Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Дифференциальное исчисление в коммутативных алгебрах и теория линейных законов сохранения
I. Обозначения и сведения из дифференциального исчисления Б коммутативных алгебрах 30
2. Сопряженные операторы 37
3. Комплексы Спенсера и формула Грина 45
4. Квадратичные лагранжианы и оператор Эйлера 53
5. Законы сохранения в линейной теории 57
6. Автоморфизмы и линейная теорема Нётер 64
ГЛАВА II. Автоморфизмы контактной геометрии конечного порядка и классическая теория симметрии нелинейных дифференциальных уравнений
7, Необходимые сведения из геометрии пространств джетов 70
8. Структура V - преобразований 83
9. Инфинитезимальные автоморфизмы распределения Картана на Jfo"V#) 92
10, Строение автоморфизмов распределения Картана на л/^ , У<с*> 103
11. Классическая теория симметрии дифференциальных уравнений 112
ГЛАВА III. Контактная геометрия на бесконечно продолженных уравнениях и теория высших симметрии нелинейных дифференциальных уравнений
12. Геометрия бесконечно продолженных уравнений и связанное с ней дифференциальное исчисление 125
13. Операция горизонтализации и структура подмодулей Картана 133
14. Высшие инфияитезшальные симметрии нелинейных дифференциальных уравнений 143
15. Структура С- - преобразований 154
ГЛАВА IV. Лаграньев формализм, теория законов сохранения и о-спектральная последовательность
16. Комплексы Спенсера и формула Грина в (3- теории 169
17. Нелинейный лагранжев формализм 178
18. С - спектральная последовательность. 184
19. С- - спектральная последовательность бесконечно продолженных уравнений . 214
20. Приложения к лагранжеву формализму со связями и теория законов сохранения 251
Литература
- Сопряженные операторы
- Структура V - преобразований
- Операция горизонтализации и структура подмодулей Картана
- С- - спектральная последовательность бесконечно продолженных уравнений
Введение к работе
В этой работе в систематическом виде представлена та часть исследований автора по геометрии пространств джетов (струй) конечного и бесконечного порядков, которая приводит к последовательной общей теории локальных симметрии и законов сохранения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. По этой причине в ней представлены два сорта результатов. Одни относятся к теории пространств джетов, как таковой, другие из них, выводимые, принадлежат теории симметрии и законов сохранения. Первая группа результатов является основной и имеет другие полезные приложения к теории дифференциальных уравнений, которых мы за недостатком места здесь не касаемся.
Применяемые нами методы заимствованы из дифференциальной геометрии и топологии, гомологической алгебры и теории дифференциальных операторов в коммутативных алгебрах и не являются традиционными в теории нелинейных дифференциальных уравнений, тогда как основные результаты второй группы касаются проблем, издавна привлекавших внимание специалистов по математической физике и теории дифференциальных уравнений.
Ниже описывается содержание диссертации параллельно со сведениями исторического характера.
Вся диссертация содержит двадцать параграфов, разбитых на четыре главы. Каждый параграф разбит на пункты, занумерованные парой чисел, первое из которых обозначает номер параграфа, а второе - номер пункта внутри параграфа. Теоремы, предложения, следствия и другие утверждения при ссылках имеют номер того пункта, в котором они приведены. Формулы нумеруются внутри каждого пункта и имеют "трехзначный" номер, первые два числа которого являются номером пункта, в котором приведена формула, а третье -номером формулы внутри пункта. Первая глава, включающая §§ I - 6, имеет чисто алгебраическую природу. В ней описываются и исследуются основные конструкции теории линейных дифференциальных операторов в коммутативных алгебрах, используемые в главах П - ЗУ. Внутри этой главы они применяются для построения линейного Лагранжева формализма и теории линейных законов сохранения. Более подробно содержание первой главы состоит в следующем.
В § I вводится понятие К -линейного дифференциального оператора (д.о.) над некоторой коммутативной К -алгеброй А . Если KsR (или С ), а А есть К -алгебра ) всех гладких функций на гладком многообразии М , то введенное понятие д.о. совпадает с обычным. Алгебраическое, а, значит, и бесноординат-ное по природе это понятие позволяет построить теорию дифференциальных операторов в таких ситуациях, когда неприменимы стандартные средства анализа, и выделить и исследовать основные функторы возникающего таким образом дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами. В § I описаны основные для наших целей функторы Sbijf к и Ф; и их представляющие объекты, обозначаемые и Д соответственно, элементы которых называются к -джетами и і -мерными дифференциальными формами над А • В случае А-С (М)эти объекты при надлежащем выборе рассматриваемой категории А -модулей совпадают с классическими. Параграф заканчивается описанием р - комплекса Спенсера.
