Содержание к диссертации
Введение
1 Кэлеровы структуры на кокасательных расслоениях симметрических пространств 34
1 G -инвариантные кэлеровы структуры на T(G/K) 34
1.1 Поляризации 34
1.2 G -инвариантные комплексные структуры 35
2 G -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств 40
2.1 G -инвариантные комплексные структуры на касательных расслоениях симметрических пространств 40
2.2 Потенциальные функции 44
3 Кэлеровы структуры на областях касательных расслоений симметрических пространств, инвариантные относительно нормализованного геодезического потока 47
3.1 Алгебраическое уравнение 47
4 G -инвариантные метрически согласованные комплексные структуры на T(G/K) 56
4.1 Основная лемма. 56
4.2 Адаптированные комплексные структуры HaT(G/К). 59
5 Инвариантные кэлеровы структуры и тензор кривизны сим метрического пространства 63
5.1 Кэлеровы структуры и локальные диффеоморфизмы 63
5.2 Каноническая кэлерова структура и локальные диффеоморфизмы 65
5.3 Тензор кривизны проективной плоскости Кэли 67
6 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств ранга один 75
6.1 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях D в касательных расслоениях пространств 77
6.2 К -эквивариантные отображения 80
6.3 Нормирование 84
6.4 Основная лемма 87
6.5 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях D 88
7 Редукция 91
7.1 Редукция и поляризации 91
7.2 Редуцированные кэлеровы структуры на ТСРП и ТШРП 93
7.3 Редукция и адаптированные структуры 98
2 Инвариантные гиперкэлеровы структуры на кокасательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств 99
1 Антикоммутирующие комплексные структуры 99
2 Инвариантные кэлеровы структуры на эрмитовых симметрических пространствах . 102
2.1 G-инвариантные кэлеровы структуры (Jr(P),Q) 102
2.2 Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств 104
2.3 Гиперкэлеровы структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств 106
3 Гиперкэлеровы структуры на неприводимых эрмитовых симметрических пространствах 110
3.1 Системы корней эрмитовых симметрических пространств 111
3.2 Инвариантные отображения и корневые системы эрмитовых симметрических пространств 113
3.3 Основная теорема 122
3 Инвариантные поляризации и частичные плоские связности 136
1 Продолжение частичных плоских связностей 136
1.1 Предварительные сведения 136
1.2 Дифференцирования 137
1.3 Плоские частичные связности и их продолжения. 141
2 Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений 149
2.1 Строго допустимые поляризации 149
2.2 Структура гильбертова пространства 153
2.3 Гильбертово пространство 161
3 Гамильтоновы системы осцилляторного типа: инвариантные поляризации и их применение в геометрическом квантовании 163
3.1 Обобщенный п-мерный осциллятор: инвариантные поляризации и структуры Коши-Римана 163
3.2 Многомерная система Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании 175
3.3 Система MIC-Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании 187
4 Пуассоновы алгебры G-инвариантных функций на 200
1 Каноническая структура Пуассона на структу ра алгебры G -инвариантных функций и действие подгрупп Бореля на однородном пространстве Gc/Kc 200
1.1 Отображение момента и гамильтоново действие 200
1.2 Пары редуктивных алгебр Ли 204
2.1 Пары редуктивных алгебраических алгебр Ли 215
2.2 Каноническая пуассонова структура и почти-сферические однородные пространства 217
2.3 Действия подгрупп Бореля на однородных пространствах редуктивных алгебраических групп Ли 219
1.1 Почти сферические подалгебры простых алгебр Ли 225
2 Инвариантные би-пуассоновы структуры на Т* (G/K), про странство G -инвариантных функций и редукция 231
2.1 Основные обозначение и определения 232
2.2 Би-пуассоновы структуры {л1 (а)} на Т*М 234
3 Редукция 240
3.1 Би-пуассонова структура {rf{u)o)} в явных формулах240
3.2 Би-пуассоновы структуры {rf(u>o) максимальные инволютивные семейства функций 246
3.3 Би-пуассонова структура {rf{uio)}: редукция. 252
3.4 Интегрируемые геодезические потоки 253
Литература 256
- G -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств
- Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств ранга один
- Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств
- Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений
Введение к работе
Основным объектом исследования в работе являются комплексные G-инвариантные поляризации F на кокасательных расслоениях T (G/K) редуктивных однородных пространств G/K редуктивных групп Ли G и пуассоновы алгебры G -инвариантных функций на T (G/K). Среди поляризаций мы особо выделяем два типа:
(1) положительно определенные поляризации, т.е. кэлеровы структуры;
(2) поляризации, содержащие некоторую структуру Коши-Римана коразмерности два.
Основные применения в данной работе эти структуры имеют в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Основным методом, который используется в работе, есть метод редукции. С его помощью и ввиду инвариантности решение уравнений в частных производных, описывающих эти поляризации, сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и к решению задач теории полупростых групп и алгебр Ли. Развитые в работе методы применены также к описанию инвариантных гиперкэлеровых структур на областях касательных расслоений эрмитовых симметрических пространств.
Группы симметрии и их свойства лежат в основе и квантовой и классической механики. Метод редукции первоначально возник как метод классической механики, позволяющий свести исходную (гамильтонову) динамическую систему на фазовом пространстве (X, О,), при наличии у нее коммутирующего семейства интегралов, к системе с меньшим числом степеней свободы. Позже этот метод (гамильтоновой редукции) был обобщен В.И. Арнольдом, Дж. Марсденом и А. Вейнстейном (см. [Арн79] и [MW74] ) на случай, когда динамическая система допускает и неком б
мутативную группу симметрии S (метод симплектической редукции). Было введено понятие отображения момента J : X —»• s со значениями в дуальном пространстве алгебры Ли группы Ли S. Основное свойство этого отображения, используемое нами, - это эквивариантность относительно действия группы Ли S, приводящая к каноничности отображения момента J как отображения пуассоновых многообразий. В данной работе мы остановимся на обобщениях метода симплектической редукции, связанных со структурами геометрического квантования (поляризациями и кэлеровыми структурами, линейными расслоениями со связностями и частичными плоскими связностями) и с би-пуассоновыми структурами. Метод редукции был применен к кэлеровым структурам на кокасательных расслоениях В. Гийемином и С. Стернбергом [GS82] в связи с задачами геометрического квантования, потом обобщен на более широкие классы кэлеровых (комплексных) многообразий (см., например, П. Хайнцнер, А. Хаклберри и Ф. Лоос [HHL94]). Метод редукции был применен в теории геометрического квантования и к вещественным поляризациям, к металинейным и к метаплектическим структурам, связанных с соответствующими расслоениями реперов М. Готе [Got86], А. Снятицким [Sni80, Sni83], М. Путой [Put84, Put93], Дж. Раунсли и П. Робинсоном [RR89]. Н. Хитчин и др. применили метод редукции к ги-перкэлеровым структурам [Hit87] (см. также Н. Хитчин [Hit91], Р. Беляв-ски [Bie97, Віе99], С. Дональдсон [Don88], О. Бикар [Biq96]) как в конечномерном так и в бесконечномерном случае. Эффективное применение отображения момента к действиям алгебраических групп на неприводимых алгебраических многообразиях было найдено Ф. Кирван [Кіг84], а потом использовано и другими в этой же области: М. Брионом [Bri87b] для задач сферических (торических) вложений алгебраических многообразий, Ф. Кноппом [Кпо90] для введения понятия группы Вейля действия алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X и эквивариантной теории компактификации X. Идеи этих алгебраических применений мы используем эффективно в четвертой главе диссертации. Таким образом мы можем с уверенностью сказать, что метод редукции является одним из наиболее широко используемых методов построения геометрических и алгебраических структур, исходя из таких же структур на более простых многообразиях X. Факт усложнения описания этих структур на редуцированном многообразии J-1 (//)/3 , (і Є s , Sfj, С S неоспорим. Поэтому естественно описывать такие структуры не на редуцированном многообразии, а на многообразии J-1(/л) с X, где их описание намного проще как из-за простоты геометрии пространства J_1(AO так и из-за простоты описания структуры на J_1(/i). Таким образом получается метод исследования, обратный методу редукции:
исходя из изучаемых структур на многообразии J 1( )/5/U как исходном многообразии, найти соответствующую группу симметрии S и многообразие X и изучать соответствующие S -инвариантные структуры на многообразии J-1(/i).
