Топологические пространства монотонных функций Охезин Дмитрий Сергеевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Функционально m-отделимые и m-вырожденные пространства . 15

1.1 Сужение монотонных функций 15

1.2 Продолжение монотонных функций 18

1.3 Критерии в классе обобщённо локально дугообразно связных пространств 22

1.4 Критерии в классе метрических компактов 28

2 Линейные и топологические свойства СМ(Х) как подпространства С(Х). 37

2.1 Линейная структура СМ(Х) 37

2.2 Расположение СМ(Х) в СР{Х) и С(Х) 41

3 Метризуемость и о-компактность СМР(Х). 47

3.1 Метризуемость СМр(Х) 47

3.2 Пространства Гуревича, локальная компактность и а-счётная компактность СМР(Х) 53

Литература 58

• Продолжение монотонных функций
• Критерии в классе метрических компактов
• Расположение СМ(Х) в СР{Х) и С(Х)
• Пространства Гуревича, локальная компактность и а-счётная компактность СМР(Х)

Введение к работе

Для вещественнозначной функции вещественного аргумента условие монотонности (т.е. невозрастания или неубывания относительно порядка) эквивалентно тому, что прообраз всякого связного подмножества связен. Это позволяет определить монотонность в топологических терминах. Впервые класс монотонных отображений был введён Уайберном в [31] (см. также [32], [33]). Различные обобщения монотонности и свойства монотонных отображений изучались в работах Я. Харатоника, В. Харатоника ([16],[17],[18],[19]). В теории размерности Р. Бинг и Л.В. Келдыш по-лучили важные результаты о повышении размерности монотонными и открытыми монотонными отображениями ([30],[7],[8]). В теоретико-множественном анализе активно исследуются отображения Дарбу, т.е. отображения для которых образ связного множества связен ([20].[21],[23]). Много применений монотонные отображения нашли и в теории континуумов ([25]). В работе Дийкстра и ван Милла [22] рассматривался вопрос о продолжении монотонных отображений на компактификащш.

Основным объектом исследования в данной работе является пространство всех монотонных непрерывных функций СМ(Х) над связным тихоновским пространством X. Естественно рассматривать СМ(Х) как подпространство пространства С_Р(Х) непрерывных функций на X с топологией поточечной сходимости, обозначаемое как СМр(Х), и как подпространство пространства С(Х) непрерывных функций с топологией равномерной сходимости, обозначаемое как СМ(Х). Изучению топологических и алгебраических свойств С_Р(Х) и С(Х) посвящено большое число исследований как в России, так и за рубежом (см. монографию [3]).

В теоретических исследованиях пространств функций одной из важнейших задач является нахождение связей между топологическими свойствами пространства X и линейными и топологическими свойствами пространств функций над X. На топологическом семинаре профессора Н.В. Величко в ИММ УрО РАН были сформулированы следующие группы вопросов.

1. Насколько может быть "большим" или "малым" пространство СМ(Х)? В этой связи появилось определение функционально m-отделимого пространства, т.е. пространства, у которого СМ(Х) разделяет точки, и функционально т-вырожденного пространства, т.е. пространства у которого СМ(Х) состоит только из констант.

2. Какова линейная структура СМ(Х)? Что представляют из себя линейные подпространства СМ{Х)1

3. Как расположено СМ(Х) в пространствах С_Р(Х) и С(Х)? В каком случае оно замкнуто в С_Р(Х) и С(Х), в каком случае нигде не плотно?

4. Какова связь между топологическими свойствами пространства X и пространства СМ_Р(Х)?

Первый параграф первой главы посвящен техническим аспектам сужения монотонных функций на подпространства. Выделены классы пространств, обладающих тем свойством, что сужения монотонных функций являются монотонными (теорема 1.1.4). Приведены примеры функций на I², не обладающих указанным свойством (1.1.5, 1.1.6). Во втором параграфе приведены результаты о существовании монотонных продолжений функций с подпространств. Устанавливается общий результат для класса пространств, содержащего все дендриты (следствие 1.2.7). Вопрос о продол-, жении произвольной функции до монотонной на произведении пространств решается в теореме 1.2.9 и в примере 1.2.10.

В третьем параграфе устанавливаются необходимые и достаточные условия функциональной m-отделимости и функциональной m-вырожденности для локально дугообразно связных пространств.

Теорема 1 (теорема 1.3.3/ Пусть X - связное, локально дугообразно связное, функционально т-вырожденное пространство. Пусть т — d(X) - плотность пространства X. Тогда X можно представить в виде

X = (J С_а,

где С_а есть простая замкнутая кривая.

Теорема 2 (теорема 1.3.4/ Обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути, функционально т-отделимо.

Теорема 3 (теорема 1.3.Ъ). Пусть X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, oi&X < с. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. X - функционально т-отделимое пространство;

2. X удовлетворяет условию единственности пути.

Приведены примеры (1.3.6, 1.3.7, 1.3.8) показывающие существенность условий в этих теоремах.

Во четвёртом параграфе первой главы рассматриваются метрические компакты. Используя технику, развитую в работах К. Куратовского ([10]), получены следующие критерии, являющиеся первым основным результатом диссертации.

Теорема 4 (теорема 1Л.8). Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие условия эквивалентны:

3. X - функционально т-отделимое пространство.

4. Для любых точек а,Ь Є X существует несчетное дизъюнктное семейство разделителей между а и Ъ.

5. Для любых точек а,Ь Є X существует континуальное дизъюнктное семейство разделителей между а и Ь.

Теорема 5 (теорема 1.4.9/ Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие

условия эквивалентны:

6. X - функционально т-вырожденпое пространство.

7. Для любых точека,Ь Є X и любого дизъюнктного семейства Q разделителей между а и b имеем, что \Q\ < К₀.

Приведены примеры, показывающие, что теорема 1.4.9 неверна в классе сепара-бельных метрических пространств (пример 1.4.10) и в классе бикомпактов (пример 1.4.11). Приведён пример (1.4.12), показывающий существенность наличия невырожденного семейства разделителей для теоремы 1.4.8.

В первом параграфе второй главы изучаются линейные свойства СМ{Х). Устанавливается, что СМ(Х) является линейным пространством относительно обычных алгебраических операций в том и только в том случае, если X функционально т-вырождеко. Выделены классы пространств (обобщение дендритов и локальных денд-ритов), для которых все линейные подпространства СМ(Х) имеют простую структуру. Основной результат главы и второй основной результат диссертации:

Теорема 6 (следствие 2.1.5,). Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий:

8. X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути;

9. X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X < с;

10. X = (J_i=1 Х{, где Х{ есть либо дуга, либо точка.

И предположим, что L - невырожденное линейное подпространство СМ(Х). Тогда L представляется одной из следующих формул:

11. L = {/:/ = с, с Є R};

12. L = {к f(x) : к Є R} для некоторой функции f СМ(Х), f ф const;

13. L = {к /(я) + с : к Є R, с Є R} для некоторой функции f Є СМ(Х), f ф const.

Установлено, что СМ(1²) содержит линейное подпространство алгебраической размерности 3 (пример 2.1.6). Отметим, что предложение 3.2.3 главы 3 содержит достаточное условие монотонности суммы двух монотонных функций.

