Введение к работе
Актуальность темы. Бикомпактным расширением или компак-тификацией топологического пространства X называется бикомпактное пространство Y, содержащее X в качестве всюду плотного подмножества.
Особое место в теории бикомпактных расширений занимают расширения дискретных пространств, и прежде всего стоун-чеховское бикомпактное расширение (Зш счётного дискретного пространства ш.
Одной из главных проблем, которые изучаются в теории бикомпактных расширений является отыскание свойств расширений, позволяющих выделить различные типы его точек, что определяет степень неоднородности расширения.
Первым результатом в этом направлении для пространства (Зш является теорема У. Рудина [14] о существовании, в предположении континуум-гипотезы, р-точек нароста ш* = /Зш \ ш расширения /Зш. Точка х называется р-точкой пространства X, если х G Int П ( для
всякого счётного семейства окрестностей {(} точки х.
После того, как С. ІПелах [17] показал невозможность «наивного» доказательства существования р-точек в ш*, начался поиск точек, близких по свойствам к р-точкам. Так, К. Кунен [9] доказал существование слабых р-точек в пространстве ш*, то есть точек, не являющихся предельными ни для какого счётного подмножества ш*. А.Грызлов [1] доказал существование 0-точек в ш*, характеризующихся тем, что при любой нумерации точек ш у 0-точки, как ультрафильтра на ш, найдётся элемент плотности 0.
3. Фролик в работах [4, 5], М. Е. Рудин [15, 16], Я. ван Милл [12], К. Кунен [8] и А. Грызлов [6] изучали различные частичные порядки на множестве (Зш \ ш, ими были выделены и изучены несравнимые в различных порядках точки этого пространства.
М. Белл в работе [3] построил бикомпактное расширение счётного дискретного пространства, нарост которого несепарабелен, но обладает счётным числом Суслина. Вопрос о существовании такого расширения был поставлен Я. ван Миллом в [10].
Компактификация Белла позволила решить ряд важных вопросов теории бикомпактных расширений счётных дискретных пространств.
Я.ван Милл [11, 13] и А.Грызлов [2, 7] получили несколько новых типов точек в классе слабых р-точек, являющихся предельными для различных подмножеств со* со счётным числом Суслина.
Поскольку расширение Белла стало важной частью теории бикомпактных расширений, возникла необходимость в более детальном его изучении.
Компактификация BN была построена М. Беллом как пространство Стоуна некоторой булевой алгебры, состоящей из подмножеств частично упорядоченного множества N.
Свойства расширения BN, доказанные М. Беллом, являются следствием существования базы пространства BN, представляющей собой объединением счётного числа 2-сцепленных семейств.
Первой задачей, рассматриваемой в работе, является построение базы пространства BN \ N, которая и сама, и семейство дополнений до её элементов, являются счётным объединением п-сцепленных семейств. Свойства этой базы объединяют свойства компактифика-ции BN, полученные М. Беллом в [3] и А. Грызловым в [2].
Основной проблемой, как и в случае других бикомпактных расширений, является поиск различных типов точек пространства В N и изучение свойств этих точек.
В связи с этим возникли следующие вопросы:
Что из себя представляет замыкания различных счётных подмножеств N, в частности цепей и антицепей?
Каковы свойства и характеристики точек, лежащих в замыканиях подмножеств N различного вида?
Поскольку булева алгебра В расширения Белла порождена семейством, состоящим из двух подсемейств множеств различного типа, возникают вопросы.
Существует ли в BN \ N точки, то есть ультрафильтры на В, обладающие базами, состоящими из множеств только одного из подсемейств?
Замыканию каких подсемейств (цепей, антицепей) множеств N принадлежат эти точки?
Каковы характеристики и свойства этих точек?
Существует ли в наросте BN \ N копии расширения /Зш и сходящиеся последовательности, состоящие из точек различных типов?
Решению этих вопросов и посвящена настоящая диссертация.
Цель работы. Работа посвящена изучению точек компактифи-каций счётных дискретных пространств, их классификации и свойствам.
Основной метод исследования. В диссертации используются методы общей топологии и теории множеств, развитые в работах отечественных и зарубежных математиков.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим среди них основные:
получены классы -, и- и 4г|м-точек пространства BN, как ультрафильтров булевой алгебры с базисами из множеств различного типа;
даны характеристики (,- и 4г|м-точек, как предельных точек бесконечных цепей и строгих антицепей из N соответственно;
доказано существование в BN сходящихся последовательностей, состоящих из 4г|м-точек;
доказано, что замыкание счётного дискретного множества в BN, состоящее из м-точек, гомеоморфно /Зш.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут найти применение в дальнейшем изучении бикомпактных расширений топологических пространств.
Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на международных (41-й и 42-й всероссийских) молодёжных школах-конференциях (г.Екатеринбург, 2010, 2011), международных научных конференциях «Ломоносов-2008» и «Ломоносов-201 1» (г. Москва, МГУ, 2008, 2011), конференции «24th Summer Conference on Topology and Its Applications» (Брно, Чехия, 2009),
семинарах им. П. С. Александрова кафедры общей топологии и геометрии МГУ (г. Москва), топологическом семинаре в ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург), конференции им. Н. И. Лобачевского (Казань, 2007), студенческой научной конференции (г. Ижевск, 2008) и других.
Публикации. Основные результаты опубликованы в шести работах, список которых приведён в конце автореферата, и тезисах конференций. Работы [18, 20] выполнены в нераздельном соавторстве с А. А. Грызловым и Р. А. Головастовым, работы [22, 23] выполнены в нераздельном соавторстве с А. А. Грызловым. Во всех работах основными являются исследования автора.
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Ссылка на теорему 2.3 означает, что эта теорема находится во второй главе. Объём диссертации составляет 67 станиц машинописного текста и содержит 34 библиографические ссылки.
