Содержание к диссертации
Введение
1 Общие сведения о классификации разветвленных накрытий и формулировка основных теорем 13
1.1 Классификация мероморфных функций 13
1.2 Определения и формулировка основных результатов 17
1.2.1 Определения 17
1.2.2 Стратификация пространства многочленов на рациональной кривой и классы изоморфизма многочленов 17
1.2.3 Пространства мероморфных функций на кривых произвольного рода и классы изоморфизма общих мероморфных функций 20
1.2.4 Стратификация пространства Гурвица функций, певетвящихся над бесконечностью 26
1.3 Другие интерпретации задачи классификации 30
1.3.1 Разложение перестановок в произведение перестановок из данных классов сопряженности 30
1.3.2 Графы па поверхностях и кактусы, ассоциированные е мероморфными функциями 33
1.4 Применения чисел Гурпица в физике 34
1,4.1 Инварианты Громова-Виттсна 34
1.4.2 Теория струи 35
2 Отображение Ляшко-Лоиенги и его связь с классификацией 39
2.1 Определение и алгебраическая природа отображения Ляшко-Лойевги 39
2.2 Связь между классификацией и степенью отображения ЛЛ 40
2.3 О вычислении степени отображения ЛЛ 43
2.4 Тр а пев ер сальные и относительные трансвереальные кратности 43
3 Пространства многочленов на рациональной кривой 46
3.1 Классификация многочленов общего положения 46
3.2 Примитивные страты 50
3.3 Вспомогательные отображения и вычисление кратностей 52
3.4 Трансверсальность пересечения примитивных етратов в пространстве критических точек 56
4 Пространства Гурвица 62
4.1 Переход к общему случаю. Примеры 62
4.1.1 Случай Арнольда: рациональные функции с двумя полюсами 62
4.1.2 Рациональные функции с тремя полюсами 66
4.1.3 Простые квал иод пород ные особенности серии D 67
4.2 Пространство модулей комплексных структур на кривых рода д с п отмеченными точками и компактификация Делиня-Мамфорда 68
4.3 Расслоения над пространствами модулей и их классы Черна 73
4.4 Вычисления 76
4.4.1 Случай рода 0 76
4.4.2 Случай рода 1 77
4.5 Пространство Гурвица как конус над пространством модулей кривых 80
4.5.1 Конусы и проективные конусы 81
4.5.2 Пространство обобщенных главных частей п точке 81
4.5.3 Конусы обобщенных главных частей 86
4.5.4 Расслоение Ходжа 86
4.5.5 Вложение пространства Гурвица в конус главных частей 87
4.6 Продолжение отображения Ляшко-Лойенги на пополненное пространство Гурвица 89
4.6.1 Вырождение полюсов и стабильные отображения 89
4.6.2 Продолжение отображения ЛЛ 91
4.7 Старшие классы Сегре 95
4.7.1 Классы Сегре расслоений и конусов 95
4.7.2 Классы Сегрс конусов главных частей 93
4.7.3 Кратность отображения ЛЛ и классы Ссгре 98
5 Применение глобальной теории особенностей в теории пересечения на пространствах Гурвица 103
5.1 Страты корал мер пост и 1 в пространстве рациональных функций 104
5.1.1 Когомологии пространства Гурвица рациональных функций 106
5.1.2 Вывод соотношений 110
5.2 Общее понятие степени и сведения ил глобальной теории особенностей 115
5.2.1 Степень 115
5.2.2 Особенности, относительные классы Черна и универсальные многочлены 110
5.3 Особенности расслоенных отображений с одномерными слоями 120
5.3.1 Локальные особенности 120
5.3.2 Характеристические классы особенностей 122
5.3.3 Остаточные многочлены для мультиособешшетей 125
5.3.4 Остаточные многочлены для мультимультиособенностей 130
5.4 Относительные классы Черна универсального отображения 132
5.4.1 Теорема Гротенднка-Римана-Роха 132
5.4.2 Относительные классы Черна универсального расслоения 136
5.4.3 Гомоморфизмы, прямого обрала 141
5.4.4 Соотношения на классы когомологии в Б 142
5.5 Применение универсальных многочленов к изучению стратификации пространств Гурвица 143
5.5.1 Универсальные выражения для стратов 143
5.5.2 Степени стратов рода 145
5.5.3 О неизолированных особенностях 147
Выводы
- Определения и формулировка основных результатов
- Связь между классификацией и степенью отображения ЛЛ
- Пространство модулей комплексных структур на кривых рода д с п отмеченными точками и компактификация Делиня-Мамфорда
- Кратность отображения ЛЛ и классы Ссгре
Введение к работе
0.1 Разветвленные накрытия сферы
Отправной точкой описываемых нами исследований послужила задача классификации разветвленных накрытий двумерной сферы. Пусть С, У — две связные ориентированные двумерные компактные поверхности. Непрерывное отображение / : С —* Y, сохраняющее ориентацию, называется разветвленным накрытием, если в образе имеется конечное подмножество точек {ti,..., tc}, такое, что над дополнением к этому множеству отображение / является накрытием; « в некоторой окрестности каждой из точек ti можно ввести комплексную координату и в некоторой окрестности каждого из ее прообразов можно ввести комплексную координату х таким образом, что отображение принимает координатный вид f(x) = х1: при некотором натуральном к.
Ниже мы будем говорить в первую очередь о развет в ленных накрытиях сферы и считать, что поверхность Y гомеоморфпа S2.
Если отображение f : С —* S является разветвленным накрытием, то в окрестности любой точки поверхности С можно ввести комплексную координату х таким образом, что в подходящей комплексной координате в окрестности образа этой точки отображение записывается в виде f(x) — хк. Число к для каждой точки из С определено однозначно. Мы будем называть его порядком, или кратностью, точки относительно отображения /. Порядок точки равен числу близких к ней прообразов точки, близкой к ее образу. Порядок равен 1 в том и только в том случае, если ограничкЕїие отображения / на некоторую окрестность точки является гомеоморфизмом. Точка, порядок которой больше 1, называется критической точкой отображения /. Образ критической точки мы будем называть критическим значением, или тачкой аеталеніїя, отображения /. Как число критических точек, так и число критических значений разветвленного накрытия конечно. Над дополнением к множеству точек ветвления отображение / является пе-разветвлонным накрытием.
Сумма порядков прообразов любой точки при разветвленном накрытии одинакова. Это общее значение называется степенью разветвленного накрытия. У некритического значения разветвленного накры-
Введшие тия степени ті имеется п геометрически различных прообразов; число геометрически различных прообразов точки ветвления меньше, чем ті. Набор порядков прообразов любой точки определяет разбиение числа п. Род накрывающей кривой, степень накрытия и порядки критических точек связаны между собой формулой Римана-Гурвнпа, которая является следствием формулы Эйлера для рода.
