Метрические пространства без сопряженных точек Лебедева Нина Дмитриевна

Содержание к диссертации

Введение

1 Компактные пространства без сопряжённых точек . 10

1.1 Внутренние метрики 10

1.2 Пространства без сопряжённых точек 11

1.3 Общие свойства действия фундаментальной группы на универсальном накрывающем компактного пространства без сопряжённых точек 11

1.4 Метрики на группе и метрики слов 12

1.5 Объёмная энтропия и метрика слов на фундаментальной группе 14

1.6 Норма на абелевой подгруппе фундаментальной группы и её продолжение на Еп 15

2 Теорема об абелевой подгруппе фундаментальной группы . 17

3 Полиэдральные пространства. 20

4 Касательное пространство и геодезические . 22

4.1 Геодезические 22

4.2 Касательное пространство 23

4.3 Продолжимость геодезических 25

5 Мера Лиувилля . 30

5.1 Формула для вычисления меры Лиувилля 30

5.2 Инвариантность относительно геодезического потока 31

5.3 Мера множества с кратностью и её инвариантность 32

5.4 Геодезические общего положения 34

6 Геодезический поток. Класс мер, инвариантных относительно геодезического потока . 39

7 Обобщение теоремы о возвращении. 43

8 Теорема про тройные склейки и объёмную энтропию . 46

8.1 Обозначения 46

8.2 Специальное множество 47

8.3 Специальная мера 48

8.4 Оценка меры множества геодезических 49

8.5 Множество часто ветвящихся геодезических 51

8.6 Окончание доказательства теоремы 4 55

9 Теорема о полиномиальном росте. Теорема о полиэдральных пространствах с нильпотентной фундаментальной группой . 57

9.1 Гомотопический тип М 58

9.2 Построение локальной изометрии 59

9.3 Доказательство изометричности 69

Список литературы 72

• Пространства без сопряжённых точек
• Объёмная энтропия и метрика слов на фундаментальной группе
• Касательное пространство
• Мера множества с кратностью и её инвариантность

Введение к работе

^{Введение}

Настоящая диссертация посвящена исследованию компактных пространств без сопряжённых точек. Риманово многообразие не имеет сопряжённых точек, если ненулевое поле Якоби вдоль любой геодезической обращается в нуль не более одного раза. Для полного многообразия это условие эквивалентно тому, что экспоненциальное отображение невырождено в любой точке. Из теоремы Адамара ([16]) следует, что полное риманово многообразие не имеет сопряжённых точек тогда и только тогда, когда любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической. Это условие естественно принять за определение отсутствия сопряжённых точек для произвольного пространства с внутренней метрикой. С. Александер и Р. Бишоп ввели понятие сопряжённых точек ([1]) для случая пространств ограниченной сверху кривизны по Александрову и доказали теорему Картана-Адамара для случая неположительной кривизны. В работах [12], [15], [24], [21] исследовались римановы многообразия без сопряжённых точек.

Важным примером пространств без сопряжённых точек являются пространства неположительной кривизны по Александрову, в частности римановы многообразия неположительной секционной кривизны. В отличие от неположительности кривизны отсутствие сопряжёныых точек является динамическим свойством, так показано ([13]), что если два многообразия имеют сопряжённые геодезические потоки, то отсутствие сопряжённых точек на одном из них равносильно отсутствию сопряжённых точек на другом.

Как примеры пространств неположительной кривизны, не являющихся многообразиями, часто рассматриваются полиэдральные пространства ([6]). Под полиэдральным пространством мы будем иметь ввиду пространство с внутренней метрикой, которое можно получить склейкой симплексов с римановыми метриками по изометриям между их граничными симплексами. Некоторые результаты данной работы получены для самых общих пространств без сопряжённых точек, а некоторые для случая полиэдральных пространств.

Известной задачей, послужившей развитию области, была гипотеза Хопфа: всякая риманова метрика без сопряжённых точек на п-мерном торе является плоской. Гипотеза для случая п = 2 впервые была сфор-

ВВЕДЕНИЕ

мулирована в [23] и спустя б лет была доказана Э. Хопфом. В старших размерностях для пространств неположительной кривизны утверждение легко следует из известной теоремы о существовании вложенного плоского тора, соответствующего любой абелевой подгруппе фундаментальной группы ([7]). Гипотеза была доказана при условии положительности интегральной скалярной кривизны (L. Green, [17]), в предположении отсутствия фокальных точек (A. Avez, [3]), а также при различных других дополнительных предположениях относительно метрики. Полностью гипотеза Хопфа была доказана Д. Бураго и С. Ивановым ([9]). Известно ([11]), что гипотеза Хопфа неверна для финслеровых метрик. В данной работе получено обобщение гипотезы Хопфа на полиэдральные пространства с нильпотентной фундаментальной группой. Из этого результата и теоремы Громова о группах полиномиального роста, как следствие, получена теорема о том, что любое полиэдральное пространство без сопряжённых точек с фундаментальной группой полиномиального роста накрывается плоским тором.

