Содержание к диссертации
Введение
1. Определения. Формулировка результатов . 12
2. Редукция теоремы 1 к теореме 2. Доказательство теоремы 3 . 15
3. Индекс совпадения. Редукция теоремы 2 к теореме 4 . 18
4. Доказательство теоремы 4. 25
5. Замечания к определению числа Лефшеца совпадений . 43
6. Мультипликативные формулы для чисел Лефшеца I 46
7. Мультипликативные формулы для чисел Лефшеца II . 49
8. Гомологические полиэдры 54
9. Примеры квазиполиэдров . 55
10. Гомологические полиэдры и многообразия. 72
- Редукция теоремы 1 к теореме 2. Доказательство теоремы 3
- Доказательство теоремы
- Мультипликативные формулы для чисел Лефшеца I
- Гомологические полиэдры
Введение к работе
В 1926-ом году Лефшецом в работе [13] была впервые доказана теорема о точках совпадения двух кусочно-линейных отображений компактных связных триангулированных и ориентируемых многообразий одинаковой размерности без края.
Для формулировки теоремы Лефшеца фиксируем поле коэффициентов R. Определим прежде всего число, называемое числом Лефшеца совпадений.
Пусть M,N - n-мерные компактные связные триангулированные и ориентируемые многообразий без края. Пусть /, д - кусочно-линейные отображения из М в N. Пусть 6q - отображение Hq(N; R) в себя , равное композиции Hq(N; R) — / Hq(M; R) — п Hn_q(M;R) - д, Hn-q(N;R) - D-i Hq(N;R), здесь D - двойственность Пуанкаре. Так как Hq(N; R) есть конечномерное векторное пространство, то определён след данного отображения. Определим число совпадений Л/ э как элемент поля R, равный ]Cg=o( -)qSp6q.
Теоремы, обобщающие данный результат на случай двух непе-рывных отображений топологических ориентируемых замкнутых многообразий одной и той же размерности были получены в 70-х годах в работах Щёлоковой Т.Н. [14] и Mukherjea К. [15]. Построение числа Лефшеца и формулировка теоремы в данной ситуации такие же.
Обобщения данного результата на случай отображений многообразий с краем было получено Накаокой в работе 1980-го года [16]. Точнее, хотя данная теорема не доказана непосредственно в работе [16], но она является следствием леммы 8.1 в [16] и уже изветсной теоремы для многообразий без края. Приведём формулировку данной леммы.
Пусть М, N - топологические многообразия с краями, компактные и ориетируемые. Пусть /, д - непрерывные отображения из М в N и пусть одно из отображений, скажем д, отображает дМ в dN. Число Лефшеца в данной ситуации определяется как Х о=о(— )qSp9q, где О4 есть отображение Hq(N; R) в себя, равное композиции Hq(N;R) -»,. Hq(M;R) D Hn-q{M,dM;R) - 5, Hn_q{N,dN;R) - D-! Hq(N; R). Здесь D - опять двойственность Пуанкаре. Заметим, что
. . в силу компактности векторное пространство Hq(N; R) опять конечномерно, так что след Sp9q определён.
Пусть DM - удвоение М, т.е. результат склейки двух экземпляров М по отождествлению их краёв. Очевидно, что DM будет многообразием без края, компактным, ориентируемым. Оба эти экземпляра М содержатся в DM, обозначить их можно как М+ и М . Имеется ретракция г : DM — М, совмещающая оба экземпяра М, составляющие DM, с М+. Аналогичная кострукция имеет место и для N. Имеется вложение і: N+ С DN. Определим удвоение отображения д, сохраняющего край, как отображение Dg : DM — DN, отображающее М+ в N+ и М в N с помощью отображения д. Так как д отображает край в край, то данное отображение корректно определено.
Лемма 8.1 в [16] гласит, что A/t9 = Лг-/Г) я. При этом if г, Dg представляют из себя отображения многообразий без края, а для этого случая теорема уже известна. Кроме того, наличие точки совпадения у пары отображений if г, Dg влечёт наличие точки совпадения у отображений /, 3, так что указанная теорема для случая многообразий с краями действительно непосредственно следует из результатов [16].,
В [16] получены также результаты о структуре числа Лефшеца в случае, если имеется пара послойных отображений расслоений, база, слои и пространства которых - многообразия (см. ниже)
Непосредственно теорема для случая отображений многобразий с краями получена в работе 1992-ого года К. Mukherjea [17] (при этом автор признаёт приоритет Накаоки). В данной работе приведены также некоторые следствия из полученной теоремы. В частности, следующее непосредственное следствие, обобщающее теорему Брауэра о неподвижной точке: отображение, сохраняющее границу, имеет точку совпадение с каждым несущественным отображением.
