусть г - инволюция унитарной группы G = PSUi(q2) над полем четного порядка q2 и М - произвольное натуральное число. Тогда cc{r,G) > М при достаточно большом \G\.
Доказательству теорем 1.1 и 1.4 посвящены 1.3 и 1.4, соответственно; 1.2 является вспомогательным.
Точные значения ее—параметра вложения инволюции (без термина) для групп PSL2(q) найдены О.В. Головановой. Основная в 1.5 теорема дает точные значения ее—параметра инволюций в простых конечных группах с одним классом сопряженных инволюций. За исключением знакопеременных групп Ап (п < 7) и 26 спорадических групп, такие группы исчерпываются следующими:
PSL2(q), Re(q), Sz(q), PSU3(q2), PSL3(q).
Теорема 1.5. Пусть G - конечная простая группа с одним классом сопряженных инволюций и т - инволюция из G. Тогда:
q — 1, q- четно,
ccw{PSL2{q),r) = I 2+1, q = Hmod 4),
^, q =-l{mod 4);
(q — 1)(1 + 2g), q-четно,
cc(P5L3(g))r) = ^
q2 + g + 2, - нечетно;
q — 1, g- четно,
cc(PSU3(q2),r)={
q2 + g + 3, g- нечетно;
cc(Sz(q),r)=q-l (q = 22n+\ n > 1); сс(Де(д),т) = g(g - 1) + 1 (g = 32n+1, n > 1).
Теоремы 1.1, 1.4 и 1.5 опубликованы автором в [41] и [42].
Теорема об ограниченности числа симплектических групп над полем четного порядка с заданным сс-параметром вложения инволюции
В 1962 году Дж. Томпсон и У. Фейт доказали разрешимость всякой конечной группы нечетного порядка, подтвердив гипотезу Берн-сайда. Легко показать, что в каждой группе с чётным числом элементов существует инволюция (т.е. элемент порядка 2). Поэтому, согласно теореме Фсйта-Томпсона, всякая некоммутативная простая группа содержит инволюции.
В 1954 году Р. Брауэр предложил программу исследования конечных групп по централизаторам инволюций. Одной из важных теорем в этом направлении является теорема Брауэра о том, что существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1]. Эта теорема послужила в 50-е - 70-е годы XX века фундаментом программы классификации конечных простых групп (ККПГ) по заданному централизатору инволюции.
Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем г в группе G обозначаем через rG, а централизатор т в G — через CQ{T). В различных исследованиях последних десятилетий вызывала интерес зависимость порядка конечной простой группы от определенных заданных подмножеств централизаторов ее инволюций. Обобщение теоремы Брауэра на периодические группы разрабатывает с 90-х годов В.П. Шунков. С этой целью в [15] введено понятие параметра вложения инволюции: параметром вложения инволюции г в группе
В.П. Шунков [19] разрабатывает следующее обобщение теоремы Брауэра: существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны. Он основывается на следующем предположении. Гипотеза (А). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции. Усиленный вариант этой гипотезы высказал В.М. Левчук [34]. Гипотеза (Б). Существует только конечное число конечных простых групп с инволюцией и с заданным числом сопряоюенпых и перестановочных с нею инволюций. Из неравенства t(G,r) \Сс(т) П тСт\ видно, что из ее положительного решения следует положительное решение гипотезы В.П. Шункова. По модулю известной классификации конечных простых групп, группы лиева типа вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами, исчерпывают все конечные простые неабелевы группы. Очевидно, что если бы семейство конечных простых групп давало контрпример к гипотезе (А) или (Б), то после отбрасывания любого конечного подсемейства, оставалось бы семейство с тем же свойством. Гипотезы (А) и (Б) подтверждены в статьях [5], [4], [13], [14], и в диссертации О.