Введение к работе
Актуальность темы. Вопросы, связанные с универсальными пространствами, возникают во многих областях общей топологии. Достаточно вспомнить классические результаты П.С. Урысона1' об универсальности гильбертова куба в классе сепарабельных метрнзуемых пространств, А.Н. Тихонова2' об универсальном бикомпакте (тихоновский куб) в классе вполне регулярных пространств данного веса, П.С. Александрова3''4' об универсальном бикомпакте в классе То-пространств данного веса (куб Александрова) и об универсальном бикомпакте в классе нульмерных пространств данного веса.
Яркие результаты об универсальных пространствах мы находим в теории размерности. В этой теории вопросы существования универсальных пространств возшіклп параллельно с формированием самого понятия размерности. Размерность, как впрочем и любое топологическое свойство, определяет класс пространств, имеющих данную размерность или, соответственно, обладающих заданным свойством. Естественно возникает вопрос о существовании универсального элемента в этом классе пространств или более общий вопрос о существовании пространства, топологически содержащего все пространства этого класса. Вспомним классические результаты Мекгера5', Нёбелпнга6', Гуревпча1''8', Куратовского9', Понтрягина-Толстовой10'.
С развитием теории размерности, с перенесением "старых" размерностных инвариантов на более широкие классы пространств (бикомпакты, метриэуемые пространства, нормальные пространства и т.д.), с определением новых размерностных инвариантов и с построением теории бесконечномерных пространств теория универсальных пространств получила свое дальнейшее развитие. Здесь мы отметим, уже ставшие классическими, результаты Дж. Нагаты11''12''13', Ю.М. Смирнова14', Б.А. Пасынкова15''16''1'', А.В. Зарелуа13'. Появились некоторые новые общие методы построения универсальных пространств. Это, прежде всего, метод, в котором используется факторпзацпонные теоремы и метод частичных произведений (см. упомянутые работы Б.А. Пасынкова).
Проблемы существования универсальных пространств особо интенсивно рассматривались в последние десять лет. Упомянем только некоторых авторов: R. Pol, Е. Pol, B.R. Wenner, Л.А. Люксембург, И.П. Захаров. Причем многие из полученных результатов относятся к семействам сепарабельных метрнзуемых .и любых метризуемых пространств.
В этот же период получен и ряд результатов, касающихся семейств рациональных пространств. К ним относятся, прежде всего, результаты автора, а также Майера и Тьгмчатина19'
Заметим, что после классических работ П.С. Урысона20' и С. Банаха21' никаких публикаций по изометрически универсальным пространствам вплоть до последнего времени, по-видимому, не было.
Отметим также, что проблема существования универсальных элементов в семействах регулярных или вполне регулярных пространств до настоящей работы
была изучена достаточно слабо.
Цель работы. Целью работы является:
-
разработка нового метода построения универсальных элементов для различных, естественно определяемых классов пространств, в особенности классов, определяемых размерностнымн инвариантами;
-
получение при помощи разработанного метода ряда новых результатов, касающихся универсальных элементов для различных классов пространств.
Методы исследования. Основным методом диссертации является метод, разработанный автором, который сочетается с уже известными методами общей топологии її теории размерности.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации:
-
разработан метод построения универсальных элементов для разнообразных классов топологических пространств.
-
Единым методом получены все (исключая случай компактов) хорошо известные результаты об универсальных элементах в семействах сепарабельных метри-зуемых пространств.
-
Доказывается существование изометрически универсальных элементов для всех (исключая случай компактов, где это невозможно) хорошо известных (в теории топологически универсальных пространств) и некоторых новых семейств сепарабельных метрических пространств.
-
С помощью малой индуктивной размерности в классе регулярных Xj-пространств вводятся семейства, обобщающие (в различных направлениях) хорошо известные (в теории универсальных пространств) семейства сепарабельных мет-ризуемых пространств, и доказывается существование универсальных элементов в этих семействах.
-
Показывается, что все приведенные в диссертации результаты относительно регулярных Ті-пространств справедливы и для вполне регулярных ^-пространств.
-
Доказывается существование универсальных элементов нового типа. Эти элементы строятся для семейств пространств, в каждом из которых задана некоторая система подмножеств. Причем, соответствующие вложения сохраняют эту сцстему. Все универсальные элементы, указанные в пунктах 2) - 5), являются простейшими частными случаями этих универсальных элементов нового типа.
Приложения. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть применены в общей топологии, в частности, при нзучешш раомерностных инвариантов.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны доклады на следующих международных Топологических Конгрессах, Конференциях, Симпозиумах и Митингах: Прага (Чехословакия) - 1981, Ленинград -1982, Эгер (Венгрия) - 19S3, Тал-лахасзее (Флорида, США) - 1985, Дубровник (Югославия) - 1985, Прага (Чехословакия) - 19S6, Триест (Италия) - 1986, Баку - 19S7, Печ (Венгрия) - 19S9, Киото (Япония) - 1990, Лечче-Отранто (Италия) - 1990, Дружба (Болгария) - 1990, Цукуба (Япония) - 1990, Париж (Франция) - 1992, Киев - 1992, Прага (Чехослова-
кия) - 1991, Сексард (Венгрия) - 1993. Были сделаны также доклады в университетах следующих городов: Афины, Ксанти, Янпна, Салоники (Греция), София (Болгария), Хьюстон (Техас, США) - 19S3, 1935, Бпрмингэм (Алабама, США) -19S3, 19S5, Майами (Флорида, США) - 19S5, Лексингтон (Кентукн, США) - 19S3, Саскатун (Канада) 1DS3, Катовице, Гданьск. Варшава, Вроцлав (Польша) - 1DS3, Берлин, Лейпциг, Дрезден (ГДР) - 19S6, Оксфорд (Англия) - 19SS. По теме диссертации неоднократно делались доклады на многих семинарах кафедры Общей топологии и геометрии Московского Государственного Университета.
Публикации. По теме диссертации опубликовано десять работ, список которы приведен в конце автореферата. Все работы выполнены бео соавторов.
Структура н объем работы. Диссертация состоит ио введения, пяти глав, разделенных на 13 параграфов, н списка литературы, включающего/С&наименованнп. Полный объем диссертации <М) страниц.
