Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные сведения
1.1. Основные обозначения 13
1.2. Определение почти эрмитового многообразия 13
1.3. Ассоциированные почти комплексные структуры и метрики . 14
1.4. Интегрируемость почти комплексных структур 15
1.5. Однородные пространства 16
1.6. Пространства почти комплексных структур 19
1.7. Существование почти комплексных структур 21
1.8. Почти комплексные структуры на сферах 23
1.9. Шестнадцать классов почти эрмитовых многообразий 25
1.10. Многообразия Фреше 26
1.11. ILH-многообразия 28
1.12. Римановы субмерсии 30
Глава 2. Пространство почти комплексных структур
2.1. Параметризация А 32
2.2. Псевдориманова структура на Л 35
2.3. Подмногообразие положительно ассоциированных почти комплексных структур А 42
2.4. Подмногообразие ортогональных почти комплексных структур АО*о 45
2.5. Свойства А+, Л+, ЛО+ 46
2.6. Расслоение А+ 49
2.7. Расслоение пространства инвариантных почти комплексных структур на однородном пространстве . 53
Глава 3. Почти комплексные структуры на SU(2) X SU(2)
3.1. Интегрируемые левоинвариантные почти комплексные структуры на SU(2) х SU(2) 56
3.2. Классы почти эрмитовых структур на SU(2) х SU(2) 64
3.3. Функционал нормы тензор Нейенхейса 66
Глава 4. Инвариантные почти комплексные структуры на S2n+1 х S2p+1
4.1. Почти комплексные структуры на 53 х ,S2n+1 70
4.2. U(n + 1) х U(p + 1)-инвариантные почти комплексные структуры на 52n+1 х S2p+1 76
4.3. Класс однородных комплексных многообразий (52n+i х 52P+i,/ac) 79
4.4. Кривизна метрик семейства ga,c 80
4.5. Секционная кривизна метрик семейства ga,c,\j.';t 83
4.6. Функционал скалярной кривизны на семействе метрик да,с,\,хл 90
4.7. Функционалы кривизны на Ai+{S2n+l х 52р+1) 92
4.8. Пространство инвариантных комплексных структур на t/(n + l)/tf(n) х U(p + 1)/U{p) 98
Список литературы 100
- Ассоциированные почти комплексные структуры и метрики
- Подмногообразие положительно ассоциированных почти комплексных структур А
- Интегрируемые левоинвариантные почти комплексные структуры на SU(2) х SU(2)
- Класс однородных комплексных многообразий (52n+i х 52P+i,/ac)
Введение к работе
В работе исследуются некоторые вопросы геометрии пространства почти
« комплексных структур на гладком (класса С) компактном почти эрми-
товом многообразии (М^о^сьЧ)) без границы, размерности 2п. Изучается вопрос геометрии пространства инвариантных почти комплексных структур на произведении нечетномерных сфер. Исследуются свойства инвариантных почти эрмитовых структур на этом произведении.
В исследовании использованы методы дифференциальной геометрии, теории расслоенных пространств, теории однородных пространств, формулы О'Нейла для римановых субмерсий.
Пространство почти комплексных структур является множеством гладких сечений расслоения над М, называемого твисторным. Это расслоение интересно само по себе. Изучению этого расслоения посвящены работы Дж.
і Рансли [61], Н.Р. О'Брайана [33], Берара-Бержери Л., Очаи Т.[29] и Дюбуа-
Виолета М. [43]. В этих работах предприняты попытки установить связь между свойствами различных структур на твисторном расслоении и свойствами самого многообразия М. В первой части предоставленной работы исследуется пространство гладких сечений твисторного расслоения. Систематическое изучение пространств гладких сечений расслоения над М начато в работах Иллса Дж. в 1958 году [48, 47, 1]. Пространства сечений являются
, вообще говоря нелинейными. Поэтому анализ таких пространств потребо-
вал, кроме введения топологии, задания локальных карт, определения их как бесконечномерных многообразий [1].