Два разветвленных накрытия f\ : С\ —* S2, f2 : С-г —* S2 называются изоморфными, если существует гомеоморфизм h : Сі —> С'2 поверхности С\ на поверхность G-i, такой, что /i = h^h, т.е. такой, что диаграмма Cl Ь—С2 ко м м у т атив на.
Из определения непосредственно вытекает, что поверхности определения Сі, С-2, двух изоморфных разветвленных накрытий обязательно гомсоморфны, а степени накрытий совпадают.
Точки ветвления разветвленного накрытия играют очень существенную роль в классификации накрытий: у изоморфных накрытий множества критических значений совпадают. Более того, у изоморфных накрытий совпадают разбиения их степени над соответственными точками образа. Разумеется, интерес представляет только конечное число разбиений степени над точками ветвления. Мы будем называть птот конечный набор разбиений типом ветвления. Следующая задача была поставлена Л. Гурийцем п [,Щ:
Сколько существует классов изоморфизма разветвленных накрытий с предписанными типами ветвления над предписанными точками ветвления?
Число классов изоморфизма разветвленных накрытий с данными типами ветвления называется числом Гурвица^ отвечающим зтим типам ветвления.
Приведенная формулировка задачи требует уточнения. На самом доле, нас будет интересовать не число классов изоморфизма накрытий, а число таких классов, взятых с весом, обратно пропорциональным порядку группы автоморфизмов накрытия. (Определение изоморфизма накрытий превращается в определение автоморфизма в случае, если функции f\, /2 совпадают. Например, у двукратного накрытия всегда есть автоморфизм порядка два: он меняет местами листы накрытия.)
0.1 Разветвленные пикрыпш
Однако, как правило, у накрытий нет нетривиальных автоморфизмов, так что модифицированная формулировка, по существу, совпадает с исходной.
За столетие, прошедшее с момента появления работ Гурвица, математики не раз обращались к поставленной им задаче, хотя до недавнего времени проявленное ими внимание нельзя было считать особенно присталі, ным. Однако последнее десятилетие привело к взрывному росту интереса к >азпетвленным накрытиям. У этого интереса было три независимых источника: двумерная квантовая хромодипамика и связанные с ней струнные теории, изучение подгрупп симметрической группы и исследование топологии дополнений к дискриминантам в различных функциональных пространствах. Интересно, что во всех трех случаях исследователи не знали о предшествующих работах Гурвица и переоткрывали его численные результаты.
Как будет показано в первой главе, задачу Гурвица можно переформулировать в терминах подгрупп симметрической группы и в терминах графов, вложенных в накрывающую поверхность. Соответственно, она допускает как теор етико-групповые, так и чисто комбинаторные подходы к своему решению. Именно теоретико-групповыми методами действовал Гурвиц. Диссертация посвящена третьему пути, корни которого лежат в теории особенностей и алгебраической геометрии. Этот путь основывается на наблюдении В. И. Арнольда, согласно которому подсчет классов изоморфизма разветвленных накрытий можно заменить подсчетом степени отображения Лягако-Лойепти. Это отображение сопоставляет мероморфной функции па комплексной кривой набор ее критических значений. Как правило, оно является накрытием, и понятие степени дли него корректно определено.
В настоящее время именно этот путь выглядит наиболее плодотворным. Он связан с изучением геометрии пространств модулей меро-морфпых функций, в первую очередь, с теорией пересечений на таких пространствах. Полученные на этом пути результаты лежат на стыке топологии, математической физики, алгебраической геометрии, теории римаповых поверхностей, комбинаторики и теории особенностей. Полученные результаты будут интересны специалистам в зтпх областях.
Введение
0.2 Исторический обзор
0.2.1 Задача Гурвица
Задача Гурвица о перечислении классов изоморфизма накрытий сферы с ладанными типами ветвления сформулировала им в [ЗУ]. Этой же за даче посвящена работа [40]. В [40] Гурвип приват формулу для числа ho^i к„ классов изоморфизмов накрытий сферы сферой е одной выро жденной точкой ветвления, с данными порядками ветвления к%,. ,кпнад вырожденной точкой. Формула Гурвица гласит Ao;fcl fc- - #Aut^,...,kn) И yy (A. + - + *») CD
Здесь #Aut(ft|,...,fc„) — число автоморфизмов набора ki,...,kn. Ста: тья Гурвица не содержит доказательства формулы в силу, как там указано, ег'о громоздкости. Предположительно Гурвиц доказывал свою формулу методами близкими к методам Гульдена и Джексона, см. ниже. Затем к этой же задаче обращался Г. Вейль [S3], однако в целом она была забыта до работ Медных [63, 64, С5]. Возрождение интереса к я а даче Гурвица связано с ладачей вычисления коэффициентов связи в симметрической группе (см., например [41]), с. работами но струнной теории и двумерной квантовой хромодинамикс ([36]), и с изучением дополнения к дискриминанту в пространствах нереальных деформаций простых особенностей ([58, 60, 3]). Численные результаты Гурвица были при этом переоткрыты (см. [10, 27, 2] и восстановление доказательства Гурвица в [77]). Подход, основанный на теории особенностей, оказался новым и чрезвычайно плодотворным, и и настоящей работе мы описываем развитие именно этого подхода.
0.2.2 Работы Ляшко, Лойенги, Арнольда
Задача, которой независимо занимались Ляпнда и Лойенга [60, 58], не тождественна задаче Гурвица. Эта .іадача состоит в изучении топологии дополнения к дискриминанту в пространстве версальных деформаций простых особенностей. Мы отсылаем читателя за всеми необходимыми определениями к [4], В пространствах версальных деформаций можно рассматривать различные дискриминанты, и нас интересует тот из них, который состоит из функций с кратными критическими лпаче-ниями. На связь зтой задачи для особенности серии А с задачей Гурвица для общих многочленов первым обратит внимание Арнольд [2]; он
0.2 Иіггоричосктг обзор же распространил технику отображения Ляшко-Лойснги на общие тригонометрические многочлены (т.е. рациональные отображения с двумя полюсами произвольных порядков). В главе 4 настоящей работы приведено также описание связи задачи классификации общих тригонометрических многочленов с одним полюсом первого порядка с геометрией дополнения к дискриминанту в пространстве версальной деформации простых особенностей серии >.
Фактически, в работе Арнольда содержится — в частном случае двух полюсов — и идея продолжения отображения Ляшко-Лойснги па мероморфные функции на вырожденных кривых. Эта линия была в дальнейшем продолжена в [25]. Сочетание этой идеи с идеей представления пространств мероморфных функций в виде конусов над пространствами модулей кривых лежит в основе результатов главы 4 настоящей работы.