Общий алгебраический подход к теории дифференциальных операторов, описанный в первом параграфе, принадлежит автору (см.
15J и более подробное изложение в tiei ). Помимо вопросов, затрагиваемых в диссертации, он оказался удобным и полезным в целом ряде других аспектов. Например, мы показали, что алгебраические когомологии Спенсера тривиальны в не особых точках алгебраического многообразия (см. [123 ). Это вместе с некоторыми другими соображениями приводят к гипотезе о том, что в особых точках ногомологии Спенсера нетривиальны и несут исчерпывающую информацию об этих точках. Дальнейшие результаты, подтверждающие эту гипотезу получены А.Б.Бочаровым (см. СП, [2} ). На этом пути автор также обнаружил естественные высшие аналоги комплексов де Рама и Спенсера и целый ряд других интересных комплексов (см. [12] ). В.В.Лычагин, используя этот подход, построил общую теорию особых решений линейных дифференциальных уравнений (см. І32І ) и, в частности, теорию распространения разрывов. В связи с этим отметим также работы ЯСБраконъера 1443 и И.С. Красильщика [29] , в которых построены и введены в коммутативную алгебру "гамильтоновы когомологии", и М.М. Виноградова, обобщившего на широкий класс алгебр теорию вычетов Лере (см. [2( [21] ).
Другое обще алгебраическое построение теории дифференциальных операторов в рамках теории схем предложено. А.Гротендиком в его фундаментальной работе [47] • Им. во главу угла поставлено понятие модуля джетов, определяемое а . Это позволило перенести в коммутативную алгебру основные концепции теории дифференциальных операторов. Однако, на этом пути, по-видимому не было получено существенно новых результатов или обобщений, хотя отдельные попытки и были сделаны (см., например, 42],[43]). Естественная трактовка модуля джетов как представляющего объекта для функтора $ЬіЦ в теории Гротендика обращена, что, во-первых, делает этот подход гораздо более громоздким, и, во-вторых, в целом ряде ключевых моментов приводит к необходимости принятия не всегда адекватно отражающих ситуацию априорных решений.
Сопряженные операторы
Если уравнение /= 4. fsO} самосопряжено, т.е. t t (тановыми являются все уравнения Эйлера-Лагранжа), или кососоп-ряжено, т.е. v = -Vy , то из сказанного выше следует, что в этих случаях оператор cLj 11" законы сохранения уравнения % отображает в его симметрии. Тем самым, мы обнаруживаем весьма общий механизм типа обратной теоремы Нётер, справедливый для более широкого класса уравнений, нежели уравнения Эйлера-Лагранжа. Более того, для случая уравнений Эйлера-Лагранжа это приводит к обобщению обратной теоремы Нётер на высшие симметрии.
Высшие симметрии естественным образом действуют в группе законов сохранения. Это позволяет размножать заноны сохранения, что является весьма полезным инструментом при их практическом вычислении. Механизм этого действия также, подробно описан в 20.
Вторая половина 20 посвящена лагранжеву формализму со связями. Пусть У - уравнение связей в вариационной проблеме с лагранжианом обе И 1 5/ ) = Е с еС) . Прежде всего мы поназываем, что L її) -0 есть уравнение Эйлера-Лагранжа этой задачи и интерпретируем этот результат как общую глобальную версию теоремы о множителях Лагранжа. В последние 10-15 лет появился ряд работ, посвященных проблеме инвариантной трактовки лагранжева формализма со связями (например, см. с 4-1 ), что было вызвано некоторыми принципиальными вопросами лагранже-БОЙ теории поля. Приведенный выше результат в определенном смысле полностью решает эту задачу.
Далее, мы рассматриваем обратную задачу вариационного исчисления при наличии связей и замечаем, что если і с/ ») 0 , то оператор aeE VSL) является оператором Эйлера-Лагранжа 1 зо вариационной проблемы со связями \У тогда и только тогда, когда (1 (0)-0 . Если, сверх того, уравнение в/ однородно по производным, то из гомотопической техники 18 следует, что У foo) = 0 . Таким образом, в этом случае мы получаем А/ полное решение этой проблемы в целом. Каких-либо общих результатов в обратной задаче вариационного исчисления при наличии связей до сих пор, насколько нам известно, получено не было.