При исследовании некоторых свойств компактных многообразий оказалось ([4], [5], [27]), что асимптотические свойства метрики их универсальных накрывающих пространств связаны с локальной геометрией самих компактных пространств, поведением геодезических в этих пространствах. На универсальном накрывающем пространстве М компактного пространства М действует изометриями фундаментальная группа 7Гі(М); впервые была оформлена Громовым хорошо известная в настоящее время идея приближения метрики на М метрикой на решётке в этом пространстве — орбите действия группы 7Гі (М), т.е. рассматривать метрики на фундаментальной группе. В связи с этим возникают различные вопросы о свойствах фундаментальных групп компактных пространств.

Интересные результаты получаются при сравнении асимптотических свойств метрики универсального накрывающего и какого-либо модельного пространства, например евклидова. Так показано, что рост средних объёмов метрических шаров в универсальном накрывающем пространства без сопряжённых точек не меньше чем в евклидовом, причём равенство достигается только когда метрика плоская (С. Croke, [12]).

Среди вопросов о топологии пространств без сопряжённых точек остаётся открытым естественный вопрос о возможности задания на произвольном пространстве без сопряжённых точек метрики неположитель-

ВВЕДЕНИЕ

ной кривизны. Несмотря на то, что построено множество примеров пространств без сопряжённых точек ([21]), не являющихся пространствами неположительной кривизны, неизвестно ни одного пространства без сопряжённых точек, не допускающего метрики неположительной кривизны. Ввиду этого интерес вызывает изучение свойств фундаментальной группы пространств без сопряжённых точек и их сравнение со свойствами фундаментальной группы пространств неположительной кривизны. В диссертации, в частности, обобщён результат Кроука и Шредера ([15]) о строении фундаментальной группы многообразия с римановой метрикой без сопряжённых точек на случай произвольного локально односвязного пространства без сопряжённых точек. В работе также доказано, что если полиэдральное пространство без сопряжённых точек не является пседом-ногообразием, то его фундаментальная группа имеет экспоненциальный рост. С использованием этих двух результатов было доказано обобщение гипотезы Хопфа.

Кроме того, в диссертации развивается техника работы с полиэдральными пространствами (независимо от отсутствия сопряжённых точек), которая может быть полезна и в других вопросах. Рассматривается вопрос о продолжимости геодезических в полиэдральных пространствах, а также доказывается сохранение меры Лиувилля при переходе через грань. Построен широкий класс ивариантных мер на пространстве полных геодезических с отмеченной точкой, что позволяет применять к этому пространству эргодическую теорию; построенный класс мер обобщает конструкцию используемую в [6] при исследовании полиэдров неположительной кривизны.

Далее описывается структура диссертации и приводятся формулировки результатов.

Работа состоит из 9 параграфов.

Первый параграф носит вводный характер и содержит основные определения, свойства и технические результаты для общих компактных пространств без сопряжённых точек. Результат второго параграфа доказан для таких пространств.

Параграфы 3-6 посвящены основным определениям и технике работы с полиэдральными пространствами независимо от свойства отсутствия сопряжённых точек.

Результаты параграфов 7-9 доказаны для полиэдральных про-

ВВЕДЕНИЕ

странств.

Результат параграфа 9 существенным образом опирается на результаты параграфов 2 и 8. В параграфах 7 и 8 используются меры, построенные в параграфе 6.

В параграфе 1 даются определения пространств с внутренней метрикой и пространств без сопряжённых точек, а также простейшие свойства представителей гомотопических классов петель в таких пространствах. Далее приводятся простейшие свойства действия фундаментальной группы на универсальных накрывающих компактных пространств без сопряжённых точек, рассматриваются асимптотические свойства метрики, связанные с действием группы.

Определяются понятие метрики на произвольной группе и метрики слов на группе с выбранной системой образующих, рассматривается связь метрики слов на фундаментальной группе с ростом объёма универсального накрывающего пространства.

В этом же параграфе доказывается основной технический результат, необходимый для доказательства теоремы 1 параграфа 2. Для доказательства теоремы вводится норма на группе, связанная с метрикой пространства, и сравнивается с метрикой слов на этой группе.

Для формулировки дальнейших результатов дадим определение прямой подгруппы:

Конечнопорождённая подгруппа Го Э Г называется прямой в Г, если метрики слов | |г₀ и j |г эквивалентны на Го-

В параграфе 2 доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть X — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряженных точек. Тогда любая конечнопорождённая абелева подгруппа фундаментальной группы 7Гі(Х) — прямая.

Эта теорема является асимптотическим аналогом известной теоремы для пространств неположительной кривизны: любой абелевой подгруппе фундаментальной группы такого пространства соответствует вложенный в это пространство плоский тор, той же размерности, что и группа.