В случае, когда оба отображения сохраняют край, имеются два числа Лефшеца - Ajt9 и A.gj. В [17] приведён пример, что они различны. Более того, одино из чисел может быть нулевым, в то время когда второе - не равно нулю. Отметим в связи с этим следующий результат данной работы: в ранее введённых обозначениях, в случае, когда / и д сохраняют границу, имеет место равенство: 2Afi9 — A.Df,Dg+ f\eM,g\BM- (При этом граница может быть и несвязной, но распространение данной теории на несвязные многообразия тривиально). В работе 1997 года D.L. Goncalves, J. Jezierski [3] рассмотрели случай, когда многообразия M,N компактны, но, вообще говоря, неориентируемы и имеют края. При этом налагаются два дополнительных требования. Первое состоит в том, что отображение д ориентируемо, то есть g "Kn{N) = Лп(М). Здесь Лп{М) - ориентирующий пучок многообразия М (определяемый как продолжение на край дМ ориентирующего пучка многообразия intM, образованного локальными гомологиями Нп(М,М \x;R) в точках х Є intM с коэффициентами в R). Второе требование имеет два варианта: либо f(dM) С dN, либо д(дМ) С dN. Числа Лефшеца определяются как Х оС-!)4Sp6q , где в случае, когда д{дМ) С dN, в9 есть отображение пространства Hg(N; R) в себя, равное композиции: H"(N;R) -+f. Я«(М;Д) =D Hn-n{M,dM;Wn(M)) - д. Hn-q(N,dN;Kn{N)) =D Hq(N;R). В случае же, когда f{dM) С dN, отображение Qq есть отображение в себя пространства Hq(N,dN;R), определённое как композиция:Я9(і\ , dN; R) — /» Hq(M,dM;R) =D Hn_q(M;Xn(M)) -»,. Hn_q(N;Mn(N)) =D Hq(N, dN; R). Участвующие здесь двойственности Пуанкаре будут пояснены в основном тексте ниже. Заметим, что в силу компактности многообразий векторные пространства Hq(N, dN; R), Hq(N; R) конечномерны, поэтому следы определены.
В случае многообразий без края оба способа определения числа Лефшеца совпадений эквивалентны. В случае же непустых краёв, когда f(dM) С dN и g{dM) С dN одновременно, имеются два различных способа определить число Лефшеца совпадений. В работе [3] доказывается результат, близкий результату Mukherjea К.. Именно, доказывается, что разность этих двух чисел с точностью до знака совпадает с числом Лефшеца пары отображений f\aM,g\aM:dM-+dN.
Если обобщения на случай многообразий с краем, неориетиру-емых, но обязательно компактных, шли по пути обощения схемы доказательства в простейшем случае замкнутых многообразий, то случай некомпактных многообразий потребовал привлечения новых идей. В случае ориентируемых многообразий без края возникшие проблемы были преодолены В.Р. Давидяном в работе 1980-ого года [25]. В данной работе было сделано следующее.
Пусть M,N - n-мерные многообразия, ориентируемые, без края, вообще говоря, некомпактные. Пусть f,g - неперывные отображения М — N, при этом / - компактное, д - собственное. В работе [25] в данной ситуации определено число Лефшеца совпадений отображений /,(/и доказано, что неравенство этого числа нулю влечёт наличие точки совпадения у отображений / и д.
В работе [26] рассмотрен случай, когда М, N - n-мерные ориентируемые многообразия с краями, вообще говоря, некомпактные. При этом вводится дополнительное предположение, что f(dM) С dN. В этом случае также определено число Лефшеца совпадений отображений /,JH доказано, что неравенство этого числа нулю влечёт наличие точки совпадения у отображений fug.
В каждом из случае происходит построение индекса совпадений If g и доказывается, что Afi3 = Ift9, при этом в каждом из случаев оказывается практически очевидно, что если точек совпадения нет, то Ift9 — 0. Таким образом, доказав равенство A/i9 = Ift9, мы получаем доказательство основной теоремы. Построение Ift9 во всех случаях происходит по схожей схеме.
В случае гладких отображений компактных гладких многообразий данное число имеет наглядную интерпретацию. Для типичных пар отображений f,g множество точек совпадения есть конечный набор точек. Каждой такой точке х мы можем приписать знак пересечения в точке f(x) х д(х) диагонали Д и образа Im(f х д). Тогда Ifg есть сумма этих знаков по всем точкам. Так что Ijg есть алгебраическое число точек совпадения.
В случае, когда X - компактное ориентируемое многообразие с краем, N - внутренность X, а ц - фундаментальный класс, мы получаем одно из прежних определений числа Лефшеца. При этом в качестве частного случая частично (т.к. мы предполагаем, что все точки совпадения лежат в N) получается теорема Лефшеца для отображений ориентируемых компактных многообразий с краем.
Будет рассмотрена также следующая задача. Известно, что для эйлеровой характеристики верна следующая формула. Пусть имеется расслоение с постоянным пучком Лере, такое что когомологий тотального пространства Е, базы X и слоя S конечномерны и равны нулю во всех размерностях, начиная с некоторой. Тогда верна формула для эйлеровых характеристик: х(Е) = ХРОХО )- Широко известный способ доказательства этой формулы заключается в рассмотрении спектральной последовательности Лере проекции Е — X (см. следствие 9.1 в [21]).
Аналогичный результат имеет место для расслоений с локально постоянным пучком Лере, но при условии, что база - конечный
CW-комплекс (см. замечание в пункте 2 главы 3 в [20]). Без этого условия данная формула вообще говоря может нарушаться, см. пример на стр 2. доклада Дуади в [22].
В этом примере пространство расслоения - факторпространство S°° х 52п, где 5°° - подмножество векторов длины 1 в пространстве М.°° = фі=1 М., по отношению к отождествлению (ж, у) и {—х, —у). С одной стороны, данное пространство расслоено над Р2п со слоем S°°, так что когомологии X совпадают с когомологиями Р2п, поэтому х(Х) = 1. С другой стороны, данное пространство расслоено над Р°° со слоем S2n, но х(Р°°) = liX(S2n) = 2, так что формула нарушается.
