Содержание к диссертации
Введение. 3
Глава I. Линейные топологические инварианты
локально выпуклых пространств. 16
1.1. Основные определения и вспомогательные
результаты 16
1.2. Свойства, характеризующие подпространства
некоторых пространств Кёте, и их эквивалентные
формулировки. 23
1.3. Свойства, характеризующие факторпространства
некоторых пространств Кёте, и их эквивалентные
формулировки 32
Глава II. Выделение последовательностей элементов и
функционалов с заданными оценками норм. 38
II. 1. О выделении последовательности функционалов с
заданными оценками норм на пространства Фреше. . 38
II.2. О выделении последовательности элементов
пространства Фреше с заданными оценками норм. . 48
Глава III. О существовании базисов в конкретных
классах пространств Фреше. 61
III.1. О существовании базисов в пространствах Фреше
с условием строго конечномерного разложения и
свойствами Di([ar(n)}), Щ[аг(п)]) 61
III.2. О существовании базисов в пространствах Фреше,
обладающих свойствами D\([ar(n)]), Щ[аг(п)}) и
изоморфных своему декартову квадрату 66
Ш.З. О существовании базисов в разрежённых
пространствах Фреше, обладающих свойствами
Огіїагіп)}), П([аг(п)}) 83
Ш.4. О существовании базисов в сильноразрежённых
блочных пространствах Фреше, обладающих
свойствами Di([ar(n)}), Q([ar(n)}) 90
HI.5. О существовании базисов в дополняемых
подпространствах пространств Кёте двух классов
со свойствами упорядоченности парных композиций с
обратными функциями 96
ЛИТЕРАТУРА 109
Введение к работе
При исследовании линейных топологических пространств, в частности пространств Фреше, изучение базисных, минимальных и других последовательностей элементов может нести значительную информацию о геометрии всего пространства. И если в геометрической теории банаховых пространств роль модельных пространств играют координатные пространства 1р, 1 ^ р ^ оо, то в геометрической теории пространств Фреше аналогичную роль выполняют пространства Кёте. Вследствие чего возникает вопрос о наличии базиса в подпространствах, факторпространствах и дополняемых подпространствах пространств Кёте-Фреше. В настоящее время уже известны примеры тех подпространств пространств Кёте-Фреше, которые не имеют базиса, и примеры факторпространств пространств Кёте-Фреше, также не имеющих базиса (см. например, [1, 2]). При этом вопрос о существовании дополняемого подпространства пространства Кёте-Фреше без базиса до сих пор остаётся открытым. Кроме того, заслуживает внимания пример дополняемого подпространства, в котором не существует базис пространства Фреше с базисом (см. [33]). На ряду с этим все больший интерес вызывают исследования вопроса о существовании базисов в конкретных классах весовых пространств Фреше и в дополняемых подпространствах таких пространств, которые имеют базисы (см., напр., [3, 4]). Вопрос о существовании базисов в конкретных пространствах Фреше исторически рассматривался одновременно с вопросом о квазиэквивалентности (единственности) базисов (см. [5], [29]—[32], [34]-[3б]), вследствие этого в исследованиях этих вопросов имеется целый ряд общих приёмов.
В диссертации доказано наличие базиса в некоторых конкретных классах пространств Фреше, которые включают в себя дополняемые подпространства конкретных классов пространств Кёте-Фреше. Большинство из них не выходят за рамки пространств Фреше бесконечного типа, то есть пространств Фреше, определяемых свойством D\ (или DN в иностранной литературе). Свойство D\ в форме: существует норма || || такая, что
Hr^lHII-kr).
или DN в форме: существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля U С Е такая, что
Vr Є N 3s(r) Є N, С (г) > О U? С tU + —Z7s(r), V* > О, где
Uk = \ ё Є Е' : sup |е'(е)| = |е'|'г < 1 >
[ |e|fc^l J
было почти одновременно введено В.П. Захарютой ()]_) (см. [45]) и Д. Фогтом (DN) (см. [47]) соответственно.
Данное свойство является естественным обобщением на пространства Фреше свойства d\ :
Зк Vr 3s, С > 0 : a2r(n) < ak(n)as(n) Vn,
введённого для пространств Кёте lp[ar(n)] М.М. Драгилевым в [28]. Диссертация состоит из Введения и трёх глав. Нумерация глав производится римскими цифрами; параграфы имеют двойную нумерацию ( 1.2. - второй параграф первой главы); определения и полученные утверждения имеют тройную нумерацию (Определение П. 1.3. - третье определение первого параграфа второй главы; Теорема III. 1.2. - теорема 2 первого параграфа третьей главы)
Остановимся на основных результатах работы.