Результат аналогичный теореме 1 был доказан Кроуком и Шредером ([15]) для случая, когда X — компактное многообразие с аналитической метрикой без сопряжённых точек.

ВВЕДЕНИЕ

Из теоремы 1 чисто алгебраическим путём получаются два следствия, доказательство вывода которых из аналогичной теоремы имеется в [15]. На первое из этих следствий опирается в дальнейшем доказательство теоремы 5.

Следствие 1 Пусть X — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряэюенных точек. Тогда любая нильпотентная подгруппа фундаментальной группы тгі(Х) абеле-ва.

Следствие 2 Пусть X компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой без сопряэюенных точек. Тогда любая разрешимая подгруппа Г фундаментальной группы щ(Х) — группа Бибербаха. В частности Г содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

В параграфе 3 приводится полное определение полиэдрального пространства, определение триангуляции, гладкой структуры на симплексах, внутренней метрики на полиэдральном пространстве.

В параграфе 4 определяется касательное пространство полиэдрального пространства (определено только в точках, лежащих внутри симплексов коразмерности меньшей двух). В этом же параграфе даются общие сведения о поведении геодезических в полиэдральном пространстве. Для доказательств удобно рассматривать только геодезические не пересекающие (п — 2)-мерный остов и пересекающие (п — 1)-мерные грани трансверсально, такие геодезические названы геодезическими общего положения. Доказано, что геодезические переходят через (п — 1)-мерные грани по правилу "угол падения равен углу отражения".

В параграфе 5 вводится мера Лиувилля на единичном касательном расслоении, доказывается её инвариантность под действием преобразования геодезического потока вблизи двух n-мерных симплексов с общей (п — 1)-мерной границей.

Вводится понятие меры Лиувилля скоростей множества геодезических с учётом кратности (т.е. если одному вектору соответствуют различные геодезические, этот вектор учитывается столько раз, сколько таких геодезических) и доказывается её инвариантность.

Доказывается, что если на (п — 1)-мерных гранях выбраны однозначные правила перехода для геодезических "почти касательных к этим граням", то для почти любого по мере Лиувилля единичного вектора,

ВВЕДЕНИЕ

любая геодезическая с таким начальным вектором скорости является геодезической общего положения. Этим фактом обусловлено название — геодезические общего положения.

В параграфе 6 построен широкий класс инвариантных относительно геодезического потока мер на пространстве геодезических. Эти меры позволяют выделять в пространстве геодезических подмножества с определёнными свойствами, а также применять к этому пространству эргодическую теорию.

В параграфе 7 доказано обобщение теоремы Пуанкаре о возвращении на случай полиэдральных пространств. По заданному геодезическому отрезку строится геодезическая с близким к данному начальным отрезком и почти возвращающаяся через некоторое время вместе с вектором скорости к своему начальному положению. Эта теорема была доказана в ([33]) другим способом, доказательство, приведённое в диссертации, с использованием инвариантной меры, построенной в параграфе б, значительно короче.

В параграфе 8 доказывается

Теорема 4 Пусть М - компактное полиэдральное пространство без края и без сопряженных точек. Если имеется более, чем два п-мерных симплекса триангуляции, имеющих общую (п—1)-мерную грань, то объемная энтропия пространства М положительна.

Положительность объемной энтропии пространства М означает, что объем метрических шаров в М имеет не менее чем экспоненциальный рост.

При доказательстве этой теоремы на пространстве геодезических вводится инвариантная относительно геодезического потока мера (одна из класса мер, построенных в параграфе 6) и к полученному пространству с мерой применяется эргодическая теория.

Интересен вопрос: будет ли положительной объёмная энтропия пространства без сопряжённых точек, полученного отождествлением в псевдомногообразии изометричных граней размерности меньшей (п — 1).

В параграфе 9 доказывается

Теорема 5 Пусть (М, р) — n-мерное полиэдральное пространство без края и без сопряжённых точек с нильпотентной фундаментальной группой. Тогда М — плоский тор.