Во втором парграфе второй главы изучается расположение СМ(Х) как подпространства топологических пространств С(Х) и С_Р(Х). Показано, что СМ(Х) нигде не плотно в С(Х) для любого топологического пространства X (теорема 2.2.1). Также доказано, что СМ(Х) замкнуто в С(Х) для любого нормального счётно-компактного пространства X (теорема 2.2.6). Приведён пример псевдокомпактного пространства для которого СМ(Х) не замкнуто в С(Х) (пример 2.2.7).

Выделены классы пространств (обобщение дендритов и локальных дендритов), для которых СМ(Х) замкнуто и нигде не плотно в С_р(Х).

Теорема 7 (теорема 2.2.4/ Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий:

14. X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути;

15. X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X < с;

(3) X = Ц³^! Хі, где Хі есть либо дуга, либо точка.
Тогда СМ_Р(Х) замкнуто и нигде не плотно в С_Р(Х).

В примере 2.2.5 показано, что СМ(1²) не замкнуто в С_р{1²).

В первом параграфе третьей главы исследуется вопрос о метризуемости СМ_р(Х). Классический общеизвестный результат (см. [3j теорема 1.1.1) С_р-теории гласит, что \Х\ = х{С_р(Х)) = ш(С_р(Х)). Из него следует эквивалентность следующих условий:

16. С_Р(Х) метризуемо;

17. Характер С_Р(Х) равен Но;

18. Вес С_Р(Х) равен N₀;

19. X счётно.

Для линейно упорядоченных пространств были получены следующие критерии метризуемости СМ_р(Х), являющиеся третьим основным результатом диссертации.

Теорема 8 (теорема 3.1.7J. Пусть {X, <) - линейно упорядоченное пространство. Следующие условия эквивалентны:

20. СМ_Р(Х) метризуемо;

21. Характер СМ_Р(Х) равен Щ;

22. X а-компактно;

Теорема 9 (теорема 3.1.9/ Пусть (X, <) - линейно упорядоченное пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

23. СМр(Х) метризуемое сепарабельное пространство;

24. X топологически вкладывается в R.

Следующий основной результат выделяет класс пространств, вообще говоря не являющихся линейно упорядоченными, для которых СМ_Р(Х) метризуемо.

Теорема 10 (теорема 3.1.5/ Пусть X = (J Х{, где Х{ - связные линейно упоря-
доченные компакты, и ordX < с. Тогда СМ_Р(Х) метризуемо.

Во втором параграфе третьей главы устанавливаются условия, при которых пространство СМр(Х) обладает свойствами локальной компактности, а-компактности, cr-счетной компактности и свойством Гуревича. Известные результаты С_р-теории, полученные в работах Н.В. Величко, В.В. Ткачука, Д.Б. Шахматова и А.В. Архангельского (см. [3], теоремы 1.2.1,1.2.4, П.2.10) устанавливают эквивалентность следующих условий:

25. С_Р(Х) локально компактно;

26. С_Р(Х) сг-компактно;

27. Ср(Х) ст-счетно компактно;

28. С_Р(Х) обладает свойством Гуревича;

29. X конечно.

Для СМр(Х) получен следующий результат, являющийся четвёртым основным результатом диссертации.

Теорема 11 (теорема 3.2.10/ Следующие условия эквивалентны :

30. СМр(Х) локально компактно;

31. СМр(Х) а-компактно;

32. СМ_Р(Х) а-счётно компактно;

33. СМр(Х) является пространством Гуревича;

34. пространство X функционально т-вырождено.

Заметим, что внутренние характеристики функционально m-вырожденных пространств изложены в параграфах 1.3 и 1.4.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Н.В. Величко и доктору физ.-мат. наук Е.Г. Пыткееву за постановку задач и плодотворное обсуждение результатов, своим родителям за понимание и поддержку, а также любимой Анне за нежность и заботу.

Неоценимую помощь оказали активные участники топологического семинара в ИММ УрО РАН Альперин М.И., Ануфриенко С.А., Казакова И., Нохрин С.Э., Осипов А.В., Патракеев М. и Филатова М.А. За это им отдельное спасибо.

ТЕРМИНОЛОГИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

На протяжении всей работы К обозначает числовую прямую с естественной топологией. N обозначает множество натуральных чисел с дискретной топологией, a Q -множество рациональных чисел. I обозначает отрезок [0; 1] числовой прямой, (а; Ь) -открытый интервал с концами а и Ь. Топологическое пространство называется связным, если оно не представляется в виде объединения двух дизъюнктых замкнутых невырожденных множеств. Отметим, что всякое связное невырожденное подмножество R есть промежуток, т.е. одно из следующих множеств:

(—оо;а), (—со;а], (6;+оо), [6;+оо),

(—оо;+оо), (а; 6), (а; Ь], [а; 6), [а; 6].

Под функцией будет пониматься непрерывное отображение в К. Топологическое пространство X называется тихоновским или вполне регулярным, если для любой точки х Є X и любого замкнутого множества F С X существует функция / такая, что f(x) = 0 и f(F) = {1}. Все топологические пространства, если не оговорено противное, предполагаются бесконечными связными тихоновскими и именуются просто пространствами. Все базовые топологические понятия и определения соответствуют монографиям [15], [3]. Замыкание множества Е мы будем обозначать через Е, границу через Fv(E), внутренность через Int(27), семейство всех окрестностей точки х через М(х). Гомеоморфность пространств X и Y обозначается так: X ~ Y. Символ 0 обозначает пустое множество.

Определение. Отображение / : X —> Y называется монотонным, если для всякой точки у Y полный прообраз f~^l{y) связен.

Определение. Функция / называется монотонной, если для всякой точки j/eK полный прообраз f~^l{y) связен.

Покажем, что это определение эквивалентно тому, что прообраз всякого связного подмножества связен.

Предложение 0.1 Для непрерывной функции f : X —> Ш, определённой на связном пространстве X, следующие условия эквивалентны:

35. Для всякого связного множества С С Ж полный прообраз /^_1(С) связен.

36. Для всякой точки у є R полный прообраз /^-1(у) связен.

Доказательство. Очевидно, достаточно доказать только импликацию (2) =Ф> (1). Если / = const, то теорема доказана. Так как f(X) связно и всякое связное подмножество прямой есть промежуток, пересечение промежутков есть промежуток, то достаточно доказать, что прообраз любого промежутка из образа f(X) связен. Поскольку

любой промежуток С можно представить в виде С = U^Jojjbj], [а*;Ь*] С [а_і+1;Ь_і+х], то /^_1(С) = и^₁/^_1([а_і;Ь_і])₎ и если доказать, что прообраз любого отрезка связен, то используя тот факт, что объединение возрастающей последовательности связных множеств связно, получим, что f~¹(C) связно.