В. Головановой (Листовой) [3] для групп Ше-валле над полем четного порядка исключительных типов и типа Ап, для знакопеременных групп и для простых групп с одним классом сопряженных инволюций. Таким образом, исследование гипотез сведено к группам Шевалле, причем в случае основного поля четного порядка - к группам Шевалле классических типов. Число сопряженных и перестановочных с т инволюций группы G называем сопряженно-коммутативным параметром или, кратко, се—параметром (вложения) инволюции г в G с обозначением CC(G,T). (В [41] и [42] использовался также термин сопряженно-коммутативная ширина.) Из определения следует, что cc(G,r) = \GG(T) HTG\. Ранее точные значения ее—параметра вложения инволюций были найдены О.В. Головановой для групп PSL,2(q). Основная теорема 1.5 дает точные значения се—параметра инволюций в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций. В этом параграфе даны определения и некоторые известные сведения про группы Шевалле, которые используются далее для доказательства основных теорем (см. [2], [6], [9], [16], [17], [25], [29]). Определение. Группой Шевалле типа Ф над полем К называют подгруппу Ф(К) = xr(t) г Є Ф, t Є К группы автоморфизмов алгебры Шевалле. Элемент xr(t) и подгруппу хг(К) —называют корневыми. Шевалле установил коммутаторную формулу ([а, 6] = а-16_1а6 - коммутатор в группе): i,j 0 где сомножители расположены в соответствии с возрастанием корней ir + js Є Ф. Число сомножителей равно 1, 1 или 2, наконец, 1, 3 или 4, соответственно типу 2, .Е?2 или (?2 подсистемы корней Ф(г, s) в Ф. Константы С ]Г5 есть целые числа:
Параметр вложения инволюции в конечных простых группах с одним классом сопряженных инволюций
В этом параграфе доказана теорема, которая подтверждает гипотезу (Б) для симплектических групп над полем четного порядка: ТЕОРЕМА 1.1. Существует только конечное число простых симплектических групп над конечным полем четного порядка с заданным сс-пара метр ом влооїсепия инволюции. Теорема 1.1 об ограниченности числа симплектических групп над полем четного порядка с заданным сс-параметром вложения инволюции доказывается с помощью описания представителей классов сопряженных инволюций (теоремы 1.2). Как обычно, rG есть класс сопряженных с т элементов группы G, а Со(т) - централизатор т в G. М. Сузуки [38] использовал специальную унитреугольную форму инволюций группы PSL(n, q) с четным д; она мономиально сопряжена с ее жордановой формой. Приводимость инволюций к виду, аналогичному форме Сузуки, в этом параграфе установлена для симплектических групп. Существование базисов основного пространства над полем четного порядка, когда инволюции других классических линейных групп приводимы к форме Сузуки, отмечают М. Ашбахер и Г. Зейц [20]; они выписали представители классов сопряженных инволюций унитарных и симплектических групп в мономиальном виде. Строение централизатора произвольной инволюции симплектической группы выявляется в [20, 7.8-7.11]. Однако, в найденном представлении централизатора затруднительно оценивать число сопряженных с г инволюций. Для подтверждения гипотезы (Б) используем теорему 1.2. Через G(q) обозначается группа Шевалле классического типа G над полем четного порядка q. Мы используем члены Щ стандартного центрального ряда унипотентной подгруппы UG{q) = Xr\ г G+ группы G(q), а также понятия из [11] множества углов С(Н) и фрейма 3-{Н) подмножеств Н С UG(q) и число Кокстера h = h{G) (определения см. ниже). В параграфе доказана ТЕОРЕМА 1.2. Пусть G(q) есть группа Шевалле классического типа G = Ф или 2Ф над полем четного порядка q. Тогда для любого г, 1 г h, существует и определен однозначно элемент ТІ такой, что Кроме того, элементы Т{ при [h/2] г h являются инволюциями и, когда G = Ап или Сп образуют систему представителей классов