Полезность метода ( ) состоит еще и в том, что на многообразии J-1(M) зачастую существуют глобальные структуры, которые не проектируются на J-1(/i)/5M так как не являются 5М-инвариантными, но могут быть использованы для исследования других, проектируемых структур. Этот метод мы повсюдно применяем в диссертационной работе. Он был хорошо известен и ранее. М.А. Ольшанецкий и A.M. Переломов [ОП76] с помощью этого метода в гамильтоновой механике исследовали динамику движения гамильтоновых систем, Д. Каждан, Б. Костант, С. Стернберг [KKS78] исследовали динамику движения частиц: на прямой - под действием обратного квадратного потенциала, на окружности - под действием потенциала sin-2.
В работе исследуются геометрические структуры, возникающие в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Наибольшее внимание уделяется исследованию и построению комплексных поляризаций, инвариантных относительно потока гамильтоновой динамической системы на фазовом пространстве (X, Q). С вычислительной точки зрения (для геометрического квантования) наиболее предпочтительным является случай, когда такая комплексная поляризация F оказывается поло 8 жительно-определенной, т.е. определяет кэлерову структуру на (Х,0.) с кэлеровой формой Q. Тогда, в частности, F П F = 0, т.е. F - комплексная структура на X. Очевидно, что если динамическая система допускает группу симметрии G, то естественно требовать такого же свойства инвариантности и от поляризации F. Существование таких кэлеро-вых поляризаций накладывает различные геометрические ограничения на характер движений динамической системы, так как соответствующий поток порождает однопараметрическую группу би-голоморфных преобразований, коммутирующую с G. Таковым является, например, нормализованный геодезический поток стандартной би-инвариантной метрики на компактных симметрических пространствах ранга один; все траектории этой динамической системы замкнуты и имеют постоянный период. Доказательство этих фактов имеет длинную историю, начавшуюся в 70-х годах. Остановимся на них более подробно.
Пусть М = G/K - симметрическое пространство с полупростой группой Ли G и компактной подгруппой К. Стандартная G -инвариантная риманова метрика gM на G/K определяет геодезический поток с гамильтонианом Н на касательном расслоении X = T(G/K), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплектической 2-формой Q, (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики).
Комплексные структуры, определенные на выколотом касательном расслоении T°(G/K) = T{G/K) — {нулевое сечение}, естественно возникают как результат геометрических конструкций метода геометрического квантования. Такую структуру Js для сферы Sn = SO{n-\-l)fSO{n) обнаружил Дж. Сурио в работе [Sou74]. Позже Дж. Раунсли [Raw77a] заметил, что функция длины \[Н является строго плюрисубгармонич-ной относительно упомянутой выше комплексной структуры Js и, таким образом, определяет кэлерову метрику на r0Sn с О как кэлеровой формой. Он также заметил, что Js инвариантна относительно гамильтоно-ва потока Х щ функции длины V H (нормализованного геодезического потока) и использовал кэлерову структуру (Js, Q) для геометрического квантования нормализованного геодезического потока [Raw77a, Raw79b].
Впоследствии К. Фурутани и Р. Танака [FT94] определили кэлеро-ву структуру (Js,ty с аналогичными свойствами на выколотых касательных расслоениях комплексного и кватернионного проективных пространств Рп, ШРп, а позже К. Фурутани и С. Йошизава [FY95] использовали ее для геометрического квантования на Г°(СРП). Только недавно в работе [Fur02] К. Фурутани применил метод геометрического квантования к этой положительно-определенной поляризации на выколотом касательном расслоении к проективному кватернионному пространству Т°(ШРп). В работе [IM99] К. Ии и Т. Морикава описали эту структуру на выколотых касательных расслоениях классических компактных симметрических пространств ранга один в терминах геометрических структур, ассоциированных с метрикой gM на М = G/K (связности Леви-Чевита, ассоциированной с метрикой). В работе [Szo99] Р. Шоке исследовал связь между Js и так называемой адаптированной комплексной структурой ЗА на соответствующем касательном расслоении T(G/K). Он показал, что для всех компактных симметрических пространств ранга один семейство комплексных структур, являющихся образами адаптированной комплексной структуры относительно подходящего семейства диффеоморфизмов, имеет границу и эта граничная комплексная структура совпадает с Js. В работе [Sz699], кроме всего прочего, Р. Шоке построил структуру (Js, О) на выколотом касательном расслоении проективной плоскости Кэли СаР2 = F i/Spin(9). Эту же структуру в других терминах описал К. Фурутани в работе [Fur04], которая вскоре должна выйти из печати; его подход основан на описании Фрейденталя проективной плоскости Кэли.
В диссертационной работе (глава 1) мы, используя методы теории алгебр Ли, описываем все G -инвариантные кэлеровы структуры (F, О) (с Q как кэлеровой формой) на выколотых касательных расслоениях T°(G/K) римановых симметрических пространств G/K, которые инвариантны относительно нормализованного геодезического потока Xjg. Мы показываем, что такие кэлеровы структуры (F, fi) существуют только на выколотых касательных расслоениях компактных симметрических пространств ранга один. Они параметризуются одним функциональным параметром - комплекснозначной функцией Л : Е+ —» С с положительной вещественной частью, причем найденная ранее структура Js соответствует параметру (функции) А() = t.