Пусть [а,Ь] С f(X), а<Ъ,А = /^_1(о), В = /^_1(Ь), D = /^([а,*»]). Предположим, что замкнутое множество D не связно, т.е. D = EuF,EnF = 0, где Е и F непусты и замкнуты в D, а значит и в X. Отметим, что А С D, В С D.

Если АС\Е ф 0 тл ВГ\Е ф 0, ToAnF=0nBnF = 0, поскольку А к В связны. Тогда X = (/^-1 ((—оо, a]) U Е U /^-1(№> +оо))) U F, т.е. представляется в виде объединения двух замкнутых непустых дизъюнктных множеств - противоречие со связностью X.

Если AnE^0nBnF^0, ToAnF = 0nBr\E = 0, поскольку А и В связны. Тогда X = (/^_1((-оо,а]) U Е) \J (FU f~^l{[b, +оо))), т.е. представляется в виде объединения двух замкнутых непустых дизъюнктных множеств - противоречие со связностью X.

Аналогично разбираются случаи, когда АС\ F ф 0, В П F Ф 0 и когда А П F Ф
0, В П Е ф 0. Следовательно, предложение доказано. D

Предложение 0.2 Если существует монотонная функция / : X —> R, разделяющая точки х,у Є X: f(x) ф f(y), то существует монотонная функция g такая, что д{Х) = I, д(х) = 0, д(у) = 1.

A Ці)

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что f(x) < f(y). Рассмотрим следующую монотонную непрерывную функцию h : R -4 R:

^{

О, если t < f(x), 7. если t Є (/(х);/(у)) 1, если t > f(y). Положим g(z) = h(f(z)). Эта функция непрерывна

и монотонна как композиция непрерывных монотонных
функций, а также д(х) = 0, д(у) = 1, д(Х) =1.

Через С(Х) мы будем обозначать пространство всех непрерывных функций на X.

Фундаментальная система окрестностей функции / в топологии равномерной сходимости задаётся следующим образом:

0(f,e) = {дЄ С(Х) : \f(x) - д{х)\ < є для всех х Є X },

где є > 0. Будем обозначать соотвествующее пространство функций, наделённое топологией равномерной сходимости, как С(Х).

Фундаментальная система окрестностей функции / в топологии поточечной сходимости задаётся следующим образом:

0{f,e,x₁,x₂,...,x_n) = {geC{X) : \f(_Xi)-д(х_{)\< є, і = 1,2,...,п},

где є > 0, х\,Х2,...,х_п Є X. Будем обозначать соотвествующее пространство функций, наделённое топологией поточечной сходимости, как С_Р(Х).

Через СМ(Х) мы будем обозначать семейство всех непрерывных монотонных функций на X. Будем обозначать соотвествующие пространства функций, наделённые топологией равномерной и поточечной сходимости, как СМ(Х) и СМ_Р(Х) соответственно.

Функция / = 0 обозначается через в.

Если Y С X и Т{Х) есть семейство функций на X, то через T{Y\X) будем обозначать семейство сужений на Y функций из F(X).

Определение. Пространство X называется функционально т-отделимым или, короче, т-огпделимым, если семейство СМ(Х) разделяет точки, т.е. для любых двух точек х, у Є X, х ф у, найдётся монотонная функция / такая, что f(x) ф /(у).

Определение. Пространство X называется функционально т-вырожденным, если семейство СМ(Х) состоит только из констант, т.е. все монотонные функции являются постоянными на X.

Далее приведены определения известных понятий, используемые в работе.

Дугой ab в пространстве X называется гомеоморфный образ отрезка ф{1), где ф : I -» X, ф(0) = а, ф(1) = Ъ. В этом случае говорят, что дуга соединяет точки а и Ь.

Простой замкнутой кривой называется гомеоморфный образ окружности.

Пространство называется локально дугообразно связным в точке х, если для любой окрестности U точки х найдётся окрестность V такая, что все точки из V можно соединить с точкой х дугами, целиком лежащими в U.

Пространство называется локально дугообразно связным, если оно локально дугообразно связно в каждой своей точке.

Пространство называется дугообразно связным, если любые две точки можно соединить дугой. Отметим, что всякое связное локально дугообразно связное пространство является дугообразно связным.

Отметим основные факты, касающиеся линейно упорядоченных пространств. Пусть (X, <) - линейно упорядоченное множество. Множество X называется плотно упорядоченным, если для любых а, Ь, а < Ь найдётся с такое, что а < с < Ь. Множество называется полным, если любое ограниченное подмножество А С X имеет верхнюю грань sup А и нижнюю грань inf А. Линейный порядок порождает интервальную топологию (X, т<). Следующие предложения хорошо известны (см. [15]).

Предложение 0.3 Пространство (X, т<) связно тогда и только тогда, когда (X, <) - полное и плотно упорядоченное множество.

Предложение 0.4 Связное пространство (X, т<) компактно в том и только в том случае, когда в (X, <) существуют максимальный и минимальный элементы.

Предложение 0.5 Пусть X - связное линейно упорядоченное пространство. Функция f монотонна тогда и только тогда, когда она не убывает или не возрастает относительно порядка на X.

Теорема 0.6 Пусть X - связное линейно упорядоченное топологическое пространство. Тогда пространство X функционально т-отделимо.

Доказательство. Схема доказательства подобна доказательству классической леммы Урысона ([15], теорема 1.5.10). Рассмотрим две точки о Є X, b Є X и а < b. Построим по индукции систему интервалов {(а*; б)}_п>* и систему отрезков {F*}_n,t на [а; Ь] и зададим значение функции / на каждом из интервалов. В силу предложения 0.3 можно выбрать а\ и Ь\ так, что а < а{ < Ь\ < Ь. Пусть F/ = [a;a]j, F? = [&г,6]. Положим f(x) = | при х Є (а\;Ь\).

На п-ы шаге построим 2^n_1 интервалов (а^;Ь^),(о^;^),.. .,(a^~^l;b^~^l) и 2" отрезков F*, Fl,..., F%ⁿ так, что

[вЬфсЬйС**.!), Л = 1,2,...,2^, f?~^l = Fn-x П (-оо; «#, F? = F_n*_! П [b^k_n; +oo), k = 1,2,..., 2»"¹. Положим f(x) = ^ при x (a*;&*), k =1,2,...,2^n_1.

Таким образом, мы определили функцию / на множестве A = Ufani^O- 0^{Ra не}

п,к

убывает относительно порядка на А. Продолжим её на все пространство :

/(*) =

0, если х < inf А,
sup /(у), если х Є (а; b) \ А,

уЄА,у<х

1. если х > sup Л.

Полученная функция непрерывна и не убывает на X. Следовательно, она монотонна. Кроме того, /(о) = 0, f(b) = 1, а значит, X - m-отделимое пространство.