С геометрической точки зрения наиболее интересными пространствами сечений являются пространство всех римановых структур на многообразии
' М и пространство почти комплексных структур на М. Фундаментальной
работой по изучению пространства М. римановых структур является ра-бота Эбина Д. [45]. Пространства почти комплексных структур изучались в работах Ирла С, Иллса Дж. [44], Блэра Д. [31], Коисо Н. [57]. Наиболь-
ший интерес вызывают почти комплексные структуры, согласованные с сим-плектической структурой на многообразии. Такие пространства изучались в работах Д.Блэра и Смоленцева Н.К. [30, 31, 20, 18, 19, 22, 23]. Можно отметить также работы Вуда К.М. [68], Апостолова В., Грантчарова Ж., Иванова С.[28], Давыдова Дж., Мушкарова О.[42], Аббены Е., Гарбьеро С, Саламопа С.[25]. В настоящее время теория пространств почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии изучена не достаточно полно. Этой теме посвящена первая часть данной диссертации.
Целью данной работы является исследование некоторых вопросов геометрии пространства почти комплексных структур на гладком компактном почти эрмитовом многообразии без границы, исследование инвариантных почти эрмитовых структур на произведении нечетномерных сфер 52n+1 x52p+1, рассматриваемом как однородное пространство.
Почти комплексные структуры активно исследуются в последние годы. Они используются в дифференциальной геометрии, анализе, теоретической физике. Семейства инвариантных почти комплексных структур на однородных многообразиях вызывают большой интерес, но недостаточно исследованы. Поэтому тема исследования является актуальной.
Полученные результаты являются новыми. Основной результат первой части работы усиливает известный топологический результат о том, что пространство комплексных структур, определяющих стандартную ориентацию, на векторном четномерном пространстве GL+(2n,M)/GL(n,
Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях геометрии пространства почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии, почти эрмитовых структур
на произведениях нечетномерных сфер. Работа может быть использована при чтении спецкурсов.
В диссертации решены следующие задачи:
Для многообразия почти комплексных структур найдены геометрические характеристики некоторых структур, выраженные в естественных локальных картах.
Доказано, что пространство почти комплексных структур, согласованных с ориентацией Л+, на почти эрмитовом многообразии является локально тривиальным расслоением над пространством почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию и ортогональных относительно фиксированной метрики АО*0, со слоями изоморфными пространству положительно ассоциированных с фундаментальной формой структур А .
Дано полное описание множества левоинвариантных комплексных структур на SU{2) х SU(2).
Найден максимум нормы тензора Нейенхейса на множестве левоинвариантных почти комплексных структур на группе SU(2) х SU(2), ортогональных относительно метрики Киллинга-Картана.
5. Найдены основные характеристики 5-параметрического семейства эр
митовых метрик <7а,с,А,А';<> с, Л, Л', t > О на S2n+1 х 52p+1, получены оценки
секционной кривизны для этого семейства метрик.
G. Найдены критические точки функционалов А(д), В{д), С(д) на семействе метрик да,е,1,1;1-
В первой главе вводятся основные сведения, необходимые в следующих главах. Во второй главе исследуются вопросы геометрии пространства почти комплексных структур на гладком (класса С) компактном почти эрмитовом многообразии [М,дц^о,и)о) без границы, размерности 2п. На этом пространстве вводится структура многообразия на основе преобразования Кэли. На пространстве всех почти комплексных структур Л определена структура многообразия Фрешс. Определена метрика, почти комплексная структура на этом многообразии [15, 41]:
Предложение 1 Пространство всех почти комплексных структур имеет следующие геометрические характеристики:
1. Скалярное произведение задается формулой:
{А,В)К =4 [ tr((l - K2ylA{\ - K2YlB)dn Jm
8deA,BeEndJo{TM).
2. Ковариантная производная векторных полей, заданных (постоянными)
операторами А и В:
VAB = АК{\ - К2)-1 В + Б(1 - К2)-1 А.
3. Тензор кривизны имеет вид:
Я(Л, В)С = -(1 - К2)[[{1 - К2)-1 А, (1 - К2)'1 В], (1 - К2)~1С],
где А,В,С Є EndJo{TM).
