Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Системы функций, интегралы от элементов которых не равны нулю, в пространствах Up и Eip зо
I.I. Системы представления в пространствах Lp , і 4 р < 0Q 30
1.2. Примеры полных и неполных систем в пространствах Lp 47
1.3. Об обобщениях системы Фабера-Шаудера в пространствах Е ц> 5Г
ГЛАВА 2 Системы функций, интегралы от элементов которых равны нулю, в пространствах 1мр и Ец 68
2.1. Системы представления в пространствах L р » о < р < 1 68
2.2. О возмущениях системы Хаара в пространстве U\ (0,1) 77
2.3. Системы функций с образующей, интеграл от которой равен нулю, в пространствах Evp 81
2.4. Пример неполной ортонормированной системы в 1озД0;1); получающейся из сжатий и сдвигов одной функции 99
ГЛАВА 3 Неединственность представления в пространствах Evp 102
3.1. Критерий существования линейных непрерывных ненулевых функционалов в многомерных пространствах Evp 102
3.2. Свойства систем представления в пространствах Еif , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов 116
3.3. Об условиях при которых система представления из одного функционального пространства является системой представления в других функциональных пространствах 134
3.4. Об обобщениях системы Хаара в пространствах , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов 138
3.5. Системы представления в пространстве почти всюду конечных измеримых функций 156
Литература 159
- Примеры полных и неполных систем в пространствах Lp
- О возмущениях системы Хаара в пространстве U\ (0,1)
- Свойства систем представления в пространствах Еif , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов
- Об обобщениях системы Хаара в пространствах , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена рассмотрению нескольких, довольно широких, множеств функциональных систем в пространствах L»p , О р 00 І и Evp . В работе исследуется при каких условиях функциональные системы будут системами представления или полными системами в пространствах Lp , 0 р OQ , И Evf . Рассматриваются также общие вопросы неединственности представления в многомерных пространствах Еу .
Теорема К.Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке [аД] функций алгебраическими многочленами послужила началом интенсивньтх исследований в области приближения функций. В частности, из этого результата следует, что система алгебраи -ческих многочленов с рациональными коэффициентами является системой представления в пространстве Cta,63 .
С появлением интеграла Лебега стали актуальны вопросы приближения в пространствах L р • В первой половине 20 века боль -шую роль в формировании отечественной школы по теории функций сыграли задачи Н.Н.Лузина 111 . В этой связи необходимо отметить результаты Л.Н.Колмогорова [I] о рядах Фурье и результаты Д.Е.Меньшова [3,4j о сходимости почти всюду тригонометрических рядов. Пример Д.Е.Меньшова о тригонометрическом нуль-ря -де показал, что представление измеримых функций в виде триго -нометрического ряда в смысле сходимости п.в. неединственно.
С.М.Никольский [5] , в частности, рассматривал многомер -ньте алгебраические и тригонометрические полиномы. Рассматривались количественные и качественные оценки приближения суммируемых функций гладкими функциями. Теоремы вложения представлены в [145] , [5] .
— 5 П.Л.Ульянов в работах [6 - 14] исследовал топологические свойства обобщенных классов Орлича и привлек внимание математиков к вопросам приближения в этих классах классическими функциональными системами. Поставил проблемы о возможности представления в виде ряда элементов классов (i) и приближе -ния в классах y{k) другими функциональными системами.
Обобщая результаты Д.Е.Меньшова о тригонометрических ря -дах и рассматривая вопросы представления функций по произвольным системам функций, А.А.Талалян I5 - 2IJ ввел понятие системы представления (с.п.) и получил ряд общих результатов о системах представления в пространствах JL р .В частности, было установлено» что в пространствах Lp[o,[] , 0 р I нет базисов [17]
В работах [2.2 - 25] Б.С.Кашин исследовал обидее свойства ортонормированных (ОН) систем и базисов в пространствах Lp(0?l) , 1 р DQ .В частности, исследовалось поведение ряда ZlCUl где з - это коэффициенты разложения по базису,
В конце 80-х С.В.Конягин [2б] решил проблему о пред -ставлений п.в. тригонометрическим рядом функции равной бесконечности на множестве положительной меры.
Исследованию условий, когда тригонометрический ряд является рядом Фурье-Лебега, посвящены работы [l23, 124] С.А.Теля-ковского.
В 80-х В.И.Иванов [27 - 29J ввел линейные симметричные метрические пространства и рассматривал в них вопросы единст -венности представления по функциональным системам.
Системы представления в пространствах функций комплексно -го переменного рассматривались в работах А.Ф.Леонтьева [30,31), Ю.Ф.Коробейника [32,33]и их учеников.