Первая глава состоит из трёх параграфов. В первом параграфе приводятся основные определения и вспомогательные результаты, которые хорошо известны и необходимы для дальнейшего изложения.
Во втором параграфе первой главы вводятся свойства, являющиеся характерными для пространств Кёте бесконечного типа и их подпространств. Кроме того выводится ряд эквивалентных формулировок данных свойств.
Определение 1.2.1. Пространство Фреше (Е,(\ |г)) имеет свойство Di([ar(n)]), если выполнено следующее условие: существует замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля U С Е такая, что
Vr є N, 3m Є N V/c> r Є N 3s{r) Є N, C{r) > 0 :
V? С am(t)UQ + ^Muj(r)jvt > О, ak[t) v '
где U = < є' Є Е' : sup |е'(е)| = \е'\'г < 1 > и матрица Кёте [ar(n)}
{ leua J
определяет пространство Кёте класса d\. Где
ar(t) = ar(n) + (t — n)(ar(n 4-1)- ar(n)), n < t ^ n 4- 1.
Предложение 1.2.4. Пространство lp[ar(n)} бесконечного типа имеет свойство Di([ar(n)}), которое наследуется всеми подпространствами этого пространства.
Предложение 1.2.3. Для пространств Фреше (Е, (| |г))
следующие условия эквивалентны :
1 . Е имеет свойство Di([ar{n)})\
2. 3 замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля
U С Е такая, что
Vr Є N, 3m Є iVV/c є N 3s(r) Є N, C{r) > 0 :
3.3|| | Vr Є TV, BraGiVVifceiV 3s(r) Є TV, C(r) > 0 :
4.3|| || Vr є ЛГ, 3m Є iVVfc є ЛГ 3s{r) Є iV, C(r) > 0 : \J&{](ak(a-\t))Ue{r))) cUr.
5.3|| || Vr є TV, 3m Є N \/k Є iV 3s(r) Є ЛГ, C{r) > 0 :
4a~(S))^(4fveeB-
В третьем параграфе первой главы рассматриваются характерные для пространств Кёте бесконечного типа и их факторпространств свойства, и вводится ряд эквивалентных им формулировок. Определение 1.3.1. Пространство Фреше (Е, | |г) имеет свойство П([аг(п)]), если выполнено следующее условие :
\/к Є N 3j(k) t ос 3s є N VI є TV 3m Є N ЗС
Us с Cam{t)Ui + тхЩ Vt > 0,
aj(k){t)
где Uк — {є Є Е : |е|/с < 1} и матрица Кёте \аТ(п)} определяет
пространство Кёте класса d\.
Предложение 1.3.3. Пространства 1р[аг(п)] бесконечного
типа имеют свойство Q([ar(n)]), которое наследуется всеми
факторпространствами этих пространств. Любое дополняемое
подпространство пространства 1р[аг(п)} бесконечного типа имеет
свойства Di([ar(n)}) и Q([ar(n)}).
Предложение 1.3.2. Для пространств Фреше (Е, () |г))
следующие условия эквивалентны :
1. Е имеет свойство Q([ar(n)\);
2. V/c Є N 3j(k) T oo 3s Є N VI Є N Згп Є N ЗС :
-і
Us С Сат (аТ(І)(*)) иі + ^ VteUVcpe Е'. 3. V/c Є N 3j{k) Т oo 3s Є N VI Є N Згп є N ЗС :
-і
Мі < сат (fl7(i)W) Мі + ^ Мі v^tv^G '.
4. VkeN 3j{k) Т oo 3s є N VI є iV 3m Є iV ЗС :
5. VkeN 3j(k) 1 oo 3s Є N Vie N3m є NBC:
Вторая глава посвящена выделению последовательностей элементов и функционалов, которые по своим геометрическим характеристикам схожи с последовательностью ортов и
соответствующей єй последовательностью функционалов в некотором пространстве Кёте.
