Содержание к диссертации
стр.
ВВЕДЕНИЕ 4-
ГЛАВА I. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, СОГЛАСОВАННЫЕ СО СТРУКТУ -
РОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА
I. История вопроса и постановка задачи 13
2. Аффинные связности, допускающие подгруппы
{Панчи*}, іики*и&:Щ} 20
3. Аффинные связности, допускающие подгруппы
4. Аффинные связности, допускающие подгруппы
ігЬ<И$;2і*+№*} , {UjuUsilb+Mk&d 35
5. Аффинные связности, допускающие подгруппы
ІЧ%і К»; ШМ , /**; %: #*> **l j
Ц*ъ14хХ**и*;Х*Ь ^2
б. Аффинные связности, допускающие подгруппу
j2b;2b;2lf} 49
7. Аффинные связности, допускающие подгруппу
{lUiW}*?} %
8. Аффинные связности, допускающие подгруппу
{2J*;2A<,-2tr} 61
ГЛАВА П. ПРОЕКТИРОВАНИЕ АФФИННЫХ СВЯЗНОСТЕЙ, СОГЛАСО -ВАННЫХ СО СТРУКТУРОЙ БИАКСИАЛЬНОГО ПРОСТРАН -СТВА
I. История вопроса и постановка задачи 68
2. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппы/г/*; Vy,lti] JX*; %.;%;#?} 72
3. Проектирование аффинных связностей, допускающих
подгруппы^; 2ff+2Aj Щ-гіАЛ*Ьі Хг*»цЯу-Мц 29} 75
стр.
4. Проектирование аффинных связностеи, допускающих подгруппы {71л)и5;Щі-Хи^> {Ма№;Щ+№ъ &*} 77
5. Проектирование аффинных связностеи, допускающих подгруппы / #* j 2/^j UsMm} , {Ut ; 2/4; USi Нч]
{Ux^^Xr^jX?} 78
6. Проектирование аффинных связностеи, допускающих
подгруппу / 2/i- 2tZj 21?} 79
7. Проектирование аффинных связностеи, допускающих
подгруппу {Щ&їі&ї} 81
8. Проектирование аффинных связностеи, допускающих
подгруппу {2іх; 24; Щ} 82
9. Проектирование геодезических аффинных связностеи,
согласованных со структурой биаксиального прост
ранства 87
10. О специальных проективно-евклидовых связностях
биаксиального пространства 100
Ш. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 112
ЛИТЕРАТУРА ИЗ
Введение к работе
Актуальность темы. В современных дифференциально-гешетри -ческих исследованиях теория расслоенных пространств и связностей в расслоенных пространствах занимают одно из главных мест. Этими вопросами занимались и занимаются отечественные и зарубежные геометры. Теория связностей и параллельного перенесения впервые появляются в работах Риччи и Леви-Чивита. Дальнейшее развитие теория связностей получила в работах Э.Картана, И.Схоутена, В.В.Вагнера, Ш.Эресмана, Г.Ф.Лаптева и других геометров. Обзор работ по теории связностей за последние годы приведен в работе Б.Н.Шапуко-ва [19].
Биаксиальная геометрия предоставляет большие возможности для изучения специальных связностей. Само биаксиальное пространство является простейшим примером нетривиального расслоенного пространства и потому здесь возникают задачи проектирования аффинных связностей на базу. В последние годы стали также изучаться различные однородные пространства, связанные с биаксиальной группой (см. [8] ,й).
В настоящей работе изучаются аффинные связности без круче -ния в биаксиальном пространстве эллиптического типа Бз , допускающие преобразования подгрупп группы биаксиальных движений в качестве аффинных коллинеаций. Мы называем их связное тями, сог -ласованными со структурой биаксиального пространства.
Конгруэнция особых прямых пространства Б з является вещественной моделью Пі комплексной проективной прямой JPift) и позволяет рассматривать бз как расслоенное пространство Бз(Пгрі) Для каждой из рассматриваемых подгрупп в расслоении Бз строится естественно возникающая инфинитезимальная связность &
- 5 -Также изучается вопрос о проектируемости найденных аффинных связностей на базу Па с помощью инфинитезимальных связностей G- и о проектируемости геодезических линий аффинных связноетей БзСПг/л) с помощью особых прямых пространства Бз . В расслоенном пространстве Бз(Пг ,^0 используемые инфинитезимальные связности Q (соответствующие тем или иным подгруппам) дают возможность выделить на расслоении Бз класс так называемых (? -проек -тируемых аффинных связноетей и тензорных полей. При этом их (г -проекции, соответственно, определяют аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пл .