— б —
В работах [3 Зт] П.Освальд рассматривал классические он системы (тригонометрическая система» система Хаара и др# ОН системы) в классах 4 0 C L , где \р удовлетворяет Ад-условию и невыпукла на L0,o0) , и получил, что тригонометри -ческая система и система Хаара не являются базисами в этих пространствах.
В работе L6] П.Л.Ульянова показано, что система Фабера-Шауцера является системой представления в классах ip(i») при определенных ограничениях на ф . Развивая идеи и задачи П.Л.Ульянова, автором рассмотрены системы і UL удовлетворяющие условиям:
а
а в пространствах р, 0 р DG .; и Е р •
Теория приближений имеет широкие приложения. Последнее время она получила новый импульс развития в связи с применением в вопросах кодирования и передачи изображений и других сигналов [38-40, 125] . Применяется также в вопросах реконструк -ции изображений [41» 42J и в изучении деятельности мозга человека [43 - 47] .
В вопросах сжатия образов возник интерес к системам типа
где 4у kx ( К) .В работах С. $е Вооге?
R.A. 2kVort} A. Ron [48], C.K.CUi LH],I.2)ciueeckes
[5S], S. yUa qt L OJ, Іііеуег L- iJ
и других авторов исследуется, когда из систем типа (0.1) можно
— Ч —
построить ОН базис, который называется всллесковьтй (VdVd&H)-базис. При этом образующая функция Ч для всплескового ба -зиса, формирует систему типа (ОЛ),
В работах П.Освальда и автора [52, 54] исследуется при каких условиях на ц/ система (ОЛ) является системой пред -ставлення в пространствах Lp » Kf oo . В работах [53, 55 - 60J автора рассматриваются системы функций более общего вида •
В вопросах восприятия человеком информации нам представляется актуальным в какой метрике это описывается. Поэтому имеют определенный интерес исследования систем (ОЛ) в различных Классах Ц(і) [і 27 - ІЗі] .
В работах [61 - 63J Т.П.Лукашенко рассматривал всплеско-вые базисы на топологических группах, где предложены конструкции всплесковых базисов на локально компактных абелевых группах.
Всплесковые и другие базисы в различных пространствах рассмотрены в работах [135 - I39J .
В работах A.Ahvnw и A.O vSKtt [64 - 6б] исследова - лось в каких пространствах lp(Rj 1 4 00. системы,
получающиеся целочиелейными сдвигами одной функции полны в этих пространствах.
С.К, CUul и Х- SV\L в работах [67 - 70] исследовали в каких случаях с помощью системы (ОЛ) возможно представление в вице ряда элементов из l & , при этом от системы (ОЛ) не требуется, чтобы она была ортонормированной. Рассматриваются системы, называемые рамками ( $ramt).
XPresii K. Ші%,С.Р&оька7Т.Ш$ )Ге. J7I -75] исследова ли возможность построения всплесковых базисов из алгебраичес -ких и тригонометрических полиномов.
Вопросы наилучшей аппроксимации в пространствах Цр
— я —
довольно подробно отражены в работах [76, 132 - I34J .
Ряды Фурье в однородных пространствах Банаха рассмотрены в работе [77J , а в других пространствах - в [140 - I44J .
При конструировании всплесковых базисов шроко применяют -ся сплайны» В работах [106, 119] сплайны рассмотрены с раз -личных точек зрения.
Приведем некоторые факты, которые нам понадобятся в даль -нейшем.
Определение 0.1 [78, 8l] • Линейное пространство Е называется квазинормированным линейным пространством, если каждому элементу х Е поставлено в соответствие число l\Xl\ , называемое квазинормой элемента X , таким образом,
что выполняются условия : D \\П 0 , [хЦ = 0 =Ф Х О • ИзсцНо
Квазинормированное линейное пространство Е будем назы - вать F- пространством, если оно полно.
Определение 0.2 [l7J . Система элементов
"i ivx-i сепарабельного F- пространства (В-пространст ва) Ё называестя системой представления (с.п.) в Е , если
для любого элемента -[iL существует ряд 21СцХц
юн
такой, что
Определение 0.2, Система элементов \ х ] сепарабельного Г-пространства Е(.ЛМ1) называется полной си - g стемой в В, если для любого элемента Е ,произвольного 0 существует сумма Z. СкХк , такая, что
Ц-Т скхк\\ Є.
Важным естественным обобщением пространств Jlp? і р &0, являются классы и пространства Орлича [79 - 80 J . Основные свойства этих классов и пространств достаточно подробно изложены в работах [81 - 83J , где также указана обширная литерату -ра по этому вопросу. Идеальные пространства рассмотрены в
В 1958 г. С.Мазур и В.Орлич [84J предложили более общий класс пространств vp (L) , содержащий пространства Орлича. Эти исследования были продолжены W.Ortici , W Maiusie.w KQ [85 - 89] и другими польскими математиками. Наиболее обще эти исследования изложены в работе Ж.Мушелака [8IJ и С.Роле -вича 82] , где приводится достаточно полно литература по этим вопросам. Определим эти пространства и приведем их основные свойства.