При доказательстве этой теоремы используется следствие 1 теоре-

Пространства без сопряжённых точек

Настоящая диссертация посвящена исследованию компактных пространств без сопряжённых точек. Риманово многообразие не имеет сопряжённых точек, если ненулевое поле Якоби вдоль любой геодезической обращается в нуль не более одного раза. Для полного многообразия это условие эквивалентно тому, что экспоненциальное отображение невырождено в любой точке. Из теоремы Адамара ([16]) следует, что полное риманово многообразие не имеет сопряжённых точек тогда и только тогда, когда любые две точки в его универсальном накрывающем пространстве соединимы единственной геодезической. Это условие естественно принять за определение отсутствия сопряжённых точек для произвольного пространства с внутренней метрикой. С. Александер и Р. Бишоп ввели понятие сопряжённых точек ([1]) для случая пространств ограниченной сверху кривизны по Александрову и доказали теорему Картана-Адамара для случая неположительной кривизны. В работах [12], [15], [24], [21] исследовались римановы многообразия без сопряжённых точек. Важным примером пространств без сопряжённых точек являются пространства неположительной кривизны по Александрову, в частности римановы многообразия неположительной секционной кривизны. В отличие от неположительности кривизны отсутствие сопряжёныых точек является динамическим свойством, так показано ([13]), что если два многообразия имеют сопряжённые геодезические потоки, то отсутствие сопряжённых точек на одном из них равносильно отсутствию сопряжённых точек на другом. Как примеры пространств неположительной кривизны, не являющихся многообразиями, часто рассматриваются полиэдральные пространства ([6]). Под полиэдральным пространством мы будем иметь ввиду пространство с внутренней метрикой, которое можно получить склейкой симплексов с римановыми метриками по изометриям между их граничными симплексами. Некоторые результаты данной работы получены для самых общих пространств без сопряжённых точек, а некоторые для случая полиэдральных пространств.

Известной задачей, послужившей развитию области, была гипотеза Хопфа: всякая риманова метрика без сопряжённых точек на п-мерном торе является плоской. Гипотеза для случая п = 2 впервые была сфор мулирована в [23] и спустя б лет была доказана Э. Хопфом. В старших размерностях для пространств неположительной кривизны утверждение легко следует из известной теоремы о существовании вложенного плоского тора, соответствующего любой абелевой подгруппе фундаментальной группы ([7]). Гипотеза была доказана при условии положительности интегральной скалярной кривизны (L. Green, [17]), в предположении отсутствия фокальных точек (A. Avez, [3]), а также при различных других дополнительных предположениях относительно метрики. Полностью гипотеза Хопфа была доказана Д. Бураго и С. Ивановым ([9]). Известно ([11]), что гипотеза Хопфа неверна для финслеровых метрик. В данной работе получено обобщение гипотезы Хопфа на полиэдральные пространства с нильпотентной фундаментальной группой. Из этого результата и теоремы Громова о группах полиномиального роста, как следствие, получена теорема о том, что любое полиэдральное пространство без сопряжённых точек с фундаментальной группой полиномиального роста накрывается плоским тором. При исследовании некоторых свойств компактных многообразий оказалось ([4], [5], [27]), что асимптотические свойства метрики их универсальных накрывающих пространств связаны с локальной геометрией самих компактных пространств, поведением геодезических в этих пространствах. На универсальном накрывающем пространстве М компактного пространства М действует изометриями фундаментальная группа 7Гі(М); впервые была оформлена Громовым хорошо известная в настоящее время идея приближения метрики на М метрикой на решётке в этом пространстве — орбите действия группы 7Гі (М), т.е. рассматривать метрики на фундаментальной группе. В связи с этим возникают различные вопросы о свойствах фундаментальных групп компактных пространств. Интересные результаты получаются при сравнении асимптотических свойств метрики универсального накрывающего и какого-либо модельного пространства, например евклидова. Так показано, что рост средних объёмов метрических шаров в универсальном накрывающем пространства без сопряжённых точек не меньше чем в евклидовом, причём равенство достигается только когда метрика плоская (С. Croke, [12]). Среди вопросов о топологии пространств без сопряжённых точек остаётся открытым естественный вопрос о возможности задания на произвольном пространстве без сопряжённых точек метрики неположитель ной кривизны. Несмотря на то, что построено множество примеров пространств без сопряжённых точек ([21]), не являющихся пространствами неположительной кривизны, неизвестно ни одного пространства без сопряжённых точек, не допускающего метрики неположительной кривизны. Ввиду этого интерес вызывает изучение свойств фундаментальной группы пространств без сопряжённых точек и их сравнение со свойствами фундаментальной группы пространств неположительной кривизны.

В диссертации, в частности, обобщён результат Кроука и Шредера ([15]) о строении фундаментальной группы многообразия с римановой метрикой без сопряжённых точек на случай произвольного локально односвязного пространства без сопряжённых точек. В работе также доказано, что если полиэдральное пространство без сопряжённых точек не является пседом-ногообразием, то его фундаментальная группа имеет экспоненциальный рост. С использованием этих двух результатов было доказано обобщение гипотезы Хопфа. Кроме того, в диссертации развивается техника работы с полиэдральными пространствами (независимо от отсутствия сопряжённых точек), которая может быть полезна и в других вопросах. Рассматривается вопрос о продолжимости геодезических в полиэдральных пространствах, а также доказывается сохранение меры Лиувилля при переходе через грань. Построен широкий класс ивариантных мер на пространстве полных геодезических с отмеченной точкой, что позволяет применять к этому пространству эргодическую теорию; построенный класс мер обобщает конструкцию используемую в [6] при исследовании полиэдров неположительной кривизны. Далее описывается структура диссертации и приводятся формулировки результатов. Работа состоит из 9 параграфов. Первый параграф носит вводный характер и содержит основные определения, свойства и технические результаты для общих компактных пространств без сопряжённых точек. Результат второго параграфа доказан для таких пространств. Параграфы 3-6 посвящены основным определениям и технике работы с полиэдральными пространствами независимо от свойства отсутствия сопряжённых точек. Результаты параграфов 7-9 доказаны для полиэдральных про