Понятия проектируемых аффинных связностей и тензорных полей в расслоении с одномерными слоями впервые введены в работах Яно и Исикара [ЗО,Зі] . Для произвольных расслоений при наличии инфини -тезимальной связности & эта теория обобщена К.М.Егиазаряном М, И. В данной работе теория проектирования аффинных связностей и тензорных полей применена к трехмерному расслоенному пространству БзСПа.^О и, тем самым, найдено одно из возможных приложений этой теории.
Цель работы. Целью настоящей работы является:
построить аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз(Па/лО согласованные со структурой этого про -странства и выяснить их геометрический смысл;
изучить вопрос о проектируемости этих связностей на базу с помощью инфинитезимальных связностей (? ;
3) выделить специальные проективно-евклидовы связности
БзСПа,"Л) из найденных аффинных связностей, согласованных со
структурой этого пространства и выяснить их геометрический смысл.
Научная новизна. Построены аффинные связности без кручения на расслоенном пространстве Бз(ПЯііс) » допускающие различные
- б -
подгруппы движений пространства ЕЬз в качестве аффинных коллине-аций. Изучены свойства этих аффинных связностей и выяснен их геометрический смысл. Применена теория G -проектируемости аффинной связности и тензорного поля, введенные Яно, Исихара и Егиазаря -ном. Выделен класс Q -проектируемых аффинных связностей и тен -зорных полей на расслоении Бз > которые, будучи спроектированы, определяют, соответственно, аффинные связности и тензорные поля на базисном многообразии Пг Среди проектируемых аффинных связностей в расслоении Бз выделен класс аффинных связностей, геодезические которых проектируются, соответственно, на геодезические спроектированной аффинной связности базы Пг . Выделены специальные проективно-евклидовы связности Бз из найденных аффинных связностей, согласованных со структурой этого пространства. Изу -чен вопрос о проектируемости выделенных специальных проективно -евклидовых связностей и их геодезических линий. Все эти результаты являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Материал, содержащийся в диссертации, может быть использован при чтении специальных курсов по дифференциальной и проективной геометрии в Тадж.гос. университете им.В.И.Ленина, Ташкентском гос.университете им. В.И. Ленина, Казанском гос.университете им.В.И.Ульянова-Ленина, Душанбинском и Пензенском пединститутах.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на годо -вых итоговых научных конференциях Казанского университета в 1980 и 1984 годах, на заседаниях семинара кафедры геометрии Казанского университета (руководитель - проф. А.П.Норден), на семинаре ка -федры геометрии Пензенского пединститута (руководитель - проф. И.П.Егоров), на УІ Прибалтийской геометрической конференции (г.Таллин, 1984г.).
Диссертация является самостоятельным научным исследованием ав тора.
Основные результаты диссертации отражены в девяти статьях и тезисах докладов научной конференции.
Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из двух глав и списка литературы. В первой главе изучаются аффинные связности, согласованные со структурой биаксиального пространства эллиптического типа.
В I даются основные необходимые понятия: I) определение биаксиального пространства эллиптического типа Бз ; 2) самосо -пряженные образы: сфероиды, бицилиндры, к.а.п., циклические комплексы и группы движений пространства Бз , впервые введенные А.П.Норденом; 3) делается обзор аналогичных исследований отече -ственных и зарубежных геометров; 4) далее сформулирована поста -новка задачи - нахождение аффинных связиостей, допускающих пре -образования тех или иных подгрупп группы движений биаксиального пространства в качестве аффинных коллинеаций. Эти аффинные связности названы аффинными связностями, согласованными со сгрукту -рой биаксиального пространства; 5) введены некоторые определения и обозначения для упрощения дальнейшей.записи.
В 2 рассматриваются аффинные связности без кручения биаксиального пространства эллиптического типа, допускающие трех членную подгруппу {lit; 1Лг: Щ] группы У 6 параллельных пере -носов и четырехчленную подгруппу {u^itz; Ui: U%) полной группы движений ^»f. этого пространства, переводящую в себя действи -тельный сфероид.3*'
х/ Говоря о подгруппе группы движений пространства Бз » мы Указываем базис ее инфинитезимальных преобразований и считаем, что тем самым подгруппа задана.