Наконец, мы рассматриваем вопрос о нахождении обобщенной "формулы Шварца" для лагранжиана С-ju в задаче без связей, т.е. такой формы ФеЛ Ч о) , где - отвечающее 36 уравнение Эйлера-Лагранжа, что для всякой экстремали у , определенной на области 4L ,
Начилие такой формулы П. Дедекер считает аналогом понятия полной интегрируемости соответствующей вариационной проблемы для уравнений в частных производных. В цикле работ 48J - БО] он аннонсировал ряд интересных результатов, посвященных этой теме, используя развитый им "гамильтонов формализм" для задач с частными производными. Интерпретировав вопрос о "формуле Шварца" в терминах (В - спектральной последовательности,мы легко получаем, например, что эта формула существует для однородных по производным уравнений с/ и указываем явное выражение для нее.
Описанные выше результаты, касающиеся теории законов сохранения и лагранжева формализма, по существу являются следствиями теории @ - спектральной последовательности, относящимися к ее членам Е/{ , где р-О , «п,И , п . Отметим, что и другие члены имеют важное значение. Например, изучение члена Е тесно связано с гамильтоновым формализмом в теории поля (см. 10] ), члены E J , р 0 , являются то 28 пологическими препятствиями Ботта. С? - спектральная последовательность для уравнений интегрируемости 6- - структур приводит к теории характеристических классов (первичных и вторичных) и характеристических классов деформаций "Левоинвариангный" вариант G - спектральной последовательности немедленно приводит к теории когомологий Гельфанда-фукса и т.п. В связи с этимиза-мечаниями см. Гб8] . Глобальные аспекты лагранжева формализма в теории поля могут иметь, как выяснилось недавно после работ СП. Новикова о многозначных функционалах Гзз!» важное значение для ряда вопросов математичеокой физики.
Таким образом, развитый в последней главе аппарат может быть применен к гораздо более широкому кругу проблем алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений. Как выяснилось в последнее время этот аппарат непосредственно обобщается и на интегро-дифференциальные уравнения. Подчеркнем также, что полученные в диссертации результаты дают общее решение проблемы 13 из известного списка Л.В. Овсянникова [34/ , а также в известной мере продвигают проблему 12 из этого списка.
Структура V - преобразований
Развитая выше "линейная алгебра" позволяет легко конструировать и нелинейные законы сохранения для линейных уравнений.
Определение ("наивное"). Нелинейный оператор Ъ Р- Л. называется С- плотностью (нелинейной) для уравнения Д= 0 % если U f/bJ O для всех локальных решений этого уравнения.
Две плотности V и V естественно назвать эквивалентными, если найдется такой оператор О-Р- Л , что Ц =7/ D на уравнении А О , а класс эквивалентных плотностей - законом сохранения.
Замечание. Ненаивный вариант этих определений будет дан в дальнейшем при построении нелинейного лагранжева формализма.
Пусть Д. Р; ty,tw ,& Нелинейный дифференциальный оператор \2 -Р±- Ра назовем морфизмом уравнения А/=0 з уравнение А -0 , если он отображает формальные решения первого уравнения в формальные решения второго. В частности, П.(МегД ск&1& . Если I я Р , то мы будем говорить об эндоморфизме. Следующий важный факт непосредственно вытекает из п.п. 2.6, 4.4 и определений
Теорема. I) Пусть A Dtf fP UJih Da - эндоморфизм уравнения А-0 І а Оа - морфизм уравнения А—О в А =-0 . Тогда оператор у6 - ХЯ(А(&л(РХ&,(/ь))) является с- плотностью уравнения А — О, класс эквивалентности которой не зависит от 3L .
2) Если А -О , а О . - эндоморфизмы уравнения Л=0 , то оператор 4э\— с (п1(р), с,(Р)) является С- плотностью уравнения А 0 , класс эквивалентности которой не зависит от Я-.
3) Описанные в I) и 2) С - плотности эквивалентны для Замечание 2. Допуская многозначные законы сохранения можно в качестве О і 19% , брать соответствующие преобразования Бэн-лунда.
Замечание 3. Если [д,п] , то - эндоморфизм уравнения А = О и, стало быть, определяет С- плотность f h+Xi(A(u(p)fpj, если & = 0 - уравнение Эйлера-Лагранжа.
