Введение к работе
Актуальность темы. Работа относится к тому направлению математики, которое можно назвать трансцендентной теорией инвариантов (ТТИ) или теорией инвариантов дискретных групп преобразований.
В алгебраической теории инвариантов типичной является ситуация, когда алгебраическая группа G действует на аффинном алгебраическом многообразии V над полем К, и ставится задача описания алгебры i^[V] регулярных функций на многобразии У, инвариантных относительно действия группы G.
В трансцендентной теории инвариантов мы имеем дело с дискретными группами преобразований. Здесь типична ситуация, когда имеется дискретная группа Г автоморфизмов эрмитова симметрического пространства X некомпактного типа, и действие Г на X таково, что факторпространство Х/Т имеет конечный объем. Такие дискретные группы называются решетками. Группы с компактным факторпро-странством называются кокомпактными (равномерными) решетками или кристаллографическими группами.
Следующий важный вопрос: что служит аналогом алгебры регулярных функций .K"[V]? Запас голоморфных функций на эрмитовом симметрическом пространстве X велик, но Г-инвариантными среди них оказываются только константы. Для кристаллографических групп причина этого проста: на компактном аналитическом пространстве Х/Т не существует голоморфных функций, отличных от констант. Выход из положения подсказывает классическая теория автоморфных форм: нужно линеаризовать действие группы Г, то есть продолжить это действие (согласованным образом) с X на линейное голоморфное расслоение L над X или, другими словами, рассмотреть Г-расслоение L над X. И тогда главным для ТТИ объектом оказывается градуированная алгебра С = C(L) = 0 .Я(1/П,Х) голоморфных сечений
тензорных степеней расслоения L. Группа Г естественно действует автоморфизмами алгебры С, и ставится задача описания структуры алгебры инвариантов А = С .
Алгебра инвариантов А была известна ещё в 19 веке под именем алгебры Г — а-автоморфных форм. Функция двух переменных a(y,z), у Є Г, х Є X, называется коциклом (фактором автоморфности) группы Г, если при фиксированном у функция а(у, х) голоморфна по ж и нигде не обращается в нуль. Кроме этого, она удовлетворяет условию а(7172) х) = а(7ъ 72ж)а(72> х) Для любых 71 и 72 из группы Г и х Є X. В качестве примера рассмотрим определитель Якоби (якобиан) j (7, х) преобразования у Є Г в точке х Є X.
Голоморфная в X функция f(x) называется Г — а-автпоморфной формой целого веса I, если /(ух) = а1 (у, х) f(x).
Через А\ обозначим комплексное линейное пространство автоморфных форм веса /, и пусть А = А(Т,а) = ф^4| градуированная ал-
гебра автоморфных форм, отвечающая коциклу а группы Г. Алгебра Л(Г, j ) называется алгеброй классических автоморфных форм. Опишем на языке автоморфных форм наиболее важные результаты ТТИ, которые имеют прямое отношение к теме данной работы.
Математики 19 и начала 20 века (например, школа Ф. Клейна) занимались, в частности, следующей задачей: пусть в единичном комплексном диске I3 = {zgC||z|<1} действует дискретная группа его автоморфизмов Г. Предположим, что факторпространство В/Г компактно или имеет конечный объем. Что можно сказать в этом случае о структуре алгебры А классических автоморфных форм? Насколько автору известно, никаких общих теорем этот период развития ТТИ после себя не оставил. Но осталось множество ценных примеров. Так, было показано, что для модулярной группы PSL(2, Щ алгебра А свободно порождается формой веса 2 и формой веса 3 , а для тре-
^ерр Ж-П. Курс арифметики. - М.: Мир, 1972.
угольной группы Т(2, 3, 7) алгебра классических автоморфных форм есть гиперповерхность С[Х, Y, Z]/(X2 + У3 + Z7) 2.
После долгого перерыва интерес к этой тематике возродился в 80-е годы прошлого века в связи с теорией В.И. Арнольда квазиоднородных двумерных особенностей. В своей пионерской работе3 И.В. Долгачев показал, что такие особенности допускают униформи-зацию автоморфными формами для подходящих фуксовых групп Г. Главным итогом последовавшего периода развития этого направления ТТИ явилась классификация таких репіеток Г в диске В, для которых алгебра Г — j~ -автоморфных форм имеет не больше трех образую-
9 3 4 ЩИХ^'*5' .