В диссертации показывается, что гомологическая локальная связность X не обеспечивает его размерную полноценность даже при дополнительном требовании периферической гомологической локальной связности над Z. Пространство X называется периферически гомологически локально связным над некоторой группой коэффициентов G, если для любой окрестности U произвольной точки х Є X и всякого числа к 0 можно подобрать такую окрестность V С U этой точки, что при р к отображения гомологии Щ(Х \ ж, U \ х; G) — Щ(Х \ ж, V \ х\ G) имеют нулевые образы. Двойственным образом в терминах когомологий Hp(X\x,U\x; G) определяется периферическая когомологическая локальная связность X над G (см. п. 5 в [34]. Естественность этих определений оправдывается равенством нулю соответсвующих пределов используемых групп, см., в часности, [35]).
Известно [37], что гомологическая локальная связность конечномерного пространства X над любым счётным кольцом R эквивалентна счётности всех локальных гомологии X над R. Аналогичным образом, периферическая когомологическая локальная связность X над R эквивалентна счётности всех локальных когомологий НР(Х,Х \ х; R) пространства X (предложение 2 в [27] ). Как оказалось, наличие для X обоих условий локальной связности вместе эквивалентно конечной порождённости всех локальных гомологии Щ(К) = НР{Х, X \ х; R) (следствие 1 в [27]).
В главе 8 показывается, что пространства с конечнопорождён-ными гомологиями над R = TL тогда и только тогда размерно полноценны, когда их локальные гомологии в старшей размерности не имеют кручения (теорема 7). Естественно называть такие пространства гомологическими полиэдрами. В главе 9 устанавливается наличие компактов с конечнопорождёнными локальными гомоло-гиями (тем самым одновременно гомологически и периферическими гомологически локально связных над Z), для размерности произведений которых логарифмический закон не имеет места. Приводимый пример является модификацией конструкции, использовавшейся Дранишниковым для построения контпримера к гипотезам Дайера и Борсука. В главе 10 обсуждается сложность по сравнению с гомологическими многогобразиями локального устройства гомологических полиэдров. Именно, в предложении 20 приводится пример гомологического полиэдра, такого что на всюду плотном множестве локальные гомологии в наибольшей размерности обращаются в ноль.
В заключении хочу выразить благодарность своему научному руководителю, профессору Е.Г. Скляренко, за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также всему коллективу кафедры высшей геометрии и топологии за доброжелательную и творческую атмосферу.
Редукция теоремы 1 к теореме 2. Доказательство теоремы 3
Пусть теперь одновременно f(dM) С dN, д(дМ) С dN. Обозначим как df, dg отображения dM — dN, являющиеся ограничениями на dM отображений /, д. Так как многообразия dM, dN не имеют края, то для них оба определения числа Лефшеца отображений df, dg совпадают. Соответствующее число Лефшеца обозначим как Аэ/,дд- Тогда имеет место ТЕОРЕМА 3. Если f{3M) с dN, g{dM) С dN, то A fg - А }д = Adf,dg Теорема 2, в частности, применима к многообразиям без края. С учётом этого, следуя рассуждениям Давидяна в [26] для ориентируемого случая, можно вывести теорему 1. Приведём эти рассуждения. Подклеим "воротники" к краю каждого многообразия и получим многообразия без краёв: M = MU (dM х [0,1)), iV = N U (dN х [0,1)). Отображение f из М в N определяется как композиция ретракции из М в М, отображения / из М в N и вложения N в N. Отображение д определяется как совпадающее с д п& М, а на "воротнике" dM х [0,1) как отображение, действующее так : g(x,t) = (g(x),t), где х Є dM,g(x) Є dN. При этом / остаётся компактным, а д собственным и ориентируемым. Присоединение "воротников" не меняет когомологий многообразий H (N; R), а гомологии пары (М, dM) изоморфны гомологи-ям М. Действительно, для произвольных локально постоянных коэффициентов А имеют место канонические изоморфизмы Н (М, dM; А) = Н (М;А) - H (intM;A) = H (M, M\intM-,A) в силу собственной гомотопической эквивалентности пар (М, dM) и (М, M\intM) (здесь М = М U (dM х [0,1]) ). В то же время канонически изоморфны H (M,dM;A) и H (intM;A), так что имеется канонический изоморфизм H (M,dM;A) Н (М;А). Тем самым hj = A fg и из h!jg ф 0 следует наличие точек совпадения у /, д, а потому и у отображений /, д.
Таким образом, теорема 1 сведена к теореме 2. Доказательство теоремы 3 проходит по той же схеме, что и доказательство теоремы 4.9 в [3]. Именно, рассматривается коммутативная диаграмма: При этом вд означает гомоморфизм 6q, использовавшийся при определении A. jg, вд означает гомоморфизм вч, использовавшийся при определении А /», а в - гомоморфизм вд, используемый для определения Л8/)8э. Данная диаграмма получается соотвественно определениям гомоморфизмов типа вд через гомоморфизмы / , D, д и D x как композиция отображений точных последовательностей когомоло-гий пары (N, dN) и гомологии пары (М, дМ). Её коммутативность - следствие того, что для двойственности Пуанкаре имеют место диаграммы (по одной для М и N) типа: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. В этой диаграмме центральные квадраты коммутируют, а верхние и нижние коммутируют с точностью до знаков (—I)9-1 и (—1)? соответственно (при этом "Kn-i{dM) = Кп{М) \дМ). Прежде чем исследовать данную диаграмму на коммутативность, уточним входящие в неё отображения. Изоморфизм двойственности Пуанкаре задаётся с помощью отображения ц, где /х - фундаментальный класс гомологии, принадлежащий группе Нп(М, дМ; 1КП(М)) в случае D и D или группе Я„_і(0М; Яп і(дМ)) - в случае Da. Для многообразий без края это доказано в следствии 10.2 главы 5 в [31]. Для многообразий с краем рассмотрим коммутативную диаграмму: Здесь (р - семейство всех подмножеств intM, замкнутых в М. Так как нижняя строка - изомофизм, то и верхняя - тоже изоморфизм. Значит, D" = \i. Аналогично доказывается, что и отображение г-, ц : Hq(M]R) -» Hn q(M,dM;Din(M)) есть изоморфизм двой-ственности,поэтому и D = ц. Заметим, что для компактных многообразий в случае постоянных коэффициентов эти соотношения -теорема 12 из 3 главы 6 в [8]. Пусть [М] и [N] - обсуждаемые фундаментальные классы для М и N. Можно считать, что ([М]) = [5М], где 5 - связывающий гомоморфизм в гомологической последовательности пары (М, дМ). Это следует из того, что 5 в наивысшей размерности - изоморфизм, если край связен, и "диагональное"отображение в общем случае. Убеждаемся в этом, ограничив 5 на достаточно малую окрестность U некоторой точки х Є дМ, такую что пара (U, ІІПдМ) гомеоморф-на паре (К", R"-1) и ограничения на неё коэффициентов ЛП(М), Жп-і(дМ) постоянны.