Пусть Ф - совокупность четных, конечных, неубывающих на полупрямой ІО,О0) функций 1р таких, что &w\ ф [i) = W)=O0.
Х DO
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что для функции Ц выполнены следующие условия:
ЧЧФ, iftO 0 U 0), f(o)-0, €Cto,oo). (0-2)
Пусть (T, Z, рд) - пространство с мерой [81, 90] , то есть 7 - непустое множество, X - некоторая s" алгебра его подмножеств и /U - полная, неравная тождественно нулю, сепарабельная, б" - конечная мера. Говорят, что (T7Z,/u) -пространство с непрерывной мерой, если в нем нет атомов (см. І90І , стр. 58; [і22І , стр. 335). Всюду в дальнейшем мы полагаем, что
- 10
1 . ,
В дальнейшем будем предполагать» что для ц выполнено условие (0.2).
Через Ц (1») будем обозначать множество всех тех 0\ — измеримых на множестве Т функций () , для которых
Если 4() и 3(і) принадлежат классу lp(k) , то величину
условно назовем -расстоянием между -f и с хотя, вообще говоря, Рц, не определяет во множестве Ц (/о) обычное расстояние» удовлетворяющее известным трем аксиомам метрического пространства.
Последовательность функций V-fh из класса (k)
называется сходящейся по ip-расстоянию к функции 1 ( если ({wj H M Для Ч при некотором ИоЄ/t и
Класс iffLj в общем случае не является линейным. Если класс
Ц (Л) ПОПОЛНИТЬ ПО ЛИНеЙНОСТИ, ТО ПОЛУЧИМ МНОЖеСТВО Ц [L) в котором можно ввести квазинорму ( р - норму) элементов с по -мощью функционала
так, что замыкание у (L) по Ц -норме станет Г- пространством. Замыкание vpA(l J по у -норме будем обозначать символом у( . В этом случае из сходимости по Ф-норме следует схо.димость по f-рассто - 11 янию для элементов из класса Ц (Ц [QI] .
В общем случае включение Ц fL) С L не имеет места, так как для всякой измеримой и конечной почти всюду на ( 3,6) функции -f({) найдется такая функция і бФ , что -f (M и потому сумма 2. (Ч совпадает с множеством измери-мых и конечных почти всюду, на ]( Q,&) \ функций.
Через Е \о будем обозначать замыкание по vp - норме множества ограниченных измеримых функций в Vp ( L) .
Определение 0.3. Система элементов j hK-,
пространства Evf (класса (L) ) называется системой представления (с.п.) в Еір (в классе (U) ), если для любого элемента существует ряд Z. Ск [ такой, что
к И,
ГРІ00
Система і іу, г _, называется абсолютной системой представления (а.с.п.) в Eif Ц (и)] , если существует ряд
Z. С-к \ к такой, что для него выполнено (#) и к
тому же выполнено условие
к
1т X \CKU\U W [km Ы1 (C:(KOCI/U OQ).
Легко видеть, что классы Lp , О р DQ , являют ся частным случаем классов f (I) . При этом функция
Определение 0.4. Будем говорить, что функция if Ф удовлетворяет Лъ- условию, если
-12. 4 CU) = OjipU)} , t-» .
Определение 0 5. Будем говорить, что функция Ч ф удовлетворяет СО - условию, если
ipli+t) = 0 j P(t)} -fc -» оо.
Очевидно, что если функция у Ф удовлетворяет Д - условию, то она удовлетворяет и СО - условию.
Пространство \Ц не сепарабельно, если не выполнено Ад, - условие. Класс (и) сепарабелен, в смысле топологии определяемой Ц - расстоянием, тогда и только тогда,когда Ц? удовлетворяет СО - условию [б] .
Пусть для vp выполнено условие (0.2) и уц является б" - конечной и сепарабельной мерой. Тогда пространство Е сепарабельно по соответствующей норме [81] .
Пусть для vf и 9 выполнено условие (0.2) и существуют К to 0 такие, что
0(4) 4: K\pU) ДЛЯ i o.
-jfc
Тогда Vp ( ) С 0( ,) и Еу С EQ И ИЗ сходимости по Ц - норме следует сходимость по 0 - норме
и .
Определение 0.6. Пусть vp 0 Є Ф # Если существуют "to, А, В 0 такие, что для всех t /to
Avp(t) 4 0W 4 Е ({),
то функции и 0 назовем эквивалентными и будем обозначать Ц) 0 .