сопряженных инволюций группы G{q). Известно, что для числа Кокстера h = h(G) при G = Ф число h — 1 совпадает с высотой максимального корня. Скрученную группу и2Ф{д) определяют, как централизатор в группе /Ф(д) ее "скручивающего" автоморфизма а, [25]. В этом случае существует симметрия 2-го порядка графа Кокстера системы корней Ф, однозначно продолжаемая до подстановки корней, а в случае корней одной длины также до гомоморфизма решетки корней. Если Ф типа Dn+i) А-2П-1 или Аіпі то С(Ф) есть система корней, соответственно, типа Вп, Сп или ВСп. Для скрученного типа G = 2Ф считаем h = Н(((Ф)). Тогда стандартный центральный ряд U = UiDU2D---DUh = l группы UG(q) имеет длину h для всех классических типов G. Далее также, потребуется понятие фрейма [11] подмножества унипотент-ной подгруппы. Через {г}+ при г Є G обозначаем совокупность s Є G+ с неотрицательными коэффициентами в линейном выражении s — г через базу П( 2). Выделим подгруппы Определение. Если Я С Т(гі)Т(гг) . T(rm) и включение нарушается при любой замене Т{ГІ) на Q(r{), то множеством углов для Н назовем {ri, гг, , гт} = (Н), а фреймом для Н - множество F(H) такое, что Далее, используем представление из [8] унипотентных подгрупп групп G(q). Систему корней Ф типа An-i,Bn,Cn или Dn выберем, как и в [2, Таблица I - IV], в евклидовом пространстве Vn с ортонор-мированным базисом єі,Є2,..., єп. Таким образом, для классических типов система положительных корней Ф+ составляется из корней вида Полагаем єг = i,mj при г = Pi}mj. Записывая произвольный элемент из МФ(К) суммой «гч ег«, его можем представить Ф+-матрицей над К. При Ф = Вп получаем В -матрицу аіг, , располагая коэффициент Qiy\j , как обычно, в і-й строке и -м столбце, Отбрасывая нулевой столбец, приходим к +-матрице. С-матрица имеет вид: Заметим, что элементы из N2Dn+i(K) и N2A2n-i(K) можно представлять В—матрицами и соответственно С —матрицами. Элементы группы N2A2n{K) естественно представлять ВС+—матрицей. Для всех классических типов Ап, Вп, Сп, Dn, 2Dn и 2Ап эффективна также запись основных соотношений в [8], основанная на специальном представлении. Замечание 1. Любая С+-матрица является частью унитре-угольной симплектической Ъ\ X 2п-матрицы, в которой оставшиеся элементы несложно восстанавливаются с помощью симметрии относительно побочной диагонали. При подходящем таком соответствии фрейм T{Ui) в группе Cn(q) переходит во фрейм T(JJ{) группы PSL (2n,g). ЛЕММА 1.3. Пусть G(q) есть группа Шееалле классического типа G над полем четного порядка q. Ее элемент Т{, 1 г h, с условием (1-1) является инволюцией тогда и только тогда, когда подгруппа U% абелева.
Задачи о йордановых и лиевых дифференцированиях колец NT(T, К)
В строении простой группы лиева типа важную роль играет ее унипотентная подгруппа. Для лиева типа Ап-\ - это группа унит-реугольных матриц, изоморфная присоединенной группе кольца NT(n, К) нильтреугольных п х п матриц над полем К. Более общим является локально нильпотентное кольцо NT (Г, К) всех финитарных нильтреугольных Г-матриц ац \\i,j =r с auv = О, и v с цепью (т.е. линейно упорядоченным множеством) Г матричных индексов; при Г = {1,2,--- ,п} это кольцо совпадает с NT(n, К).
Напомним (см., например, [7], [18]), что аддитивное отображение (3 : R — R кольца R называют его дифференцированием, если {3(аЬ) = /3(а)Ь+а/3(Ь) (а, Ъ Є R). С любым ассоциативным кольцом R ассоциируют лиево кольцо Л(і?) := (R, +, ) с лиевым умножением а /3 = о;/? — Ра и йорданово кольцо J(R) := (R, +, о) с йордановым умножением а о р = аР + /За. Любое дифференцирование кольца J(R) или Л(Л) называется также, соответственно, йордановым или лиевым дифференцированием кольца і?.