Тогда утверждение, что 5([М]) = [#М], есть следствие естественности 5. Вернёмся к вопросу о коммутативности диаграммы, включающей изоморфизмы двойственности, т.е. к предложению 3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Центральный квадрат коммутирует в силу равенства (9) в 10 главы 5 в [31]. Рассмотрим теперь крайние квадраты, сперва нижний. Воспользуемся вариантом определения - -умножения в терминах сингулярных гомологии и когомологий, в том числе для гомологии с любыми замкнутыми носителями, в
Доказательство теоремы
Элемент ть/ лежит в группе НЬ(Ь, BL; R). Поэтому нам достаточно доказать, что для любого элемента с Є Ht(L, BL; R) имеет место равенство () aq х bn q)/, с = Ьп-1, а\с . Установим следующее соотношение. Пусть имеются и Є Hq(X, А; А), v Є Hn-q(Y,B;%), w Є Щ(Х,А;А), о Є #_t(Y,;B), а х обозначает построенные ранее прямые произведения когомологий и гомологии. Тогда имеется равенство (и х v)/o, w — uxv,wo . Действительно, возьмём коцикл u х v Є Cn((X,A)x(Y, В); АЪ), представляющий элемент и х v, цикл w Є С(Х, А; А), представляющий w, цикл о Є Cn_t(Y, В;Ъ), представляющий о. Элементу u X v при эквивалентности тензороного произведения цепей сомножителей и цепей произведения пар соответсвует элемент (и х v) ИЗ HomR((CZ(X, А; А) C$(Y, В; Ъ))п, R). По определению коцикл к, представляющий (uxv)/o таков, что верно k,w = (u х v) ,wx о . По самому определению декартова произведения цепей и коцепей последнее выражение совпадает c uxv, wxo . Переходя от цепей и коцепей к группам гомологии и когомологий, получаем нужное равенство. Для тех же классов гомологии и когомологий имеет место следующее: uxv,w х о есть 0, если t ф д, и u,w v, о , если t = q. Пусть u, v - коциклы, представляющие и, v. Рассмотрим их как элементы С (Х,А; А), С (У, В;Ъ). Аналогично рассмотрим циклы w, о как элементы С$(Х, A; A), C (Y, В; Ъ). Было построено отображение произведения коцепей х : Нотп(С%(Х, А]А),R)Horn,R(CZ(Y,В\Ъ),R) — Нотя{С$(Х, A;A)CZ(Y, В; Ъ), R) Нотц(с{(ХхУ;АЪ)/(С${Ах У\А%Ъ) + С$(Х х 5;Л!В)),І2). Первое отображение сопоставляет гомоморфизмам u, v гомоморфизм, принимающий на w S о значение u(w)v(o). Второй гомоморфизм индуцирован эквивалентностью тензороного произведения цепей сомножителей и цепей произведения пар. Он переводит гомоморфизм, принимающий некоторое значение на wo, в гомоморфизм, принимающий то же значение на w х о. Из этого получается, что u х v, w х о = и, w v, о . Переходя к отдельным размерностям И к группам гомологии и ко-гомологий, получаем нужный результат.