Очевидно, что если .для vp и 0 выполнено (0.2) и ц 0 , то Exf = Е©, 1р (М=9 М М = 9 ( 0 и сходимость по Ц - норме эквивалентна сходимости по 0 - норме [211
- il —
Оказывается, что в условии (0.2) требование, что ц G С[о,оо) можно ослабить. Получена
ТЕОРЕМА 0.1 Ш.Л.Ульянов [б] ). Пусть if Є Ф, Vp(f) 0. Тогда, чтобы нашлись функция 06:43 с 0 Є-Qqefl)» для которой ц 9 , необходимо и достаточно существование такой постоянной Ю , что
w r 4 s 0-3)
при всех X. .
При определенных ограничениях на Ц получаем
ТЕОРЕМА 0.2 (Ж.Мушелак [ві] ). Пусть для у выполнено условие (0.2), а /Ц является С - конечной,без атомов, мерой. Тогда следующие соотношения эквивалентны:
D vpUO = Ц {1) ) z) Ец, = ір (Ц •
3) удовлетворяет Лj, - условию;
4) сходимость по ц - расстоянию эквивалентна сходимости по
Ц - норме.
В общем же случае Ец С lp (!•) С. Р ( L) , Диссертация состоит из трех глав. Нумерация формул единая. Так, например (3.2.1) означает I формулу 2 параграфа 3 главы, а номер (0.1) обозначает формулу I введения. Аналогичная, но своя нумерация принята для теорем, лемм, замечаний и следствий. В первой главе рассматриваются системы функций J h (Ш
из пространств Lp} 1 р DQ ,и Е.у для которых
а
л
— 14 —
В этом направлении получены следующие основные результаты. Предположим, что функциональная система \%\ СІр(я,W,
удовлетворяет следующим свойствам:
5Цр Г Г 1, (0.4)
где
Если 0 такое, что 5"+= і , то
существуют
и
Луч R , Qv = \J L°l , Ч і і ТаКИе, ЧТО
= y vp Й©ЬШ - AhvK,U) Ир С+=г г 1 , (0.5)
и к тому же sup Th б" •
Пусть система \Ч к л/ удовлетворяет также следующему свойству:
00 .
VA/Є// w s((a,0\ \J ,Q =0. (0.6)
ПУСТЬ ЭСк vviivv і °?] , v» = ax 1 1. Обозначим
і j
Пусть
dlMO- O.h- , d(lK,) 0. (0.7)
Пусть
m —
Обозначим
ТЕОРЕМА I.I.I Предположим, что система
удовлетворяет свойству (0.5) и произвольный ограниченный интервал покрывается в смысле Витали семей ством Q . Тогда для произвольного систе а і Ми-л/ является системой представления В (/1(0,).
ТЕОРЕМА I.I.2. Пусть система удовлетворяет следующим условиям:
и где
Л = { І И % »Н - АШЬ:- A4R.
Тогда для произвольного A/ Jv система 1 1 явля Jh-л/
ется системой представления в Lp(3 о) , 1 Р DQ,
тогда и только тогда, когда выполнено условие; VA/ZJV іт€$\{а91)\0 ,йк) = 0. Следствием из теоремы 1.1,1. является
ТЕОРЕМА 0.3 [52] Пусть v/ і L\ ( R ), Тогда система функций
— 16 — ІЧ/ЦЧ- 0} (U Rs) ie2s vttH.sePI/,
является системой представления в 1м I К J.
Изложенные выше результаты могут быть использованы в много-масштабирующей (, V uxiiresofu ttOb) аппроксимации. Следуя $-MaliQX [50] мы скажем, что последовательность (Vjjj j
замкнутых подпространств L (R ) формирует многомасштабирую-щую аппроксимацию в L (R J 5 если выполнены следующие уело -вия:
tRO VjcVjt( Vj42;
(IU) ft (--l-V)feVj VjZ,d7S;
(Ri) { 4Vj = J (1-) Vj+i;
QR4) Имеется изоморфизм из , который ком мутирует с операторами сдвига.
(N V- oj;
(U) U V; • плотно В Lp(R ) .
j€. t J В работе RrQ. JCa и C.Micclntlh ДОЯ] рассматрива-ются следующие функции. Пусть ф функция определена на R ,
пусть
Тогда ° является I - периодической функцией. Определим
— п —
Аля I Р 4 00 пусть сС (К )- линейное прост ранство всех функций ф для которых I Ир . DQ . Пространство (К J с нормой \• р становится Банаховым пространст -вом.