Но, как хорошо известно, T(G/K) = 3 (0)/К, где J : TG -»• Г -отображение момента, ассоциированное с правым действием группы К на симплектическом многообразии T G TG = Gxg. Тут g и t -алгебры Ли групп Ли G и К соответственно, Q = m ф Ъ. Примененный нами метод ( ) к многообразию уровня J-1(0) = G х m позволяет нам в главе 1 сделать большее:
(2) описать все G -инвариантные кэлеровы структуры (F,Q) на областях симплектических многообразий T(G/K), где G/K - риманово симметрическое пространство ранга один размерности 3 с полупростой группой Ли G (не обязательно компактной);
(3) показать, что этот класс {(F, Q,)} кэлеровых структур инвариантен относительно процедуры кэлеровой редукции Гийемина-Стерн-6epra[GS82];
(4) найти Ли-алгебраический метод описания G -инвариантных кэлеровых структур (F, Q) на касательных расслоениях симметрических пространств G/K - в терминах гомоморфизмов из алгебры Ли группы Ли G в конечномерную алгебру Ли комплексных векторных полей на J-1(0) =Gxm.
Этот Ли-алгебраический метод оказался эффективным и применительно к другой задаче: описания гиперкэлеровых структур специального вида на T (G/K), где G/K - эрмитово симметрическое пространство компактного типа полупростой группы Ли G, которое, в частности, является орбитой присоединенного представления G в алгебре Ли g. Касательное пространство T(G/K) T (G/K) G-эквивариантно диффео-морфно комплексному фактор-многообразию Gc/Kc, благодаря диффеоморфизму Мостова [Mos55b, Mos55a], причем это верно для произвольной компактной подгруппы Ли К С G. Поэтому решенная нами задача является частью более общей задачи - описания гиперкэлеро 11
вых структур на орбитах присоединенного представления комплексной полупростой группы Ли Gc, инвариантных относительно компактной формы G С Gc.
Напомним, что гиперкэлеровость многообразия X означает наличие на X трех попарно антикоммутирующих комплексных структур J\,Ji, J3 = J\Ji и римановой метрики g, которая является кэлеровой относительно этих трех комплексных структур одновременно. П. Кронхеймер в работе [КгоЭОа] доказал, что регулярные орбиты Ос = Gc/Kc присоединенного представления полупростой комплексной группы Ли Gc являются гиперкэлеровыми многообразиями, причем
1) эти структуры параметризуются "регулярной" тройкой элементов (ть тз) подалгебры Картана \] компактной алгебры Ли д в том смысле, что этой тройке векторов соответствуют три класса кого-мологий трех фундаментальных (кэлеровых) форм;
2) если комплексный вектор Т2+гтз регулярен в f)c, то орбита Ос (как вещественное многообразие), снабженная комплексной структурой Ji, изоморфна комплексной орбите Ос со стандартной комплексной структурой.
Основная идея доказательства П. Кронхеймера состоит в отождествлении точек орбит присоединенного представления с некоторыми ограниченными решениями уравнений Нама (Nahm s equations). А.Г. Ковалев [Kov96] обобщил этот результат П. Кронхеймера на все полупростые орбиты полупростых комплексных групп Ли. П. Кронхеймер в следующей своей работе [Kro90b] доказал гиперкэлеровость нильпотентных орбит присоединенного представления полупростых комплексных групп Ли. О. Бигар [Biq96] и А.Г. Ковалев в работе [Kov96], упомянутой нами выше, одновременно доказали существование гиперкэлеровых структур на всех орбитах, используя для доказательства подход, связанный с уравнениями Нама. Но как мы уже отмечали выше, полупростые орбиты Gc/Kc диффеоморфны касательному расслоению T{G/K), причем однородное компактное пространство G/K является эрмитовым однородным пространством, т.е. его касательное расслоение наследует некоторую комплексную структуру из G/K, а, значит, на комплексной орбите 0 уже существуют две существенно различные комплексные структуры: относительно первой, естественной, нулевое сечение G/K С T(G/K) является тотально вещественным подмногообразием в Ос T(G/K), относительно второй многообразие G/K комплексно. Причем кокасательное (касательное) расслоение T (G/K) является относительно второй структуры голоморфным симплектическим многообразием.
Ситуация, описанная выше, не оставалась незамеченной и рассматривалась разными математиками в более общем случае. Так Ф. Фейх [FeiOl] доказано, что в некоторой окрестности нулевого сечения М кокасатель-ного расслоения Т М вещественно-аналитического кэлерова многообразия М существует гиперкэлерова структура, согласованная с каноничной голоморфно-симплектической структурой на Т М. Этот же результат содержит и более ранняя работа (препринт) Д. Каледина [Ка197].
Но из этих работ нельзя получить явного описания ни тройки комплексных структур Ji, J2, J3, ни гиперкэлеровой метрики g. Такое описание для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром пока что известно только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами или же для орбит, которые можно приблизить такими "симметрическими" орбитами [BG98]. Нужно отметить, что все эти структуры глобальны, т.е. определены на всем (ко)касательном расслоении. Мы в главе 2 обобщаем эти результаты, рассматривая не только глобальные G-инвариантные гиперкэлеровы структуры. Чтобы перейти к описанию этих структур, конкретизируем задачу.
Пусть G/K - неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа с однородной метрикой gM • Так как G/K - однородное комплексное многообразие, то его кокасательное расслоение T (G/K) имеет естественную комплексную структуру. Используя метрику gM мы можем отождествить кокасательное и касательное расслоения и таким образом получим комплексную структуру на T(G/K), относительно которой нулевое сечение G/K С T(G/K) комплексно. Эта комплексная структура J , как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры J+ на T{G/K), индуцированной исходной комплексной структурой на G/K. С другой стороны, кокасательное расслоение T (G/K) T(G/K) является симплектическим многообразием с канонической симплектической формой Q,. В главе 2 явно описаны все (?-инвариантные кэлеровы структуры (J, П) (с кэлеровой формой Q) на G-инвариантных областях D С T(G/K) антикоммутирующие с комплексной структурой J . Фактически каждая полученная гиперкомплексная структура вместе с соответствующей метрикой g определяет гиперкэлерову структуру на D.
Если область D содержит нулевое сечение М = G/K, то ограничение гиперкэлеровой метрики g на М есть данная однородная метрика gM с точностью до постоянного множителя (можно сделать этот множитель равным 1, используя для отождествления T (G/K) и T{G/K) однородную метрику на G/K пропорциональную к gM). Такие глобальные гиперкэлеровы структуры были построены: в работе [Bur86], используя твистор-метод и шаг за шагом классификацию симметрических пространств; в работе [Biq96], используя уравнения Нама, и в [DS97] (для пространств классических групп), используя деформацию так называемой адаптированной комплексной структуры на T{G/K). В работе [BG96] О. Бигар и П. Гадюшон нашли явную формулу для этих гиперкэлеровых метрик в терминах некоторых оператор-функций Р : m — End(m) на пространстве m с± T0(G/K), о = {К}. Там же они доказали, что для метрики Киллинга gM на G/K существует единственная гиперкэлерова метрика g на всем T(G/K), совпадающая с gM на G/K с T(G/K) и такая, что J\ = J , а фундаментальная (кэлерова) форма кэлеровой структуры (J2,g) совпадает с канонической 2-формой fi. Эти гиперкэлеровы структуры являются глобальными. Наши дополнительные гиперкэлеровы структуры не определены на нулевом сечении М = G/K. Так что мы не можем говорить об ограничении соответствующих гиперкэлеровых метрик на нулевое сечение G/K как в работе [BG96]. Тем не менее, полученные нами в главе 2 выражения для Р и потенциальных функций, обобщают соответствующие формулы ра 14
бот [BG96, BG98].