Вернёмся к изначальной ситуации. Имеется элемент Є H_t(N, N\ Li;3in(N)) и элемент TL = 2оа х Ьп ч. Применяя теперь аддитивность опрерации /, получаем что (%2qaq х Ь" 9)/, с = Ьп г, а1, с . В силу произвольности с получаем, что (%2„аЧ х Ьп-і)/= Ьп-\ аК Отсюда сделаем следующий вывод. Пусть {р%} - базис векторного пространства Hq(L, ВЦ R), {nf4} - базис Hn q(N, N\Ln Kn{N)). Элемент TL представим в виде: TL = 2aeqcapPa х Vfi q- Гомоморфизм TL/ действует на элемент Є H _t{N,N \ Li\ Kn{N)) как ть/ї = (Е clpPl х Vnfq)/t = « р »#- , РІ в которой образы обоих горизонтальных отображений конечномерны и отличны от нуля лишь для конечного числа размерностей. В этом случае числа Лефшеца отображений h,h совпадают. Пусть j : L С N - вложение описанного выше компактного подмножества L. Как в обозначим композицию: Hq(L,BL;R) - ,. H"(M,dM;R) =D Hn_q{M;Kn(M)) - „. Hn.q(N-Kn(N)) =D. Hq(N, dN\ R) - Н"(Ц ВЦ R). Образ отображения / конечномерен. Действительно, отображение Hq(L, ВЦ R) — Hq(M, дМ; R) разлагается в композицию: Hq(L,BL;R) -» Hq(intL,intLndN;R) -» Hq([f{M)], [f(M)]ndN;R) -» Hq(M,dM;R), образ же второго из отображений конечномерен в силу таких лее рассуждений, что и для 6q перед определением 2. Применяя общее утверждение, получаем, что число Лефщеца для отображений 6 q равно исследуемому числу Л/]5. Шаг 2. Пусть U есть окрестность дМ, гомеоморфная дМ х [0,1]. Пусть К - компактное подмножество М, такое что UClK имеет вид В К х [0,1] для некоторого компактного подмножества ВК С дМ, и при этом д х{Ьі) С intK. Пара {ОМ, М \ К} в М вырезаема для любых локально постоянных коэффициентов. В самом деле, согласно теоереме 4 6 главы 4 в [8] нам достаточно доказать, что (дМ, дМ П (М \ К)) С (дМ U (М \ К), М \ К) индуцирует изоморфизм сингулярных гомологии для любой локально постоянной системы коэффициентов.
В силу свойства вырезания достаточно доказать это для пар (дМ, дМ п (М \ К)) С {{дМ U (М \ К)) n U, (М \ К) П «7). В других обозначениях первая пара есть (дМ, дМ \ В К), а вторая - (дМ U (U \ (U П if)), (/ \ (/ П if))). Теперь, воспользовавшись строением множества С/ П К, получаем, что обе пары гомотопиче-ски эквивалентны, поэтому их включение индуцирует изоморфизм сингулярных гомологии для любой локально постоянной системы коэффициентов. В этом случае имеется умножение: : Hq(M, дМ; R)H(M, (М\ К) дМ; Имеет место коммутативная диаграмма: При этом под vix понимается следующий класс. Пусть и - ориентирующий класс многообразия N, лежащий в Hn(N, dN; !Kn(N)), L\ - компактное подмножество N. Определён образ v в H (N, dNU (N\Li);CKn(N)). Его мы и обозначим как vЪ1. Согласно предложению 5, определено произведение : Hq(N, dN; R)H (N, dNU(N\ Li);JCn(N)) — Hn_q(N, N\ Li;!Kn(N)), это даёт нам отображение - vLl : H (N, dN; R) -. Hcn_q(N, N \ Li; n(N)). Имеется (см. предложение 7) операция / : Яn((L, BL) х (N,N\ Li));i?Wn(iV)) 8 _g(JV, iV\Li; n(iV)) - Hq(L,BL;R). Напомним, что класс TL (определение 3) лежит в группе Hn((L, BL) х (N, AT\Li)); RJ{.n(N)). Поэтому имеется отображение TL/ : H _g(N, N\ Li;ttn(iV)) - H«(L,BL;R). Докажем коммутативность этой диаграммы. Нуждается в доказательстве лишь коммутативность нижнего треугольника. с точностью до знака (—I)"9 есть отображение j , индуцированное вложением j : L С N. TL/ Близкое утверждение доказано в [44]. С незначительными модификациями приведённое там доказательство годится и для нашего случая, воспроизведем его. Сперва докажем вспомогательное утверждение (см лемму 2 в [44]), после чего вернёмся к доказательству леммы 3. ЛЕММА 4. Пусть а Є Hq(N, dN; Л), а 7 Є H (L х N, {BL x (JV\ BL)) U {{L x N) \ A); RJCn{N)). Пусть pi,P2 - проекции LxN на первый и второй сомножитель соответственно. Пусть j : L С N. Тогда верно равенство: 7 w р2 2 = 7 PiJ 01 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего проверим, что оба произведения определены. Элемент р\а. лежит в группе Hq{L х N, L х dN;R), элемент p\j a лежит в группе Hq{L х N,BL х N;R). Элемент 7 лежит в H {L х N, {BL х (AT \ BL)) U {{L x JV) \ Д); i?!K„(JV)). Умножение когомологий ЯР(Х, Лі; У фЯ Х, Л2; S) -» Hp+q{X, ЛііХ, Л2; Л 23) было определено в случае, когда пара {Лі, Л2} ъХ вырезаема с коэффициентами в Л Ъ. Для произведений 7 Ръ, 7 w Р\Э а пары {Лі, Л2} имеют вид {(BLx(iV\BL))U((LxiV)\A),Lx9iV}, {(BLx(JV\5L))U((LxAT)\ A), BLхiV}. Объемлющее пространство есть LxN. Эти пары мож но переписать так: {((LxN)\A),LxdN}, {{{LхN)\A),BLxN}. Однако, эти пары не являются вырезаемыми, поэтому, чтобы опре- 4 делить произведения, воспользуемся следующей конструкцией. і Пусть имеется включение Л2 С Л 2, такое что пара (X, Л2) гомо-топически эквивалентна (X, А 2), а пара (X, Лі U Л2) гомотопически эквивалентна (X, А\ U Л2). Пусть при этом пара {Лі, Л2} вырезаема. Тогда имеются изоморфизмы Н9{Х, Л2; В) Hq{X, Л 2;В) и HP+q(X, Ах U Л2; Л 3) HP+q{X, Ах U Л2; Л (8) Б). В силу выреза-емости {Лі, Л2} имеется умножение ЯР(Х, Лі; Л) g Я9(Х, Л2; Ъ) — Hp+q{X, Лі U Л2; Л S). Это даёт нам умножение ЯР(Х, Лх; Л) (8) Я«(Х, Л2; S) - HP+q(X, Лі U Л2; Л О 3). Применим эту конструкцию. Рассмотрим первую пару {{BL х (N \ BL)) U {{L х N) \ A),L х ON} = {{{L х N) \A),Lx ON}. Пусть Ut - замкнутая окрестность края N, гомеоморфпая прямому произведению dN х [0,і], такая чтоП Ut = BL х [0, і]. Заметим, что пара {{{L х N) \ A), L х U\} вырезаема в L х N по теореме 3 из 6 главы 4 в [8]. При этом пары {{L х N),L х dN) и {{L х N),L х Ui) гомотопически эквивалентны.