Очевидно, что И И\р 4Мр и
В работе [l09] } в частности,получена
ТЕОРЕМА 0.4.(Эа,Meckel [l09]) . Если ф Є сР
( 1 р • оо) и2_ (- - d)- і ,то для любой
0f€2S
функции . Lp 7
II -f - L dK U) (іг1- - °0 1Р - о, к - О ,
где
dku) = a, (-,dl): = К і (x)dx r J -{(.Цх ))сІХ
U+to, s [0,1)5 Теорема 0.4 устанавливает свойство \R6) , где Vo является образом t \L J в Lp при отображении
Vj C3 ty.) , ГАЄ Ґ = ( .) -f . on ределенных на R .
— 18 —
Легко видеть, что теорема 0.4 является частным случаем теоремы I.I.I для пространства 1ц (R J при установлении
полноты системы { ис! в кн \ К ) .
В параграфе І.І. рассматриваются также системы представления в смысле сходимости почти всюду. Следуя А.А.Талаляну [2IJ , дадим
Определение 0.7. Система функций -fK \
называется системой представления в смысле сходимости почти всюду в Е ц , если для любой функции \t Ei{ существует
ряд который сходится к ( х) почти всюду на "Г •
Получена
ТЕОРЕМА I.I.I. Предположим, что система
удовлетворяет свойства (0.5) и множество (&, ) покрывается в смысле Витали семейством 0Q
система
j Q t Тогда для произвольного Nt W I Ми=л/ ЯБЛяе,рся системой представления в L\ (Q ) .
В параграфе 1.2 приводятся примеры, которые показывают, что условия в теореме I.I.I важны.
- i 3 В параграфе І.З рассматриваются системы (0.1) со специальными ограничениями на образующую функцию (-1) • Получены
ТЕОРЕМА I.3.I. Пусть Т- Ю,Л , / К) = І . Для того чтобы подсистема \ у. L системы (1.3.1)
была абсолютной системой представления в Е ц , необходимо и достаточно, чтобы
Vt 0, V Д/€ // 3WN /\/:
m Vv\es ft: I. Yht U) т о] 1-Є.
ТЕОРЕМА 1.3.2. Для того, чтобы подсистема М ] системы (1.3.1) была системой представления в (° і) в смысле сходимости почти всюду необходимо и достаточно чтобы
шь it: Z. v/ U) o
i-e.
Во второй главе рассматриваются системы функций -fw(X) }к_.( из пространств ] р и Е Cf (
для которых а
-10 В этом направлении для пространств Lp (О,і) о р 4 , получены
ТЕОРЕМА 2.1 Л. Предположим, что система
0Q4CK& 4 О р і , удовлетворяет условию
(2.1.3) И произвольный огра ничейный интервал ( С , я) С (а і) покрывается в смысле Витали семейством 1 Оч 1
Тогда для произвольного N € /v система ] Ч(. V
является системой представления в Lp(fl)6) 0 p i..
Как следствие из этой теоремы получаем Следствие 2.ІЛ. (Теорема I в) см. [52] ). Пусть Ч U (ОД), И У h Ф О и У равна нулю вне (Ojl). Тогда V K. \ является системой представления в Lp(0,L) , 0 р 1.
Во втором параграфе рассматриваются возмущения системы Хаара в пространстве J i (0,1) Этот результат анонсировался автором в работах [і 10, I2IJ,
Рассмотрим систему Хаара в следующем виде. Пусть
/\/l / L I +1 \
- a —
L+( L+2,
ft U) = -1, іЧ ( );
ди (-Ц G ; в остальных точках,
Получена
ТЕОРЕМА 2.2.1. Пусть ) M W) U { ] ,
w. = -1,1,... , С-о/Ь,...Д 2, система функций из і»«ІО,і) такая, что
Vi «4,1,... , 1 = 0,2,..., Л-2, .
Если
Y. = « ± ,
то
где (Г = HftQX { С} , Н-= ,1,..,, 1=0,І,...Д-І,
система J (t)jV)Ot)} Л = -" =0,2.,..., -2,
является полной системой в Li (Oji).
-zz В параграфе 2.3 рассматриваются системы функций,получающиеся сжатиями и сдвигами одной функции,при условии, что интеграл от образующей функции равен нулю.
Получена
ТЕОРЕМА 2.3.3. Пусть Т= [0,1] г /ЦК) = і }
Urn —7— =0 и Ц [-І) вогнута на [ О, ОО) .
Пусть функция Ц[±) : C[o,i] , vncs t: \p()= v (t0)j=K O;
где I H4-U)l= Wmx H)1 , ({: ) = 4 )1=( ,/0, K= -A 0,
іеіоді і YU)dt=o, H () = 0 (t і [o,i]). 0 Для того чтобы подсистема j 4L V системы
1%,к1= {чЧ -Ю} , и = 1,г,..., к-- о,А,..,,дЛ-, была системой представления в f необходимо и достаточно» чтобы
w\ д/:
В четвертом параграфе приводится пример неполной ортонор-мированной системы, получающейся из сжатий и сдвигов одной функции. Образующей функцией для такой системы является
— 23 —
1 , t Ц-n «к " -h+i ) ) ) = J
V , в остальных точках,
В третьей главе рассматриваются общие свойства систем представления в пространствах Е ц .