Заметим, что инфинитезимальная симметрия лагранжиана является и симметрией уравнения oL = О , т.е. его автоморфизмом (см; ниже). Таким образом, сформулированная выше теорема указывает способ построения законов сохранения более общий (и, как нам кажется, более прозрачный), чем классическая теорема Нётер. Нике связь этой теоремы с теоремой Нётер будет уточнена.
Подчеркнем в заключение, что мы получили способ построения законов сохранения из симметрии для произвольных линейных уравнений, а не только для уравнений Эйлера-Лагранжа.
Автоморфизмы и линейная теорема Нётер
В этом параграфе в алгебраической форме будет рассмотрена линейная теорема Нётер с тем, чтобы в дальнейшем ее сравнить с теоремой 5.6 Для этого необходимо дать алгебраическое описание законов преобразования тех объектов, о которых идет речь в этой теореме. Этому посвящена первая половина параграфа.
Пусть F -A[ А и р -- - - - такие же, как и в п. 2.5. Если Le.Dif-f, ,(%,Л(АХ)) , то FlfL) определим требованием коммутативности следующей диаграммы: L .-і где /},еу/&)=&ДГ;,АЫ),#л&,Л7АЛ Fp(L) Ds/ P П0 ЭТ0Й ПРИЧИНЄ M (Xp}X) I)tP Следу ет положишь Х- (L)=X L-LXp , где XD )=J A -Д Хр. В частности, если Z - плотность лагранжиана (т.е. называется преобразованием плотности L , а Х0 fL) є& У/ра (РуЛ ) - ее вариацией при инфинитезимальном автоморфизме Хр DeiP . Поскольку очевидным образом = = S Fp viXp0S=SXp , а также Ffyu) Х//«)т0(ои. морфизмы цепных комплексов, порождающие отображения JT(Pj) - - Sl(I \ fl(P)- t/7(P) , соответственно, которые будут обозначаться по-прежнему / и .XI . Полагая для краткости Ь=Хр(Ь) имеем: L, = (6.I.I) , / P,f Р Далее, LfiCf i)-lf$ -fcL/bfyJ- X/t lzA Ъ 1) Замечая, что LyX % L ef,0X А Х fy) , последнее выражение можно привести к шпХЬ ( 1)--1 C%l)9X L (XpCp)J)--Lr ($ !) Таким образом, л.г) с%АПХ ъЛ]- @ Формулы (6.I.I) и (6.1.2) будут нужны при выводе теоремы Нётер. Члены первой из них следующим образом преобразуем, используя - формулу Грина: где stCjLffafy Jfc Lpfy,!)) .
Операция горизонтализации и структура подмодулей Картана
Доказанное предложение есть частный случай следующей общей ситуации. Пусть Р есть некоторый фуннтор дифференциального исчисления (например, Drf-f . , Dt- mmZ fDi/fe % а Ф -представляющий его объект в геометрической категории над Аг Тогда естественным образом определены отображения , причем с. Если - прямой пре дел цепочки t V чГ" " фильтрован ный образами канонических отображений го справедливо следующее утверждение Предложение, ф есть представляющий объект для функтора категории, т.е. функторы & и / /от. изоморфны. 4 Доказательство с точностью до конструкции отображений oLj совпадает с доказательством предыдущего предложения.
Следствие. В г6 - категории определены комплексы Спенсера и де Рама. Они являются прямыми пределами соответствующих Комплексов в категориях геометрических модулей над 12.6. В дальнейшем мы будем работать в F& - категории над фильтрованным кольцом Ф(У) . Типичными фильтрованными мо дулями при этом будут модули вида (%$) Избегая громоздко сти обозначений, функторы дифференциального исчисления и их представляющие объекты в F& - категории над "( )-{ ( )} будут обозначаться без дополнительных индексов (например,Dtff, вместо Dtff. или % (Р) вместо [j(P)1/) Это не повлечет дву смысленностей, так как начиная с этого места без дальнейших ого ворок все д.о, над 7( ) будут предполагаться фильтрованными, а все $(У) модули - геометрическими. Сказанное выше, разумеется, относится также и к F&- категории над фильтрованными алгебрами /{УК)т //%).