0.2.3 Работы Медных
В [GIS] Л. Медных предложил формальное решение наиболее общей задачи Гурвица для фиксированного ветвления произвольного типа. Мы приведем его ответ для случая, когда род накрываемой поверхности равен нулю, т.е. для рассматриваемого нами случая мероморфных функций. Рассмотрим разветвленное накрытие степени К сферы римаповой поверхностью рода у с г, точками ветвления в образе, типы ветвления в которых падлиы: X = {Л"і,... ,Л'Г}, где Л*; = 1т" ... Ктк, і = 1,... ,с. Обозначим черен 7д';х число наборов перестановок типоц Лі,..., Хс в группе Sk, порождающих транзитивную подгруппу отой группы.
Теорема 0.1 ([G3]) Число классов изоморфизма мероморфных функций с типом аеталепия X ранно (m - 1)! 'I" -! Ы\(. *ЕП a—1 5,А:,І
Ща,ф)
II \Л ,;mdj где t = НОД(ти), v = НОД{яти), {1,1} = ЯОДМ), s{ = Y.?*Jk,i> а переменные суммирования, j'l; пробегают асе, наборы этих индексов,
Введение, удовлетворяющие условию
У . кЛ,г - g > njwuejiij^ j отличны от нуля только для 1 < k < sviis/l и {s/(s,d))\k\s. Функции /л и Ф являются соответственно функцией Мебиуса и функцией фон Штернекп.
Доказательство теоремы Медных основано на классической формуле Бернеайда. Как уже отмечалась, приведенная здесь формула не отражает геометрии задачи и се удается довести до явного числового ответа лишь п незначительном числе простых случаев, (один из которых рассмотрен в [57]).
0.2.4 Подход Гульдена и Джексона
Канадские специалисты по комбинаторике Я. Гульден и Д. Джексон получили целый ряд значительных результатов по перечислению разветвленных накрытий сферы [27, 28, 29, 30, 31, 41, 42]. Подход Гульдена и Джексона к задаче Гурвица базируется па анализе рекуррентных соотношений для чисел Гурвица и на применении комбинаторной техники обращения Лаграшка. Указанные комбинаторные соотношения компактнее всего записываются в виде уравнений в частных производных па производящие функции для чисел Гурвица. Приведем одно из таких уравнений.
Рассмотрим производящую функцию <Ци,г;рі,р-г,...)= }_^ 2^ Jfj ''з^-^рл'.
7і,»>1 XhK ' g>U І(Л')=ч
Здесь Л' пробегает все разбиения числа Л", 1(Х) = п есть число частей в разбиении X, ц = К + ті + 2у — 2, и для X — Iті ... Ктк имеем p.v = ;>/1 ...pKw.
Лемма 0.2 ([30]) Функция Ф удовлетворяет следующему уравнению о частных производных второго порядки: дФ I -г- Л- 02Ф 0Ф дФ .. .. ЭФ N
0.2 Ис.торігн:і:кіт обпар
Это утверждение дает рекурсивный алгоритм для вычисления чисел Гурвица. Его доказательство основано на изучении следующих вариантов взаимоотношения между произвольной перестановкой тг є Sk и транс полицией ґт є S^: а может переставлять два элемента из одного цикла перестановки тг, и н этом случае число циклов в но па единицу больше, чем в тг; а может переставлять элементы двух различных циклов в тг, и в этом случае число циклов в -ко па единицу меньше, чем в 7г.
Анализ этих вариантов для случая перестановки тг, отвечающей вырожденному критическому значению, в транспозиции <тг_[, отвечающей последнему невырожденному критическому значению, и дает нужные рекуррентные соотношения. В некоторых случаях (например, для случая накрывающей поверхности рода 0} уравнение в частных производных удается заменит:, функциональным уравнением и воспользоваться теоремой обращения Лагранжа. Именно так выглядит в [27] доказательство формулы Гурвица (1).
0.3 Структура работы
IS первой главе мы описываем связь задачи Гурвица с геометрией пространств модулей мероморфпых функций mi комплексных кривых, определяем основные понятия и приводим формулировки главных теорем. Во второй главе обсуждается отображение Лятко-Лойенги и его свойства. Третьи глава, излагающая результаты [55, 53], посвящена классификации, с точностью до изоморфизма, многочленов с произвольным ветвлением над конечными точками. На языке перестановок это означает, что мы перечисляем наборы перестановок (тг],... ,тгс), где перестановка тг] циклическая и произведение iti... тгс является тождественной перестановкой. В этой главе описана стратификация пространства многочленов в соответствии с типами ветвления, приведено доказательство теоремы Ляшко-Лойенги для случаи общих многочленов и ее обобщение па случай произвольных етратов.
В четвертой главе изучается геометрия пространств мероморфпых функции на кривых рода д с единственным вырожденным критическим значением. Изложение следует [15, 1G, Г»їі]. В ней построены пополнения таких пространств, имеющие вид тотальных пространств конусов над компактифицированными пространствами модулей комплексных
Введение кривых с отмененными точками. Затем покалывается, что отображение Ляшко-Лойенги на пространстве мероморфных функций продолжается па пополненное пространство, причем продолженное отображение является морфизмом конусов. Это утверждение используется для выражения степени отображения ЛЛ и терминах теории пересечения на пространстве модулей кривых с отмечершьши точками. Полученная формула обобщает перечислительный результат Гурвица для иакрытии сферы сферой на накрывающие кривые старших родов.
Пятая глава посвящена исследованию теории пересечений на пространствах Гурвица с точки зрения глобальной теории особенностей. Она основана на работах [об], [48]. Основным пространством в этой главе служит один из частных случаев построенных в предыдущей главе ко м пактиф ицир о ваі га ых п р о стр анет в м е р ом ор фи ых < ру ик ци й, а име нн о, пространство функций, не имеющих ветвления над бесконечностью. Любое пространство Гурвица вкладывается в пространство такого вида и образует в нем страт естественной стратификации функционального пространства по типам особенностей. Классы когомологий таких стра-тов порождают некоторое подкольцо кольца когомологий компактифицированного пространства Гурвица, причем знание структуры этого подкольца позволило бы вычислить и числа Гурвица. Для исследования этой структуры мы применяем методы глобальной теории особенностей (теории Тома-Казаряпа). Мы выводим важные соотношения на классы стратов в кольцо когомологий и вычислительные следствия ив этих соотношений.