4- Геодезические, выходящие из точки Jo в направлениях А Є Endj0 (ТМ),
представляют собой кривые K(t) на области V(Jq) вида:
K{t) = th&A) = (е*Л + е-*А)-\еіА - е-И)
Предложение 2 Подмногообразие ортогональных почти комплексных структур АО* многообразия всех почти комплексных структур А+ является вполне геодезическим.
Главным результатом второй главы является реализация пространства всех почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию на (М, #сь Jq-іЩ в виде расслоения. Доказана следующая теорема [12]:
Теорема 1 Пространство почти комплексных структур А+, задающих ту же ориентацию, что и фиксированная структура Jo, является гладким локально тривиальным расслоением над пространством ортогональных почти комплексных структур. Причем, слоем над элементом J Є АО*о является пространство положительно ассоциированных почти комплексных структур A*Jf где ujj(X,Y) = go(X, JY).
Теорема 1 имеет важное следствие.
Следствие 1 Для любой матрицы S Є GL(2n, R) с положительным определителем dctS > О найдутся матрицы О Є SO(2n), К Є GL(2n,№), КТ = К, К Jo = -JQK uGe GL(n,C) такие, что S = 0(1 - iT)G. Причем, матрица О определена с точностью до умнооюения справа на элементы группы U{n). Матрицы разложения К и G определены однозначно при конкретном выборе О.
Теорема 1 усиливает известный ранее, топологический результат о том, что GL+(2n,R)/GL(n,C) стягиваемо на SO(2n)/U(n). Сформулирован и доказан аналог теоремы 1 для пространства инвариантных почти комплексных структур на однородном пространстве.
Третья и четвертая главы посвящены изучению почти комплексных структур на сферах. Нечетномерная сфера может быть рассмотрена как однородное пространство U(n + 1)/U(n), однако в случае размерности 3 сферу также можно рассматривать как группу SU(2). Поэтому случаи произведений сфер содержащих сомножитель 53 рассмотрены отдельно. В третьей главе исследуется пространство почти комплексных структур на 53 х 53, инвариантных относительно SU(2) х SU(2). В нервом параграфе изучены левоинвариантные комплексные структуры на SU{2) х SU(2), получен следующий результат:
Теорема 2 Любая левоинвариантпая почти комплексная структура на SU(2) х 51/(2) является интегрируемой в том и только том случае, если в базисе (еі,Є2,ез,Є4,Є5,Єб) ее матрица имеет вид:
V О А2)
где /0еі = Є4, he2 = е3, heA = -еь I0e5 = еб и Аі Є 50(3), і = 1,2.
Таким образом показано, что множество лсвоинвариантных комплексных структур на SU(2) х SU(2) полностью исчерпывается классом структур,
описанных Калаби и Экманом [35]. Во втором параграфе дана классификация почти эрмитовых структур на SU(2) х SU{2) с фиксированной метрикой Киллинга-Картана.
Предложение 3 1. Лєвоинвариаитная почти комплексная структура J Є АО~в на SU{2) х SU(2) является приблизительно кэлеровой, т.е. (53 х *S3, В, J) Є Л/7С, если и только если:
J < еі,е2,ез >С< Є4,е5,е6 >, J < e4,e5,e6 >C< ei,e2,e3 >
На S3x53 не существует левоинвариантных почти комплексных структур J Є АО\, для которых (S3 х 53, J, В) Є W2 и (53 х 53, J,Б) Є W3.
(»S3 х S3,J,B) Є W4, где J Є АОд есть лєвоинвариаитная почти комплексная структура на SU(2) х SU(2), если и только если соответствующий эндоморфизм I представим в виде:
/=Wft)7,W <*)
где 0і,02 Є SO(3), Ioei = е4, Іое2 = е3, /oes = е6.
В третьем параграфе найдены экстремальные значения тензора Нейеихейса на множестве левоинвариантных почти комплексных структур, ортогональных относительно метрики Киллинга-Картана.