Вопрос о том, для каких групп Г и коциклов а алгебра Г — а-автоморфных форм свободна (т.е. является алгеброй многочленов), в этих работах не рассматривался. Причина понятна: свобода алгебры А означает отсутствие особенности. С другой стороны, вопрос о свободных алгебрах автоморфных форм является первоочередным с точки зрения теории инвариантов. Он интересен еще и потому, что свободные алгебры классических автоморфных форм встречались не только в размерности 1. Гундлах рассматривал кольцо целых О вещественного квадратичного расширения К = Q(v5) и группу Г = PSL(2,0)j которая дискретно действует на произведении X = В х В двух одномерных комплексных дисков. Расширив группу Г с помощью автоморфизма X, меняющего местами диски, Гундлах доказал , что алгебра классических автоморфных форм для расши-
2Wagreich P. Algebras of automorphic forms with few generators // Trans. Amer. Math. Soc. -1980. - V. 262. - P. 367-389.
3Долгачев И.В. Автоморфные группы и квазиоднородные особенности // Функц.анализ и его прил. - 1975. - Т. 9, N 2. - С. 67-68.
4Milnor J. On the 3-dimensional Brieskorn manifolds M(p,q,r) // Ann. Math. Studies. - 1975. -V. 84. - P. 175-225
5Gundlach K.B. Die Bestimmung der Funktionen zur Hilbertschen Modulgruppe des Zahl korpers Q(Vb) I/ Math. Ann. - 1963. - V. 152. - P. 226-256.
ренной группы является свободной алгеброй с тремя образующими. Вслед за Гундлахом, в рамках программы Хирцебруха по исследованию модулярных поверхностей Гильберта, была изучена структура алгебры А для расширенных модулярных групп Гильберта Г над кольцами целых Ок вещественных квадратичных расширений К = Q(v D) (D < 13) б. Хольцапфель рассмотрел группу PSU(2, l,Z[u/|), си = е^~, дискретно действующую в комплексном шаре В = {(^1,) | \z\\ + |^2І < 1}. Обозначим через Г её конгруэнц-подгруппу по модулю у/—3. Тогда алгебра А классических Г-автоморфных форм есть свободная алгебра с тремя образующими7.
В размерности 3 важное достижение принадлежит Игузе . В качестве X он рассматривал эрмитово симметрическое пространство, которое состоит из комплексных симметрических 2x2 матриц S, удовлетворяющих условию Im S > 0. На этом пространстве действует модулярная группа Зигеля Г = PSp±(Tl), причем факторпро-странство Х/Г имеет конечный объем, но некомпактно. Игуза доказал, что алгебра А классических Г-автоморфных форм является свободной алгеброй с четырьмя образующими, веса которых равны 4, 6, 10 и 12. Опираясь на теорему Игузы, удалось полностью описать структуру алгебры классических автоморфных форм для некоторых конгруэнц-подгрупп небольшого индекса в модулярной группе Зигеля Г . Заметим, что все перечисленные результаты о свободе касаются исключительно арифметических неравномерных решеток. Если размерность X больше трех, то о структуре алгебр автоморфных форм, по-видимому, известно крайне мало. На сегодняшний день даже вычи-
6van der Geer G. Hilbert modular surfaces. - Berlin: Springer, 1988.
7Holzapfel R-P. Geometry and arithmetic around Euler partial Differential Equations. - Dortrecht: D.Reidel, 1986.
8Igusa J-I. On Siegel modular forms of genus two // Amer.J.Math. - 1964. - V. 86. - P. 219-246.
9Runge B. On Siegel modular forms of genus two // J.reine und angew. Math. - 1993. - V. 436. -P. 57-85.
сление размерности г-той градуированной компоненты такой алгебры вызывает большие трудности.
Задача об описании свободных алгебр автоморфных форм была поставлена автором в конце 80-х годов прошлого века. Кроме уже упомянутых результатов ТТИ, здесь сказалось и влияние московской школы Э.Б. Винберга, добившейся больших успехов в классификации линейных действий полупростых алгебраических групп со свободной алгеброй инвариантов10'11.