В первом параграфе показывается в каких пространствах Е \р нет линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены
ТЕОРЕМА З.І.І. Для того чтобы в пространстве Ец с непрерывной мерой /U = /U( ) , = ( --.і V) , существовали линейные непрерывные ненулевые функционалы, необ -ходимо и достаточно, чтобы
- oo t
ТЕОРЕМА 3.1.3. Пусть Cow —- = О . Тогда.
если 1 V) \и-1 си°тема представления в ip с
непрерывной мерой, то и система %к_л/ ДОЯ любого
фиксированного Л/fc /v » также является системой представления в Е vp.
В случае, если мера Лебега-Стильтьеса /Л /И4) раз рывна, то имеем —
ТЕОРЕМА 3.1.5. Пусть ""["-(0, і). Пусть мера Лебега-Стильтьеса /U-/U(k) разрывна в конечном числе точек
Vv
Пусть Uw —j— = 0 • Тогда общий вид линейных непре-•fc- co z
рывных ненулевых функционалов в Еф следующий:
w,
К— (
В параграфе 3.2. рассматриваются общие свойства систем представления в пространствах Etf , в которых нет линейных
непрерывных ненулевых функционалов. Получены
ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть Т- -j (ЯД) J ,- « d + .
Пусть мера /ц - непрерывная мера. Для того чтобы система элементов \ тч (\0f пространства Ei ; с
УЛУА т— - 0 у была системой представления в этом про -Ь- оо
странстве; необходимо и достаточно, чтобы для произвольных
{( ) Elf , натурального числа /V и положитель -ного числа 0 существовала линейная комбинация
- 5 21 с {кС4) , л/,
удовлетворяющая условиям:
VVk
III -I M, L . ;
W/
III
kr/M
где С , - постоянная, зависящая только от v).
Так как в случае vf (t) = ip о р ± , условие им ——— - О выполнено, то .для пространств Ьр)0 р 4- » имеем
Следствие 3.2.1. Пусть Т= •! (, )к V,
?o4.Q t 44o00k. /у f Пусть Jl\ - непрерывная мера. Для того чтобы система элементов ] ( U) (
пространства L/u[ I ) , О • р 1 , была системой
представления в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы для произвольных f(4) k/u ( Т) 0 р 1 ,
- Z6 натурального числа /V и положительного числа . 0
существовала линейная комбинация
/ Сц -fk [Ц\ W\ Л/ удовлетворяющая условиям:
VA
4-Х с{кцр i и,
2. М L 4 CP H UP , ИАІ vt vn,
где С- p - постоянная, зависящая только от р .
В параграфе 3.3. устанавливается при каких условиях система представления в одном пространстве является системой пред -ставлення в других пространствах.
Получены
ТЕОРЕМА 3.3.2. Пусть Т \ [0}іТ] . Пусть
Лд - непрерывная мера. Пусть Н5 » ЧН) Ч U) ДЛЯ всех "t to О , где
to - некоторое число? И ПУЛ —т- 0 • Если
) •(• 1Чн "" система представления в Е у , то
— и К (ц\ является системой представ ления в Е ц).
Для пространств Lp следствием является Следствие 3.3.1. Пусть /Ц - непрерывная мера.
Если . Т т к \ - " система представления в пространстве
iJyii 1 (°Л\ , О 00, k А/ • то
J К г является также системой представления в пространствах Ьуц } (о,!) j 0 чр 1 7 Р Ч Vi.€i
В параграфе 3.4. рассматривается более общая система, чем система Хаара, в пространствах Eip без линейных непрерывных ненулевых функционалов. Получены
ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть Uyv\ - = О , Т (О, і) ,
fc-»oo t
/Uti) - » Для У выполнено условие (0.2).
Тогда для того чтобы подсистема \ Ч\ і системы
(3.4.3) - (3.4.4) была системой представления в Е необхо -димо и достаточно, чтобы
— zz —
Vt 0 ,V/V€ N Л л Л/ такое, что
ТЕОРЕМА 3.4.4. Для того чтобы подсистема ] Md [
системы (3.4.3) - (3.4.4) была системой представления в про -странстве 5(0,1) в смысле сходимости по мере, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
Vt Q V Л/ jV 3h А/ такое, что
VMS \ї: Z. \ и, [ )\фО } 1 .
В параграфе 3.5. рассматриваются системы представления в пространстве $(0,і) в смысле сходимости по мере.