0.4 Благодарности
Мне трудно переоцепить вклад в эту работу моих соавторов по статьям, посвященным разветвленным накрытиям сферы: Д. Звонкина, В. В. Горюиова, М. Э. Каларяна, Т. Экедала, М. 3. Шапиро, А. Вайп-штейиа. Большое влияние на работу оказали идеи, заложенные в работах В. И. Арнольда. Чрезвычайно полезными были беседы с Д. Загиром, А. К. Звонкиным, С. А. Кулешовым, С. М. Натансоном, А. Г. Хованским и многими другими. В процессе работы над этой тематикой я пользовался гостеприимством университетов городов Ливерпуля, Стокгольма и Рснна, а также института математики общества Макса Планка в Бонне, и я им очень благодарен. Мои исследования были поддержаны грантами РФФИ 01-01-00600, NWO-RFBR 047.00S.005, INTAS-00-259.
Определения и формулировка основных результатов
Вес рассматриваемые нами объекты (кривые, отображения и проч.) определены над нолем комплексных чисел. Пусть СР1 — комплексная прямая е фиксированной точкой со є СР1 на ней и фиксированной голоморфной координатой t в дополнении к бесконечности. Пусть С — гладкая компактная комплексная кривая, У кривой имеется род, который будет обозначаться через у. Кривая рода I) будет называться также рациональной кривой, или сферой, а кривые рода 1 — эллиптическими кривыми. Прообразы точки оо относительно ме-роморфпой функции / : С — СР мы будем называть полюсами этой функции. Критическую точку порядка 2 мы будем называть простой, а критическое значение, в прообразе которого лежит лишь одна критическая точка, причем она простая, будем также называть гіросгпьш. Простые критические точки и критические значения мы будем также называть MopcotiCKUMu. Обычно мы будем предполагать, что тип ветвления над бесконечностью фиксирован. Многочленом па кривой С называется функция, у которой прообраз одной из точек состоит ил единственной точки (в частности, кратность отого прообраза равна степени функции). Мы будем рассматривать многочлены лишь на рациональных кривых и предполагать, что точкой с единственным прообразом является бесконечность. Пусть / : CPL — СР1 — многочлен степени /t + 1. Считая прообраз точки со бесконечностью на кривой-прообразе, мы можем выбрать на дополнении к этой точке в прообразе координату х таким образом, что многочлен / запишется в виде При т;іком выборе; координаты коэффициент при старшей степени переменной равен 1, а коэффициент при следующей степени обращается в нуль. Такой выбор координаты не единственный: замена х »— (,х, где (ЄС — корень степени \ь -V 1 из единицы, приводит- к многочлену такого же вида. Рассмотрим пространство V многочленов вида (1.1). Это пространство представляет собой д-морнос комплексное векторное пространство Cft наборов коэффициентов {р2, Рц+і)- Замечание 1.4 Структура векторного пространства, возникающая на пространстве V в результате его отождествления с пространством коэффициентов многочленов, естественна в следующем смысле.
На пространстве V есть аффинная структура: через любую пару многочленов fi,f-2 можно провести прямую A/i + (1 — А)/а, А Є С Кроме того в нем имеется начало координат .т "1"1: это единственный многочлен, инвариантный относительно замен х ь-+ С,х, Cfi+i 1- Мы также интенсивно пользуемся естественными операциями прибавления константы к многочлену (задающей действие группы С комплексных чисел по сложению на "Р) и умножения многочлена на ненулевое комплексное число (задающей действие группы С ненулевых комплексных чисел по умножению на V)-, т.е. действием группы аффинных преобразований образа. Пространство V следующим образом стратифицировано в соответствии с типом ветвления многочлена. Пусть уравнение f{x) о, to Є С, имеет mo корней кратности 1, т\ корней кратности 2, ..., т корней кратности /г+ 1. Другими словами, числа mo, , "i/f задают разбиение числа р, + 1: rrio 4- 2m\. + 37/ + -f {р + \)mtl — р + 1; у этого разбиения то частей величины 1, пи часть величины 2, ..., m(l частей величины р + 1. Такое разбиение мы будем записывать также и мультипликативной форме lmo ...(// + 1)т" и обозначать через -ЛГ(іц). Простому критическому значению отвечает разбиение l - 1. Пусть t\,...,tc —- все критические значения многочлена р. Набор разбиений X = {Л (і[),...,Л (ій)} будем называть, следуя Протопопову [74], паспортам многочлена р. Паспорт общего многочлена состоит из р экземпляров разбиения 1/ 21. Каждому набору разбиений X = {„Yfij),... ,A"(fr)} мы сопоставим страт 2х С V в пространстве многочленов. Такой страт состоит в точности из всех многочленов с паспортом X. Группа С комплексных чисел по сложению действует на пространстве "Р прибавлением кон-стшгты к многочлену. Каждый страт инвариантен относительно этого действия, и поэтому является цилиндром с одномерной образующей. Изоморфные многочлены имеют одинаковые типы ветвления, поэтому они принадлежат одному страту в пространстве много членов. Следующее утверждение впервые высказано Томом [78], однако в его доказательстве имеется ошибка, которая была затем исправлена в [68, 14, 4У]. В п. -ІЛ мы приводим доказательство этой теоремы, близкое к предложенному в [08]. Теорема 1.5 Пусто X = {A "i,... ХС} — множество разбиений числа ц+1. Страт Ех непуст в толі и только в том случае, если суммарная вырожденность всех ршібпений ХІ равна j.t, В атом случае он является гладким комплекснім подмногообразием в V комплексной коразмерности ц — с = {А{Х{) -1) + --- + (Л(А"С) — 1). Равенство (1.2) представляет собой частный случай формулы Рима-па-Гурийца, поэтому содержательным является лишь утверждение о непустоте страта при выполнении этого равенства. Общие многочлены образуют открытый страт Е{іл-і2і ц.-і і} С V. Это единственный открытый страт в Р. Задача классификации общих многочленов решается теоремой Ляшко-Лойенги. Теорема 1.G ([58, 3, 60]) Пусто i,..., ttl —- произвольный набор попарно различных точек комплексной плоскости. Тогда число классов изоморфизма многочленов е простыми точками ветвления ii,...,t равно {fi + \.Y 2. Страт Ех называется примитивнылц если лишь одно из разбиений Х{ иеобшее. Согласно теореме 1.5, такой страт однозначно определяется своим единственным необщим разбиением Х\: множество X состоит из разбиения Л і и /: — Л(Л"і) пкземгашров разбиения 1 _12 . Так, примитивными являются оба страта коразмерности один: страт Максвелла, отвечающий разбиению 1 ч22, т.е. случаю двух простых критических точек с одинаковым критическим значением, и каустика, отвечающая разбиению lfl 2 .y, т.е. случаю двух слившихся критических точек.