Отметим также, что все цитированные выше авторы [DS97, BG96, BG98] для доказательств используют один и тот же стандартный геометрический прием: работают на многообразии T(G/K) с разложением векторного расслоения T(T(G/K)) в суму горизонтальной и вертикальной составляющих, индуцированным связностью Леви-Чивита на G/K. Мы же существенно упрощаем все вычисления, решая уравнения в частных производных, работая на тривиальном векторном расслоении G х т, которое является поверхностью уровня J_1(0) отображения момента J, и используя естественное однородное разложение векторного расслоения T(Gxm) Gxgxmxra, обычное для теории алгебр Ли. Как приложение, в главе 2 получено новое простое доказательство хорошо известной теоремы Хариш-Чандры-Мура об ограниченных системах корней эрмитовых симметрических пространств, а также описание этих корневых систем в терминах, адекватных поставленной задаче о ги-перкэлеровых структурах. Отметим, что теорема Хариш-Чандры-Мура достаточно груба, чтобы быть использованной для решения этой задачи в случае локальных гиперкэлеровых структур, в то время как для описания глобальных структур она являлась основным инструментом в доказательстве О. Бигара и П. Гадюшона [BG96].
В последние три десятилетия использование дифференциально-геометрических методов в математической физике постоянно возрастало. Возможно наиболее интенсивно развивались геометрические теории связанные с симплектической (или пуассоновой) формулировкой классической механики и с проблемами квантования. Так как основатели квантовой теории, к сожалению, не дали формального определения квантования, то параллельно возникло много геометрических, функционально-геометричеких и алгебраических теорий квантования. Среди них следует упомянуть геометрическое квантование (Дж. Сурио [Sou70], Б. Ко-стант [Kos70]), деформационное квантование (см. [Bat89, B-S78, Fed96]), асимптотическое квантование (М. Карасев, В. Маслов [КМ84]). Теория геометрического квантования стремительно развивалась до конца девяностых годов и наиболее значительные приложения она нашла в постро 15
ении геометрических реализаций неприводимых унитарных представлений групп, встречающихся в физике. Нужно отметить, что эта сторона теории тесно примыкает к методу орбит Кириллова [Кир74]. В главе 3 работы рассмотрен метод геометрического квантования Костанта-Сурио применительно к динамическим системам классической механики. Предгильбертово пространство % , конструируемое с помощью этого метода, состоит из F -горизонтальных сечений некоторого линейного расслоения; т.е. сечений, которые ковариантно постоянны вдоль векторных полей комплексной поляризации F. Причем, чтобы проквантовать заданную гамильтонову систему, необходимо, чтобы ее гамильтоново векторное поле сохраняло эту поляризацию. В противном случае квантовый оператор, действующий в пространстве всех сечений, не сохраняет подпространство И . Чтобы обойти это препятствие, было построено множество модификаций теории геометрического квантования. Среди них укажем только две модификации, наиболее употребляемые в статьях: Чижа-Гесса [Czy77, Hes81] (вообще не использующей понятие поляризации) и использующую метаплектические структуры (см. Гийемин-Стернберг [ГС81], Робинсон-Раунсли [RR89]). В главе 3 мы предлагаем метод, который позволяет находить инвариантные поляризации относительно гамильтонова потока Xf с функцией Гамильтона / на сим-плектическом многообразии (X, О,). Метод состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Xа = {х Є X : f(x) = а} гамильтониана / и ищем согласованные вложения (ра многообразий Xа в модельное симплектическое многообразие T M.N такие, что орбитам (траекториям) потока Xf\Xa соответствуют в ipa(Xa) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на Т ЖМ (здесь 2N dimX). Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие ipa(Xa) С T RN, структуру Коши-Римана, а, значит, и структуру Коши-Римана Qa,Qa( )Qa = О на Xа. Необходимо, чтобы полученное таким образом однопараметрическое семейство (Xа, Qa) вместе с гамильтоновым векторным полем Xf порождало поляризацию F на (X, Q). Ее инвариантность относительно потока Xf следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с од-нопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для некоторых гамильтоновых систем, для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Таковыми гамильтоновыми системами, как показано в главе 3 работы, являются многомерная проблема Кеплера и проблема MIC-Кеплера. Сразу заметим, что для последней системы конструкция применяется не на прямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме MIC-Кеплера. Тут также уместно отметить, что найденные поляризации и метод ( ) позволяют нам эффективно исследовать все производные структуры геометрического квантования этих систем (голоморфные линейные комплексные расслоения, расслоения полу-форм), что как показывает практика, случается очень редко при использовании других методов.
Эти две гамильтоновы системы рассматривались разными авторами. Гамильтонова система, описывающая трехмерную проблему Кеплера, была проквантована Д. Симмсом ([Sim72]), который применил теорию геометрического квантования Костанта-Сурио к комплексному многообразию S2 х S2 орбит этой динамической системы, принадлежащих поверхности уровня гамильтониана. Он вычислил кратности собственных значений квантового оператора с помощью теоремы Римана-Роха-Хирцебруха для комплексных поверхностей. В ([М1а85]) И. Младенов применил модифицированную схему геометрического квантования Чижа [Czy77j и Гесса [Hes81] к многомерной проблеме Кеплера. Проблеме квантования системы МІС-Кеплера посвящены работы И. Младено-ва [М1а87, М1а89а, М1а89Ь], в которых он применил модифицированную схему Чижа-Гесса к расширенному фазовому пространству этой системы. Бейтс ([Bat89]) проквантовал эту систему используя алгебраическое представление системы, Одзиевич и др. ([OS96]), используя отображение когерентных состояний ([Odz88], [Odz92]); т.е. отображение из классического фазового пространства в комплексное проективное гильбертово пространство (квантовое фазовое пространство). Ни в одной из этих ра 17
бот не была применена процедура геометрического квантования из-за отсутствия инвариантной поляризации.
Вторая проблема, возникающая в теории геометрического квантования, состоит в том, что может не существовать глобальных F-горизонтальных сечений линейного расслоения из-за препятствий топологического характера, связанных с поляризацией, а, значит, стандартная процедура геометрического квантования становится невозможной. Мы в главе 3 работы решаем эту проблему для широкого класса поляризаций: вводим структуру гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений таким образом, что произвольная вещественная функция с полным гамильтоновым векторным полем, касающимся некоторого распределения в X (в большинстве случаев оно совпадает с распределением Е, где Ес — F+F) порождает однопараметрическую группу унитарных операторов. Это обобщает конструкцию Гавендски [Gaw76] для гладких сечений.