В первом параграфе второй главы вводится понятие упорядочиваемости скоростей роста весов матрицы Кёте, а также доказывается лемма, в которой выделяется последовательность базисных функционалов с заданными оценками норм для ядерных пространств Фреше, которые обладают свойством Di([ar(n)]) и свойством упорядочиваемости скоростей роста весов. Определение II. 1.1. Будем говорить, что матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, если существует эквивалентная ей матрица Кёте {аг(п)] такая, что аг(п) < аГ(п + 1) Vn и Vr a^a^^t)) < ar+i(a~1(t)), где ar(t) = ar(n) + t(ar(n + 1) — ar(n)), n < t < n + 1. Лемма II. 1.1. Пусть ядерное пространство Фреше Е имеет свойство Di([aT(n)}), где матрица Кёте [аг(п)} обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов и топология Е определяется некоторым набором норм. Тогда можно перейти к эквивалентной системе норм (| |г); такой что для пары норм || || ^ | \i найдётся норма | |s и для биортогоналъной системы (fmfn), состоящей из общего ортогонального базиса (fn) в Eq и Es, fn Є Е , п Є N, можно построить последовательность непрерывных на Е линейных функционалов (дп) со следующими свойствами:
«)/п = 9п + h'n,
- .0,85 n\s
б) (Яп) ~ безусловный базис в Е0 и в Eas - сопряжённом
пространстве к пополнению Е по некоторой норме
l-li в) существует последовательность положительных чисел (Л(г)) и последовательность натуральных чисел (т(г)) (т(г) —> оо при г —> оо), с которыми справедливы неравенства Mr) г От(г)(0-7 ()) Второй параграф второй главы посвящен выделению базисной последовательности элементов пространства Фреше с заданными оценками норм при определённых ограничениях на пространство Фреше. Лемма II.2.1. Пусть ядерное пространство Фреше имеет свойства Di, Q([ar(ri)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов. Найдётся пара ассоциированных гильбертовых пространств Eq и Es данного пространства Фреше и (/„) общий ортогональный базис ассоциированных гильбертовых пространств Eq и Es. (fn) нормирован в Eq и упорядочен по возрастанию норм элементов в Es. И кроме того (fn) Е такие, что для любых непрерывных гильбертовых норм || || ^ | |i ( || || из условия D\) существует гильбертова норма || Ці ^ I К и "такая последовательность элементов (hn),hn Є Е, что выполнены условия : a)(hn) - безусловный базис в Eq и в Е\— пополнение Е по норме || Ці. б) для каждого к Є N существует т(к) Є N и С (к) > О \К\к <, C(k)\fn\sam{k) (a;l(\fn\s)) В 1-4 параграфах третьей главы доказывается существование базиса в пространствах Фреше с условиями Di[aT(n)} и Q[ar(n)] с матрицей Кёте, обладающей свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, при различных дополнительных ограничениях. В первом параграфе третьей главы таким дополнительным ограничением является свойство строго конечномерного разложения: Определение III.1.1. (см.[Щ) Ядерное пространство Фреше Е имеет свойство г — FDD (строго конечномерного разложения), если существует непрерывные отобраоюения Ап : Е —+ Е, п Є iV, такие что АпАт = 6пт dim гтАп < г и х = ^п Апх Уж Є Е. Теорема III. 1.1. Ядерное пространство Фреше Е со свойством строго конечномерного разложения и свойствами Di([ar(n)]); fi([ar(n)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, имеет базис. Дополнительным ограничением второго параграфа третьей главы является равенство диаметральной размерности пространства Фреше диаметральной размерности его декартова квадрата: Теорема III.2.6. Пусть Е - ядерное пространство Фреше, и Е имеет свойства Di([ar(n)}), 1([аГ(п)}), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов. Если А(Е) = А(ЕЕ), то Е изоморфно некоторому пространству Кёте бесконечного типа. Кроме того, данный параграф содержит ряд вспомогательных результатов, среди которых заслуживает внимания следующая теорема: Теорема ІП.2.1. Если Е является ядерным пространством Фреше с условиями D\{[ar(rij\), Q,([ar(n)}) и матрица Кёте [аг(п)] обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, то А(Е) — Д (/р [ar (aj1(an))]) с фиксированным s и некоторой последовательностью (an)^=i схп Т оо. Основным результатом третьего параграфа третьей главы является следующая теорема: Теорема III.3.1. Ядерное, разрежённое пространство Фреше Е с условиями Di({ar(n)}) и П([аг(п)]); где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, имеет базис. Где под разрежённым пространством понимается следующее: Определение III.3.1. (см. [30]) Будем говорить, что пространство Фреше Е является разрежённым (принадлеоюит классу N), если W 3s Vp 3q Vr dn(Uq,UP) lim nv dn-\(UT, Us) dn {Up, Uq) = inf inf {Ь0:(/рС