- 8 -Аффинные связности биаксиального пространства, допускающие эти подгруппы, зависят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Далее изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации, которые приведены в одиннадцати случаях для подгруппы fZ/*; Ні: tyj и четырех случаях для подгруппы/Wi; 1Хг\ U&iU*} . Показывается, что базисные тензоры аффинной деформации имеют простой смысл с точки зрения биакси -альной геометрии.
В 3 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, ДОПуСКаЮЩИе Трехчленную ПОДГРУППУ / #4; 2/5+2/6; UyUz\ ГРУППЫ ^6 И Четырехчленную ПОДГРУППУ /#4rj Its*If6j U$~UrtU%\
группы движений ^^ этого пространства, переводящую в себя мни -мый сфероид. Аффинные связности, допускающие эти подгруппы, за -висят, соответственно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных. Аналогично I, изучена начальная связность и базисные тензоры аффинной деформации. Выясняется геометрический смысл этих аффинных связноетей биаксиального пространства Е5з .
В 4 рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу {иг\ Us; Щ+ли*} группы Ъб и четырехчленную подгруппу {цг; Us і Uj,+\U*\U%S группы движений Уі этого пространства. Показано, что аффинные связности 6 з , допускающие эти подгруппы, зависят, со ответе т -венно, от восемнадцати и от четырех произвольных постоянных; выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и выяснен их геометрический смысл.
В 5 изучаются аффинные связности биаксиального простран -
СТВа, ДОПуСКаЮЩИе ЧеТЫреХЧЛеННуЮ ПОДГРУППУ {UajUaJ U^} Uj,} группы ^б , четырехчленную подгруппу / Ui;Uzj USj Ui) и пя -тичленную подгруппу {Uxt Ыг; Ил,- Its j и.ч\ группы движений *$% этого пространства, переводящую в себя особую прямую. Эти аффин-
- 9 -ные связности биаксиального пространства, допускающие четырех -членные подгруппы, зависят от пяти, а пятичленная подгруппа - от трех произвольных постоянных. Показано, что можно выделить на -чальную связность, которая будет общей для этих подгрупп. Изучены тензоры кривизны аффинных связноетей, допускающие вышеуказанные подгруппы. Выделяются базисные тензоры аффинной деформации. Изучается геометрический смысл этих аффинных связностей биакси -ального пространства.
В б рассматриваются аффинные связности биаксиального пространства, допускающие трехчленную подгруппу {ifi; Иг- It*} группы движений t/$L этого пространства, переводящую в себя действи -тельный сфероид и одну из ее прямолинейных образующих. Эти аффинные связности биаксиального пространства зависят от восемнадцати произвольных постоянных. Выделены начальная связность, базисные тензоры аффинной деформации и изучен их геометрический смысл.
В 7 рассматриваются аффинные связности биаксиального про -странства, допускающие подгруппу / Uz: ^sj U%\ группы движений *3ц. этого пространства. Показывается, что эти связности зависят от восемнадцати произвольных постоянных.
В 8 рассматриваются аффинные связности биаксиального про -странства, допускающие подгруппу { и-ху 2Л»; U* } группы движений ^ этого пространства, переводящую в себя пару особых прямых. Эти связности Бз зависят от восемнадцати произвольных постоянных. Выделяются начальная связность, базисные тензоры и выясняется их геометрический смысл.
Таким образом, в первой главе изучены аффинные связности,согласованные со структурой биаксиального пространства Бз Выяс -нен геометрический смысл этих аффинных связностей.
Во второй главе диссертации изучается проектируемость найденных аффинных связностей, согласованных со структурой биаксиально-
- ю -го пространства эллиптического типа Бз на базу ru .
В I даются необходимые сведения: I) вводится понятие расслоенного пространства Бз(П*.,?С) ; 2) напоминаются исследо -вания отечественных и зарубежных геометров о проектируемое ти аффинных связноетей и тензорных полей на дифференцируемом расслоении с заданной инфинитезимальной связностью Q- ; 3) показывается возможность применения этих понятий для аффинных связностей расслоенного пространства Е5ь(Пгл7с) ; 4) находится отображение проекции; 5) приводятся операторы шестичленной группы преобразования Мёбиуса в Па , порожденные операторами группы *3б биак -спального пространства.