Примитивный страт, отвечающий необщему разбиению X, будем обозначать через Ед- (в индексе указано разбиение, а не паспорт). Задача классификации многочленов, принадлежащих одному примитивному страту, решается простым обобщением результатов Ляшко и Лоне иг и. Л именно, справедливо следующее утверждение. Теорема 1,7 ([55]) Пусть t-\,..., i.c — фиксированные точуси ветвления с -ладанными іпишши ветвления X\,Vl l2]-,...,lfi l21 над нилт, причем (і — Л{Х\) = с— I. Тогда число классов -изоморфизма многочленов с такими данными ветвления равно где через T Ant(A i) обозначено число автоморфизмов разбиения Х\ = l""»2mi ...( + 1) % т.е. число то!...»7 !. Сопоставим каждому паспорту X = (A"i,...,Хс) разбиение Т(Х) числа [і в соответствии с кратностями критических значений многочленов этого страта: j.t = Л{Х\) + + Л(ХС). Символами #Aut(X), #Aut(T(X)), #Aut(A"i), #Aut(T(JT(}} обозначены числа элементов в группе автоморфизмов соответственно паспорта X, рлзбиеііші Т(Х), разбиения Х{ и разбиения T(A"j), отвечающего примитивному страту 5]д-г В частности, для вырожденного разбиения Х% имеем Т(ХІ) — І -МХО цХі)1, для невырожденного разбиения Т(Х{) = І 1,- в первом случае #Aut(A "i) = ( /1(ЛГ;))! (автоморфизмы — это перестановки простых критических значений), а во втором #Aut(A i) = /і]. Теорема 1.8 ([55]) Пусть t],...,tc — фиксированные точки ветвления с заданными типами ветвления X = {Аі,Л 2,.. ,Л С} над ними, удовлетворяющими условию (L2). Тогда число классов изоморфизма многочленов с. такими данными ветвления равно Эта теорема впервые была выведена в [8(5] из результатов Гульдена и Джексона [27], полученных чисто комбинаторными методами, которые мы обсуждаем в п. 0.2. В [5] результаты теоремы 1.8 перенесены на многочлены с симметриями. Осуществленная Арнольдом в [2] классификация общих тригонометрических многочленов, т.е. мероморфных функций на рациональной кривой с двумя полюсами, основывается на вложении пространства тригонометрических многочленов (точнее говоря, подходящего накрытия этого пространства) в векторное пространство. Этот подход допускает непосредственное обобщение на случай трех полюсов на рациональной кривой, однако в случае большего числа полюсов и кривых большего рода работать открывается.
Связь между классификацией и степенью отображения ЛЛ
Другое важное свойство отображения ЛЛ: оно является конечнократ-ным накрытием над дополнением к дискриминанту в пространстве-образе (по-видимому, это тоже чрезвычайно общее свойство, которое распространяется и па пространства функций па многомерных многообразиях). Обозначим его кратность (степень накрытия) через 1о СС. Из теоремы Римана непосредственно вытекает следующее утверждение. Лемма 2.1 Пусть Ті — пространство модулей мероморфпых функций с данным типом ветвления, и предположим, что отображение СС : Ті — V является конечнократным накрытием. Тогда число классов изоморфизма разветвленных накрытий сферы с указанным тилом ветвления совпадает со степенью отображения ЛЛ. Если аналогичное утверждение верно для некоторого копечиократиого накрытия ТС над пространством модулей ТС, то для подсчета числа классов изоморфизма достаточно поделить степень огппбраоїсения СС : ТС — Т па степень накрытия 7Ї — Ті. Несмотря на свою тавтологичность, это утверждение является принципиально важным. Оно позволяет заменить подсчет числа классов изоморфизма вычислением степени отображения Ляшко-Лойенги. Для общих многочленов эта степень была вычислена Ляшко (ем. [, }]) и Лой-енгой [58]. Теорема 2.2 Отображение Ляшко-Лойенг.и СС : V — Т полиномиально, кватюдиородпо и является конечиокраишым накрытием иад дополнением к дискриминанту в пространен/,ве Т . Кратность этого накрытия равна (р + 1) . Из теоремы Ляшко-Лойенги немедленно вытекает следующее утверждение. Следствие 2.3 Дополнение к дискриминанту в пространстве Р является пространством Эйлснберга-Маклсйна К(ТТ, 1), аде группа тг является подгруппой индекса (p. + l) 1 группы кос В на р нитях. Напомним, что пространством Эйленберга-Маклейна К(ТГ, 1} называется связное топологическое пространство, все гомотопические группы которого, за исключением нерпой, тривиальны, а первая гомотопическая (т.е. фундаментальная) группа изоморфна jr. Так, дополнение к дискриминанту в пространстве многочленов Т является пространством Эйлепберга-Маклейна K(Bft, 1), его фундаментальная группа является группой кое на р нитях, а любое его связное накрытие также является пространством Эйлснберга-Маклсйна.
Приводимое здесь доказательство классификационной теоремы для многочленов с произвольным ветвлением основывается на следующем обобщении теоремы Ляшко-Лойенги. Теорема 2.4 Огранинение ССх отображения Ляшко-Лойенги па гсп-ждый страт Ех С Р является невырожденным конечнократным на-крытием степени Каждый emparn 2x является пространством Эйленберга-Маклейна Л (тг, 1) для некоторой группы тг. Доказательство отой теоремы для примитивных етратов получается простым обобщением доказательства Ляшко и Лойепги для невырожденного случая. Причина зтого в том, что замыкание всякого примитивного страта допускает параметризацию векторным пространством, и отображение ЛЛ можно снова рассматривать как полиномиальное конечное квалиодпородное отображение векторных пространств. Для не примитив пых стратов ситуация сложнее. Замыкания нспри-митивных стратов представляются в виде пересечения замыканий примитивных стратов. Основную трудность в распространении утверждения теоремы 2.4 па произвольные страты представляет нетрансвереальность пересечения этих замыканий. Ключевым моментом в ее преодолении служит «разрешение особенностей пересечения». А именно, можно построить такое разветвленное накрытие пространства многочленов и таким образом выбрать прообразы стратов дискриминанта в этом накрытии, что пересечение замыканий прообразов примитивных стратов становится трансверсалыгым, а замыкание прообраза произвольного страта представляется в виде пересечения замыканий прообразов примитивных стратов. Указанное разветвленное накрытие строится путем перехода от пространства Р коэффициентов многочленов (1.1) к пространству Р критических точек таких многочленов. Теорема 2.5 ([55]) Для любого страта х С.Р в пространстве многочленов можно таким образом выбрать его прообраз х С Р о пространстве критических точек, что замыкание отого прообраза представляется в виде трансверсалъпого пересечения замыканий соответствующих прообразов примитивных стратов. В п. 3,3 описан способ, которым нужно выбирать прообразы стратов. Теорема 2.5 позволяет подсчитать число классов изоморфизма многочленов с произвольным паспортом, В ситуации общих мероморфпых функций отображение ЛЛ действует из пространства Hgfa,.. п пр ь странство С 1 1 и обобщение теоремы Ляшко-Лойенги имеет следующий вид. Теорема 2.6 Отображение Ляшко-Лойенги продолжается с пространства fiijn,..., непрерывного послойно квазиоднородного отображения конуса H,r ki,...,kn над пространством модулей АЛд-п. Дополнение к дискриминанту в пространстве "Hg-,k\,...,kn является пространством Эйленберга-Маклейна К(ТГ, 1), где группа тг является подгруппой индекса 1е СС в группе кос на j.i нитях В . Здесь /І — A + п + 2j7 — 2 — число конечных критических точек у общей мероморфпой функции с ветвлением k\,..., кп иа бесконечности. На пространстве многочленов V отображение ЛЛ является полиномиальным конечиократным квалиоднородным отображением и его степень вычисляется по кваз йоді шрод пой теореме Безу. Аналогичное рассуждение применимо и к примитивным стратам. Замыкания непри-ыитивпых стратов подобной параметризации, вообще говоря, не допускают. Однако их «разрешения» являются однородными аффинными подмногообразиями в комплексном векторном пространстве, и степень ограничения отображения ЛЛ на них можно вычислить, если известна степень самих этих подмногообразий.