Теорема 3 Максимальное значение нормы тензора Нейенхейса на множестве ортогональных относительно В, левоинвариантных почти комплексных структур на SU(2) х SU(2) достигается на классе приблизительно кэлеровых структур Af)C и равно
Даже в случае группы Ли размерности б пространства левоинвариантных почти комплексных структур имеют большие размерности: dim Аг+ = 18, сІітДг* = 12, dim АОІ+ = б, что значительно затрудняет изучение их свойств. Более наглядными и доступными для детального исследования примерами являются пространства инвариантных почти комплексных структур
на однородных многообразиях с ненулевой группой изотропии. Поэтому четвертая глава посвящена исследованию инвариантных почти комплексных структур на 52n+1 х
Известно, что 52n+1 х S2p+1 допускает почти комплексную структуру;
На S2n+l x52p+1 имеется двупараметрическое семейство U(n+1) хU(p+l) - инвариантных почти комплексных структур 1(а,с), а, с Є К.,с > 0;
Все структуры семейства интегрируемы;
Все структуры семейства положительно ассоциированы с каждой инвариантной кососимметри ческой 2-формой wa0,A'0;
В первом параграфе исследуются свойства почти комплексных структур на S^xS271*1 = SU(2) х U(n+l)/U(n). Параграфы 2-5 посвящены изучению свойств эрмитовых многообразий U(n-\- 1)/U(n) х U{p+ l)/U(p).
Предложение 4 5-параметрическое семейство метрик ga,c,\,\';t имеет следующие характеристики:
1. Кривизна Риччи:
Пс(Х,Х) = «»(JL + |J), ric(X,X') = -2 + РЦ±!і),
,^,^ = 2^ + ^
гЦУ,,*) = 2(1 + п- ^),ric(Yj,Yj) = 2(1 +р- ^ + ^)
і = 1,..., 2n; j = 1,..., 2р.
2. Скалярная кривизна
Л t \ 4р /, (а2 + с2)Л
{1 + п-2Гх)+І{1+р-Ч^Г-)
S = T
Получены оценки секционной кривизны.
Теорема 4 Секционная кривизна К метрики д на 52n+1 х S2p+l удовлетворяет следующему неравенству:
**min 5І *» _І -"-maxj
где Kmin = min(-^;, 2Ж> )> mi = min(4 - ^,1),
m2 = min(4 - 3^ 1);
лтах — max^ 2сЛА, ^, сД/2 ,cXX,), mi — max^
Ж,1),т2 = тах(4-ЗІ^,1).
Относительно оценок секционной кривизны опубликована работа [39] (см. также [13]).
В шестом параграфе изучен функционал скалярной кривизны на четы-рехпараметрическом семействе метрик #а,с,А,А';1-
Случай Л = Л' = t = 1 канонической формы и заслуживает отдельного внимания. Имеет смысл исследовать семейство инвариантных метрик и комплексных структур положительно ассоциированных с этой формой: Ai* и АЛИц- Эти семейства находятся во взаимно однозначном соответствии друг с другом:
*а,с ^ 9а,с — 9а,с,1,1;1
9a,c(X,Y) = oj(X,IacY), с > 0. На АМг'+ определены следующие функционалы кривизны:
A(g) = s, B(g) = s2 C(g) = \\Ric\\2 D(g) = \\R\\2
где s, Ric, R - обозначают скалярную кривизну, кривизну Риччи и кривизну Римана соответственно. В седьмом параграфе найдены критические точки этих функционалов. В восьмом параграфе изучается геометрия пространства всех инвариантных комплексных структур на 52"+1 х 52р+1. Найдены его геометрические характеристики, определенные в главе 2.
Результаты диссертации опубликованы в [12, 39, 40, 13, 11, 14, 41, 15] и докладывались на семинаре по геометрии и анализу Кемеровского государственного университета, на семинаре по геометрии Казанского государственного университета, в Московском независимом университете (конкурс Мебиуса), на краевом семинаре по геометрии в Барнаульском государственном педагогическом университете, на семинаре по геометрии и анализу в Институте Математики СО РАН, г. Новосибирск, на международной конференции "Лобачевские чтения" 2001 и 2003 годов, г. Казань, на международной конференции по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова, Институт Математики СО РАН, г. Новосибирск, 2002 г., на международной конференции по математике и механике, г. Томск, 2003 г., на межрегиональной конференции МОНА-2004, г. Барнаул.
