Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О классификации гиперболических решеток, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса, и арифметических групп, порожденных, отражениями, в пространствах Лобачевского .24
1. Основные определения. Постановка задачи 24
2. Одно геометрическое свойство выпуклых многогранников в пространствах Лобачевского 29
3. Гиперболические решетки, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью доконечного индекса 43
4. Арифметические группы, порожденные отражениями, в пространствах Лобачевского .51
5. Ограничения на размерность пространства Лобачевского и степень основного поля. ...63
Глава 2. Группы автоморфизмов поверхностей типа КЗ.Поверхности типа КЗ с конечной группой автоморфизмов .100
0. Постановка задачи. Основные результаты. .100
1. Общие замечания о группах автоморфизмов решеток, порожденных 2-отражениями. Классы гиперболических решеток 113
2. Арифметические свойства решеток из 2-рефлективные решетки .126
3. Классификация не 2-элементарных решеток из и не 2-элементарных 2-рефлективных решеток...128
4. Классификация 2-элементарных гиперболических решеток, принадлежащих инволюции на поверхностях типа КЗ 156
5. Арифметические свойства решеток 179
6. Классификация 184
7. Арифметические и геометрические приложения 186
Дополнение 196
Заключение 216
Литература. .217
- Одно геометрическое свойство выпуклых многогранников в пространствах Лобачевского
- Гиперболические решетки, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью доконечного индекса
- Общие замечания о группах автоморфизмов решеток, порожденных 2-отражениями. Классы гиперболических решеток
Одно геометрическое свойство выпуклых многогранников в пространствах Лобачевского
Выпуклый многогранник JH, в пространстве Лобачевского будем называть замкнутым, если объем JH, конечен.
Следующее свойство просто и хорошо известно.
Предложение I. Замкнутый выпуклый многогранник имеет лишь конечное число граней.
Доказательство. Пусть U - точка внутри Jut . Если JIL ограничен, то число граней JIL конечно в силу локальной конечности Ж и компактности шара радиуса в пространстве Лобачевского. Пусть Jut неограничен. Найдется последовательность точек такая, что расстояния (&; А /- . В силу компактности сферы, можно считать, что лучи СО? А; ) стремятся к некоторому лучу L&A) , при этом точка в силу замкнутости JIL . Так как JIL имеет конечный объем, то А — о - удаленная вершина . В силу конечности объема Л , всякое ребро , выходящее из вершины, обязано оканчиваться вершиной. Пусть (/Ь - множество вершин JIL , соединяющихся с вершиной J\ конечным числом ребер. Если множество (ft конечно, то, в силу конечности объема , многогранник Л явяяется выпуклой оболочкой иС и имеет конечное число граней, что нам и нужно.
Пусть (ft бесконечно. В силу локальной конечности Jut , найдется последовательность точек А; Є Jfc такая, что расстояния flC@) A-J— и лучи C&AJ) стремятся к лучу/ М) , причем А =г -щи А: — о — удаленная вершина (см. рассужде-ние выше).
Гиперболические решетки, группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью доконечного индекса
Вернемся к задаче I - описанию гиперболических решеток S , для которых индекс конечен. Заметим, что его конечность сохраняется при умножении формы решетки $ на константу из поля определения US. , т.е. зависит лишь от класса подобия решетки о . Действительно, группы автоморфизмов решетки /О и решетки 3(1) , полученной из /о умножением формы (О на { К , естественно отождествляются в естественно отождествляющихся пространствах Лобачевского
Цель настоящего параграфа - доказательство следующей теоремы, доказанной в работах автораз9J и [40J (см.приложение к J\Q] ).
Теорема I. Для фиксированного натурального /V существует лишь конечное число полей Ц\ степени /V над (Q , являющихся полями определения гиперболических решеток уО » группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса. При фиксированных основном поле IK и натуральном Л существует лишь конечное число классов подобия гиперболических решеток /о над 1К ранга frS = ft+1 , группа автоморфизмов которых порождена отражениями с точностью до конечного индекса.
В частности, с точностью до конечного числа классы подобия гиперболических решеток vS , группы автоморфизмов которых порождены отражениями с точностью до конечного индекса, описываются двумя натуральными параметрами степень основного поля К над (ц и п + = S - ранг решетки /О (или П = JimoLlS)- размерность пространства Лобачевского решетки О).
Общие замечания о группах автоморфизмов решеток, порожденных 2-отражениями. Классы гиперболических решеток
I . Определения. В дальнейшем через обозначается множество элементов с квадратом (-2) решетки J/L , а через 4(A)- подгруппа группы автоморфизмов решетки порожденная всеми 2-отражениями относительно элементов ДСЛу . Группа V(Л) называется группой 2-отражений Л .
Разбиение называется замкнутым, если из того, что где элементы , вытекает, что
Для такого замкнутого разбиения Г элемент А (Л) называется неприводимым, если не представляется как нетривиальная сумма элементов АЧЮ.
Следующие случаи называются, соответственно, эллиптическим, параболическим, гиперболическим:
1) отрицательно определена;
2) имеет ровно один нулевой квадрат, остальные - отрицательные;
3) имеет ровно один положительный квадрат, а остальные -отрицательные. В этих случаях удается выбрать класс фундаментальных замкнутых разбиений элементов МЛ) такой, что действует просто транзитивно на множестве таких замкнутых разбиений, неприводимые элементы S} таких разбиений определяют образующие $% для причем является группой Кокстера для таких образующих.
Ниже мы укажем способ выбора фундаментальных замкнутых разбиений в каждом из этих случаев; Пока что мы отметим одно их общее свойство: если \о \І: J5- множество неприводимых элементов фундаментального замкнутого разбиения, то о О » группа группа Кокстера с образующими j - сє j\ и соотношениями.
Пусть J = J - некоторое конечное подмножество J. Сопоставим J граф і у ,вершины которого соответствуют J , две различны вершины І, і є J соединяются ребром веса %; $[ » если %i y O.
Тогда граф Ij одновременно описывает подрешетку rl , порожденную элементами { &і \ є J з , и , пользуясь (I.I), подгруппу W(/l) » порожденную элементами % U Jj» Графі- называется графом Грама элементов \о \іІ . В дальнейшем, как это общепринято, ребра графа Грама веса 2, веса больше 2 отмечаются, соответственно, толстым ребром, пунктирным ребром с указанием веса 2. Эллиптический случай.- В дальнейшем латинская буква f\ всегда будет обозначать отрицательно определенную четную решетку. Очевидно, - конечные множества. А(К) - самодвойственная приведенная система корней в КК (см." О , гл.б] ).