Для вычисления степени этих подмногообразий и используется их представление в виде трансверсаль-пого пересечения Ф аз решенных» примитивных стратов. Для подсчета же, степени «разрешенных» примитивных стратов мы используем предыдущее рассуждение в обратном направлении: нам достаточно знать степень ограничении ЛЛ па такие страты. Подсчет степени отображения ЛЛ на пространствах Гурвица основан па сходной идее. Для этого подсчета достаточно вычислить индекс самопересечения прообраза класса ci(CJ(l)), т.е. класса гиперплоскости, при отображении ЛЛ. Однако в этой ситуации индекс пересечения уже не определяется одним числом -— степенью однородного аффинного подмногообразия в векторном пространстве, — а имеет более сложное описание. Он описывается в терминах (старших) классов Сегре расслоения конусов. Для вычисления соответствующих старших классов Сегре используется представление пространства Гурвица в виде крайнего члена некоторой короткой «точной последовательности» конусов, остальные члены которой допускают простое описание. Наряду с кратностями отображения ЛЛ на стратах дискриминанта геометрию дискриминанта отражают также трансверсальные кратности и относительные трансверсальные кратности этого отображения на стратах. Пусть / Є ХІх — произвольный элемент страта Ex; d{t) = (/) Є D — его образ при отображении ЛЛ. Трапсчерсальной кратностью отображения ЛЛ па страте х называется число близких к / прообразов близкого к d{t) общего многочлена d(t) Є Т , при отображении ЛЛ. Если Dxn х3 — ДІІЇІ утрата, второй из которых лежит и замыкании первого, то можно определить относительную трансверсальную кратность отображения ЛЛ на страте х? по отношению к страту ХІХі- А именно, для многочлена / Ех2 рассмотрим общее возмущение d(t) многочлена d(t) = {/), лежащее п образе еярата xi- Число прообразов многочлена ri(), лежащих в страте Sxi вблизи многочлена /, и есть значение относительной траневсреальной кратности. Трансверсальную кратность можно понимать как относительную трансвереаль-ную кх атпость по отношению к открытому страту. Нетрудно подсчитать, например, что трапсверсальная кратность страта Максвелла ранил 2, а трансверсальиая кратность каустики 3. Действительно, у малого возмущения образа общей точки страта Максвелла есть два прообраза, близких к исходной точке (два различных невырожденных критических значения, на которые распалось вырожденное критическое значения, можно произвольным образом соотносить с критическими точками).
Пространство модулей комплексных структур на кривых рода д с п отмеченными точками и компактификация Делиня-Мамфорда
Большая часть рассматриваемых в настоящей главе расслоений и конусов задана над пространством /As-n — пространством модулей стабильных кривых рода 3 с п — 1 отмеченными и занумерованными точками. При этом предполагается, что натуральные числа у и п удовлетворяют условию стабильности: если о — 0, то п 3. Пространство модулей стабильных рациональных кривых Лчо;п является неприводимым гладким проективным многообразием. При у 0 пространство Mg-n наделено естественной структурой неприводимого компактного орбиобразия. С неформальной точки зрения DTO означает, что каждой ТОЧКИ пространства приписано действие конечной группы па векторном пространстве, такое, что у точки есть окрестность, гомеоморфная фактору открытого шара по ладанному действию, причем на пересечении окрестностей эти действия и гомеоморфизмы естественным образом согласованы между собой. Формальное определение выглядит следующим образом. Определение 4.9 Гладким (i-мерным комплексным орбиобраяием называется хаусдорфово топологическое пространство М вместе с атласом {Ua, Уа,Оа,фа}, в котором множество {/„} является открытым покрытием пространства М, задающим и нем балу топологии; множество {Va} есть множество открытых подмножеств в О ; G„ является конечной группой диффеоморфизмов множества Va; Фа, Va Ua — непрерывное отображение, слои которого — орбиты группы Ga. При гшш атлас должен удовлетворять условию согласованности: для любых вложенных открытых множеств Ua С Ub существуют инъектип-пый гомоморфизм h„b Ga — Оь и гладкое вложение фаь Va — VI, такие, что о для всех (j Є Ga и х Є Кі выполняется равенство для всех х Є Va справедливо равенство фь[фаь)(я) = Фа{х)- Две пары (топологическое пространство, атлас) эквивалентны, если существует гомеоморфизм топологических пространств, в естественном смысле согласованный с действиями групп атласа на открытых областях в комплексных пространствах. В пространствах модулей кривых у каждой точки имеется окрестность, изоморфная фактор пространству открытого подмножества в комплексном векторном пространстве по действию группы автоморфизмов данной кривой. Размерность пространства ЛЛд-,п равна п 4- -ід — 3. Это результат известного вычисления Римана, которое основало на подсчете размерности пространства невырожденных накрытий сферы кривыми рода д. По формуле Римана-Гурвипд у такого накрытия степени п имеется 2(п + / — 2) простых точки ветвления. Это означает, что размерность пространства таких накрытий равна в точности 2(п + д — 2). Набор полюсов па накрывающей кривой задается и параметрами.