Ассоциированные почти комплексные структуры и метрики
С геометрической точки зрения наиболее интересными пространствами сечений являются пространство всех римановых структур на многообразии и пространство почти комплексных структур на М. Фундаментальной работой по изучению пространства М. римановых структур является ра-бота Эбина Д. [45]. Пространства почти комплексных структур изучались в работах Ирла С, Иллса Дж. [44], Блэра Д. [31], Коисо Н. [57]. Наибольший интерес вызывают почти комплексные структуры, согласованные с сим-плектической структурой на многообразии. Такие пространства изучались в работах Д.Блэра и Смоленцева Н.К. [30, 31, 20, 18, 19, 22, 23]. Можно отметить также работы Вуда К.М. [68], Апостолова В., Грантчарова Ж., Иванова С.[28], Давыдова Дж., Мушкарова О.[42], Аббены Е., Гарбьеро С, Саламопа С.[25]. В настоящее время теория пространств почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии изучена не достаточно полно. Этой теме посвящена первая часть данной диссертации.
Целью данной работы является исследование некоторых вопросов геометрии пространства почти комплексных структур на гладком компактном почти эрмитовом многообразии без границы, исследование инвариантных почти эрмитовых структур на произведении нечетномерных сфер 52n+1 x52p+1, рассматриваемом как однородное пространство.
Почти комплексные структуры активно исследуются в последние годы. Они используются в дифференциальной геометрии, анализе, теоретической физике. Семейства инвариантных почти комплексных структур на однородных многообразиях вызывают большой интерес, но недостаточно исследованы. Поэтому тема исследования является актуальной.
Полученные результаты являются новыми. Основной результат первой части работы усиливает известный топологический результат о том, что пространство комплексных структур, определяющих стандартную ориентацию, на векторном четномерном пространстве GL+(2n,M)/GL(n, C) стягиваемо на пространство комплексных структур ортогональных относительно стандартной метрики и сохраняющих стандартную ориентацию SO(2n)/U(n). Результаты второй части работы освещают некоторые свойства инвариантных почти эрмитовых структур на S2n+l х S2p+l. Ранее эти структуры не исследовались в данном аспекте.
Работа имеет теоретическое значение. Результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях геометрии пространства почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии, почти эрмитовых структур на произведениях нечетномерных сфер. Работа может быть использована при чтении спецкурсов. В диссертации решены следующие задачи: 1. Для многообразия почти комплексных структур найдены геометрические характеристики некоторых структур, выраженные в естественных локальных картах. 2. Доказано, что пространство почти комплексных структур, согласованных с ориентацией Л+, на почти эрмитовом многообразии является локально тривиальным расслоением над пространством почти комплексных структур, сохраняющих ориентацию и ортогональных относительно фиксированной метрики АО 0, со слоями изоморфными пространству положительно ассоциированных с фундаментальной формой структур А . 3. Дано полное описание множества левоинвариантных комплексных структур на SU{2) х SU(2). 4. Найден максимум нормы тензора Нейенхейса на множестве левоинвариантных почти комплексных структур на группе SU(2) х SU(2), ортогональных относительно метрики Киллинга-Картана. 5. Найдены основные характеристики 5-параметрического семейства эр митовых метрик 7а,с,А,А ; с, Л, Л , t О на S2n+1 х 52p+1, получены оценки секционной кривизны для этого семейства метрик. G. Найдены критические точки функционалов А(д), В{д), С(д) на семействе метрик да,е,1,1;1 В первой главе вводятся основные сведения, необходимые в следующих главах. Во второй главе исследуются вопросы геометрии пространства почти комплексных структур на гладком (класса С) компактном почти эрмитовом многообразии [М,дц о,и)о) без границы, размерности 2п. На этом пространстве вводится структура многообразия на основе преобразования Кэли. На пространстве всех почти комплексных структур Л определена структура многообразия Фрешс. Определена метрика, почти комплексная структура на этом многообразии [15, 41].
