Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена геометрическим и алгебро-топологическим приложениям теории сигма-функций и теории формальных групп эллиптических кривых.
В 1974 году СП. Новиков1 ввёл конечнозонные (алгебро-геометрические) периодические и квазипериодические операторы Шредингера и конечно-зонные (алгебро-геометрические) решения иерархии Кортевега-де Фриза. Б. А. Дубровиным и С. П. Новиковым2 показано, что пространство универсального расслоения гиперэллиптических якобианов унирационально, а проекция этого расслоения задаётся интегралами потоков КдФ. Это привело к созданию широкого направления исследований, включивших классические задачи и совершенно новые задачи ряда направлений математики и математической физики. Большое внимание было привлечено к теории многомерных абелевых функций благодаря тэта-функциональным формулам теории конечнозонного интегрирования3' .
В эллиптическом случае (род 1) наряду с тэта-функциями большую роль играют сигма-функции Вейерштрасса. С 1995 года началось развитие теории многомерных сигма-функций5, которое опиралось на классические результаты Г. Бейкера6. В работах В. М. Бухштабера, В. 3. Энольского и Д. В. Лейкина '8'9 была построена теория сигма-функций (п, й)-кривых (случай (2,2^ + 1) отвечает гиперэллиптическим кривым). Было показано, что дифференциальные соотношения между этими функциями непосред-
1С. П. Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза. I, Функц. анализ и его прил., т. 8, № 3, 1974, 54-66.
2Б.А. Дубровин, СП. Новиков, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза и Штурма-Лиувилля. Их связь с алгебраической геометрией, ДАН СССР, т. 219, № 3, 1974, 531-534.
3А. Р. Итс, В. Б. Матвеев, Операторы Шредингера с. конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса, ТМФ, т. 23, № 1, 1975, 51-68.
4И. М. Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений с. помощью алгебро-геометрических методов, Функц. анализ и его прил., т. 11, № 1, 1977, 15-31.
5В. М. Бухштабер, В. 3. Энольский, Абелевы блоховские решения двумерного уравнения Шредингера, УМН, т. 50, вып 1, 1995, 191-192.
6Н. F. Baker, On the. hyperelliptic sigma functions, Amer. Journ. Math., 20:301-384,1898.
7V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin, Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, V. M. Buchstaber, S. P. Novikov Editors, AMS Trans., ser. 2, v. 179, 1997, 1-33.
8V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin, Kleinian functions, hyperelliptic Jacobians and applications, Reviews in Mathematics and Math. Physics, I. M. Krichever, S. P. Novikov Editors, v. 10, part 2, Gordon and Breach, London, 1997, 3-120.
9B. M. Бухштабер, Д. В. Лейкин, Уравнения теплопроводности в неголономном репере, Функц. Анализ и его прилож., т. 38, №2, 2004, 12-27.
ственно приводят к фундаментальным уравнениям математической физики, включая иерархии Кортевега-де Фриза и Кадомцева-Петвиашвили, а также, например, уравнение Буссинеска. Одним из ключевых результатов этой общей теории явилось построение операторов, аннулирующих сигма-функции9. Это привело к так называемым полиномиальным алгебрам Ли — обобщению классических алгебр Ли, роль структурных „констант" которых играют полиномы от параметров кривых10. В гиперэллиптическом случае эти алгебры описаны весьма эффективно11.
В первых двух главах диссертации в рамках общей выдвинутой СП. Новиковым программы эффективизации алгебро-геометрического метода решения уравнений математической физики описана дифференциальная геометрия универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых рода 1 и 2 над пространствами параметров этих кривых. Б. А. Дубровин12 рассмотрел универсальное расслоение якобианов эллиптических кривых над пространством невырожденных решёток в С, описал его связность Фробениуса-Штикельбергера и доказал, что эта связность является решением уравнения Шази. В первой главе диссертации показано, что каждое решение уравнения Шази определяет решение уравнения теплопроводности в терминах сигма-функции, как функции на универсальном накрытии универсального расслоения якобианов эллиптических кривых над пространством параметров этих кривых.
Теория эллиптических функций нашла важные приложения в алгебраической топологии благодаря формальной группе комплексных кобордиз-мов13 (основы заложены СП. Новиковым). Важным явился результат15 Д. Квиллена о том, что кольцевой гомоморфизм, классифицирующий формальную группу в кобордизмах, является изоморфизмом. Таким образом,
10В. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, Полиномиальные алгебры Ли, Функц. анализ и его прилож., т. 36, № 4, 2002, 18-34.
ПВ. М. Бухштабер, Д. В. Лейкин, Законы сложения на якобианах плоских алгебраических кривых, "Нелинейная динамика", Труды МИРАН им. Стеклова, т. 251, вып. 4, 2005, 54-126.
12В. Dubrovin, Geometry of 2D topological field theories, Integrable Systems and Quantum Groups, (Montecatini Terme, 1993), Lecture Notes in Math. 1620, Springer, Berlin, 1996, 120-348
13B. M. Бухштабер, А. С. Мищенко, С. П. Новиков, Формальные, группы и их роль в аппарате алгебраической топологии, УМН, 26:2, 1971, 131-154.