Если (X, <) - линейно упорядоченное пространство, то через СМ¹(Х) будем обозначать семейство всех монотонных неубывающих функций на X.

Обобщенной дугой ab в пространстве X называется гомеоморфный образ линейно упорядоченного компакта (К, <), т.е. ф{К), где ф : К —> X, ф(А) = о, ф(В) = 6, А, В - наименьший и наибольший элементы К соответственно. В этом случае говорят, что дуга ab соединяет точки а и Ь.

Пространство называется обобщённо дугообразно связным, если любые две точки
можно соединить обобщённой дугой. "*

Пространство называется обобщённо локально дугообразно связным в точке х, если для любой окрестности U точки х найдётся окрестность V такая, что все точки из V можно соединить с точкой х обобщёнными дугами, целиком лежащими в U.

Пространство называется обобщённо локально дугообразно связным, если оно обобщённо локально дугообразно связно в каждой своей точке.

Континуумом называется связное компактное метрическое пространство. Дендритом называется локально связный континуум не содержащий простых замкнутых кривых. Локальным дендритом называется пространство, для каждой точки которого существует замкнутая окрестность, являющаяся дендритом.

Пространство называется счётно компактным, если из любого его открытого счетного покрытия можно выделить конечное подпокрытие. Пространство называется а-компактным, если оно представляется в виде объединения счетного числа бикомпактов. Пространство называется сг-счётно компактным, если оно представляется в виде объединения счетного числа счётно компактных пространств. Пространство X называется пространством Гуревича, если для каждой последовательности {7п} открытых покрытий пространства X найдутся конечные А_п С j_n, такие, что |J А_п по-

крывает X. Пространство называется псевдокомпактным, если любая непрерывная функция на этом пространстве ограничена.

Введём понятие порядка топологического пространства в точке (см. [10] 51,1). Пусть г - некоторый кардинал.

Будем говорить, что пространство X имеет порядок < т в точке р, если существует фундаментальная система окрестностей {U_a} С М{р) такая, что для всех а имеем

|Fr(f/_e)|

Обозначается это так: ord_pX < т.

Пространство X имеет порядок < т, если во всех точках р Є X имеем ordpX < т. Обозначается это так: ordX < т.

Пространство X называется дискогерентным, если для любой пары замкнутых множеств А и В, таких, что X = АиВ, Аф X ф В, пересечение АПВ несвязно.

Пространство X называется неразложимым, если оно связно и не допускает представления в виде объединения двух замкнутых связных множеств, отличных от X.

Канторовским дисконтинуумом называется подмножество I, состоящее из чисел, которые могут быть записаны в троичной системе счисления без использования цифры 1. (см. [9] 3, IX 3).

Пример 0.7 Предположим, что задано некоторое множество К СШ гомеоморф-ное канторовскому дисконтинууму. Опишем построение монотонной "ступенчатой" функции h.

Это построение по сути представляет из себя "лестницу Кантора" (см. [9], 16, И, следствие ба). Отметим, что К есть замкнутое, нигде не плотное подмножество R без изолированных точек. Пусть {[/„} - дизъюнктное семейство дополнительных

интервалов ко множеству К, т.е. R\K = \J U_n, причем U\ — (—оо;а), U₂ = (Ь; +оо).

n=l

Положим с\ = О, С2 = 1. Пусть определены числа с\, сг, ..., c_n_i. Из множества {І7і,/2, ...,Г/„_і} выберем самый ближний слева Uk и самый ближний справа Ui интервалы к интервалу U_n. Положим c_n = ^k^^SL. Далее, продолжая этот процесс, построим последовательность {c_n}%L_x, пробегающую множество всех двоично-рациональных чисел отрезка I.

Определим функцию hi на объединении (J U_n следующим образом: hi (х) = с„,

71=1

если х U_n. Продолжим функцию hi на множество К по непрерывности справа:

( hi(x), еслихбК\і^, h{x) = <

[ inf{cfc : x лежит слева от Uk}, если х є К. Нетрудно убедиться, что построенная функция непрерывна и монотонна. Точнее:

h~^lijp) = {x_p}, где p < {c}, a x_p Є К \ [j Ш-

n=l

Доказательство следующего предложения фактически повторяет доказательство из [15], теорема 6.1.18.

Предложение 0.8 Пусть X - нормальное счётно компактное пространство, » {С_п}^₌₁ - последовательность вложенных замкнутых связных подмножеств X,

Сп+1 Q Сп- Тогда их пересечение С = f] С_п связно.

71=1

Первый бесконечный ординал мы будем обозначать uq, первый несчётный ординал wi, мощность счётного множества К₀, наименьшую несчётную мощность N_b мощность континуума с = 2^No.

Перечислим основные кардинальнозначные инварианты, используемые в работе.

\Х\ - мощность пространства X.

ы(Х) - вес пространства X (наименьшая мощность базы пространства).

х{Х, хо) — характер пространства X в точке Хо (наименьшая мощность базы пространства в точке).

tJ>(X,xo) - псевдохарактер пространства X в точке х₀ (наименьшая мощность семейства открытых множеств, дающего в пересечении точку).

ind X - малая индуктивная размерность пространства X.

Ind X - большая индуктивная размерность пространства X.

dim X - размерность в смысле покрытий пространства X.

Продолжение монотонных функций

Отметим, что все сужения / на {t} х I и на I х {t} являются линейными функциями. Если 0 у 1 то тах{/(х, у) : х Є 1} равен либо /(0, у) = у 1, либо /(1,у) = 1 — у 1. Поэтому, /_1(1) = {(1,0), (0,1)} есть несвязное множество. 1.2 Продолжение монотонных функций. Пусть У с X - некоторое замкнутое подпространство, / - непрерывная функция на У. Можно ли продолжить её до непрерывной монотонной функции / на пространстве X? Определение. Подпространство Y С X будем называть монотонным ретрактом X, если существует монотонное отображение F пространства X на У, являющееся ретракцией, т. е. F(X) = У и F\y = idy. Предложение 1.2.1 Подпространство X х {у} является монотонным ретрактом X х У для любых связных пространств X, У и у Є У. Доказательство. Всем требуемым свойствам монотонной ретракции удовлетворяет отображение F : X х У — X х {у}, заданное формулой F(x, и) = (ж,у). Лемма 1.2.2 Пусть X - свлзкое, обобщённо локально дугообразно связное пространство, У - обобщённо дугообразно связное замкнутое подмножество X, К -компонента связности множества X\Y. Тогда: (1) К - открыто в X и КDY ф 0. (2) Если \К П У 1, то некоторые две точки из У соединяются двумя различными обобщёнными дугами. Доказательство. (1) Обозначим D = X \ У. Так как открыто в X, то компонента связности К открыта в X (см. [10],49, II, теорема 4) и является обобщённо локально дугообразно связным множеством. Поскольку X связно, то К П У ф 0. (2) Пусть z\, z2 Є KnY, z\ Ф Z2- Рассмотрим дугу zi C Y. Поскольку X обобщённо локально дугообразно связно, то можно выбрать такие окрестности U Vi Є N{zi), что все точки из V{ соединяются обобщёнными дугами с Zj, целиком лежащими в Ui (г = 1,2), и U\ П ІІ2 = 0- Выберем точку w\ Є Vi П К и обобщённую дугу z\WiC U\. Будем рассматривать дуги как линейно упорядоченные множества в соответствии с параметризацией. Пусть р есть самая правая точка на дуге Z\W\ из пересечения z wi П z\Z2- Рассмотрим соответствующий участок дуги pw\dz\W\. Отметим, что pwi П z[z2= {р}. Точно так же, выберем точку W2 V2 П К и дугу w2qC U2 так, что W2q П Z\Z2— {q}- Поскольку К связно и обобщённо локально дугообразно связно, то оно обобщённо дугообразно связно (см. [10],50, I, теорема 2), т.е. существует обобщённая дуга W1W2C К. Пусть s есть самая правая точка на дуге Wiw2 из пересечения Wiw2 Г) pwi, a t есть самая левая точка на дуге W\W2 из пересечения W1W2 П w2q. Рассмотрим соответствующие участки дуг psCpw\, stCw w2, tqCw2q, qpCziz2. Отметим все непустые пересечения этих участков:

Предложение 1.2.3 Если Y является связным замкнутым подмножеством связного локально связного пространства X, и для каждой компоненты связности К множества X \ Y найдётся единственная точка у к Є К C\Y, то Y является монотонным ретрактом X. Доказательство. Рассмотрим отображение Нетрудно убедиться, что это отображение является монотонной ретракцией X на У. Следствие 1.2.4 Если Y является обобщённо дугообразно связным замкнутым подмножеством связного обобщённо локально дугообразно связного пространства X, удовлетворяющего условию единственности пути, то Y является монотонным ретрактом X. Предложение 1.2.5 Если Y является монотонным ретрактом пространства X, то любая монотонная функция fnaY продолжается на все пространство X. Доказательство. Рассмотрим монотонную ретракцию F : X — Y и функцию /(я) = f(F(x)). Нетрудно убедиться, что / является непрерывным продолжением /. Убедимся в монотонности этой функции. Рассмотрим произвольно сейи обозначим А = /_1(с). В этом случае является связным множеством, как объединение направленного семейства связных множеств. D Следствие 1.2.6 Любая монотонная функция, определённая на подпространстве X х {у}, продолжается до монотонной функции на всём пространстве X х У для любых связных пространств X, Y и у Y. Следствие 1.2.7 Любая монотонная функция, определённая на обобщённо дугообразно связном замкнутом подмножестве Y обобщённо локально дугообразно связного пространства X, удовлетворяющего условию единственности пути, продолжается до монотонной функции на всём пространстве X. Следствие 1.2.8 Если Y =ab есть дуга и для каждой компоненты связности К множества X \ Y найдётся единственная тонка у к К f)Y, то существует монотонная функция на X, разделяющая точки а и Ь. Доказательство. Действительно, рассмотрим монотонную функцию / на У такую, что /(а) = 0, f(b) = 1, построенную в 0.6. По доказанному выше, она продолжается до монотонной функции на всём пространстве X. Теорема 1.2.9 Пусть f - произвольная ограниченная функция (необязательно монотонная) на пространстве X х {р}. Тогда она продолжается до монотонной функции на всём пространстве X х I для любого связного пространства X и любой точки р Є (0; 1). Доказательство. Отождествим пространство X и подпространство X х {р}. Не ограничивая общности, можно считать, что 0 f(x) 1 и что р = . Рассмотрим следующую функцию на пространстве X х I Ясно, что / - непрерывная функция. Убедимся в её монотонности. Отметим, что /-1(0) = X х {0}, а /_1(1) = X х {1}. Рассмотрим произвольное число с Є (0; 1). Пусть А = /_1(с). Покажем, что А - связное множество. В силу определения /, при у имеем f(x,y) с и при у + имеем f(x,y) с. Поэтому, А С X х [; + ]. Обозначим В = /_1(с); это есть замкнутое подмножество X. Пусть К есть компонента связности множества X \ В. Тогда либо для всех х Є К имеем f(x,p) с, либо для всех х Є К имеем f{x,p) с в силу того, что / обладает свойством Дарбу. Из определения / видно, что в первом случае DK = К х {} С .4, а во втором случае DK = Kx{j + %}cA.

Критерии в классе метрических компактов

Следующее определение взято из [10] 46, VIII. Определение. Разделителем между точками а и b пространства X будем называть связное замкнутое множество С такое, что Следующее предложение даёт необходимое условие существования монотонной функции в терминах разделителей для произвольного пространства X. Предложение 1.4.1 Пусть / - монотонная непрерывная функция на X, не являющаяся константой. Тогда существует дизъюнктное семейство Q разделителей между любыми точками а,Ь X такими, что f(a) ф f(b), причем мощность 101 = с Доказательство. Рассмотрим точки а,Ь Є X такие, что f(a) ф f(b) (без ограничения общности можно считать, что /(а) /(b)). В силу непрерывности и монотонности / семейство удовлетворяет требуемым условиям. Пусть Q - семейство непересекающихся разделителей между точками а и Ь. Поставим в соответствие каждому множеству С Є Q пару открытых множеств М(С) и N(C), удовлетворяющих условиям (1.1), и положим А(С) — М(С) U С. Отметим, что множество А(С) связно, а множества М(С) и N(C), вообще говоря, нет. Доказательства следующих теорем содержатся в монографии [10]. Теорема 1.4.2 ([10], 46, VIII, теорема 1). Пусть Q - семейство непересекающихся разделителей между точками а иЬ. Семейство всех множест,в А(С), где С Є Я, строго монотонно. Более того, если С Ф D, то либо A(D) С М(С), либо А(С) С M(D). Теорема 1.4.3 ([10], 46, VIII, теорема 2). Если X сепарабелъное метрическое пространство, то элементы Q можно снабдить такими индексами у, что 0 у 1 и что из условия и v следует М(Си) С А(Си) С M(CV). Теорема 1.4.4 ([10], 46, VIII, теорема 3). За исключением счетного множества элементов семейства Q, каждый элемент С Є Q удовлетворяет следующим условиям: (2) Int(A(C)) = М{С), следовательно, Рг(Л(С)) = С, (3) С = Fr(M(C)) = Fr(iV(C)), В семействе Q существует две последовательности {Dn} и {Еп}, такие, что Теорема 1.4.5 ([10], 46, VIII, теорема 5). Пусть в сепарабелъном метрическом пространстве X задано дизъюнктное семейство Q разделителей между точками а и Ь, снабжённое индексами в соответствии с теоремой 1.4-3. Тогда существует непрерывное отображение g пространства X на I, такое, что g(a) = 0, g(b) = 1 и для каждого индекса у либо 5_1([0;2/]) = А{СУ), либо д-\[0;у\) = nz yA(Cz), в соответствии с тем, существует ли индекс, непосредственно следующий за у, или нет. Из теорем 1.4.4, 1.4.5 и более общей теоремы о строго монотонных семействах множеств ([9], 24, IX (17)) получаем следующее следствие. Следствие 1.4.6 За исключением, быть может, счетного множества индексов у, имеем Теперь все готово для доказательства основной леммы этого параграфа. Лемма 1.4.7 Пусть X - метрический компакт, Q - несчетное дизъюнктное семейство разделителей между некоторыми точками а,Ь Є X. Тогда существует монотонная непрерывная функция f на X такая, что f(a) ф f(b). Доказательство. Используя теоремы 1.4.2 и 1.4.3 можно проиндексировать семейство Q числами из интервала (0;1).