Подмногообразие положительно ассоциированных почти комплексных структур А
Рассмотрим сначала пространства комплексных структур на R2n, рассматриваемом как 2п-мерное векторное пространство. Пусть Сп- комплексное векторное пространство n-наборов комплексных чисел (zl,...,zn). Если мы полагаем то С" может быть отождествлено с вещественным векторным пространством Ш2п всех 2п-наборов вещественных чисел (х1,...,жп,2/1,...,г/). Комплексная структура на R2n, индуцированная из комплексной структуры для Сп, отображает (ж1,...,жп,г/1,...,ї/п) в (і/1,...,у", — ж1,..., — хп) и называется канонической комплексной структурой для R2rt. В терминах естественного базиса в R2n она задается матрицей: где Е- единичная матрица п х п. Относительно пространства комплексных структур на R2" известен следующий факт [17]:
Предложение 1.3 Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных структур на R2n и однородным пространством GL(2n,R)/GL(n,C), где GL(n,C) вкладывается в GL(2n,R) по следующей формуле: Класс смежности, представленный элементом S Є GX(2n,R), соответствует комплексной структуре SJQS 1, где JQ есть (матрично представленная) каноническая комплексная структура для Ж2п.
Доказательство следует из того, что группа GL(2n,R) действует на множестве комплексных структур для R2n транзитивно и, что подгруппа изотропии для GL(2n,K) в Jo есть GL(n,C). Будем обозначать пространство всех комплексных структур на Ш2п символом А. А подпространство структур в А задающих ту же ориентацию что и Jo, как А+. На R2n имеется стандартная метрика до. В терминах стандартного базиса матрица до = Е, где Е единичная матрица 2п х 2п. Метрика до эрмитова относительно Jo, что позволяет выделить в А+ подпространство всех структур ортогональных относительно 7о: Аналогичные рассуждения позволяют получить следующее: Предложение 1.4 Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством ортогональных комплексных структур, задающих ту же ориентацию, что и JQ на R2" и однородным пространством SO(2n)/U(n), где U(n) вкладывается в SO(2n) стандартным способом. Почти комплексной структуре JQ И метрике до соответствует фундаментальная 2-форма LJQ = dx1 Л dy1 + ... + dxn Л dyn. Наличие фундаментальной 2-формы UJQ, позволяет выделить класс почти комплексных структур, положительно ассоциированных с (JQ: Поскольку на A+o группа Sp(n,№.) действует транзитивно, с подгруппой изотропии U{n), то имеет место следующее: Предложение 1.5 Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных структур на R2n, положителъно ассоциированных с формой UJQ и однородным пространством Sp(n,lSk.)/U(n), где U(n) вкладывается в Sp(n,№) стандартным способом. Перейдем теперь к описанию указанных выше пространств почти комплексных структур на почти эрмитовом многообразии (M,yo o o)- Будем обозначать соответствующие пространства на многообразии как А+, АО о, А%0-Для пространства А+ имеет место: Предложение 1.6 Пусть М есть 2п-мерное ориентируемое многообразие, a L(M)- расслоение линейных реперов над М. Тогда множество всех почти комплексных структур на М находится во взаимнооднозначном соответствии с множеством всех сечений ассоциированного расслоения L(M)/GL(n;C) со слоем GL(2n,R)/GL(n,C). Замечание 1.2 Указанное расслоение L(M)/GL(n-1C) обычно называют твисторным. Опираясь на предложения 1.4,1.5 можно сформулировать аналогичные утверждения для пространств АО 0, А 0. Замечание 1.3 Пространство А0 примечательно тем, что каждой почти комплексной структуре J Є А 0 молено поставить в соответствие метрику, определенную единственным образом по формуле: Такие метрики называются ассоциированными. Пространство таких метрик будем обозначать АМШо согласно обозначениям принятым в (64, 20].
Интегрируемые левоинвариантные почти комплексные структуры на SU(2) х SU(2)
Если J\ Є Л, и J] Є Л+_ соответствуют одному и тому же элементу J2 Є Л+ , т.е. (fj(K,Ji) = tpj(P,Ji), то они согласованы следующим образом: Следствие 2.7 Для любой матрицы S Є GL+(2n,R) найдутся матрицы О Є SO{2n), К Є GL(2n,R), tfT = ЛГ, KJ0 = -J0# « G Є GL(n,C) такие, что S = 0(1 — K)G. Причем, матрица О определена с точностью до умножения справа на элементы группы U(n). Матрицы разложения К и G определены однозначно при конкретном выборе О.