SUq + Fn} и внешний inf берется no всем подпространствам Fn с dimFn ^. п. В четвёртом параграфе доказывается существование базиса при ещё одном дополнительном ограничении: Определение III.4.3. Пространство Фреше Е назовём сильноразреэ/сённым блочным пространством, если найдётся такое блочное пространство Кёте 1Р ([аГ(п)} ,l2 ) , что все k(n) < оо, матрица [аг(п)) определяет сильноразрежёнпое пространство Кёте и А(?) = А (1Р ([аг(п)],12 ) ) . Теорема III.4.1. Пусть Е - ядерное пространство Фреше со свойствами Di([ar(n)]), Q([ar(n)]), где матрица Кёте обладает свойством упорядочиваемости скоростей роста весов, и пусть пространство lp ([ar(n)j, 12 ) является силъноразрежённым блочным пространством Кёте таким, что А(Е) = Д (Ц[аг(п)}, 12 )) , тогда Е имеет базис. Отметим важное следствие данной теоремы: Следствие III.4.2. Пусть Е - ядерное пространство Фреше со свойствами Dx ([ехр/(г6„)]), ГІ ([ехр/(г6п)]), и пусть пространство lp Mexp/(r6n)] ,/2 ) является блочноразрежённым пространством Кёте таким, что A(jE?) = A (lp ([exp f(rbn)] ,/2 )) ? тогда Е имеет базис. В пятом параграфе третьей главы, доказаны две теоремы о существовании базиса в дополняемых подпространствах пространств Кёте, которые не обладают одновременно свойствами d\ и упорядочиваемости скоростей роста весов. Доказательства проводятся с помощью известного метода "тупикового" пространства, применявшегося в [5] и позже получившего развитие в работах разных авторов (см., напр., [3], [4], [6]-[27], [59], [69]). При этом метод "тупикового" пространства использовался первоначально для получения достаточных условий существования безусловных (абсолютных) базисов в некоторых классах пространств Фреше [3]-[7], [37]-[41] (в самом методе "тупикового" пространства используется теория интерполяции линейных операторов (см. [42]-[43]). Определение Ш.5.1. Будем говорить, что правильная матрица Кёте [аг(п)} определяется последовательностью весовых функций с упорядоченностью парных композиций с обратными функциями, если выполнено условие 3r(l) Vr 3s(r), C(r) > О аг{а;{ф)) < С{т) l(t)) Vt > 1. Для краткости будем называть такие матрицы Кёте матрицами Кёте со свойством {s\). Определение III.5.2. Будем говорить, что правильная матрица Кёте \аТ{п)\ определяется последовательностью весовых функций с обратной упорядоченностью парных композиций с обратными функциями, если выполнено условие Vr 3s(r),C(r) >0 Vs> s(r) : а-(а;(1)М) < C{r)as{r){a;l{t)) Vt. Для краткости будем называть такие матрицы Кёте матрицами Кёте со свойством (бг)- Определение III.5.3. (см., например, [36]) Будем говорить, что матрица Кёте [аг{п)) обладает свойством (с^) , если выполнено условие Vr 3s(г) Vt, ЗС > О |en|r|en|i ^ C\en\s^, п = 1, 2,... Определение III.5.4. Будем говорить, что матрица Кёте [аг(п)] обладает свойством (с^) , если выполнено условие Vr 3s(r), С (г) Vt ||en||r||e„||t ^ С (г)||еп||2s{r), п = 1, 2,..., Теорема III.5.1. Пусть блочное счётно-гильбертово пространство Кёте Е — li ([аг(п)}, (12 )) , где М(п) = оо, п Є iV, класса (d\) определяется правильной матрицей [аг(п)} со свойством (). Тогда произвольное дополняемое подпространство F в Е изоморфно некоторому координатному подпространству в Е вида Е = І2 [[аг(т(п))), (l2 )) , где (т(п))— последовательность натуральных чисел без повторений и Ь{п) ^ М(п), п Є N. Теорема III.5.2. Пусть блочное счётно-гильбертово пространство Кёте Е = І2 ({ar(n)}, ll2 )) , где М(п) ^ оо, п Є N, класса (^) определяется правильной матрицей [аг(п)} со свойством (s\) (упорядоченности парных композиций с обратными функциями). Тогда произвольное дополняемое подпространство F в Е изоморфно некоторому координатному подпространству в Е вида І2 ([ar(m(n))}, (l2 ) ) , где (т(п))— последовательность натуральных чисел без повторений и Ь{п) ^ М(п), п Є N. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Ростовского госуниверситета (основатель М.Г. Хапланов), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета, на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 2000 года) и международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 5-11.09.2002). По теме диссертации опубликованы следующие работы: [63, 64, 65, 66, 67, 68]. В работах, опубликованных совместно с В.П. Кондаковым, последнему принадлежат постановка задач, автору диссертации - решение поставленных задач. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору В.П.Кондакову, за постоянное внимание к работе и ряд полезных советов.
9п ^ о~95 ,r>s,neN.~"^Ц'~^ =o:Похожие диссертации на Существование базисов в некоторых классах пространств Фреше