При этом по формуле Римапа-Роха размерность пространства таких накрытий с фиксированными полюсами па фиксированной накрывающей кривой раенап—у+1. Разность числа 2[?і+д—2) и числа 7i+(?i—y+l) = 2п—д+1 н дает размерность пространства модулей кривых. Стабильная кривая (С;х\,... ,хп) рода д с п отмеченными точками хі,...,а:п пто класс биголоморфной эквивалентности гладких или имеющих особенности не сложнее простых точек самопересечения связных компактных кривых арифметического рода д, на которых отмечено п попарно различных гладких точек, занумерованных от 1 до ті, причем выполняется следующее условие стабильности: на любой рациональной неприводимой компоненте кривой имеется не менее трех специальных (т.е. отмеченных или особых) точек. Последнее условие эквивалентно тому, что группа автоморфизмов кривой конечна. Занумероваииость отмеченных точек означает, что мы рассматриваем только такие автоморфизмы кривой, которые сохраняют каждую из отмеченных точек. Две локальные компоненты кривой, пересекающиеся п двойной точке, мы будем называть ее ветвями. Классы эквивалентности гладких кривых образуют открытое плотное подпространство (подорбиобразпе) Мц-п С Мд]П в пространстве модулей стабильных кривых. Дополнение Л4Э;„ \Мд.п называется границей и обозначается через ОЛ-іу;п. Свойства отдельных кривых хорошо изложены в [I, 35]. Описанию пространств модулей кривых посвящена книга [;J7], и мы будем опираться на сведения оттуда. Позволяя себе некоторую вольность речи, мьі будем отождествлять ниже стабильную комплексную кривую с ее классом биголоморфной эквивалентности. Пространства модулей Л1о;1 и -Мо;2 рациональных кривых с одной и двумя отмеченными точками также имеют смысл, однако в категории алгебраических стеков, а не в категории орбиобралий (см., например, [61]), и мы их рассматривать не будем. Пример 4.10 Пространство Л4о-;\ — J\4Q;:I состоит ил одной тонки, так ка.к любые две рациональные кривые с тремя отмеченными точками биголоморфпо эквивалентны между собой. Пространство MQVI представляет собой комплексную проективную прямую СР1 е тремя проколами. Действительно, для любых двух гладких рациональных кривых с четырьмя отмеченными точками существует биголоморфное отображение первой кривой на вторую, переводящее первые три отмеченные точки первой кривой в первые три отмеченные точки иторой кривой. Этим условием биголоморфное отображение определено однозначно, поэтому точка и пространстве модулей, соответствующая данной кривой, однозначно определяется положением четвертой отмененной точки относительно первых трех, причем эта четвертая точка не может совпадать ни с одной из первых трех. Двойное отношение координат четырех точек может служить координатой на пространстве модулей.
Пространство модулей стабильных кривых Wu;j изоморфно СР1 и получается из JMO;.I добавлением трех особых стабильных рациональных кривых. Каждая из этих рациональных кривых состоит из двух рациональных неприводимых компонент, пересекающихся по одной точке. Они различаются распределением отмеченных точек по рациональным компонентам, которое может иметь вид {{1,2}, {3,4}}, {{1,3}, {2,4}}, {{1,4},{2,3}}. _ Пространство Мо-,п+\ отождествляется с универсальной кривой С$[П над пространством Ио;п, т.е. с пространством расслоения над Мо]ги слоем которого над точкой является кривая, соответствующая этой точке. В этом расслоении есть п выделенных (структурных) сечений, отвечающих отмеченным точкам. В частности, пространство Mo-, i представляет собой универсальную кривую над Мо;-\- На этом пространстве есть десять специальных проективных прямых: четыре структурных сечения у н ив ер сальной кривой и шесть рациональных компонент особых слоев над граничными точками пространства .Мо; і Эти десять прямых образуют границу ОМи-/,. Пространство Ио;з можно также представлять себе как результат рал-дутия четырех точек в общем положении на проективной плоскости СР2. При этом шести прямым на особых слоях универсальной кривой соответствуют п]тобразы шести прямых, проходящих через пары точек на плоскости, а четырем сечениям — вклеенные проективные прямые. Десять граничных прямых соответствуют десяти способам распределения отмеченных точек по двум рациональным компонентам, на одной из которых три, а на другой две отмеченные точки. Десять точек их пересечения соответствуют десяти способам распределения отмеченных точек по трем рациональным компонентам, на одной из которых одна, а на двух других по две отмеченный точки. Вообще, каждой стабильной рациональной кривой соответствует дерево се компонент: вершины дерева отвечают неприводимым компонентам кривой, и две вершины соединены ребром в том и только в том случае, если соответствующие им компоненты пересекаются (с необходимостью, по одной точке). Отмеченные точки распределены по вершинам дерена, причем концевым вершинам отвечает не менее двух точек, а вершинам валентности два — не менее одной отмеченной точки. Геометрии пространств модулей рациональных кривых с отмеченными точками посвящена монография [12]. Замечание 4.11 В работе [2G] нами предложена другая компактифи-кация пространства модулей рациональных кривых. Эта компактифн-капия строится следующим обратит. Свяжем с г-ой отмеченной точкой на рациональной кривой С СР отображение пространства модулей ЛЛо;п в проективное пространство СР"- 1 размерности п — .Ї. Для ЭТОГО сопоставим точке хі Є С координату на С \ {.т;}, которая равна оо в точке ят;, и сумма значений которой в остальных отмеченных точках равна нулю.