Обозначим индексирующую функцию через t : Q - (0;1). Эта функция обладает следующим свойством: A(D) С М(С) 4= t(D) t(C), где D,CG. Докажем, что если A(D) С М(С), то А(С) \ M(D) — Y есть связное замкнутое множество. Поскольку Y представляется в виде разности замкнутого и открытого множества, то Y замкнуто. Предположим от противного, что Y не связно, т.е. Y = EUF, Ef\F — 0, Е и F непусты и замкнуты вУ,а значит, в X. Поскольку D связно, то D П Е = 0 или D П F = 0. Поскольку С связно, то С П Е = 0 или С П F = 0. Итак, возможны четыре логических случая. Рассмотрим следующие два. I. Df]E = 0viCr\E = 0. Тогда представляется в виде объединения непустых замкнутых дизъюнктных множеств -противоречие со связностью X. представляется в виде объединения непустых замкнутых дизъюнктных множеств -противоречие со связностью X. Остальные два случая рассматриваются аналогично с заменой Е на F. Следовательно, Y связно. Рассмотрим несчетное числовое множество Т — t{Q). Построим семейство разделителей Q D Q и индексирующую функцию , являющуюся продолжением функции t. Рассмотрим каждое t0 Є Т \Т такое, что в любой окрестности t0 есть точки из Т как слева, так и справа. Существуют последовательности {хп} С Т, {уп} С Г, хп xn+i tQ уп+1 уп и хп -» t0, Уп - t0, при п - сю. Положим Л „ = J4( _1 (УП)) \ М(і_1(з;п)). По доказанному выше - это связное замкнутое множество, а поскольку X - компакт, то Хп - также компакт. Пусть Со = ( ]Хп. Тогда CQ ф 0 п также является континуумом (как пересечение вложенных континуумов Xn+i С Хп, см. предложение 0.8). Это значит, что С0 является разделителем между точками а и Ь. Добавим Со в Q и положим (Со) = о Будем считать, что каждое С Є G входит в Q и t (C) = i(C). Обозначим Т = t (G ). По построению получаем, что Т содержит все точки, являющиеся предельными слева и справа для Т. Поскольку точек, являющихся предельными справа, но не являющихся предельными слева, и точек, являющихся предельными слева, но не являющихся предельными справа, не более чем счетное множество для любого числового множества, то Т" = Т \ Р, где Р К0. Применяя теорему 1.4.4, рассмотрим множество Т" С Т", соответствующую индексирующую функцию t" и множество G" С G , для элементов которого выполняются соотношения (2), (3) и (4), и, кроме того, \Т \Т"\ N0.

Следовательно, Т" является несчётным Gj-множеством. Применяя теорему 1.4.5 и следствие 1.4.6 для семейства Q" и индексирующей функции t", получаем, что существует непрерывная функция д : X — I такая, что соотношения А(СУ) = 7_1([0;у]) и Су = д г(у) имеет место для всех, за исключением самое большее No, у Є Г". Рассмотрим семейство G\ С G" и соответствующее множество Т\ С Т" для которых выполняются эти соотношения. В силу сказанного выше, 7\ - несчетное CJ-МНОЖЄСТВО. Следовательно, в силу теоремы Александрова-Хаусдорфа ([9], 37, I теорема 3), Ті содержит множество К, гомеоморфное канторовскому дисконтинууму. Рассмотрим "ступенчатую" функцию h, описанную в примере 0.7. Функция f(x) = h(g(x)) является непрерывной, как композиция непрерывных функций. Убедимся, что функция / является монотонной. Рассмотрим двоично-рациональное число с Є (0; 1). Тогда h l(c) = [и; v], где и, v Є К, [и; v] = Un, Un - один из дополнительных к К интервалов. В этом случае /_1(с) = д-х([щу}) = (Г1([0; ])\5-1([0;и]))ир-1(«) = (A(Cv)\A(Cu))uCu = A{CV)\M(CU) в силу условий (2), (3), (4) и (5). Выше было показано, что A(CV) \М(Си) есть связное замкнутое множество. Отметим, что /"НО) = д-Ч ЧО)) = д-1([0;и}) = А(Си), Г1(1) = g \h \l)) = сГЧМ) = (5-I([0;l])\5-1([0;f]))U5-1M = (X\A(CV))UCV = N(CV)UCV, где и и v есть минимальный и максимальный элементы К соответственно. Следовательно, /_1(0) и /_1(1) связны. Если с не является двоично-рациональным числом, то h x(с) = {у}, где у Є К, и множество /_1(с) = g l(h l(c)) — д 1{у) — Су связно. Мы показали, что прообраз любой точки с Є I непрерывной функции / связен. Следовательно, она монотонна. Нетрудно убедиться, что /(а) = 0, f(b) = 1. В качестве следствий этой леммы получаем следующие критерии. Теорема 1.4.8 Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) X - функционально т-отделимое пространство. (2) Для любых точек а,Ь Є X существует несчетное дизъюнктное семейство разделителей между а иЬ. (3) Для любых точек а,Ь Є X существует континуальное дизъюнктное семейство разделителей между а и Ь. Теорема 1.4.9 Пусть X - метрический компакт. Тогда следующие условия экви валентны:

Расположение СМ(Х) в СР{Х) и С(Х)