Объёмная энтропия и метрика слов на фундаментальной группе

Будем говорить, что функция f(t) имеет экпоненциальный рост, если существуют константы В 1, А,Т 0, такие что f{i) A-Bb, при t T. Будем говорить, что функция f(t) имеет полиномиальный рост, если найдётся полином P(t) и положительная константа Т, такие что f(t) Pit), при t Т. Говорят, что конечнопорождённая группа имеет полиномиальный (экспоненциальный) рост, если число слов, имеющих в метрике слов длину, меньшую N имеет полиномиальный (экспоненциальный) рост, как функция от N. Очевидно, что для конечнопорождённой группы число слов, имеющих в метрике слов длину, меньшую N всегда оценивается экспонентой сверху. Определение 1.11. Пусть X компактное локально односвязное пространство, X — его универсальное накрывающее и, пусть х Є X — проз-вольная отмеченная точка. Объёмной энтропией пространства называется предел где VOI(BR(X)) — объём шара віс центром в точке х и радиуса R. Из определения следует, что объемная энтропия компактного пространства X положительна, если объем метрических шаров в X имеет не менее чем экспоненциальный рост. В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение, связывающее понятие объёмной энтропии с ростом фундаментальной группы. Предложение 1.12. Пусть X — компактное локально односвязное пространство, а X — его универсальное накрывающее. Тогда положительность объёмной энтропии пространства X эквивалентна тому, что фундаментальная группа тгі(Х) имеет экспоненциальный рост. Доказательство. Легко видеть, что метрика dXo совпадает с введённой в [10] орбитальной метрикой. Наше утверждение следует из того, что орбитальная метрика и метрика слов на группе 7Гі (X) эквивалентны (до казательство есть в п.8.3.19 [10].) В этом пункте Г будет обозначать подгруппу группы изометрий пространства X, изоморфную группе 7ГіХ). Пусть Го — абелева подгруппа группы Г. Зафиксируем точку XQ Є X. Определим функцию на Го формулой: для всех элементов g Є Го.

Предел существует, потому что функция р(хо,ґук(хо)) полуаддитивна как функция к Є Z. Легко проверить, что он не зависит от выбора ТОЧКИ XQ. Лемма 1.13. 1. Функция \\- \\ полооюителъно однородна наГо, т.е. \\gk\\ = k\\g\\, для всех fceN. 2. Выполняется неравенство треугольника, т.е. 7i ?2ІІ 7і + ІІУ2ІІ для всехдъд2 Є Г0. 3. На множестве нетривиальных элементов Yo\{id} функция отделена от нуля положительной константой sys(X). Доказательство. 1.Следует непосредственно из определения. 2.Из неравенства треугольника в X для произвольных элементов ъ02 Є Г0 получим: 3.Пусть g Є Го нетривиальный элемент. Используя п.1),2)леммы 1.2 получим p(x gk(xo)) — dgk(xo) mindgk = к mmdg к sys(X) Следовательно, для всех д Є Го \ {id} имеем: Теперь предположим, что группа Го С Г — конечнопорождённая. Она не содержит кручения (по лемме1.2) и, следовательно, изоморфна группе Zn для некоторого п. Рассмотрим векторное пространство V = Го Э М. Его размерность равна п. Каноническое отображение Г — V, действующее по правилу д — д 1 является вложением, так как группа Г не содержит кручения. Можно рассматривать элементы группы Го, как точки пространства V, образующие в нём "целочисленную"решётку Vz Для произвольного элемента р Є Го соответствующий элемент р 8 1 Vz С V будем обозначать через р. Изоморфизм между Го и Vz определяет функцию на Vz- Так как функция (I ll однородна и удовлетворяет неравенству треугольника на Vz, по непрерывности можно продолжить её до полунормы на V. Докажем, что эта полунорма, в действительности, будет нормой на V. Предложение 1.14. Функция является нормой на V. Доказательство. Из леммы 1.2 следует, что g sys(X) для всех q Є Vz. Для доказательства утверждения достаточно доказать, что \\z\\ ф О, для любого ненулевого вектора z Є V. Предположим противное, т.е. что существует ненулевой вектор г Є V, и r = 0.