14С. П. Новиков, Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов, Изв. АН СССР, сер. матем., 31:4 (1967), 855-951.
15Д. Квиллен, О формальных группах в теориях неориентированных и унитарных кобордизмов, Раздел 7 в книге "Кобордизмы и их приложения", Топологическая библиотека, том I, Москва-Ижевск, 2005.
задача построения Л-целочисленных родов Хирцебруха, важная в классической проблеме делимости чисел Чженя комплексных многообразий, эквивалентна алгебро - теоретико числовой задаче построения формальных групп над кольцом А. Отметим, что задача классификации формальных групп над Z опирается на глубокие результаты теории чисел. Широкое внимание к задаче об Л-целочисленных родах связано с теоремами типа Атья-Зингера, описывающими индекс дифференциальных операторов на многообразиях как значения родов Хирцебруха на них.
В диссертации исследована общая модель Вейерштрасса эллиптической кривой в униформизации Тейта и в явном виде описана соответствующая формальная группа. На основе этого результата решены задачи по проблеме целочисленности родов Хирцебруха и жёсткости эквивариантных родов Хирцебруха.
Таким образом, тема диссертации относится к актуальным направлениям алгебраической топологии и её приложений.
Цель работы.
Исследовать дифференциальную геометрию универсальных расслоений якобианов алгебраических кривых рода 1 и 2 над пространствами параметров этих кривых.
Получить явный вид формальной группы, соответствующей общей модели Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметической параметризации Тейта. Получить и исследовать дифференциальные уравнения на экспоненту этой формальной группы. Получить в качестве следствия 5-параметрическое семейство целочисленных родов Хирцебруха. Исследовать условия целочисленности известных родов Хирцебруха.
Ввести универсальную формальную группу, экспонента которой задаётся функцией Бейкера-Ахиезера. Получить в качестве следствия универсальную формальную группу, соответствующую роду Кричеве-ра. Исследовать кольцо её коэффициентов и связь с эллиптической формальной группой. Получить классификацию эллиптических родов Хирцебруха, являющихся родами Кричевера, и в качестве следствия получить новые эквивариантные эллиптические роды, жёсткие на многообразиях с б^-эквивариантной б^-структурой.
Основные методы исследования.
В диссертации используются методы: дифференциальной геометрии расслоений, теории сигма-функций, родов Хирцебруха и теории кобордизмов, теории формальных групп, дифференциальных уравнений.
Научная новизна.
Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
Решена задача о симметричных кометриках, согласованных со связностью Гаусса-Манина универсального расслоения эллиптических кривых. Ответ дан в виде сходящихся рядов. Получена система дифференциальных уравнений, связывающих параметры сигма- и тэта- функций рода 1 и 2. Показано, что в роде 1 решение построенной системы задаётся решением уравнения Шази. В роде 2 построено решение этой системы в рациональном пределе.
Получен явный вид формальной группы и её экспоненты для общей модели Вейерштрасса эллиптической кривой в арифметической параметризации Тейта, и в качестве следствия построено 5-параметрическое семейство эллиптических родов Хирцебруха, принимающих целые значения на любом стабильно-комплексном многообразии.
Построена формальная группа, экспонента которой задаётся родом Кричевера и в качестве следствия описаны эквивариантные эллиптические роды, жёсткие на многообразиях с S -эквивариантной б^-структурой.
Введена и исследована деформированная функция Бейкера-Ахиезера. Получена теорема сложения для неё и деформированное уравнение Ламе, решением которого она является.
Теоретическая и практическая ценность.
Диссертация имеет теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в алгебраической топологии, в том числе в торической топологии, а также в теории абелевых функций и её приложениях, в развитии алгебро-геометрического метода в теории интегрируемых систем.
Аппробация результатов.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах: «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством СП. Новикова и В. М. Бухштабера (отдел геометрии и топологии МИАН, мех-мат МГУ, 2007); алгебра и теория представлений,Lyonl, Institut Camille Jordan, Лион, 2010; геометрия и динамика, Лион, 2010; Institut Fourier, Гренобль, 2010;
лаборатории геометрических методов математической физики имени Н. Н. Боголюбова под руководством Б. А. Дубровина (мех-мат МГУ, 2011);
и на международных конференциях:
«The higher-genus sigma function and applications», Эдинбург, 2010;
«XXIX Workshop on Geometric Methods in Fhysics», Беловежье, 2010;
«Дифференциальные уравнения и смежные вопросы»
имени И. Г. Петровского, Москва, 2011;
«Geometry, Integrability and Quantization», Варна, 2011;
«XXX Workshop on Geometric Methods in Physics», Беловежье, 2011;
«Дни геометрии в Новосибирске», Новосибирск, 2011;
«Торическая топология и автоморфные функции», Хабаровск, 2011.
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в пяти работах, три из которых в соавторстве с научным руководителем. На защиту выносятся результаты, в получении которых роль диссертанта была решающей. Список публикаций приведён в конце автореферата.
Структура диссертации.