Рассмотрим дискретную ко компактную группу Г, действующую на эрмитовом симметрическом пространстве X размерности /. Назовем группу Г хорошей, если существует такой коцикл а(7, ж), что алгебра Г — а-автоморфных форм А является алгеброй многочленов от (7 + 1)-ой переменной. Соответствующий коцикл а называется свободным коциклом. Задача состоит в том, чтобы найти все хорошие группы и их свободные коциклы.
В качестве X в работе рассматриваются эрмитово комплексное аффинное пространство С и единичный диск В = \z Є C||z| < 1}. Из чисто топологического утверждения (теорема 1.2 главы I) и стандартных фактов алгебраической геометрии '' следует, что хорошая группа, действующая на любом из этих пространств, порождается отражениями.
Элемент 7 Є AutX называется отражением (иногда говорят о комплексном отражении), если а) множество Fix7 его неподвижных точек непусто;
10Винберг Э.Б. Эффективная теория инвариантов // Алгебра. Сборник работ, посвященный 90-летию со дня рождения О.Ю.Шмидта. - М.: МГУ, 1982. - С. 27-34.
пВинберг Э.Б., Попов В.Л. Теория инвариантов // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ, 1989. - Т. 55. - С. 139-309.
12Baily W. L. On embedding of V-manifolds in projective space // Amer. J. Math. - 1957. - V. 79. - P. 403-430.
13Baily W. Introductory lectures on automorphic forms. - Ivanami Shoten and Prinston Univ. Press, 1973. - ch. 5.
б) комплексная коразмерность множества Fix7 равна единице.
Дискретная группа Г автоморфизмов X называется группой отражений, если группа Г порождается отражениями.
Классическую теорему Шевалле можно понимать как утверждение о том, что конечная проективная группа отражений является хорошей (см. п.2.1 во введении). По этой причине теоремы о том, что какая-то группа отражений является хорошей, названы в работе теоремами типа Шевалле (теоремами Шевалле) для различных классов групп отражений. Важная роль групп отражений в современной математике подчеркнута в двух фундаментальных обзорах '.
Итак, хорошие группы следует искать среди дискретных коком-пактных групп, действующих на пространстве X и порожденных отражениями. Опишем детальнее рассматриваемые в работе классы дискретных групп отражений.
Пусть X - это эрмитово аффинное комплексное пространство С , Г - кристаллографическая группа отражений в С1 и dT - линейная группа, состоящая из дифференциалов dj всех преобразований j из группы Г (группа линейных частей). Если Г есть группа отражений, то группа dV является линейной группой отражений. По теореме Бибербаха группа dT конечна для любой кристаллографической группы движений эрмитова пространства С . Таким образом, dV - конечная линейная группа отражений. Все такие группы были перечислены Шепардом и Тоддом . Среди них выделяются веще-
14Chevalley С. Invariants of finite groups generated by reflections // Amer.J. Math. - 1955. - V. 77.
- P. 778-782.
15Dolgachev I.V. Reflection groups in algebraic geometry // Bull.AMS. - 2008. - V. 45, N 1. P. 1-60.
16Givental A.V. Reflection groups in singularity theory // Amer. Math. Soc. Translations. - 1992. -V. 153. - P. 39-71.
17Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности и разрывные группы. - М.: Наука, 1988.
18Shephard G. С, Todd J. A. Finite unitary reflection groups // Canad. J. Math. - 1954. - V. 6. -P. 274-304.
ственные группы отражений, т.е. такие конечные линейные группы, порожденные отражениями, которые в некотором базисе комплексного линейного пространства записываются вещественными матрицами. Классификация вещественных групп отражений принадлежит Кокстеру19, и такие группы носят его имя. Конечные линейные группы отражений, не входящие в список Кокстера, называются группами Шепарда-Тодда. Если группа dT есть группа Кокстера, то группа отражений Г называется комплексной кристаллографической группой Кокстера (сокращенно сссг-группой). Если же группа линейных частей dT есть группа Шепарда-Тодда, то группа отражений Г называется комплексной кристаллографической группой Шепарда-Тодда. В диссертации исследуются комплексные кристаллографические группы Кокстера.