Мультипликативные формулы для чисел Лефшеца I
Отсюда немедленно получается: СЛЕДСТВИЕ 2. Определённое с помощью въ„ число Лефшеца сов- \ падений равно числу Л ,э, определённому с помощью отображений вц, а числа Лефшеца, определённые с помощью 0 ,6 , равны (—1)пА д. То есть они совпадают с точностью до знака. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверим, что Sp6lq = SpO . Выберем специальным образом базис {е{} в Hq(N\R). Пространство Hq{N;R) представляется в виде прямой суммы Kerf Ф V, где V конечномерно и изоморфно отображается на свой образ в Hq(M; R). Пусть {е } - базис H9(N; R), такой что векторы {е ,г = 1,..., К} образуют базис подпространства V, а оставшиеся векторы - базис Kerf . Так как образ / конечномерен, то конечномерен и образ / Дл# Ам-Поэтому пространство Hq(M; R) представляется в виде прямой суммы Ker(f D g DM)V, где V конечномерно. Выберем базис {е"} в НЧ(М;К) так, чтобы векторы {e",i = 1,..., L} образовывали базис подпространства V, а оставшиеся - базис Ker(f Dxg DM)- В пространствах Нр(М,дМ;Жп(М)) и Hp(N,dN;J :n(N)) фиксируем базисы {Djvre",} и {Дуе } (как и выше, символами Ду, DM обозначаем как отображения из гомологии в когомологии, так и обратные ). Пусть в выбранных базисах / действует на базисных векторах как / (е) = J2j aiej а 9 как g (DMe") = J2j Ь Длге$ (в обоих случаях конечные суммы по j).Коэффициенты а\ отличны от нуля для конечного числа индексов i,j. При данном выборе базисов получаем, что Sp9 = Яр(Длг0 Дм/ ) = І=І СС ВД). a SpBl = Sp(DMf DNg.) = i=1 L(fca febt ). 5. ЗАМЕЧАНИЯ К суммирование в обоих случаях мы можем производить не по г = 1,...,К и г = 1,...,L, а по всем значениям г. Действительно, в первом случае а1- = 0 при і К, ведь при і К имеем / (eQ = 0. Во втором случае имеем равенство Ylkal i = ПРИ і L, потому что f DNg (DMe") = Опри і L, a Y k iak представляют из себя коэффициенты разложения ї Омд {Рме 1) по векторам базиса {DM J} Так.как лишь конечное число коэффициентов а\ отлично от нуля, то только конечное количество произведений агкЩ отлично от нуля. Поэтому, имеют место равенства Sp9x = і(ї2к каі) = Sp@p-Так что Sp9\ = Sp92p. Аналогично проверяется, что Sp6q = Sp9p. Проверим, что Sp9\ = Sp9q.
В следствие совпадения с сингулярной теорией имеет место формула универсальных коэффициентов, так что HorriR(Hq(..;R),R) = Hq(..;R). В соответсвии с теоремой 10.5 гл. 5 в [31] имеет место равенство Яотд(Я (..;!Кп(М)),Л) = Hq(..; СК„(М)) (мы пользуемся тем, что для топологических многообразий Жп(М)-1 = Кп(М)) В соответствии с формулами универсальных коэффициентов, если к Hq(M;R) и определяющему 9ц отображению Цд/ 7 Ду/ применить функтор HomR(,R), мы получим Hq(M;R) и отобра жение f Dpfg„DM- След этого отображения совпадает со следом Sp9p. Действительно, возьмём базис {е"} в Hq(M;R). Тогда эле мент rDNg DM{e !) = rDNg DMe - / W(Efc №„$) = f fc Щ = Т,нТ,$Ы$- Поэтому Spf DNg DM = fc 4 = Sp9\ Г Тем самым достаточно доказать следующее: для оператора 9 : V — V в векторном пространстве V (в нашем случае это пространство (М; R) и отображение 0) с конечномерным образом и сопряжённого оператора 9 образ 1т9 конечномерен и верно равенство Sp9 = Sp9. Отсюда будет следовать, что Sp9zq = SpDMg cDNft = Sp{DMg cDNf$) = Spf DNg DM = Sp9\. Представим V в виде прямой суммы V — Vх ф V2, где Vі конечномерно и инвариантно под действием 9, а V2 содержится в ядре. Отсюда следует, что Sp9 = Sp(9 \vi) Имеет место разложение инвариантное по отношению к 6 V = (V1) Ф (V2) с конечномерным (V1) и с нулевым ограничением в на (У2) . В сопряжённых базисах сопряжённые отображения задаются взаимно транспонированными матрицами, поэтому Sp9 = Sp9 . Таким образом, следы всех четырёх отображений равны. В предположении, что f(dM) С dN, ситуация аналогична: имеется четыре способа определить число, Лефшеца совпадений, приводящих к одному и тому же результату с точностью до знака. 6. Мультипликативные формулы для чисел Лефшеца I 0. Предварительные замечания. Приведём описание некоторых типичных конструкций, используемых в основной части работы. Пусть / : Е —» X и / : Е —» X - отображения компактных конечномерных etc пространств, для которых пучки Лере локально постоянны. Пусть имеются также отображения д : Е — Е и д\ : X —» X , для которых коммутативна диаграмма: Соотвествующие спектральные последовательности Лере (см теорему 6.1 главы 4 в [31] ), сходящиеся к когомологиям пространств Е,Е , обозначим как Ер4 и E,P. q- При этом вторые члены этих последовательностей представляют из себя соответственно ЕР 9 = Hp(X;W{f)) и Щч = Hp(X ;W(f)) . Имеется индуцированный зі когомоморфизм д : 0Ї (/ ) — W (/), такой что на слоях он совпадает с гомоморфизмами, индуцированными ограничениями на них д, т.