Согласно классическим теоремам И.Н. Херстейна, йордановы дифференцирования [31] и изоморфизмы [32] первичного кольца характеристики ф 2 тривиальны. Теоремы Херстейна переносились на полупервичные и другие кольца, см. [21], [23], [24], [28], [35] [36] и ссылки там же.
Задача (В). Найти нетривиальные йордановы и лиевы дифференцирования кольца NT (Г, К) над ассоциативным кольцом, К с единицей с произвольной цепью Г матричных индексов. Йордановы и лиевы дифференцирования различных колец и алгебр нильтреугольных и треугольных п X п—матриц (с ненулевым нильпотентным идеалом) над определенными коммутативными кольцами коэффициентов изучаются в [22], [26], [27], [30], [37], [40] и ДР Основная теорема в [37] описывает лиевы дифференцирования алгебры NT(n,K) над коммутативным кольцом К (с единицей). Дифференцирования кольца NT(n, К) исследовались в [27]. Йордановы дифференцирования кольца NT(n, К) исследовала ранее Ф. Кузучуоглу. Следующие два параграфа полностью решают задачу (В). Для формулировки основных теорем нам потребуются гиперцентральные дифференцирования кольца NT (Г, К). Всюду далее, К есть произвольное ассоциативное кольцо с единицей и Г - цепь или линейно упорядоченное множество с отношением порядка . Через ряд обозначаем, соответственно, первый и последний элементы Г (если они существуют). Пишем j г, если г -первый элемент подмножества {к Г \ к j}. Пусть R = NT (Г, К). Вначале приведем описание из [33] гиперцентральных рядов кольца R и ассоциированных с ним колец Ли и Йордана. В следующей лемме стандартный рекуррентный способ построения гиперцентральных рядов показывает, что все гиперцентры являются идеалами. Положим [i,j] = {к Є Г і к j}. ЛЕММА 2.1. Центр кольца R = NT(V,K) совпадает с анну-лятором и является ненулевым лишь при р, q Є Г. В кольце R и ассоциированных кольцах Ли и Йордана т—е гиперцентры равны Zm(R) = (Ketj I j г, I [p,і]І + [г, q] т + 1). Доказательство. См. [33, Лемма 1.1]. Дифференцирование кольца называем гиперцентральным высоты т, а при т = 1 также центральным, если оно нулевое по модулю т-го гиперцентра и такое т есть наименьшее, даже с точностью до прибавления внутреннего дифференцирования. Как обычно (см., например, [7], [18]), внутреннее дифференцирование 57 : а — а у определяют для любого элемента у ассоциативного кольца. К основным результатам относится следующий аналог теоремы Херстейна о йордановых дифференцированиях. ТЕОРЕМА 2.2. Пусть К - ассоциативное кольцо с единицей и Г - произвольная цепь. Тогда любое лиево или йорданово дифференцирование кольца NT (Г, К) действует по модулю его 3-го гиперцентра как дифференцирование. На самом деле, будет доказана более общая теорема, в которой дано описание лиевых и йордановых дифференцирований финитарного кольца R = NT (Г, К) в терминах дифференцирований самого кольца и вводимых ниже явно гиперцентральных лиевых и йордановых дифференцирований. Аддитивную группу всех дифференцирований кольца R обозначим через DerR.
Ненулевые центральные дифференцирования существуют, когда р, q Є Г, причем Г содержит г, j такие, что г j. В этом случае при любом Л Е End(K+) определено центральное дифференцирование Xj(A) : хец - xxeqp, х Є К (образы остальных порождающих xeuv - нулевые). Нетрудно показать, что аддитивная группа всех центральных дифференцирований кольца R есть декартова сумма подгрупп Xj(End(K+)). Далее мы покажем (лемма 2.4), что лиевы и йордановы гиперцентральные дифференцирования высоты 1 кольца R не лежат в DerR.