В главе I из [18] показано, что обычные операции (например, & или "производная Ли") исчисления дифференциальных форм и векторных полей имеют чисто алгебро-категорную природу. Поэтому они, ввиду сказанного выше, непосредственно вместе с "обычными" формулами их связывающими переносятся в фильтрованную теорию. Этим обстоятельством мы далее пользуемся без особых оговорок. Подчеркнем в связи с этим роль языка 1, благодаря которому мы можем ограничиться этим замечанием, не потеряв при этом точности и строгости. Стандартный дифференциально-геометрический язык при работе с "многообразиями" вида становится громоздким и маловыразительным, а в ситуации с особенностями и вообще теряет силу.
Пусть - некоторый функтор дифференциального ис числения в F& - категории над &"f %) и Ф- (%„) его пред ставляющий объект. Положим, если (12.7л) ЄФ=ЄФ(%.)-{у є\\і(1) Ш 0,УЩ«%} 132 Заменяя здесь L jf на Q C? ) » мы получим определение Ф для рчевидно, есть подмодуль в ..- Я? , фильтрованный подмодулями СФ. = ОФПф- , где Ф; - представляющий объект для $ в геометрической категории над d fty.)=- -( У) Фъъг лее называется картановским подмодулем ъ Ф \ ПустьЛ-$5- некоторый естественный оператор, связываю щий представляющие и 2 в рассматриваемой теории. Тогда из (12.7.1) следует, что 4() , т.е. класс подмоду лей Картана инвариантен относительно естественных операторов. Рассмотрим фактормодуль Ф =Ф/вФ . В-виду сказанного естественный оператор А определяет фактороператор А: Ф±- Фл , &( рс Єф±у(А( р)поиЄф с/ Е.фі,
Ниже этот факт нам понадобится, когда А=-и , или оператор Спенсера. В частности, важную роль будет играть GL - номпленс де Рама .Лл ЛЯ &... ,A -AY Операция Є позволяет рассмотреть в дифференциальном исчислении на v следующую подтеорию. Пусть, например, как и выше S& - одноместный функтор дифференциального исчисления и Ф - его представляющий объект. Положим S& Annb $ Точнее, если отождествить 9 (Р) С Mmrsaj\($ P) » то "Подтеория", о которой идет речь, состоит в изучении функторов вместо , при этом представляющим объектом для яв ляется ф .
Пусть, скажем, 3b:P где & - фиксированный, а Р - "переменный" &ТУ)- модули. Тогда элементы модуля, & fP)=@Dt fj(&J}) мы будем называть - дифференциальными операторами. Q - дифференциальные операторы, кав, впрочем, и другие - объекты на t/У 0 (соотв.,і/""? /) (т.е. элементы модулей вида Q&fp) ) однозначно характеризуются тем, что для них можно определить ограничение на любое подмногообразие вида и (соотв., М., ). Именно, если положить то это определение оважется ворревтным. Обратно, всякий опера-гор на Жт (соотв., v )), обладающий указанным свойством, является & - дифференциальным. Операторы универсальной линеаризации (см. 9.2) и дифференцирования вида У (см. 9.10) ввиду (9.9.3) являются & - дифференциальными.
Двойственным образом в дифференциальном исчислении на 5 (или в любой его области) можно рассмотреть "фактортеорию", которая определена тем, что представляющий объектом для функтора считается модуль Сф Таким образом, объект & (Р), сопоставляющийся в этой "подтеории" модулю Р функтором , есть (Р)-НотФ Р) . Если модуль Ф проентивен, то, очевид но, Ниже будет показано, в частности, что модули)проентивны, если проективен модуль Р. Поэтому, например, элемент D єDtff.(&9PJ представляет собой класс дифференциальных операторов по mod Dtf C&jP).
С- - спектральная последовательность бесконечно продолженных уравнений
Предыдущие рассуждения доказывают это утверждение в пределах произвольной аффинной карты, откуда оно следует в целом.».
Если размерность проективного модуля [Р] не превосходит размерности проективного модуля [дб] , а это равносильно непе-реопределенности уравнения У , то в ситуации "общего положения" предпосылки предложения 10.8 выполнены. Действительно, если ТП-= dim Гtt] и -—clim\P \% то в локальных координатах оператор V задается Поэтому гомоморфизм П задается матрицей \б-?П1&,V..U fv) и, если - 4 ґп , то условие 0 . о/гйД V означает, что все миноры порядка - матрицы 4fv) равны нулю в точке & . Таким образом, в этой ситуации СООІгт сЛ&іу ї. Сказанное уназывает простой способ нахождения множества сАв/1 V. Для этого надо записать элементы матрицы -rffv) в координатах, введенных в п. 13.10, и выписать условия того, что ее ранг .