Доказательство. Пусть М = Ш2п вещественное 2п-мерное пространство, Jo-стандартная комплексная структура, индуцированная комплексной структурой в С"; до- стандартная евклидова метрика. По предложению 1.3 на Л. транзитивно действует группа GL(2n,M): для любого J Є А существует элемент S Є а,(2п,Ш) такой, что J = SJQS 1, причем, Jo = GJQG 1 тогда и только тогда, когда G Є GL(n,C) (считаем, что GL(n,C) стандартно [17] вкладывается в GL(2n, R)). Аналогично на АО+0 действует транзитивно группа SO(2n) с U(n) в качестве группы изотропии элемента Jo Если J\ Є АО+0- произвольная, тогда найдется матрица О Є 50(2п), определенная с точностью до умножения справа на элементы группы U(n) такая, что J\ = OJQO-1. Если u\(X,Y) = g(JiX,Y), то для соответствующей матрицы О имеет место равенство: для произвольной J Є Л+о. Аналогично можно показать положительность формы ш\(X,ОJO lX). Обратно, если J Є Л+х, то 0 lJ 0- соответствующий ему элемент из Л+0. Таким образом, {OJO l : J Є 0} = Д1г Поскольку элементы из U(n) оставляют инвариантной и до и UQ, то от произвола в выборе ортогональной матрицы О это утверждение не изменится.
Пусть S Є GL+(2rc,R)- произвольная и J = SJoS l Є А+- соответствующая почти комплексная структура. Тогда по теореме 2.1 существует J\ Є AO+0, определенная однозначно, такая что J Є А у. Пусть 0 Є SO(2n) такая, что J\ = OJQO 1. Поскольку {OJO l : J Є A+0} = A+, то найдется почти комплексная структура Ji = 0 lJO Є А+0. Для Ji из А%0 существует матрицаПусть М = G/H- однородное пространство с группой Ли G. Пусть д, Ї) обозначают алгебры Ли групп G и Н соответственно. Выберем разложение в прямую сумму 0 = Ї) + р, р изоморфно Т0М, где о = еН. Известно (см. п. 1.5), что пространство инвариантных почти комплексных структур на М изоморфно множеству линейных эндоморфизмов для р, таких что I(&d(h)X)p = (a,d(h)IX)p, h Є Я, X Є р, І2 = —1. Это пространство конечномерно. Пусть д- некоторая инвариантная метрика на G/H. Пусть Єі,...,Є2„ базис р ортонормированный относительно д. Тогда теорема 2.1 принимает следующий вид:
Теорема 2.1 Пространство Аі+- инвариантных почти комплексных структур на однородном пространстве G/H, сохраняющих ориентацию, является локально тривиальным расслоением над пространством AOi - ортогональных инвариантных почти комплексных структур. Проекция расслоения 7Г определяется следующим образом:
Слоем над J\ = —(JJT) JT является пространство инвариантных почти комплексных структур Лг Л положительно ассоциированных с формой ш\ = — J(«7Jr)2 (J обозначает как почти комплексную структуру, так и ее матрицу, соответствующего линейного эндоморфизма, в указанном выше базисе.)
Доказательство. Очевидно, что для инвариантной почти комплексной структуры J, построенная в доказательстве теоермы 2.1, проекция дает инвариантную почти комплексную структуру J\ — 7r(J). Пусть J Є Лг +, тогда: Форме uj соответствует кососимметрический эндоморфизм В такой, что LOJ(X,Y) = g(BX,Y) в указанном базисе В = (J — JT). В теореме 2.1 показано, что J можно поставить в соответствие ортогональную структуру J\ = (—В2) 2В. В случае однородного пространства, в указанном базисе имеем: Поскольку JTJ- симметричная, положительно определенная матрица, то существуют ортогональное преобразование О Є SO (2га) и положительно определенная диагональная матрица А, такие что JTJ = ОХОТ.