Из неравенства треугольника следует, что для любого вектора z Є V для любого а Є М. Пусть {qn} С Vz последовательность точек "целочис-ленной"решётки, сходящихся к прямой {аг : а Є R}. Тогда существует последовательность чисел ап Є М, такая, что последовательность точек qn + апг сходится к нулю. Но, из предыдущего: Получили противоречие, доказывающее, что функция -1 является нормой на V. Определение 1.15. В случае, когда Го — вся фундаментальная группа, функция называется стабильной нормой на V. Известно, что (8.5.4,(10]) стабильная норма приближает метрику на универсальном накрывающем в следующем смысле: Предложение 1.16. Пусть \\-\\ — стабильная норма, тогда при \\д\\ — со равномерно по д Є Г. Для формулировки основного результата этого параграфа нам понадобится следующее определение. Определение 2.1. Пусть Г произвольная конечнопорождённая группа. Конечнопорождённая подгруппа Го С Г называется прямой в Г если сужения метрик слов г0 и г на группу Го эквивалентны. Так как метрики слов на группе эквивалентны, это определение корректно, т.е. не зависит от выбора образующих. Замечание 2.2. Выберем независимые образующие ai,..., ап группы Го- Пусть образующие а\,.. . ,a:n,an+i,... ,aTO группы Г содержат образующие группы Го. Тогда для любого элемента д Є Го выполняется неравенство рг0 \д\г Это значит, что подгруппа Го С Г является прямой в Г тогда и только тогда, когда существует такая константа с, что Ыг0 фг для всех элементов д Є Го Основным результатом этого параграфа является следующая теорема. Теорема 1. Пусть (Х,р) — компактное локально односвязное пространство с внутренней метрикой р без сопряженных точек. Тогда любая конечнопорождённая абелева подгруппа фундаментальной группы 7Гі(Х) — прямая. Доказательство. Как и раньше, отождествляем группу пі(Х) с подгруппой Г изометрий универсального накрывающего пространства (X, р). Пусть Го - её конечнопорождённая абелева подгруппа. Зафиксируем независимые образующие а\,..., ап группы Го и выберем образующие группы Г. Обозначим через р и г0 соответствующие метрики слов. В силу замечания 2.2 для доказательства теоремы достаточно доказать следующие два неравенства: Для доказательства первого неравенства будет использоваться тот факт, что метрика слов на Го Vz индуцирует стандартную (її) - Ці норму на V, и все нормы на конечномерном векторном пространстве V

Касательное пространство

Определим понятие касательного пространства для всех точек полиэдрального пространства, кроме принадлежащих (п—2)-мерному остову. Для любой точки полиэдрального пространства, лежащей строго внутри n-мерного симплекса, под касательным пространством будем понимать касательное пространство в смысле риманова многообразия. Определим понятие касательного пространства для точки (п — 1)-мерной грани. Определение 4.4. Пусть точка х лежит строго внутри симплекса Fn l, и пусть Ai,... , Д; — все га-мерные симплексы, для которых симплекс F является граничным. Касательный конус к х Є F представляет собой евклидово полупространство ТХАІ, граница которого естественным образом изометрична касательному пространству к симплексу F, будем обозначать её TXF. Метрическое пространство, полученное склейкой полупространств ТХА\,... , ТХД/ по изо-метрии, определяемой вложением пространства TXF, будем называть касательным пространством к полиэдральному пространству в точке xeF. Элементы касательного пространства будем называть векторами. Отметим что, по построению, подпространство этого пространства, являющееся объединением полупространств ТхAj,... , TxAj для различных Aj, Aj, изометрично евклидову пространству. Определение 4.5. Будем называть вектора, касательные к двум различным симплексам Aj, Aj, противоположными, если они противоположны в соответствующей евклидовой структуре. Определение 4.6. Будем говорить, что вектор идёт в направлении симплекса Aj, если он принадлежит множеству ТХА{ \ TXF. Обозначения. Пусть кусочно-гладкая кривая 7 задана на интервале (а, Ь) и переходит с симплекса А на симплекс Д? , пересекая транс-версально (п — 1)-мерную грань в точке 7(с) с Є (а, Ь). Будем обозначать через 7+(с) ее вектор скорости в точке с, идущий в направлении симплекса Дг, а через 7-(с) вектор скорости кривой 7( ) в точке —с, идущий в направлении симплекса А\. Для произвольной точки х Є М \ М п 2 через ТХМ будем обозначать касательное пространство в точке х, а через БХМ С ТХМ множество единичных векторов пространства ТХМ. Определим единичное расслоение пространства М