Пусть X - симплектическое многообразие. Гамильтонову систему на X называют вполне интегрируемой, если она допускает максимальное число независимых интегралов в инволюции (dim Х/2 функций коммутирующих относительно скобки Пуассона на X). Обозначим через G вещественную связную редуктивную группу Ли, которая действует на X гамильтоновым образом, через К замкнутую связную редуктивную подгруппу в G. Пусть J : X — g , где g - алгебра Ли группы Ли G, соответствующее отображение момента. Функции вида h о J, h : g —+ R, называются коллективными. Эти функции являются интегралами для произвольного гамильтонова потока на X с G -инвариантным гамильтонианом Н. Возникает вопрос:
для каких симплектических многообразий X все G -инвариантные гамильтоновы системы на X вполне интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов, порожденных группой симметрии G.
Многообразие X обладает этим свойством тогда и только тогда, когда на X существует вполне интегрируемая система, состоящая из вещественно 18 аналитических функций типа ho J (так называемая коллективно вполне интегрируемая система [GS84a]). Все симметрические пространства полупростых групп Ли G/K допускают существование коллективно вполне интегрируемых систем на фазовом пространстве T (G/K) (см. [Tim81, Мищ82, Мик83, GS84a] и [IW84]). Более того, если группы Ли G и К компактны, то следующие условия эквивалентны [Мищ82, GS84a, Мик86]:
(1) на фазовом пространстве T (G/K) существует коллективно вполне интегрируемая система;
(2) коразмерность d(Gc, Кс) орбиты максимальной размерности подгруппы Бореля В С Gc в комплексном аффинном алгебраическом многообразии Gc/Kc равна 0;
(3) подгруппа группы Ли Gc сферична, т.е. квазирегулярное представление группы Ли G€ в пространстве C[GC/KC] регулярных функций на аффинном алгебраическом многообразии Gc/Kc имеет простой спектр;
(4) алгебра G -инвариантных функций на симплектическом многообразии T (G/K) коммутативна.
Некоторые обобщения свойств (1)-(4) на случай вещественных некомпактных групп Ли были получены М. Чумаком [Чум86]. Многие другие аспекты данной проблематики отражены в обзоре [ВинОІ]. Классификация сферических подгрупп полупростых комплексных (связных) групп Ли была получена в работах [Кга79, Мик8б, Bri87a]. Так как пуассонова структура на симплектическом многообразии X невырождена, то в случае существования коллективной вполне интегрируемой системы на X, произвольная гамильтонова система с G -инвариантным гамильтонианом Н локально имеет вид h о J; т.е. для интегрирования мы не используем эффективно сам гамильтониан Н. Этот факт был замечен в нашей работе [MS00] и использован для получения новых классов однородных пространств G/K, для которых каждая G-инвариантная гамильтонова система на T (G/K) интегрируема в классе вещественно-аналитических интегралов. Перейдем к более точным формулировкам. Пусть Nmax(X) - максимальное число независимых вещественно-аналитических функций в инволюции на X вида h о J. Если Nmax(X) = (dimX/2) — 1 мы будем называть соответствующую систему функций почти-коллективно вполне интегрируемой системой, а, если, дополнительно, X = T (G/K), где G,K - редуктивны, мы будем называть пространство G/K почти сферическим пространством [MS00]. В главе 4 мы изучаем эти пространства как с точки зрения пуассоновой геометрии, так и с чисто алгебраической точки зрения, перечисляем их в случае, когда группа G простая. Мы доказываем, что компактное пространство G/K является почти сферическим тогда и только тогда, когда комплексное аффинное алгебраическое многообразие Gc/Kc имеет сложность один, т.е. 6(GC, Кс) = 1. Тут нужно отметить, что комплексные аффинные пространства Gc/Kc как сложности 1 так и произвольной сложности алебраическими методами изучал Д. Панюшев в работе [Рап90], в следующей своей работе [Рап92] он получил список всех редуктивных пространств Gc/Kc сложности 1, когда группа Ли Gc простая. Мы в главе 4, используя иной подход, основанный на изучении алгебры G -инвариантных функций на T (G/K) как пуассоновой алгебры, получаем этот же список несколько другим методом. Недавно в работе [АЧОЗ] И. Аржанцев и О. Чувашова перечислили все аффинные пространства G c/K c сложности 1 с полупростой группой Ли Gc . Принципиальная возможность такой классификации была отмечена раньше Э.Б. Винбергом в работе [ВинОІ].
Как мы отметили выше, для редуктивного пространства G/K можно определить неотрицательное целое число e(G, К) положив e(G, К) = dim{G/K)-Nmax{T {G/K)). В главе 4 мы доказываем, что S{GC, Кс) = s(G, К), т.е., что так определенное число e(G, К) равно сложности пространства G€/Kc.
Таким образом редуктивные пространства Gc/Kc сложности 0 или 1 - это примеры пространств, для которых все G-инвариантные га-мильтоновы потоки на кокасательном расслоении T (G/K) T(G/K) интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов. Но на каждом однородном пространстве G/K с редуктивными G и К есть потоки, вещественно-аналитическая интегрируемость которых вызывает постоянный интерес. Это гамильтоновы потоки на T (G/K), определенные G -инвариантными (псевдо)римановыми метриками на G/K. Такие вполне интегрируемые потоки существуют на следующих однородных пространствах
• компактных группах Ли (А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко [МФ78]);
• сферических пространствах [Мик86], включающих симметрические пространства (А. Тимм [Tim81], А.С. Мищенко [Мищ82, Мищ83], А.В. Браилов [Бра83а, Бра86Ь]);
• пространствах сложности 1 [MykOlb], включающих многообразия Штифеля SO{n)/SO{n-2) (А. Тимм [Tim81]), SU(3)/{U(l)xU{l)) (Г. Патернайн, Р. Спатцер [PS94]);
• многообразиях Штифеля SO(n)/SO(k), С/Т,где Т-максимальный тор компактной группы Ли G (А. Болсинов, Б. Иованович [БЙ01]);
• орбитах присоединенного представления классических полупростых групп Ли, а также SO{n)/{SO{kl)xSO{k2)), U{n)/{U{l)k xU{k2)x U{h)), U{n)/SO{k), SO{nl)y.SO{n2)/diag{SO{k)xSO(k)), U{m)x U(n2)/diag(U{k) x U{k)) (А. Болсинов, Б. Йованович [BJ04]).