Класс однородных комплексных многообразий (52n+i х 52P+i,/ac)
Поскольку, пространства Аг и АМ+ находятся во взаимно однозначном соответствии, то, аналогично, на Аі+ могут быть определены функционалы А(1), В{1), C(J), D(I). Найдем критические точки указанных функционалов.
Предложение 4.6 Если п или р принимает нулевое значение, то среди U(n + 1) X U(p + I)-инвариантных комплексных структур 1(а,с) на S2n+1 х S2p+1 нет критических для А(1). Если п и р не равны нулю, то комплексная структура 1(а,с), при а = 0, с = ./- является единственной критической для А(1). Метрика gQ гк является метрикой с 10 /к-эрмитовым тензором Риччи. Замечание 4.6 Секционная кривизна метрики д0 г удовлетворяет следующим неравенствам: 1. Если О , то 4 — З /f К у/. Минимальное значение достигается на бивекторе У _іЛУ2/ (1 = 1,... ,п), а максимальное па s/ILX1AYiL (і = 1,... ,2п). 2. Если \ j, то 4 — 3 /f -К" 4 — 3./ . Минимальное значение достигается на бивекторе У _! Л К,} (7 = 1,... , nj, а лшк;сіша./іьное на 3. Если ттг - 1, га ? О ІІГ 4 — 3./-. Минимальное значение до 16 р — — у р стигается на бивекторах Xі Л X2, Kj/-i Л m-i и 2m f == 1,... ,pj, а максимальное на У21-і Л 2/ 4- Если 1 —, то 0 К 4 — З-у . Минимальное значение достигается на бивекторах Xі Л Х , Y i-i ЛУ?т-1 И ИЛУ22т 0 = 1,...,П, т = 1,... ,pj, о хаксиліальное на V _x Л У . J. Ьш у 9, то 4 — 3. / К 4 — Зд/ . Минимальное значение достигается на бивекторе 1 Л1 (7 = 1,... , га,), а максимальное на 2/-1 ЛУ2І. 6. Если 9 -, то 4 — 3./- К ./-. Минимальное значение достига р у р — — у р ется на бивекторе К ЛУ2) (2 = 1,..., п), а максимальное на S/-X1 Л Y (i = 1,... ,2п). Относительно критических точек функционала В(I) имеет место следующее предложение: Предложение 4.7 1. Если р = 0, п ф О, то мноэюество критических точек функционала В(1) имеет вид: {1а,с а Є М, с = 2(п+і)} 2. Если р ф 0, п = 0, то мноэюество критических точек функционала В(1) имеет вид: {1а с : а = ± /2(1+р)с-с2,с Є (0,2(1 +р)]}. 5. .Бели р ф 0, п ф О, мноэюество критических точек функционала В(1) имеет вид: {/в,с : a = 0,с = J ; или a = ±yj4p(p+ +-[n+i))c-Pc n [р(1+р)+п(і+тг)- /(і+р)+п(і+»)+ ]} gde D = (р(1 +р) + п(1 + п))2 _рп Доказательство. Поскольку B(I(a,c)) = s(a,c)2, то критические точки В должны удовлетворять ds/da = ds/дс = 0 или s = 0. Случай в пункте 3 а = 0, с = ./- это критическая точка функционала А, остальные значения обращают в ноль. Замечание 4.7 Если многообразие М является кэлеровым, то д Є ААІ является критической для функционала В(д) в том и только том случае, если градиент s является голоморфным векторным полем. Однако, в нашем случае рассматриваются инвариантные метрики, поэтому значение s(a,c) не зависит от точки х Є S2n+l х 52р+1, таким образом, для всех метрик g(а, с) градиент скалярной кривизны равен нулю. В разобранном случае критические точки функционала В(1) это комплексные структуры, которые являются критическими для функционала А, а также те, которые определяют метрику с нулевой скалярной кривизной. Относительно критических точек функционала С(1) имеет место следующее: Предложение 4.8 Критические точки функционала С имеют вид: 1(0, CQ), где Со является единственным действительным положительным решением уравнения.