Доказательство. Множество всех констант является нигде не плотным множеством в С(Х). Предположим, что F - монотонная непрерывная функция, отличная от константы. F(X) - связное множество. Без ограничения общности можно считать, что [—1; 1] С F(X). Зафиксируем 0 є 1. В окрестности 0(F,e) найдём открытое множество, не содержащее монотонных функций. Рассмотрим вспомогательную непрерывную функцию h(t) : R —» R. Положим U = 0(f, ). Очевидно, что U С 0(F, є). Покажем, что всякая функция д Є U не является монотонной. Для этого убедимся в том, что #-1(0) - несвязное множество. Поскольку д є U, то 7_1(0) С /-1((—; )) Из определения / имеем Положим Л = F-Hhf;-!]), В = ([-f; f]), С = F Qf;!]). Это непу-стые замкнутые связные дизъюнктные множества в X. Из равенства 2.3 следует, что 5_1() С Л U В U С. Покажем, что с?_1(0) П Л / 0 и #-1(0) П С ф 0. Пусть а2 Є F i-f), а2 Є F_1(-f). Тогда f{ax) = -, /(a2) = f Следовательно, g(ai) 0 и p(o2) 0. Поскольку множество А связно, существует a3 Є А такое, что д(а3) — 0. Таким образом, а3 Є 7_1(0) П Л. Проведём аналогичное рассмотрение для множества С. Пусть сх є F l( -), Сі Є F-1(y). Тогда /(сі) = —, /(сг) = . Следовательно, д{с\) 0 и д(с2) 0. Поскольку множество С связно, существует с3 Є С такое, что д(с3) = 0. Таким образом с3 Є Следовательно, множество 7_1(0) несвязно. Следствие 2.2.2 СР(Х) \ СМР(Х) всюду плотно в СР(Х). Это следует из того, что семейство С(Х) \ СМ{Х) всюду плотно в С(Х), тем более, в СР(Х). Теорема 2.2.3 Пусть Г - допустимое семейство обобщённых дуг пространства X, семейство СМ(Х) монотонно на Г. Тогда СМР(Х) замкнуто и нигде не плотно в СР{Х). Доказательство. Пусть g - не монотонная непрерывная функция. В силу предложения 1.1.2, существует обобщённая дуга ху(Е Г такая, что сужение р не монотонно. Без ограничения общности можно считать, что существует z Єху такое, что g{z) g{x), g(z) g(y). Положим a = g(z), b = m&x{g(x),g{y)}. Пусть є = . Рассмотрим следующую окрестность функции g ъ Ср{Х):

Для любой функции / Є U имеем f(x) , /(у) и f(z) . Поэтому сужение / на дугу хуЄ Г не монотонно. Так как, по условию, СМР(Х) монотонно на Г, заключаем, что / СМР(Х). Таким образом, приходим к заключению, что UCCP(X)\CMP(X). Мы показали, что СР(Х)\СМР(Х) открыто в СР(Х), значит, СМР(Х) замкнуто в СР(Х). В силу следствия 2.2.2 СР(Х)\СМР(Х) всюду плотно в Ср(Х), следовательно, СМр(Х) нигде не плотно в СР(Х). Следствие 2.2.4 Предположим, что пространство X удовлетворяет одному из следующих условий: (1) X - обобщённо локально дугообразно связное пространство, удовлетворяющее условию единственности пути; (2) X - обобщённо дугообразно связное пространство, ord X с; (3) X = Ui i ХІ г е ХІ есть либо дуга, либо точка. Тогда СМР(Х) замкнуто и нигде не плотно в СР(Х). Доказательство. Результат легко следует из теорем 1.1.4 и 2.2.3. Пример 2.2.5 СМР(12) не замкнуто в Ср(12). Существует последовательность {/п} С СМр(12) такая, что {/„} поточечно сходится к непрерывной функции f, при этом f не монотонна. Все функции {/п} и функция / задаются кусочно линейно. Во избежании громоздких формул, опишем графики этих функций, как подмножества R3. Рассмотрим следующие точки в пространстве R3: График функции /n зададим, как объединение выпуклых многоугольников ABC, DEF, GHI, JKL, MNPQ, MOQR, AGIB, KLEF, BCOM, MIHN, DEQR, PQLJ, HJPN, CDRO. График функции / зададим, как объединение выпуклых многоугольников ABC, DEF, GHI, JKL, AGIB, KLEF, BCHI, DELJ, CDJH (рис. 2.1). Нетрудно проверить, что все функции /п монотонны, а функция / не монотонна, и предел последовательности {/„} равен /. Теорема 2.2.6 Пусть X - нормальное счётно компактное пространство. Тогда СМ(Х) замкнуто в С(Х). Доказательство. Предположим, что последовательность функций {/„} С СМ(Х) равномерно сходится к функции / Є С(Х). Покажем, что функция / монотонна. Пусть с Є К и /_1(с) Ф 0- Положим єп = -. Для всякого п найдётся N(n) такое, что для всех х Є X выполняется /(х) — /jv(n)(z) т-. Причем, можно считать, что N(n + 1) N(n). Докажем, что

Пространства Гуревича, локальная компактность и а-счётная компактность СМР(Х)

В этой главе устанавливаются критерии локальной компактности, а-счётной ком-, пактности и свойства Гуревича для СМР(Х). Определение. Отображение / : X — Y обладает свойством Дарбу, если для всякого связного подмножества С С X образ /(С) связен. Поскольку непрерывный образ связного множества является связным множеством, то всякое непрерывное отображение обладает свойством Дарбу. Вообще говоря, существуют и разрывные отображения, обладающие свойством Дарбу. Определение. Отображение / : X — Y называется периферийно непрерывным, если для любого х Є X и для любых окрестностей U и V точек х и f(x) соответственно, найдётся открытая окрестность W точки х такая, что W С U и f(FxW) С V. Очевидно, что любое непрерывное отображение является периферийно непрерывным. Теорема 3.2.1 Пусть f - монотонное отображение X — Е. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) / обладает свойством Дарбу; (2) / является периферийно непрерывным; (3) / является непрерывным. Доказательство. Достаточно доказать импликации (1)=»(3) и (2)= (3). Предположим, что отображение / разрывно в некоторой точке р Є X. Это означает, что существует є 0 такое, что для любого U Є Мір) существует х Є U, для которого \fix)-fip)\ e. Рассмотрим множества А — f 1([f{p) + ; +о)) и В = /-1((—со; /(р) — є]). В силу монотонности /, это связные множества. Заметим, что р Є A U В. Следовательно, р Є А или р Є В. Без ограничения общности можно считать, что р Є А. Рассмотрим множество С = {р} U А. Поскольку А связно, а р Є А, то С - связное множество. Для доказательства импликации (1)=»(3) отметим, что /(С) = /(р) U f{A) представляется в виде объединения непустых отделимых множеств, т.е. несвязно. Получаем противоречие со свойством Дарбу. Для доказательства импликации (2)= (3) выберем произвольно q Є А и окрест ность U Є М{р) такую, что q $. U. Из определения периферийной непрерывности следует, что существует W Є Af(p) такая, что W С U и f(FrW) С (/(р) — ;/(р) +є). Следовательно, FrW П С = 0. Но тогда С можно представить в виде объединения двух непустых открытых дизъюнктных множеств С = (W Г) С) U (С \ W). Отметим, что р W ПС, a g Є С \ VF. Получаем противоречие со связностью С. О Если (Е, ) - линейно упорядоченное пространство, то через СМ%(Е) будем обозначать семейство всех непрерывных неубывающих функций на Е. Это пространство, наделённое топологией равномерной сходимости, будем обозначать СМг(Е), а наделённое топологией поточечной сходимости - СМр(Е). Теорема 3.2.2 Пусть / Є СМ(Х), Е = f(X) С Ш, д Є С(Х). Если для любых х,у Є X из того, что f(x) f(y) следует, что д(х) д(у), то существует единственная функция h Є СМг(Е) такая, что g — h о /. Доказательство. Опишем построение функции h. Если х,у Є /-1(с) то д(х) д{у) и д(у) д(х), т.е. д(х) = д(у). Для каждого с Є Е определим h(c) = g(f-x(c)). Построение функции h корректно, и, очевидно, д = h о /. Покажем, что функция h монотонна. Пусть С\ с2. Тогда h(c\) = g(f 1(ci)), /г(с2) = (/"1(с2)). Выберем я Є /_1(сі) У Є /_1(с2). Поскольку/(ж) /(у),тод(х) д(у), азначит h(c{) h(c2). Покажем, что h обладает свойством Дарбу.