Пусть в качестве X рассматривается комплексный одномерный диск В. В этом случае ко компактная дискретная группа отражений Г, действующая в диске В, является фуксовой группой рода нуль17.
Цель работы: доказать теорему типа Шевалле для cccr-групп в С , решить задачу о свободных алгебрах автоморфных форм в диске Вj получить аналог классической теоремы Шевалле для бесконечных линейных групп отражений в С .
Методы исследования. В работе используются классические методы коммутативной алгебры, теории групп отражений, комплексного анализа и геометрии Лобачевского.
Научная новизна. Результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и состоят в следующем:
-
доказана необходимость появления групп отражений в задаче о свободных алгебрах автоморфных форм;
-
дана классификация комплексных кристаллографических групп
19Coxeter H.M.S. Discrete groups generated by reflections // Ann.of Math. - 1934. - V. 35. -P. 588-621.
Кокстера в терминах оснащенных конечных систем корней;
-
проведена классификация комплексных кристаллографических групп Кокстера с помощью аффинных систем корней;
-
вычислена группа четных коциклов комплексных кристаллографических групп Кокстера;
5) для всех неприводимых комплексных кристаллографических
групп Кокстера (за исключением групп типа D{) доказана теорема
Шевалле;
6) найдены все свободные коциклы для фуксовых групп рода нуль;
7) доказана теорема Шевалле для бесконечных линейных групп
отражений в С2.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Некоторые её результаты уже нашли применение в теории особенностей16, теории алгебр Кричевера-Новикова20'21 и конформной 2_0-теории поля .
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на заседаниях следующих семинаров на Механико-математическом факультете МГУ: семинар "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессора Э. Б. Винберга и профессора А. Л. Онищика (март 1998 года, февраль 2004 года, апрель 2008 года), семинар "Комплексный анализ" под руководством профессора В. К. Белошапки, профессора А. Г. Сергеева, члена-корреспондента РАН, профессора Е. М. Чирки (март 2008 года). Кроме того, результаты диссертации докладывались в Математическом институте имени В. А. Стеклова РАН на семинаре отдела алгебры под руководством члена-корреспон-
20Шейнман O.K. Эллиптические аффинные алгебры Ли // Функц.анализ и его прил. - 1990. -Т. 24. - С. 51-61.
21Шейнман O.K. Алгебры Кричевера - Новикова и ССС-группы // Успехи мат.наук. - 1995. -Т. 50. - С. 253-254.
22Dubrovin В., Zhang Y. Extended affine Weyl groups and Frobenius manifolds // Compositio Math. - 1998. - V. Ill, N 2. - P. 167-219.
дента РАН, профессора А. Н. Паршина (апрель 2008 года) и в ПОМИ РАН на семинаре лаборатории алгебры и теории чисел (апрель 2009 года), а также на семинаре профессора Г. Хардера (Институт Макса Планка, Бонн, июнь 1998 года), семинаре профессора X. Хеллинга (Университет Билефельд, июль 1998 и 2004 года) и на международных конференциях "Reflection groups and applications" (Триест, январь 1998 года), "Transformation Groups" (Москва, декабрь 2007 года). В марте 2003 года автор выступал с докладом "О теореме Шевалле для гиперболических групп отражений в С на заседании Московского математического общества.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах автора, список которых приведен в конце автореферата
[1-12].
Личный вклад. Диссертационная работа является итогом многолетних исследований, объединенных общей задачей, постановка которой принадлежит автору. Все результаты главы I, главы IV, главы V и их доказательства получены автором самостоятельно.
В главе II автору принадлежит классификация комплексных кристаллографических групп Кокстера в терминах оснащенных конечных систем корней (теоремы 1.3, 1.4 и их доказательства). Теоремы 3.1, 3.2 и их доказательства принадлежат автору и И. Н. Бернштейну.
В главе III автором получено описание группы четных коциклов для cccr-групп (теорема 2.4 2 и её доказательство). Доказательство теоремы Шевалле для cccr-групп (теорема 3.1 главы III) принадлежит автору и И. Н. Бернштейну.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав ( имеются два приложения к главе III и одно приложение к главе V). Список литературы включает 81 наименование. Объем диссертации - 128 страниц.