Кратность отображения ЛЛ и классы Ссгре
Кратность морфизма конусов тесно связана с действием такого морфизма на старших классах Сегре отих конусов. Лемма 4,32 Пусть F : Si — 1S2 — канечнократный морфизм конусов над компактными орбиобразиями Мі,М-2, причелі значение, старшем класса Сегре stvp(S-z) на фундаментальном цикле отлично от пуля. Тогда кратность этого морфизма равна Утверждение леммы вытекает непосредственно из фупкториалыю-сти полного класса Сегре. Следствие 4.33 Кратность отображения СС : "Ну;кі,...,кп С равна Действительно, отображение ЛЛ является конечпократным морфиз-мом конуса Нэ-1ц,...,к„ над Aig-n в конус над точкой. Полный класс Сегре второго конуса равен обратному произведению весов переменных, т.е. равен l//i!, что и доказывает следствие. Обозначим через 2 С 2 объединение всех неприводимых компонент конуса 2, не содержащихся в "Нв-кх А-,І5 а через Д дискриминант в про странстве многочленов С -1, состоящий из многочленов с кратными корнями. Тогда Z = Tig-kx кп U 2 и СС{2 ) С Д, так как по край ней мерс два, критических значения мероморфной функции на особой кривой совпадают. Лемма 4.34 Справедливо равенство Доказательство. Прообраз -1(0) пуля относительно отображения СС представляет собой пулевое сечение конуса 2. Действительно, все критические значения мероморфной функции равны нулю в том и только в том случае, если все неприводимые компоненты кривой, па которых она непостоянна, рациональны, ограничение функции на такую компоненту имеет один полюс (т.е. является многочленом) и записывается п виде zki в подходящей координате z на отой компоненте. Такая функция соответствует нулевому элементу слоя кешу ел, главных частей. Поэтому корректно определено проективизировашюе отображение ЛЛ РСС, отображающее PZ в / С-1, причем OpziX) = РСС ОРО {\). В частности, Opz (l) — {Рр2 ) 0Рд(О- Тем самым, ограничение расслоения 0{\) над PZ индуцировано ив линейного расслоения над многообразием размерности j.i — 3, поэтому {{.і — 2)-я степень его первого класса Черна равна нулю, что и докалывает утверждение леммы, о Лемма 4.35 Справедливо paeencrn.no Доказательство, Как и в доказательстве леммы 4. }1, мы можем связать с отображением R : Р — Ag.n, задаваемым суммой вычетов в отмеченных точках,сечение векторного расслоения C(l) Qfi тг (Л .„) ранга у над проективным конусом РР: an сопоставляет точке пространства РР линейный функционал на слое расслоения Я" Лз;п, заданный вычетом с элементом стоя канонического расслоения 0(1), Согласно теореме 4.23, множеством нулей сечения г77; является проективизапип PZ пространства Z меро-морфпых функций. Напомним, что пополненное пространство Гурийца Hg;ki,.,.,kn С Z является подконусом в конусе V главных частей.
Построим сначала (/( — 2)-цикл D С PZ, D А РZ, представляющий локализованный старший класс Черна расслоения 0{\) 7г {Л .Т1) над РР, т.е. такой, что [О] = с;1{0{1) & зг (Л ;п}) П [РР]. Подобная конструкция является стандартной; она позволяет построить для произвольного векторного расслоения Е — X над схемой X чистой размерности цикл, представляющий локализованный старший класс Черна этого расслоения, по произвольному его сечению Г) : X —+ Е {см. [22], 14.1, (J.1). Обозначим через с ранг расслоения Е, а через Z(T)) множество нулей сечения ij, Z{i)) с Л". Нормальный конус N к Z(i)) в А" следующим естественным образом вкладывается в тотальное пространство ограничения расслоения Е па %{?}) Касательное отображение г/г/ : Т Х —» Рф Е переводит касательный вектор f Є Т Х к X в точко z Є Z[rj) в касательный вектор dr]( ) Є % Е; последний вектор можно считать элементом слоя Es расслоения Е в точко г, который естественным образом отождествляется с факторпрострапством Е = Tjj- EjTzX. Размерность нормального конуса в X к любой неприводимой компоненте множества Z{i}) совпадает с размерностью самой схемы X, тем самым [jVj падает цикл коразмерности с, в A E\zin}-Согласно предложению 14.1 из [22], изоморфизм т : А Е = А -?Х переводит [N] в цикл коразмерности с. в А -еХ, который представляет локализованный старший класс Черна расслоения Е над X. В частности, каждая неприводимая компонента Z(ij) коразмерности с в X входит в класс [D] с некоторой положительной кратностью, которая определяется попедением сечения г/ вдоль птой компоненты. Применяя описанную выше конструкцию к векторному расслоению 0(1)07г (Л .7і) над PV и сечению ал, мы получаем цикл [D] Є A fP, такой, что Описанная выше конструкции позволяет построить представителя D класси [D\, который содержится в PZ. Положим тогда [D] = [D-jj]\J[D ]. Докажем теперь, что подсхема P"Hg-ki,...,kn С Р Р представляет класі- [/fc]. Как мы видели выше, : то утверждение справедливо с точностью до множителя, так как коразмерность подсхемы PT ig-ki,..„kn ц РР P TJJiJft У! мы хотим покапать, что этот множитель в точности равен 1. Для этого осталось покапать, что в общей точке схемы Р И,Гікі ...,кп сечение TR трансверсалыш нулевому сечению.
Возьмем общую точку в P Hg-klt...tkn- Такая точка представляет собой гладкую стабильную кривую (С\ х1/,..., х ), па которой задан набор (р;,... ,рп) обобщенных главных частей в отмеченных точках, рассматриваемых с точностью до общего ненулевого множителя, удовлетворяющий следующим условиям: 1. старшие члены всех главных частей отличны от нуля; 2. для любой голоморфной 1-формы аз на С0 главные части р удовлетворяют уравнениям (4.13); ,4. критические значения функции / : С0 — СР1 с данными главными частями попарно различны. Выбранную точку будем обозначать для краткости просто через (С0,/0). Касательное пространство к тотальному пространству расслоения O(l) 0 т (Л .„) над PV в точке (С0,/0) естественным образом раскладывается и прямую сумму горизонтального касательного пространства к базе и вертикального касательного пространства к слою расслоения. В свою очередь, вертикальное касательное пространство естественным образом отождествляется с пространством AV(C"), состоящим из линейных функционалов на пространстве голоморфных 1-форм па С0. Сечение а л трансверсалыю нулевому сечению в точке (С0, /) в том и только в том случае, если проекция образа касательного отображения dan в зтой точке на вертикальное касательное пространство является сюръекцией. Обозначим композицию касательного отображения с этой проекцией через doji : T OJOJP P —+ AV(C). Мы хотим доказать, что ранг отображения daji равен у. Для і} — 0 гт утверждение пусто; для у — 1 ого справедливость очевидна: единственная с точностью до ненулевого постоянного множителя голоморфная 1-форма па кривой Сц задаст координату z в окрестности каждой точки кривой С , и для деформации линейного функционала на пространстве 1-форм достаточно возмутить коэффициент при -, скажем, в главной части pi. Если же г/ 2, то рассмотрим каноническое отображение С —» CPS , заданное, с точностью до действия группы PGL(f/), выбором базиса иц,... ,и);) в пространстве голоморфных 1-форм: Если кривая С0 не гиперэллиптическая, то каноническое отображение является вложением. Образ канонического отображения называется ка-HOHWICCKUU кривий. Сопоставим каждой из точек #1,..., :с„ є С0 ее обрил при каноническом отображении. Как хорошо известно (см., например, [35], глава 2, раздел 3), общая каноническая кривая невырождена, т.е. она не содержится ни в какой гиперплоскости в CPff_l. Это означает, что па канонической кривой С, близкой к С, вблизи точки, скажем Х\, есть (j независимых точек. Образы соответствующих г/ касательных векторов к пространству главных частей при отображении dcr линейно независимы и, значит, ранг птого отображения равен д. Леммы 4.32, 4.34, 4.35 и следствие 4.33 в совокупности доказывают основную теорему 1.12.