Пусть А С Е, А связно. h(A) = #(/-1 (А)). Поскольку / монотонна, то /_1(Л) связно, а поскольку д непрерывна, то (/_1( )) - связное множество. Следовательно, по теореме 3.2.1 h - непрерывная функция. Единственность h очевидна. D Предложение 3.2.3 Пусть / - монотонная функция, д - непрерывная функция. Если для всех х,у Є X из f(x) f{y) следует, что д(х) д{у), то при всех a, b О функция Доказательство. Из посылок предложения следует, что а f(x) + b д(х) композиция монотонных функций. Следствие 3.2.4 Пусть f 6 СМ(Х), д Є С(Х). Если для всех х, у Є X из того, что f(x) /(у) следует, что д(х) д(у), то д - монотонная функция. Теорема 3.2.5 Если СМР(Х) содержит функцию, отличную от константы, то СМр(Х) содержит подпространство Y, замкнутое в СР(Х) и гомеоморфное СМр(1). Доказательство. Пусть т Є СМР(Х), т не является константой. Тогда по предложению 0.2 существует функция / Є СМр(Х) такая, что }{Х) = I. Рассмотрим следующее множество: Покажем, что CP(X)\Y открыто. Пусть д Є Cp(X)\Y. Тогда найдутся точки х, у X, для которых f(x) /(у), а д(х) д(у). Пусть є = 2MzM_ Нетрудно убедиться, что вся окрестность 0(д,є,х,у) целиком содержится в СР(Х) \ Y. Итак, Y замкнуто в СР(Х). По следствию 3.2.4 Y С СМР(Х). Установим взаимно однозначное соответствие между Y и СМг(ї). По теореме 3.2.2 для каждой функции д Є У существует единственная функция h Є CM (І) такая, что д = ho f. Обозначим эту функцию через h = F(g). Убедимся, что F(Y) — CM (I). Действительно, для всякой функции h Є СМг(1) функция д = ho f лежит в У в силу того, что h - неубывающая функция. Покажем, что отображение F взаимно однозначно. Пусть ді,д2 Є У, х X, дг(х) ф дг{х), с = f(x). Обозначим hi = F(gi), h2 = F(g2). Тогда hi(f(x)) ф /i2(/(rr)), т.е. hx{c) Ф h2(c), а значит, hi ф h2. Рассмотрим произвольную функцию д Є У и её образ h = F(g). Зафиксируем с 0 и точку х Є X. Пусть с = f(x). Рассмотрим элементы U и V предбаз пространств У и СМ {1): Покажем, что F(U) = V. Пусть #і Є U, hi = F(gi). Тогда (a;) - gi(x)\ є, т.е. \h(f(x)) - hi(f(x))\ є, а значит \h(c) - hi(c)\ є. Таким образом, hi Є V, следовательно F(U) С V. Пусть hi Є V. Рассмотрим i = -F-1( i)- Имеем gi = hi о f. Тогда \h(c) - hi(c)\ є.

Имеем: Следовательно, g\ Є U, а значит, V С F(U). Итак, отображение F переводит элементы предбазы У в элементы предбазы СМ (1). Обратное отображение F-1 также переводит элементы предбазы СМ (І) в элемен ты предбазы У. Следовательно, отображение F взаимно непрерывно, тем самым, гомеоморфность У и СМр(ї) доказана. П Предложение 3.2.6 СЩ(1) « САҐ(І). Доказательство. Это прямое следствие теоремы 3.1.1. Предложение 3.2.7 Пространство СМ1{1) не является локально компактным. Доказательство. Зафиксируем є О и построим последовательность функций {/п} і С 0(9,є) ПСМ (1), где 0 = 0. Если, от противного, ?(#,) компактно, то из последовательности {/n}Li можно выделить сходящуюся подпоследовательность fnk — / . Поскольку /п(0) = 0, то / (0) = 0, а так как /„(гг) = є при х Є [; 1], то / (х) = при х 0. Следовательно, функция / разрывна. Полученное противоречие доказывает предложение. Предлолсение 3.2.8 Пространство СМг(Т) не является а-счётно компактным. Доказательство. Следующие рассуждения близки к рассуждениям, приведённым в [3], глава I, 2. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что СМг(1) (Т-счётно компактно. Рассмотрим пространство Z = {/ Є CM (I) : /(0) = 0}. Это замкнутое подмножество CM (I). Следовательно, оно ст-счётно компактно. Поскольку, для метризуемых пространств условия счетной компактности и компактности эквивалентны, пространство можно представить в виде Z = UkxLlZk, где все Zk компактны. Зафиксируем число є 0 и номер к. Покажем, что найдётся такое число п = п(к), что для всех / Є Zk существует точка X/ , для которой f(xf) е. Предположим противное, т.е. для всех п найдётся функция /„ Є Zk такая, что для всех х -имеем fn(x) є. Из последовательности {/п}, в силу компактности Zk, выделим сходящуюся подпоследовательность /щ — / . Получаем, что / Є Z, значит, / (0) = 0. Из свойств fn следует, что f (x) е для всех х 0. Получаем противоречие с непрерывностью / . Далее, для каждого к и ек — выберем число пк = п(к) в соответствии с доказанным выше. Рассмотрим непрерывную монотонно возрастающую функцию

Похожие диссертации на Топологические пространства монотонных функций

Е-произведения и проблемы классификации в топологической теории пространств функцииГулько, Сергей Порфирьевич

Метод редукции: инвариантные поляризации и би-пуассоновы структуры на пространствах инвариантных функций Микитюк Игорь Владимирович

Теория пересечений в пространствах мероморфных функций на комплексных кривыхЛандо Сергей Константинович

Вещественнозначные функции на тихоновских пространствах и описываемые ими топологические свойства и объекты Караваева Татьяна Васильевна

Минимальные лагранжевы подмногообразия в проективных комплексных пространствах в терминах функции Бейкера-АхиезераРыбников, Иван Павлович

Пространства непрерывных и бэровских функций в слабых топологияхПыткеев, Евгений Георгиевич