В частности, если К С М полиэдральное подпространство, то SK — подрасслоение единичного расслоения М. Для произвольного подмножества К С М обозначим сужение единичного расслоения на множество К: Здесь геодезическими будем называть только те геодезические, которые пересекают (п — 1)-мерные грани трансверсально (если геодезическая задана на отрезке с концом, принадлежащим (п — 1)-мерной грани, вектор скорости на конце должен быть трансверсален этой грани). Целью этого подпункта является доказательство утверждения о том, что кривая, полученная "склеиванием"двух геодезических отрезков с общим концом, принадлежащим (п — 1)-мерной грани, будет являться геодезической тогда и только тогда, когда односторонние вектора скорости в точке склейки противоположны. Приведём точную формулировку. Предложение 4.7. Пусть Fn l общая грань симплексов Д и &%. Пусть кусочно-гладкая кривая 7 : [—с, с] — М пересекает грань F в точке 7(0), и пусть участки гладкости этой кривой 7І[-с,о]; 7І[о,с] являются геодезическими и лежат каждый в своём симплексе Ді и Д2 соответственно. Тогда кривая 7 является геодезической если и только если вектора скорости 7+(0) и 7-(0) противоположны. Доказательство. Обозначим через Р многообразие с краем, полученное склеиванием симплексов Ді и Д2 по симплексу F. Будем рассматривать его как подпространство полиэдрального пространства М. Касательное пространство ТХР в точке х Є F изометрично евклидову пространству и естественным образом изометрично вкладывается в пространство ТХМ. Поэтому, в частности, вектора, противоположные, как вектора полиэдрального пространства Р, противоположны и в полиэдральном пространстве М. 1)Предположим, что кривая 7 является геодезической. Будем считать, что она является кратчайшей. Обозначим вектора скорости 7-(0), 7+(0) через t;i,U2 соответственно и докажем, что они противоположны. Предположим противное. Рассмотрим евклидово пространство Т Р Вектора V\ и v?, лежат по разные стороны от гиперплоскости Ty F и угол между ними меньше тг, поэтому в плоскости, порождённой векторами г і,г 2 найдётся вектор v, принадлежащий пространству T7(O)JF", И составляющий с векторами V\ и г 2 углы, которые в сумме меньше 7Г. (Это равносильно тому, что скалярное произведение {V\ JrV21V) 0). Пусть д : [О, S] —» F произвольная гладкая кривая с начальным вектором скорости v, число S будем считать достаточно малым. Рассмотрим гладкие вариации кривых 7І[-с,о] и 7І[о,с] Обозначив через Si(r) и 5г(т) длины продольных линий соответствующих вариаций аі(-,т) и 72(-, г), по формуле первой вариации получим Это значит, что при некотором малом г длина кусочно-гладкой кривой, составленной из продольных линий вариаций о"і(-,т) и 0 (-,т) меньше длины геодезической 7- Получили противоречие с тем, что геодезическая 7 является кратчайшей, доказывающее первую часть утверждения. 2) Для доказательства другой части утверждения введём вспомогательное понятие: потенциальной геодезической будем называть кривую, полученную склеиванием двух геодезических отрезков, принадлежащих двум различным симплексам Aj и Д,-, с противоположными начальными векторами скорости. Кусочно-гладкая кривая 7 : [—с, с] —» Р С М из условия предложения является потенциальной геодезической.

Достаточно доказать, что она локально-кратчайшая в окрестности точки 7(0) 2.1)Можно рассматривать симплекс Ai вместе с некоторой окрестностью, где задана риманова метрика, как риманово многообразие; тогда для произвольной точки х Є Ai будем обозначать через ехрх экспоненциальное отображение в этом многообразии. Ввиду гладкости метрики на симплексе Ai, найдётся такое число г 0, что для всех х Є Ai отображение ехрх определено в шаре радиуса г, а его дифференциал невырожден в этом шаре (пусть риманова метрика задана в є-окрестности симплекса Ai, тогда в качестве f можно взять, например, минимум чисел {є, 7г/2к}, где к — максимум секционных кривизн на некоторой окрестности симплекса Аі, в которой определена риманова метрика). Зафиксируем число О to min{c, f}. Обозначим точку 7( о) — Р и вектор "f (o) — о- Найдутся такие числа 0 «о 0 го г, что все потенциальные геодезические с начальной точкой р и начальным вектором скорости, составляющим с вектором Vo угол, меньший аго, определены на интервале [0, го] и пересекают грань F трансверсально. Обозначим через Г2(ао) Є SpM подмножество единичных векторов, касательных в точке р и составляющих с вектором VQ угол, меньший ао- По выбору чисел го, OLQ отображение ехрр определено на конусе fi(ao) [0, го] пространства ТРМ. Для произвольного касательного вектора и Є Г2(ао) обозначим через 7и г потенциальную геодезическую с начальным вектором скорости и, лежащую в симплексах ДіД . Определим экспоненциальное отображение из Ai в А{, действующее из конуса 1(ао) [0, го] пространства ТРМ в объединение симплексов Ai U Af формулой Для вектора и Є Г2(ао) обозначим через Х(и) — значение параметра при котором геодезическая 7и г первый раз пересекает грань F (это значение не зависит от г). Образ функции А(-) разбивает область Щао) х [0, го] на два подмножества (многообразия с краем): Обозначим через F С F образ общей границы этих множеств:

Мера множества с кратностью и её инвариантность

Предложение 5.2. Пусть А = {7 [а, Ь] — М} - множество геодезических общего положения одного комбинаторного типа. Тогда fiL{A\a)) = ць(А (Ъ)), т.е. мера Лиувилля сохраняется под воздействием "преобразования геодезического потока Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что мера Лиувилля сохраняется в окрестности точки (п — 1)-мерной грани, в которой сходятся ровно две n-мерные грани. Приведем точную формулировку: Лемма 5.3. Пусть _Fn_1 — общая грань симплексов А и A. Пусть U - шаровая окрестность некоторой точки грани F, содерэюащаяся в объединении симплексов Ai и Аг, и пусть А = {7 : [0, с] — U} -некоторое множество геодезических общего положения. Тогда Доказательство. Так как для множества геодезических из А, не пересекающих симплекс F, верно доказываемое утверждение, будем, для удобства изложения, считать, что все геодезические пересекают симплекс F. Представим множество А в виде счетного объединения множеств Ak, так что любая геодезическая из множества Ak пересекает симплекс F под углом, большим \/к. Так как геодезическая заданного комбинаторного типа однозначно определяется своим вектором скорости в начальной или конечной точке, достаточно доказать сохранение меры для каждого А Геодезические каждого множества Ak могут пересекать симплекс F через промежутки времени, отделённые от нуля положительной константой (своей для каждого Ak-) Поэтому, разбивая отрезок [0, с] на конечное число отрезков, можно считать, что геодезические из Ak пересекают симплекс F один раз. К множествам А к(0) и Ак(с) применим лемму 5.1( множество Ак(с) — это начальные вектора множества геодезических { {с — t)Y)(t) Є Ak}). Из формулы легко видеть, что мера Лиувилля сохраняется. 5.3 Мера множества с кратностью и её инвариантность. Определение 5.4. Пусть А = {7 [а, Ь] — М} множество геодезических общего положения. Множеством с кратностью A (t) будем называть пару (A (),f,4t), где функция - ставит в соответствие вектору v Є М число геодезических множества А, имеющих в точке t вектор скорости г (и равна нулю, если таких геодезических нет). Мерой Лиувилля множества с кратностью A (t) будем называть интеграл функции fdt(t) по мере Лиувилля и обозначать через //,(А ()). То есть, по определению

Отметим, что если для любых двух различных геодезических 71, 72 Є А вектора 7і(0 и 72СО различны, то множество с кратностью A (t) можно рассматривать как множество векторов A (t), функция fyit(t) равна обычной характеристической функции множества A (t). Это верно, в частности, когда геодезические множества А имеют один комбинаторный тип. Сформулируем утверждение об инвариантности меры множества с кратностью относительно геодезического потока (это будет обобщением леммы 5.3). Лемма 5.5. Пусть А - множество геодезических общего положения, заданных на отрезке [а,Ь]. Тогда ці,(А {а)) = дь(Л (Ь)). Доказательство. Пусть А множество геодезических одного комбинаторного типа. Тогда Тогда, по определению меры множества с кратностью, имеем Теперь, воспользовавшись равенством мер Лиувилля множеств А (а) и А (Ъ), получим Пусть теперь А - произвольное множество геодезических общего положения, заданных на отрезке [а, Ь]. Его можно разбить на счетное число подмножеств ЛІ так, чтобы геодезические каждого из них имели один комбинаторный тип. Для любого ЛІ справедливо равенство В этом параграфе доказывается, что геодезических не общего положения в некотором смысле мало. Сначала доказываются технические леммы, а основной результат сформулирован в предложении 5.12. Напомним, что мы называем противоположными вектора, касательные в одной точке, угол между которыми равен 7Г. Обозначения. Обозначим через А(М) множество всех единичных векторов, касательных к М строго внутри (п — 1)-мерных граней и трансверсальных этим граням. Обозначим через П(М) С Л(М) х Л(М) — множество, состоящее из всех пар противоположных векторов. Определения 5.6. Будем называть функцией вероятностей перехода любую измеримую функцию р : П(М) —» [0,1], - для которой выполняется свойство: если V\ Є Л(М) — вектор, касательный в точке (п — 1)-мерной грани, к которой примыкает т граней размерности n, a V2,...,vm — все векторы, противоположные вектору Vi, то p(vi, 1)2) Н + P(vu vm) = l= p(v2t Vi) H + p(vm, Vi). Будем говорить, что функция перехода однозначна на подмноэюе-стве По С П(М) С Л(М) х Л(М), если она может принимать только значения 0 или 1 на этом подмножестве. Будем говорить, что функция перехода однозначна, если она однозначна на множестве П(М). Определение 5.7. Будем говорить, что геодезическая 7 подчиняется функции перехода р, если для любой точки трансверсального пересечения с (п — 1)-мерной гранью 7(c) значение функции р("у _(с), У+(с)) отлично от нуля.