Получены
ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть vf/ft) € U (o,L) и
II У IU = Ь = 0 , У К) = 0 (t І ( 0,1)). Тогда система
является системой представления в S(0;i) , пространстве почти всюду конечных измеримых на (0)i) функций, в смысле сходимости по мере.
- 2,9 ТЕОРЕМА 3.5.2. Предположим, что система
{ Уи \, f w С 1 (0,1 ),о р«,удовлетворяет условию
(2.1.3) и множество (0,1) пок рывается в смысле Витали семейством j Qv, г • Тогда для
произвольного А/ 6 J\/ система «1 1 является
системой представления в (0,1) .
Примеры полных и неполных систем в пространствах Lp
Диссертационная работа посвящена рассмотрению нескольких, довольно широких, множеств функциональных систем в пространствах Lp ,0 p OQ » и Ец . В работе исследуется при каких условиях функциональные системы будут системами представления или полными системами в пространствах Lp , O P OQ , и Evf . Рассматриваются также общие вопросы неединственности представления в многомерных пространствах Eif . Теорема К.Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке [а, С] функций алгебраическими многочленами послужила началом интенсивньтх исследований в области приближения функций. В частности, из этого результата следует, что система алгебраи -ческих многочленов с рациональными коэффициентами является системой представления в пространстве Cta,63 . С появлением интеграла JJe6era стали актуальны вопросы приближения в пространствах Lp . В первой половине 20 века боль -шую роль в формировании отечественной школы по теории функций сыграли задачи Н.Н.Лузина 11] . В этой связи необходимо отметить результаты Л.Н.Колмогорова [2] о рядах Фурье и результаты Д.Е.Меньшова [з,4] о сходимости почти всюду тригонометрических рядов. Пример Д.Е.Меньшова о тригонометрическом нуль-ря -де показал, что представление измеримых функций в виде триго -нометрического ряда в смысле сходимости п.в. неединственно. С.М.Никольский [ 5] , в частности, рассматривал многомер -ные алгебраические и тригонометрические полиномы. Рассматривались количественные и качественные оценки приближения суммируемых функций гладкими функциями. Теоремы вложения представлены в [145] , [5] . П.Л.Ульянов в работах {б - 1 исследовал топологические свойства обобщенных классов Орлича и привлек внимание математиков к вопросам приближения в этих классах классическими функциональными системами. Поставил проблемы о возможности представления в виде ряда элементов классов (i) и приближе -ния в классах Ц (/м) другими функциональными системами. Обобщая результаты Д.Е.Меньшова о тригонометрических ря -дах и рассматривая вопросы представления функций по произвольным системам функций, А.А.Талалян (15 - 2IJ ввел понятие системы представления (с.п.) и получил ряд общих результатов о системах представления в пространствах Lp . В частности, было установлено, что в пространствах Lp[o,l] , 0 р і » нет базисов [17] В работах [2.2 - 25] Б.С.Кашин исследовал общие свойства ортонормированных (ОН) систем и базисов в пространствах Lp(0,i) , 1 Р DO .В частности, исследовалось поведение ряда ZlCUl » где СЦ - это коэффициенты разложения по базису. В конце 80-х С.В.Конягин [2б] решил проблему о пред -ставлений п.в. тригонометрическим рядом функции равной бесконечности на множестве положительной меры. Исследованию условий, когда тригонометрический ряд является рядом Фурье-Лебега, посвящены работы ІХ23, 124] С.А.Теля-ковского. В 80-х В.И.Иванов [27 - 29] ввел линейные симметричные метрические пространства и рассматривал в них вопросы единст -венности представления по функциональным системам. Системы представления в пространствах функций комплексно -го переменного рассматривались в работах А.Ф.Леонтьева [30,31], Ю.Ф.Коробейника [32,33]и их учеников.