В 2 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленные и четырех -членные подгруппы группы движений этого пространства, переводя -щие в себя действительный сфероид. Проектирование аффинных связностей из пространства Бз на Пг , допускающие эти подгруппы, вводится с помощью распределения горизонтальных площадок, опре -деляемых циклическим комплексом, присоединением к действительному сфероиду.
В 3 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленные и четырех -членные подгруппы группы движений этого пространства, переводя -щие в себя мнимый сфероид. Проектирование этих аффинных связно -стей из пространства Бз на Пг вводится с помощью распределения горизонтальных площадок, определяемых циклическим комплексом,присоединенным к мнимому сфероиду.
В параграфах 2 и 3 указан новый подход к известным конформным моделям Пуанкаре неевклидовых плоскостей.
В 4 изучается проектирование аффинных связностей биакси -ального пространства, допускающих трехчленную подгруппу
- II -
{Uz) Us; Um+\U\\ группы ^6 и четырехчленную подгруппу {uZ\ Usi Щ+\ЫцИч} группы движений ^ этого пространства. Проектирование этих аффинных связностей из Бз на П2 вводится с помощью инфинитезимальной связности Q- . Горизонтальные площадки связности G- задаются с помощью пучка плоскостей, проходящих через инвариантную особую прямую вышеуказанной подгруппы.
В 5 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих четырехчленную подгруппу
ІШіЩ.ЩіЩ} ГРУППЫ *$6 , Четырехчленную^; 2/г; 24$} lt%} И
пятичленную подгруппу {гл%\ Ыг: К^ its^UbS группы движений*Эъ этого пространства, переводящие в себя особую прямую. Проектирование этих аффинных связностей из 6$ на Пх вводится с помощью горизонтальных площадок, задаваемых пучком плоскостей, проходящих через указанную инвариантную особую прямую.
В 6 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленную подгруппу {и^,глггЫч\ группы движений ^ этого пространства, переводящую в себя действительный сфероид и одну из его особых прямолинейных образующих. Проектирование этих аффинных связностей из Бз наПг вводится с помощью горизонтальных площадок, задаваемых пучком плоскостей, проходящих через инвариантную особую прямолинейную образующую действительного сфероида.
В 7 изучается проектирование аффинных связностей биакси -ального пространства, допускающих трехчленную подгруппу {UziitsiX*} группы движений ^* этого пространства. Проекти -рование этих аффинных связностей биаксиального пространства избз на ГЦ вводится с помощью пучка плоскостей, проходящих через ин -вариантную особую прямую подгруппы.
В 8 рассматривается проектирование аффинных связностей биаксиального пространства, допускающих трехчленную подгруппу
- 12 -{itujltj,; 24*} группы движений 5% этого пространства, переводящую в себя пару особых прямых. Проектирование этих аффинных связ-ностей биаксиального пространства из Бз на ПЛ вводится с помощью связности Q , горизонтальные площадки которой задаются пучком плоскостей, проходящих через одну из особых инвариантных прямых подгруппы.
В 9 изучаются геодезические линии, определяемые аффинными связностями биаксиального пространства эллиптического типа, и их проектируемоеть на базу Пх с помощью конгруэнции особых прямых. Рассматриваются различные классы проектируемых аффинных связно -стей биаксиального пространства, допускающих те или иные под группы группы движений этого пространства в качестве аффинных коллинеаций. Находятся уравнения проекций геодезических линий. Показывается, что в ряде случаев эти проекции совпадают с геодезическими спроектированной связности.
В 10 выделены те проективно-евклидовы связности из найденных аффинных связноетей.биаксиального пространства бз і У кото -рых геодезические изображаются прямыми пространства Бз . Такие проективно-евклидовы связности определяются по методу А.П.Норде -на соответствием между точками и плоскостями этого пространства. Изучен вопрос о проектируемоети выделенных специальных проектив -но-евклидовых связностей и их геодезических линий.
Автор считает своим долгом выразить сердечную признатель -ность научному руководителю профессору Александру Петровичу Широкову за постоянное внимание при выполнении работы.
- ІЗ -
