Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. СИНГУЛЯРНО ВОШУЩЕННЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ С РАЗНЫМИ СТЕПЕНЯМИ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 15
1. Система двух уравнений эллиптического типа, одно из которых не содержит малого параметра при старших производных, в областях с угловыми точками границы 15
2. Сингулярно возмущенная эллиптическая система с разными степенями малого параметра при старших производных в прямоугольнике 32
ГЛАВА II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 59
1. Сингулярно возмущенная эллиптическая система в критическом случае в прямоугольнике 59
2. Приложение метода к одной задаче химической кинетики 76
3. Сингулярно возмущенная линейная система уравнений магнитогидродинамики 79
ГЛАВА III. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С "НЕСОГЛАСОВАННЫМИ" СТЕПЕНЯМИ' МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ СТАРШИХ И МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ 84
1. Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы с параболическим угловым погранслоем 84
2. Асимптотика решения сингулярно возмущенной эллиптической системы уравнений с погранслоем нового типа 94
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 116
ЛИТЕРАТУРА 118
- Система двух уравнений эллиптического типа, одно из которых не содержит малого параметра при старших производных, в областях с угловыми точками границы
- Сингулярно возмущенная эллиптическая система в критическом случае в прямоугольнике
- Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы с параболическим угловым погранслоем
Система двух уравнений эллиптического типа, одно из которых не содержит малого параметра при старших производных, в областях с угловыми точками границы
Уравнения для регулярных членов асимптотики ( UL; V": ), и для обыкновенных пограничных функций Q; t П і » [J имеют такой же вид, что и соответствущие уравнения дляQZ; V c) и f] - функций в 1.2, а уравнения для : угловых погранфункций р . D, - такой же вид, что и для г - функций в 1.2 (пе-ременная / входит в эти уравнения как параметр). Поэтому определение членов асимптотики до второго порядка включительно проводится точно так же, как это было сделано в 1.2, причем пограничные функции являются экспоненциально убывающими по погранслойным переменным.
Обозначил через U и у частичные суммы второго порядка разложения (1.29) и введем множество о , аналогичное тому, которое было введено в .3. Так же, как в 1.3, доказывается оценка остаточного члена. Сформулируем результат в виде теоремы.
Теорема 2. При выполнении условий Т-Ш найдутся постоянные 0 Ои О О такие, что при 0 . о задача (1.27), (Ї.28) имеет единственное решение в О -окрестности множества Д , причем 1/ и 1/" являются для него равномерным асимптотическим приближением в области р с точностью {j ( ).
Асимптотика решения будет состоять из регулярной части, которая определяется так же, как в .2, и нескольких погранслойных частей. В окрестности каждой из шести граней нужно построить обыкновенные погранфункций типа П ункций из Ї.2, в окрестности ка-дого из двеннадцати ребер - угловые погранфункций типа Р зунккий и.
Построение их производится точно так же, как в 1.2. Наконец, в окрестности каждой из восьми вершин нужно построить еще один тип угловых пограничных функций ( ( -функции), которые устраняют невязки, внесенные Р -функциями на боковые грани. В связи с этим функции О нужно представить в виде. Это представление получается аналогично представлению (.4) из 1.2.
class2 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ class2
Сингулярно возмущенная эллиптическая система в критическом случае в прямоугольнике
Пограничные функции вблизи других сторон и вершин прямоугольника Ю имеют аналогичный вид.
Замечание. Если условие -К -+- j O не выполняется, то асимптотическое разложение решения задачи (2.1),(2.2) следует искать также в виде, аналогичном (Я.З), но начиная с членов минус второго порядка по степеням . При этом алгоритм построения остается таким же, как в Ї.2. Асимптотика в этом случае строится до членов нулевого порядка включительно, т.к. асимптотика минус второго и минус первого порядков состоит только из регулярной части.
Таким образом, решение задачи (2.1),(2.2) вне области пограничного слоя с точностью U(J может быть приближено с помощью решения линейной краевой задачи (3.4),(2.5), не содержащей малого параметра , а в области пограничного слоя с помощью решений обыкновенных дифференциальных и эллиптических систем уравнений, имеющих вид (2.6),(2.7). Это позволяет существенно упростить анализ поведения решения исходной задачи (2Л), (2.2). Сингулярно возмущенная линейная система уравнений магнит огидродинамики Рассматривается линейная система уравнений магнит огидроди намики 2 описывающая рояноетью развитое течение проводящей жидкости в ци линдрическом канале, имеющем прямоугольное сечение оО \0 U0j)( O zr zy, в постоянном магнитном поле, направленном по оси X [29] . Малый параметр 6 в системе (3Л) обратно про порционален числу Гартмана. Неизвестные (t и имеют смысл, соответственно, скорости течения и потенциала. Д Ц «/\ 5 -/ положительные постоянные. Коэффициенты системы (ЗЛ) связаны со отношением , что приводит к появлению у вырожденной системы семейства решений (критический, случай).
Асимптотика решения сингулярно возмущенной системы с параболическим угловым погранслоем
Оценка для У доказана. Рассматривая VУ В уравнении для Y , как известную функцию, и используя полученную оценку для Ч? , нетрудно доказать аналогичную оценку для f
Обоснование асимптотики. Пусть \J и \f есть, соответственно, суммы членов асимптотического приближения (2.3) и аналогичного приближения для 1T нулевого порядка по степеням б .
Теорема. При выполнении условий І-Щ функции ЛТ и у являются равномерным в Ю асимптотическим приближением решения Щ ft задачи (2. 1), (2.2) с точностью 0(б) .
Доказательство. Подставим LL — W в систему уравнений (2.1). Для остаточных членов Wi , Шг получаем систему уравнений, аналогичную системе(2.), с неограниченной правой частью из-за членов Воспользуемся методом, предложенным в Z i9_7. Введем вместо функции I о ( функцию f [ , удовлетворяющую тем же краевым условиям, что и Рц , но, в отличие от Р0ц , удовлетворяющую неоднородному уравнению с правой частью, равной (ь Р{Г+ + }ІО(00)Є . Тем самым краевые условия и правая часть уравнения для Р0уи согласованы в угловой точке границы (0;0) до первого порядка, что обеспечивает (см. / 30_7) ограниченность второй производной по V) функции.