Начиная с этого места, мы рассмотрим некоторые способы, позволяющие оценивать или вычислять когомологии комплексов
В частности, на этом пути будут указаны необременительные условия, при которых справедлива теорема о двух строчках. Предлагаемые способы также могут быть эффективны и при исследовании конкретных уравнений. В этом пункте будет рассмотрен подготовительный вопрос о ногомологиях комплексов описываемого ниже вида. Все рассуждения проводятся над некоторым объектом категории ,алгебра функций которого обозначается через S2".
Пусть $ , t= Y ..., 4: - некоторые проективные г модули. Отождествим 7- модуль @-2)ъ$(@ 1, -V гь Л- ) 234-тензорным произведением (над i/ ) и, зафиксировав число t , -& :, введем в комплекс CDiff\&±; ...3 йЛ (см. п. 18,5) возрастающую фильтрацию номера і , объявив коцепями фильтрации р тензорные произведения вида В том случае, когда эта фильтрация совпадает с фильтрацией комплекса подкомплексами е?Л (см. п. 5.2). Рассмотрим спектральную последовательность, порождение 4 ную этой фильтрацией. Тогда компоненты В фильтрации р и степени (р нулевого члена этой спектральной последовательности имеют вид: а нулевой дифференциал, отображающий В ъ В , имеет вид id О. , где представляет собой аналогичный дифференциал в спектральной после 235 довательности для комплекса SQ,= e tffyJa}, й=й; , относительно описанной выше фильтрации. Операторы ) д пред ставляют собой один из вариантов и - операторов Спенсера (см. fe3j , [б4] ) и, очевидно, являются гомоморфизмами &- модулей. При этом комплексы ft / ацикличны при jb -n (мы считаем, что если ib 0 ) и, значит, первый член описанной выше спектральной последовательности состоит из нулевых номпонент, кроме компоненты нулевой фильтрации и степени п , которая равна -ал#}4,..., , &ш, ...At; аг)-нХе$і#{а„-, ад). Для дальнейшего представляют интерес подкомплексы комплекса CD"Cff d±y...} 0 Л , имеющие следующий вид. Пусть 0 6Diff(U1 7]...ei iff(ai.i, ), 0аЄЯг&С&г, J такие подмодули, что являются подкомплексами соответственно в @&//{& - &_Л}&/№{} Тогда является под комплексом в QDiУ/[0 х, ,(3 , J , Который обозначим \Оу@} 0 \ . 256 Если подмодули Oj z. QDiff (й;}7) таковы, что & -q&.&C? , 0=04 и #//= ..- % , то комплекс \0\ О, &"} будем обозначать j Ох }...} О А. І .
Фильтрация номера г в комплексе uuj -- ( ин дуцирует фильтрацию (номера ) в подкомплексе 10 \ 0,0 1 (соответственно, ві(Ру..., &Л) ш можно рассмотреть спектральную последовательность, отвечающую этой фильтрации. Если модули & и ( (соответственно, ( , -$Ф t ) проективны, то, как и выше, компоненты 30 —В0 (&, 6, & ) (соответственно, В0 = =А? \Р± "" fy.) } фильтрации и степени ? нулевого члена этой спектральной последовательности имеют вид
Отметим, что -# - (ЩУг) в тё;((%,2&) и р Щ р рн ( ) Дифференциал в нулевом члене рассматриваемой спектральной последовательности ото 237 бражает В ъ В и имеет вид гс &/ -,, р е (со ответственно ЪСС . 8 о, й ). По этой причине компонента Вр1=ВР; ( ? &, (ооответоиенно / - )) первого члена спектральной последовательности, имеющая фильтрацию ft и степень с , имеет вид: {I9.9.I)3f W%0")= 0 О" h f(V) , соответствен но, &? % ,Ъ)-а 9 -Р ui- -А (цу где п (О) - модуль # -ых ногомологий комплекса &т (0)\ Отметим следующее непосредственное следствие введенной спектральной последовательности. Предложение. Пусть модули С? , С? проекгивны, а комплексы т (О) ацикличны в размерностях S . Тогда комплекс f Wf 0}О \ ацикличен в этих же размерностях. 4 Предпосылка утверждаемого означает, что h [0)=-0 , если t5 . Поэтому из (19.9.1) вытекает, что ( если -б . в свою очередь отсюда следует, что компоненты фильтрации -р и степени й, предельного члена рассматриваемой спектральной последовательности также тривиальны, если