Гиперцентральные дифференцирования и основныетеоремы
Докажем, что любое лиево или йорданово дифференцирование Ф в І2, удовлетворяющее (2.2), есть дифференцирование кольца R. Так как множества Kejj аддитивно порождают кольцо R, то достаточно показать, что Ф действует аналогично дифференцированию кольца R на каждое произведение а(3 с а Є N , j г, и /? Є Nkm, т к. Пусть k і. Тогда т і и Nkm ij — 0. Поэтому (5а = Оиа /3 = ао/3 = а(3. Таким образом, Ф(а) + аФ(/3) = Ф(а!) /3 + а Ф(/3) = Ф(а) о/3 + аоФ(/3) = Ф(а/3). Следовательно, Ф - дифференцирование кольца ІЇ. Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.3. Для описания лиевых или йор-дановых дифференцирований вначале исследуются образы идеалов Nij при i,j Є Г. Рассмотрим действие произвольного лиева или йор-данова дифференцирования Ф кольца R на порождающие множества Keij, і j.
Если eij est = eij о est = 0 для est Є і? (і s), то0 = Ф(яеу) е5і+(жеу) ф(ев ) или 0 = {xeij)oest + (xeij)oiSf(est) и отсюда, для любого х Є К Ф(жеу-)еві=ра:Ф(еві)е/; = ±ев Ф(жеу-)-же#Ф(ев4), t i, s j. (2.3)
Таким образом, t—ая строка (или s—ый столбец) Ф(жеу) совпадает с s—ой строкой е Ф(же ) (соответственно, t-ым столбцом $f(xeij)est) и они нулевые; исключениями могут быть только (,У) — ый (соответственно, (г, s)—ый) элемент. Таким образом, если (и, v)— ый элемент матрицы Ф(же ) для г Q, У Ф Р ненулевой, то либо (u,v) = (q,p) или и = г или v = j. Когда j $ г, соотношения (2.3) для случаев j = t и s = г показывают, что, соответственно, (г,г;)—ый элемент для v j и (г/,У)—ый элемент для гг г - нулевые. Следовательно, Ф(Яеу) С%, i q, j p. Положим теперь, что рбГир = У г. Тогда последнее слагаемое в (2.3) и все строки Ф(і Єір) с номерами t г нулевые. Как выше, любая t—ая строка для г t s и любой 5—ый столбец для р t s, t ф і, - нулевые. В частности, все ненулевые элементы Ф(/Гег-р) лежат в первом столбце или в последней строке. Следовательно, если Ф(ІГеір) Nip, то q Є Г и ty(Keip) С А г-р + JVgi-. При этом выполняется первый или второй случай из (2.1) и, используя проведенные выше рассуждения и соотношение получаем В последнем случае существуют Л, fi Є End (К+) такие, что Ф(жегр) = х Єді + xxeqm по модулю N{p и ty(xemp) = xxeqi по модулю Nmp (х Є if). Следовательно, О = Ф(жеір /emp) = Ф(жеф о 2/Єтр) = (хху + yxx)eqp, х,у Є К. Для а = 1Л получаем хх = ах и а(К о К) = 0. Аналогично, для 6 = Iм получаем х = Ъх (х Є іГ), где 6(7С о А") = 0 в случае йор-данова дифференцирования Ф. В случае лиева дифференцирования выполняется равенство 0 = (хеір уеір) = (х у — у х)едр, и поэтому Ь{К К) = 0. Случай q Є Г, q = г j, рассматриваем аналогично. Получаем следующие возможные случаи: Ф(Кеір) С Л р + Nqi для p ii q; ty(Keip) С JVip + 7Vgm и Ф(гсетр) С JVmp + iVgi для p i m q; V{Keqj) С JVjp + iVgi для p j g; Ф(Л"еад-) С JVhp + iVw- и Ф(А"едЛ) С iVjp + iVgh для p Л j q. ty(Keij) С iVy- в остальных случаях. Поэтому, с точностью до прибавления к йорданову или лиеву дифференцированию Ф йордановых или лиевых гиперцентральных дифференцирований, соответственно, добиваемся включения (2.2). Для доказательства теоремы 2.3 остается использовать лемму 2.4. Таким образом, доказательство теоремы 2.3, а вместе с ней и теоремы 2.2 завершено.