е. с ограничениями д : 9C(/ )gi(x) = # (/ -1Ыж))) -V Я (/-1(ж)) = №(f)x (см. п. 3.5 и 4.3 в главе 4 в [31]). Имеется отображение когомологий д : Н (Е ) —» Н (Е). Имеется также отображение спектральных последовательностей, такое что отображение члена -E согласовано с представленным выше отображением д (см. п. 6.2 главы 4 в [31]). Будем говорить, что отображение спектральных последовательностей, индуцировано отображениями д, д\. При этом отображение вторых членов НР(Х , JC (f )) — НР(Х, JK (/)) есть отображение когомологий, индуцированное непрерывным отображением д\ и когомоморфизмом д (см. п. 6.2 в главе 4 в [31]). Как всякий когомоморфизм, д разлагается в композицию д = li2hi, где hi есть когомоморфизм в обратный образ ЗС(/ ) —» 5i (/ )i а /&2 есть гомоморфизм из д\Л {р) в 9С (/) ( 4 главы 1 в [31]). В соответствии со сказанным разложением когомоморфизма гомоморфизм Нр(Х ,0ї (/ )) — НР(Х, ${ (/)) разлагается в композицию гомоморфизма Hp(X ,3i (f )) - Hp(X,gl3i (/ )), индуцированного с помощью hi, и гомоморфизма НР(Х, glW(f )) — НР(Х, Di (f)) индуцированного с помощью /. Так как пучки Лере локально постоянны, то пучок g 3t (f) также локально постоянен.
При этом hi отображает слой 3 (/ )sx(x) в слой g\0i (f)x изоморфно. Гомоморфизм же /i2 из д !К (/) в 2С (/) одинаково действует на слоях, так как он есть гомоморфизм локально постоянных пучков. Наконец предположим, что Е = Е , X — X , f = / . Тогда определено число Лефшеца отображения д. Пространства ЕР 4 конечномерны, поэтому, так как Er = H(Er i), конечномерны все пространства ЕР,Я, где г = 2,...,оо, и можно говорить о числах Лефшеца Аг индуцированного с помощью д отображения градуированного пространства Ег в себя. Как обычно, под числом Лефшеца отображения в себя двойного комплекса {Kp,q} мы понимаем число Лефшеца отображения в себя комплекса {Кп = Hp+q-nKp 9}. Установим равенство А2 = А( ?). Так как Ет = H(Er-i), то Ar = Ar+i (теорема Лефшеца). В силу конечномерности базы и слоев только конечное число групп EP,q, а следовательно и групп Ep,q, отлично от нуля. Поэтому существует N, такое что Er — EQO для г N. Следовательно, А2 = А . Покажем, что А , = \(д). Это имеет место в силу равенства Еэ = Нп(Е), которое следует из того, что Е есть градуированная группа, ассоциированная с некоторой фильтрацией в Нп{Е). Но так как мы имеем дело с векторными пространствами, то Нп(Е) восстанавливается как Нп(Е) = 2Р+ч=пЕРія- Тем самым , = Нп(Е) и А2 = Аоо = Kg) 1. Случай постоянного пучка Лере !К (/). Рассматриваем ситуацию, когда Е — Е , X = Xі, / = / и пучок Лере постоянен. Определим число А, которое можно интерпретировать как число Лефшеца отображений слоев. Возьмём произвольную точку х Є X. Как известно, в рассматриваемых условиях слой JC (f)x изоморфен H (f 1(x)) (см. предложение 4.2 главы 4 в [31]). Под действием д слой /-1(х) отображается в слой / {дііх)), значит, имеется отображение когомологий: д\ : - (/_1(#і(ж))) — H {f 1{x)). В силу постоянства пучка К (/) имеется канонический изоморфизм когомологий /Г (/-1 (ж)) (/-1(5,і(ж)))) поэтому определено отображение Н (/-1 (ж)) — и (/_1(ж)). Число Лефшеца этого отображения обозначим как Хх. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 17. Число Хх не зависит от х. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как пучок Лере ІК (/) постоянен, то постоянен и пучок gl5i (f). Возьмём точки х, у. Из предыдущих рассуждений и постоянства пучков Лере следует, что диаграмма коммутативна: При этом горизонтальные стрелки - канонические изоморфизмы между слоями постоянного пучка. Из данной диаграммы и из определений чисел Хх и Ху следует, что они равны. Обозначим как Л не зависящее от х число Лж. Оно может быть интерпретировано как число Лефшеда отображения слоя над точкой х в слой над точкой дг(х). Обозначим как к отображение (постоянного) слоя !К (/), индуцированное д. Нашей целью является доказательство утверждения: "" ч ТЕОРЕМА 5. В случае, когда Е = Е ,Х = X ,f = / и пучок Лере постоянен, верно равенство Х(д) = X X(gi). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сходящуюся к когомологиям Е спектральную последовательность Лере отображения / : Е — X и действие этого отображения на её второй член ЕР 4 = НР(Х; 59(/)). Разложением когомоморфизма # в композицию 9iq(f) — hl 5i 9(/) 2 3ig{f), определяется композиция Hp(X;Jiq(f)) - Hp(X;gl"Kq{f)) h 2 Hp{X; Kq{f)) (см. 8 главы 2 в [31]). Как и 1К9(/), пучок gl Kq(f) постоянен и имеет те же слои, поэтому tt (/) = glW(f). В силу определений hi и / отображение h\ есть д\ : НР(Х; 3 (/)) — Hp(X;!Kq(f)) ( индуцировано отображением gi), a h 2 есть отображение НР(Х; ІК9(/)) в себя, индуцированное отображениями слоев посредством kq. Так как пучок Лере постоянен, а его слои - векторные пространства, то Hp{X\ Kq{f)) = Hp(X)Kq(f). Обозначим как в отображение Нр(Х) W(/) - НР(Х) Jtq(f), совпадающее с гомоморфизмом ЕР Я в себя, индуцированным д. Как было показано,
Гомологические полиэдры
Всюду в работе X - конечномерное метризуемое локально компактное пространство, п = hdimzX - гомологическая размерность X пад Z. Известно [36], что п - максимальное число, для которого Щ = Hp(Z) т Ов некоторых точках х Є X. Пространство X, все локальные гомологии Н которого конечно порождены, будем называть квазиполиэдром. Как отмечено выше, квазиполиэдры - это в точности гомологически и периферически гомологически локально связные пространства. Квазиполиэдр, старшие локальные гомологии Н% которого не содержат кручения, будем называть гомологическим полиэдром. ТЕОРЕМА 7. Квазиполиэдр X тогда и только тогда размерно полноценен, когда он является гомологическим полиэдром. В этом случае п = hdimzX = dim%X = dimX. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем пользоваться тем, что размерная полноценность пространства X эквивалентна совпадению всех его когомологических размерностей dimoX с dimX (теорема В.Г. Болтянского). В соответствие с [28] в рассматриваемых условиях когомологическая размерность dim,QX совпадает с максимальным числом к, для которого в некоторых точках х Є X отличны от нуля локальны когомологии Н% — lim Hk(X,X\U; G), где U - окрест —x&U ности х. Кроме того, всилу следствия 1 в [27] группы i/(Z) конечно порождены, а в соответсвие с теоремой 4 в [27] имеют место формулы универсальных коэффициентов: О - Щ{Ъ) G -» H(G) - Tor{H \Z), G) -» О Если X размерно полноценно, то из того, что dirriGX = dimX = т для всех G, заключаем, что для некоторых х X в группах Н(1і) в качестве прямых слогаемых может быть выделена нетривиальная свободная часть. В соответствие с теоремой 4 в [27] в рассмотреных условиях имеют место формулы универсальных коэффициентов: О - Ext{Hf+\Z), G) - Щ(0) - #om(fl (Z), G) - О Из этих формул делаем вывод, что в соответствующих точках Н - нетривиальные свободные группы. Так как всегда hdimzX dim%X (см. [30]), то в силу указаной выше характеризации hdimzX локальными гомологиями имеем т — п — hdimzX. Наоборот, пусть в некоторой точке х Є X группа Н не имеет кручения.
В соответсвие с теоремой 4 из [27] в рассматриваемых условиях имеют место формулы универсальных коэффициентов: О - Ext{H _x(Z),G) - H {G) -» Нот(Щ(Ъ), G) -» 0 Из этих формул следует, что имеются нетривиальные группы H(G), а все H(G) при р п равны нулю. Так как в рассматрива емых условиях группы H%(G) характеризуют dimcX, это означает размерную полноценность X и равенство п = dimzX. Теорема до казана. Как известно, dimzX — 1 hdimzX dimzX (см. [ЗО]). Кроме того, равенство hdimzX = dimzX обеспечивает размерную полноценность X, а в классе гомологически локально связных пространств размерная полноценность влечёт равенство hdimzX = dim%X [30]. Таким образом, справедливо утверждение. СЛЕДСТВИЕ 3. Для гомологических полиэдров hdimzX = dimzX. Для квазиполиэдров, не являющихся гомологическими полиэдрами, dimzX — 1 + hdim X. ЗАМЕЧАНИЕ 10. Без условия гомологической локальной связности равенство hdimzX — dimzX размерной полноценностью не обеспечивается. В самом деле, положим X = FQ2 Ulpi QpfiUFRp, Flipp) - объединение пространств размерности 2, реализующих размерные функции по всем группам(см. [42]). Каждое слагаемое размерно неполноценно, поэтому гомологическая размерность каждого слагаемое есть 1. По теореме суммы hdimzX = 1. По теореме же Бокштейна когомологическая размерность по группе G равна максимуму размерности по некоторому набору групп типа Q, Qp, Ftp, Ър. Но размерность X по каждой из этих групп равна 2. Следовательно, для любой группы G имеем dimaX = 2, то есть X размерно полноценно. В работах А.Н. Дранишникова [25],[26] построено семейство четырёхмерных AR - компактов Мр, индексированное всеми простыми числами р, для которых dim(Mp х Ма) = 7 при рф q. На основе