В работе [БЙ01] А. Болсинов и Б. Йованович для произвольных однородных пространств компактной группы Ли G доказали так называемую некоммутативную интегрируемость [МФ78а] геодезического потока би-инвариантной метрики на G/K в классе вещественно-аналитических интегралов. В следующей работе [BJ03] они для этих же однородных пространств и для этих же потоков доказали их вполне интегрируемость, но уже в классе гладких интегралов. Тут нужно отметить, что в общем случае из гладкой интегрируемости геодезического потока не следует его вещественно-аналитическая интегрируемость из-за препятствий топологического характера (см., например, [Тай94]). В главе 4 мы устанавливаем вещественно-аналитическую интегрируемость для широкого класса однородных пространств, содержащего пространства не представленные в приведенном списке. Перейдем к более точным формулировкам. Пусть G/K - полупростая орбита присоединенного представления полупростой вещественной связной группы Ли G, т.е. G/K = Ad(G!) • а, где a - полупростой элемент алгебры Ли Q группы Ли G. Обозначим через К\ произвольную замкнутую подгруппу в К, содержащую коммутант К компоненты единицы группы Ли К. В главе 4 мы доказываем, что геодезический поток на симплектическом многообразии T (G/Ki), соответствующий G-инвариантной (псевдо)римановой метрике на G/K\, индуцированной би-инвариантной (псевдо)римановой метрикой на группе Ли G, является вполне интегрируемым в классе вещественно-аналитических интегралов. Если группа Ли G компактна, то эта метрика риманова. Более того, в главе 4 мы, кроме упомянутых би-инвариантных метрик на G/K, рассматриваем G -инвариантные метрики, построенные с помощью секционных операторов ifa,b,D Мищенка-Фоменка [МФ78], и доказываем вполне интегрируемость соответствующего геодезического потока с помощью того же набора интегралов. Некоторые из этих метрик являются римановыми даже тогда, когда группа Ли G некомпактна; соответствующий пример завершает главу 4. Здесь уместно сказать несколько слов об тех дополнительных e(G, К\) интегралах к интегралам вида h о J, которые мы находим. Это G-инвариантные функции на T{G/K\), однозначно определяемые Ad(i i) -инвариантными функциями fx{x) = f(x + Ха) на mi = T0{G/K\), где / - Ad(G) -инвариантный полином на алгебре Ли g. Эти же функции использовались в качестве дополнительных интегралов в работе [BJ04].
Структура и содержание диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Номера всех утверждений (теорем, лемм,..) и формул состоят из двух чисел, первое из которых - это номер параграфа текущей главы. Исключение составляют следствия: так как большинство из них не являются самостоятельными утверждениями, то их номер состоит из номера утверждения, к которому они относятся, и номера самого следствия. При ссылке на утвеждения из другой главы мы впереди их номера ставим еще и номер главы.
В главе 1 рассмотрены инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств. Глава 1 состоит из семи параграфов.
G -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств
Основная идея доказательства П. Кронхеймера состоит в отождествлении точек орбит присоединенного представления с некоторыми ограниченными решениями уравнений Нама (Nahm s equations). А.Г. Ковалев [Kov96] обобщил этот результат П. Кронхеймера на все полупростые орбиты полупростых комплексных групп Ли. П. Кронхеймер в следующей своей работе [Kro90b] доказал гиперкэлеровость нильпотентных орбит присоединенного представления полупростых комплексных групп Ли. О. Бигар [Biq96] и А.Г. Ковалев в работе [Kov96], упомянутой нами выше, одновременно доказали существование гиперкэлеровых структур на всех орбитах, используя для доказательства подход, связанный с уравнениями Нама. Но как мы уже отмечали выше, полупростые орбиты Gc/Kc диффеоморфны касательному расслоению T{G/K), причем однородное компактное пространство G/K является эрмитовым однородным пространством, т.е. его касательное расслоение наследует некоторую комплексную структуру из G/K, а, значит, на комплексной орбите 0 уже существуют две существенно различные комплексные структуры: относительно первой, естественной, нулевое сечение G/K С T(G/K) является тотально вещественным подмногообразием в Ос T(G/K), относительно второй многообразие G/K комплексно. Причем кокасательное (касательное) расслоение T (G/K) является относительно второй структуры голоморфным симплектическим многообразием. Ситуация, описанная выше, не оставалась незамеченной и рассматривалась разными математиками в более общем случае. Так Ф. Фейх [FeiOl] доказано, что в некоторой окрестности нулевого сечения М кокасатель-ного расслоения Т М вещественно-аналитического кэлерова многообразия М существует гиперкэлерова структура, согласованная с каноничной голоморфно-симплектической структурой на Т М. Этот же результат содержит и более ранняя работа (препринт) Д. Каледина [Ка197]. Но из этих работ нельзя получить явного описания ни тройки комплексных структур Ji, J2, J3, ни гиперкэлеровой метрики g. Такое описание для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром пока что известно только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами или же для орбит, которые можно приблизить такими "симметрическими" орбитами [BG98]. Нужно отметить, что все эти структуры глобальны, т.е. определены на всем (ко)касательном расслоении. Мы в главе 2 обобщаем эти результаты, рассматривая не только глобальные
G-инвариантные гиперкэлеровы структуры. Чтобы перейти к описанию этих структур, конкретизируем задачу. Пусть G/K - неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа с однородной метрикой gM Так как G/K - однородное комплексное многообразие, то его кокасательное расслоение T (G/K) имеет естественную комплексную структуру. Используя метрику gM мы можем отождествить кокасательное и касательное расслоения и таким образом получим комплексную структуру на T(G/K), относительно которой нулевое сечение G/K С T(G/K) комплексно. Эта комплексная структура J , как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры J+ на T{G/K), индуцированной исходной комплексной структурой на G/K. С другой стороны, кокасательное расслоение T (G/K) T(G/K) является симплектическим многообразием с канонической симплектической формой Q,. В главе 2 явно описаны все (?-инвариантные кэлеровы структуры (J, П) (с кэлеровой формой Q) на G-инвариантных областях D С T(G/K) антикоммутирующие с комплексной структурой J . Фактически каждая полученная гиперкомплексная структура вместе с соответствующей метрикой g определяет гиперкэлерову структуру на D. Если область D содержит нулевое сечение М = G/K, то ограничение гиперкэлеровой метрики g на М есть данная однородная метрика gM с точностью до постоянного множителя (можно сделать этот множитель равным 1, используя для отождествления T (G/K) и T{G/K) однородную метрику на G/K пропорциональную к gM). Такие глобальные гиперкэлеровы структуры были построены: в работе [Bur86], используя твистор-метод и шаг за шагом классификацию симметрических пространств; в работе [Biq96], используя уравнения Нама, и в [DS97] (для пространств классических групп), используя деформацию так называемой адаптированной комплексной структуры на T{G/K). В работе [BG96] О. Бигар и П. Гадюшон нашли явную формулу для этих гиперкэлеровых метрик в терминах некоторых оператор-функций Р : m — End(m) на пространстве m с± T0(G/K), о = {К}. Там же они доказали, что для метрики Киллинга gM на G/K существует единственная гиперкэлерова метрика g на всем T(G/K), совпадающая с gM на G/K с T(G/K) и такая, что J\ = J , а фундаментальная (кэлерова) форма кэлеровой структуры (J2,g) совпадает с канонической 2-формой fi. Эти гиперкэлеровы структуры являются глобальными. Наши дополнительные гиперкэлеровы структуры не определены на нулевом сечении М = G/K. Так что мы не можем говорить об ограничении соответствующих гиперкэлеровых метрик на нулевое сечение G/K как в работе [BG96]. Тем не менее, полученные нами в главе 2 выражения для Р и потенциальных функций, обобщают соответствующие формулы ра бот [BG96, BG98]. Отметим также, что все цитированные выше авторы [DS97, BG96, BG98] для доказательств используют один и тот же стандартный геометрический прием: работают на многообразии T(G/K) с разложением векторного расслоения T(T(G/K)) в суму горизонтальной и вертикальной составляющих, индуцированным связностью Леви-Чивита на G/K. Мы же существенно упрощаем все вычисления, решая уравнения в частных производных, работая на тривиальном векторном расслоении G х т, которое является поверхностью уровня J_1(0) отображения момента J, и используя естественное однородное разложение векторного расслоения T(Gxm) Gxgxmxra, обычное для теории алгебр Ли. Как приложение, в главе 2 получено новое простое доказательство хорошо известной теоремы Хариш-Чандры-Мура об ограниченных системах корней эрмитовых симметрических пространств, а также описание этих корневых систем в терминах, адекватных поставленной задаче о ги-перкэлеровых структурах.
Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств ранга один
Отметим, что теорема Хариш-Чандры-Мура достаточно груба, чтобы быть использованной для решения этой задачи в случае локальных гиперкэлеровых структур, в то время как для описания глобальных структур она являлась основным инструментом в доказательстве О. Бигара и П. Гадюшона [BG96]. В последние три десятилетия использование дифференциально-геометрических методов в математической физике постоянно возрастало. Возможно наиболее интенсивно развивались геометрические теории связанные с симплектической (или пуассоновой) формулировкой классической механики и с проблемами квантования. Так как основатели квантовой теории, к сожалению, не дали формального определения квантования, то параллельно возникло много геометрических, функционально-геометричеких и алгебраических теорий квантования. Среди них следует упомянуть геометрическое квантование (Дж. Сурио [Sou70], Б. Ко-стант [Kos70]), деформационное квантование (см. [Bat89, B-S78, Fed96]), асимптотическое квантование (М. Карасев, В. Маслов [КМ84]). Теория геометрического квантования стремительно развивалась до конца девяностых годов и наиболее значительные приложения она нашла в постро ении геометрических реализаций неприводимых унитарных представлений групп, встречающихся в физике. Нужно отметить, что эта сторона теории тесно примыкает к методу орбит Кириллова [Кир74]. В главе 3 работы рассмотрен метод геометрического квантования Костанта-Сурио применительно к динамическим системам классической механики. Предгильбертово пространство % , конструируемое с помощью этого метода, состоит из F -горизонтальных сечений некоторого линейного расслоения; т.е. сечений, которые ковариантно постоянны вдоль векторных полей комплексной поляризации F. Причем, чтобы проквантовать заданную гамильтонову систему, необходимо, чтобы ее гамильтоново векторное поле сохраняло эту поляризацию. В противном случае квантовый оператор, действующий в пространстве всех сечений, не сохраняет подпространство И . Чтобы обойти это препятствие, было построено множество модификаций теории геометрического квантования. Среди них укажем только две модификации, наиболее употребляемые в статьях: Чижа-Гесса [Czy77, Hes81] (вообще не использующей понятие поляризации) и использующую метаплектические структуры (см. Гийемин-Стернберг [ГС81], Робинсон-Раунсли [RR89]). В главе 3 мы предлагаем метод, который позволяет находить инвариантные поляризации относительно гамильтонова потока Xf с функцией Гамильтона / на сим-плектическом многообразии (X, О,). Метод состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Xа = {х Є X : f(x) = а} гамильтониана / и ищем согласованные вложения (ра многообразий Xа в модельное симплектическое многообразие T M.N такие, что орбитам (траекториям) потока Xf\Xa соответствуют в ipa(Xa) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на Т ЖМ (здесь 2N dimX). Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие ipa(Xa) С T RN, структуру Коши-Римана, а, значит, и структуру Коши-Римана Qa,Qa( )Qa = О на Xа. Необходимо, чтобы полученное таким образом однопараметрическое семейство (Xа, Qa) вместе с гамильтоновым векторным полем Xf порождало поляризацию F на (X, Q). Ее инвариантность относительно потока Xf следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с од-нопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для некоторых гамильтоновых систем, для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Таковыми гамильтоновыми системами, как показано в главе 3 работы, являются многомерная проблема Кеплера и проблема MIC-Кеплера. Сразу заметим, что для последней системы конструкция применяется не на прямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме MIC-Кеплера.
Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств
Тут также уместно отметить, что найденные поляризации и метод ( ) позволяют нам эффективно исследовать все производные структуры геометрического квантования этих систем (голоморфные линейные комплексные расслоения, расслоения полу-форм), что как показывает практика, случается очень редко при использовании других методов. Эти две гамильтоновы системы рассматривались разными авторами. Гамильтонова система, описывающая трехмерную проблему Кеплера, была проквантована Д. Симмсом ([Sim72]), который применил теорию геометрического квантования Костанта-Сурио к комплексному многообразию S2 х S2 орбит этой динамической системы, принадлежащих поверхности уровня гамильтониана. Он вычислил кратности собственных значений квантового оператора с помощью теоремы Римана-Роха-Хирцебруха для комплексных поверхностей. В ([М1а85]) И. Младенов применил модифицированную схему геометрического квантования Чижа [Czy77j и Гесса [Hes81] к многомерной проблеме Кеплера. Проблеме квантования системы МІС-Кеплера посвящены работы И. Младено-ва [М1а87, М1а89а, М1а89Ь], в которых он применил модифицированную схему Чижа-Гесса к расширенному фазовому пространству этой системы. Бейтс ([Bat89]) проквантовал эту систему используя алгебраическое представление системы, Одзиевич и др. ([OS96]), используя отображение когерентных состояний ([Odz88], [Odz92]); т.е. отображение из классического фазового пространства в комплексное проективное гильбертово пространство (квантовое фазовое пространство). Ни в одной из этих ра бот не была применена процедура геометрического квантования из-за отсутствия инвариантной поляризации. Вторая проблема, возникающая в теории геометрического квантования, состоит в том, что может не существовать глобальных F-горизонтальных сечений линейного расслоения из-за препятствий топологического характера, связанных с поляризацией, а, значит, стандартная процедура геометрического квантования становится невозможной. Мы в главе 3 работы решаем эту проблему для широкого класса поляризаций: вводим структуру гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений таким образом, что произвольная вещественная функция с полным гамильтоновым векторным полем, касающимся некоторого распределения в X (в большинстве случаев оно совпадает с распределением Е, где Ес — F+F) порождает однопараметрическую группу унитарных операторов. Это обобщает конструкцию Гавендски [Gaw76] для гладких сечений. Пусть X - симплектическое многообразие. Гамильтонову систему на X называют вполне интегрируемой, если она допускает максимальное число независимых интегралов в инволюции (dim Х/2 функций коммутирующих относительно скобки Пуассона на X). Обозначим через G вещественную связную редуктивную группу Ли, которая действует на X гамильтоновым образом, через К замкнутую связную редуктивную подгруппу в G. Пусть J : X — g , где g - алгебра Ли группы Ли G, соответствующее отображение момента. Функции вида h о J, h : g —+ R, называются коллективными. Эти функции являются интегралами для произвольного гамильтонова потока на X с G -инвариантным гамильтонианом Н. Возникает вопрос: для каких симплектических многообразий X все G -инвариантные гамильтоновы системы на X вполне интегрируемы в классе вещественно-аналитических интегралов, порожденных группой симметрии G. Многообразие X обладает этим свойством тогда и только тогда, когда на X существует вполне интегрируемая система, состоящая из вещественно
Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений
В работе [БЙ01] А. Болсинов и Б. Йованович для произвольных однородных пространств компактной группы Ли G доказали так называемую некоммутативную интегрируемость [МФ78а] геодезического потока би-инвариантной метрики на G/K в классе вещественно-аналитических интегралов. В следующей работе [BJ03] они для этих же однородных пространств и для этих же потоков доказали их вполне интегрируемость, но уже в классе гладких интегралов. Тут нужно отметить, что в общем случае из гладкой интегрируемости геодезического потока не следует его вещественно-аналитическая интегрируемость из-за препятствий топологического характера (см., например, [Тай94]). В главе 4 мы устанавливаем вещественно-аналитическую интегрируемость для широкого класса однородных пространств, содержащего пространства не представленные в приведенном списке. Перейдем к более точным формулировкам. Пусть G/K - полупростая орбита присоединенного представления полупростой вещественной связной группы Ли G, т.е. G/K = Ad(G!) а, где a - полупростой элемент алгебры Ли Q группы Ли G. Обозначим через К\ произвольную замкнутую подгруппу в К, содержащую коммутант К компоненты единицы группы Ли К. В главе 4 мы доказываем, что геодезический поток на симплектическом многообразии T (G/Ki), соответствующий G-инвариантной (псевдо)римановой метрике на G/K\, индуцированной би-инвариантной (псевдо)римановой метрикой на группе Ли G, является вполне интегрируемым в классе вещественно-аналитических интегралов. Если группа Ли G компактна, то эта метрика риманова. Более того, в главе 4 мы, кроме упомянутых би-инвариантных метрик на G/K, рассматриваем G -инвариантные метрики, построенные с помощью секционных операторов ifa,b,D Мищенка-Фоменка [МФ78], и доказываем вполне интегрируемость соответствующего геодезического потока с помощью того же набора интегралов. Некоторые из этих метрик являются римановыми даже тогда, когда группа Ли G некомпактна; соответствующий пример завершает главу 4. Здесь уместно сказать несколько слов об тех дополнительных e(G, К\) интегралах к интегралам вида h о J, которые мы находим. Это G-инвариантные функции на T{G/K\), однозначно определяемые Ad(i i) -инвариантными функциями fx{x) = f(x + Ха) на mi = T0{G/K\), где / - Ad(G) -инвариантный полином на алгебре Ли g. Эти же функции использовались в качестве дополнительных интегралов в работе [BJ04]. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Номера всех утверждений (теорем, лемм,..) и формул состоят из двух чисел, первое из которых - это номер параграфа текущей главы. Исключение составляют следствия: так как большинство из них не являются самостоятельными утверждениями, то их номер состоит из номера утверждения, к которому они относятся, и номера самого следствия. При ссылке на утвеждения из другой главы мы впереди их номера ставим еще и номер главы. В римановых симметрических пространств.
Пусть М = G/K - риманово симметрическое пространство с полупростой группой Ли G и (компактной) подгруппой К. Стандартная G -инвариантная метрика gM на G/K определяет геодезический поток с гамильтонианом Н на касательном расслоении T{G/K), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплектической 2-формой О, (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики). Обозначим через д и ! алгебры Ли групп Ли G и К. Тогда Q = Ъ ф m. Метрика gM определяется ограничением на m некоторой инвариантной невырожденной билинейной формы (,) на алгебре Ли 0. Мы отождествляем почти-комплексную структуру J с ее распределением F — F(J) (0,1) -векторов, а почти-кэлерову структуру обозначаем парой (J, О) или (F, Q), где О - ее фундаментальная 2-форма. В 1 и 2 показано, что существует взаимнооднозначное соответствие между G -инвариантными почти-кэлеровыми структурами (F, Q) на областях D С T{G/К) и К"-эквивариантными отображениями (AdkoPw о Adjt-i = -PAdfcH, w Є W, к Є К) для которых каждый эндоморфизм Pw,w Є W симметричен, а его вещественная часть положительно определена. При этом распределение F = F(P) инволютив-но тогда и только тогда, когда отображение Р определяет некоторый гомоморфизм из алгебры Ли д в алгебру комплексных векторных полей на G х W (предложение 1.2.3). В 2 найдено условие, при котором функция от Н является потенциальной функцией кэлеровой структуры (F, Q) (предложение 1.2.5). В 3 рассматриваются кэлеровы структуры, которые, дополнительно, инвариантны относительно гамильтонова векторного поля Х щ функции у/Н. Показано, что тогда отображение Р удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению, которое решается явным образом. Решение существует только тогда, когда ранг симметрического пространства и задает положительно-определенную поляризацию Fx на выколотом касательном расслоении T(G/K), которая параметризуется комплекс-нозначной функцией A : R+ - С с положительной вещественной частью (теорема 1.3.4). Определение 1.4.1. Мы будем говорить, что комплексная структура F на области D С T(G/K) метрически согласована, если для произвольной геодезической 7 в {М = G/K, gM) отображение у : С -» T(G/K), (x+iy) ь- уу(х) голоморфно на открытом множестве j 1 (D). Если область D содержит нулевое сечение G/K С T(G/K), то такая комплексная структура называется адаптированной [DS97]. Адаптированные комплексные структуры изучались многими авторами [GSt91, Szo98, Szo95, DS97]. Если такая структура существует, то она единственна. В параграфе 4 мы доказываем критерий адаптированости комплексной структуры F на области D С T(G/K) (лемма 1.4.2) и приводим пример комплексной структуры, которая является метрически согласованной, но не является адаптированной (предложение 1.4.3), т.е. исключение из определения адаптированной комплексной структуры одного условия регулярности в окрестности нулевого сечения приводит к потере единственности. Далее мы описываем адаптированные структуры на T(G/K) для компактных пространств G/K в терминах оператор-функции Р. Параграф 5 носит вспомогательный характер. В нем рассмотрено действие группы диффеоморфизмов на множестве кэлеровых структур (F, U) и получена формула для тензора кривизны проективной плоскости Кэли F4/Spin(9) в терминах 16-мерного спинорного представления группы 5pm(9). Параграф 6 содержит один из основных результатов этой главы. В нем описаны все G -инвариантные кэлеровы структуры на областях D С T(G/K) для римановых симметрических пространств G/K ранга один с полупростой группой Ли G (теорема 1.6.15) (как компактного так