В работах [3 -3?] П.Освальд рассматривал классические он системы (тригонометрическая система, системы будут системами представления или полными системами в пространствах Lp , O P OQ , и Evf . Рассматриваются также общие вопросы неединственности представления в многомерных пространствах Eif . Теорема К.Вейерштрасса о приближении непрерывных на отрезке [а, С] функций алгебраическими многочленами послужила началом интенсивньтх исследований в области приближения функций. В частности, из этого результата следует, что система алгебраи -ческих многочленов с рациональными коэффициентами является системой представления в пространстве Cta,63 . С появлением интеграла JJe6era стали актуальны вопросы приближения в пространствах Lp . В первой половине 20 века боль -шую роль в формировании отечественной школы по теории функций сыграли задачи Н.Н.Лузина 11] . В этой связи необходимо отметить результаты Л.Н.Колмогорова [2] о рядах Фурье и результаты Д.Е.Меньшова [з,4] о сходимости почти всюду тригонометрических рядов. Пример Д.Е.Меньшова о тригонометрическом нуль-ря -де показал, что представление измеримых функций в виде триго -нометрического ряда в смысле сходимости п.в. неединственно. С.М.Никольский [ 5] , в частности, рассматривал многомер -ные алгебраические и тригонометрические полиномы. Рассматривались количественные и качественные оценки приближения суммируемых функций гладкими функциями. Теоремы вложения представлены в [145] , [5] . П.Л.Ульянов в работах {б - 1 исследовал топологические свойства обобщенных классов Орлича и привлек внимание математиков к вопросам приближения в этих классах классическими функциональными системами. Поставил проблемы о возможности представления в виде ряда элементов классов (i) и приближе -ния в классах Ц (/м) другими функциональными системами. Обобщая результаты Д.Е.Меньшова о тригонометрических ря -дах и рассматривая вопросы представления функций по произвольным системам функций, А.А.Талалян (15 - 2IJ ввел понятие системы представления (с.п.) и получил ряд общих результатов о системах представления в пространствах Lp . В частности, было установлено, что в пространствах Lp[o,l] , 0 р і » нет базисов [17] В работах [2.2 - 25] Б.С.Кашин исследовал общие свойства ортонормированных (ОН) систем и базисов в пространствах Lp(0,i) , 1 Р DO .В частности, исследовалось поведение ряда ZlCUl » где СЦ - это коэффициенты разложения по базису. В конце 80-х С.В.Конягин [2б] решил проблему о пред -ставлений п.в. тригонометрическим рядом функции равной бесконечности на множестве положительной меры. Исследованию условий, когда тригонометрический ряд является рядом Фурье-Лебега, посвящены работы ІХ23, 124] С.А.Теля-ковского. В 80-х В.И.Иванов [27 - 29] ввел линейные симметричные метрические пространства и рассматривал в них вопросы единст -венности представления по функциональным системам. Системы представления в пространствах функций комплексно -го переменного рассматривались в работах А.Ф.Леонтьева [30,31], Ю.Ф.Коробейника [32,33]и их учеников. В работах [3 -3?] П.Освальд рассматривал классические он системы (тригонометрическая система, система Хаара и др. ОН системы) в классах Ц5 С L , где \f удовлетворяет Ад-условию и невыпукла на 10, (А) , и получил, что тригонометри -ческая система и система Хаара не являются базисами в этих пространствах. В работе L6] П.Л.Ульянова показано, что система Фабера-Шаудера является системой представления в классах ф(10 при определенных ограничениях на ф . Развивая идеи и задачи П.Л.Ульянова, автором рассмотрены системы ! -L } С. система Хаара и др. ОН системы) в классах Ц5 С L , где \f удовлетворяет Ад-условию и невыпукла на 10, (А) , и получил, что тригонометри -ческая система и система Хаара не являются базисами в этих пространствах. В работе L6] П.Л.Ульянова показано, что система Фабера-Шаудера является системой представления в классах ф(10 при определенных ограничениях на ф . Развивая идеи и задачи П.Л.Ульянова, автором рассмотрены системы ! -L } С. Li удовлетворяющее условиям:
О возмущениях системы Хаара в пространстве U\ (0,1)
Рассмотрим систему Хаара в следующем виде. Пусть ГАЄ = Wiao. {s;cl vu=l,i,... , І = 0,2,..., J -2 , то система { Vee(t)Jiy [YvJ } ,И, = 1,г,.м, 1 = ОД,...,2 -2,, является полной системой в кн [0)1). До казатель ст во. Рассмотрим следующие выражения: Ро,0 = і" Ло 4 0 , Vt i,!,... , 1 = 0,4,...,2,М, где 1/2,1 - целая часть числа Vfc . Для Jt = 1 Очевидно, что многочлен, построенный определенным образом, по і - ОД ,..., .2 — 2» . Для наглядности, например, приведем многочлен і\ о Легко видеть, что Для простоты дальнейших вычислений, положим t-0 . По индукции легко доказать, что верно неравенство: — 20 — Таким образом для произвольных k\ = 0,1,..., і=од,...,2.-1, существует многочлен Un,t № по системе То ( v j тк [ , где (Г 1. Так как система интервалов j ( " jh ) J W =0 1,..., 1=0,і,..., 2м-I , удовлетворяет усло вию (I.I.3), то очевидно, выполнены все условия теоремы I.I.I для системы Qfc,l( h=0,l,..., {, = 0,1,..., -1. Итак, получим, что система Qb,i j является с.п. в а система ] V0] \J \%"\ , h = J,V-- 0 ,..., -4, полна в L, (0,1). D Замечание 2.2.1. . Теорема 2.2.1 фактически устанавливает, что возмущение системы Хаара по метрике пространства L\(0,l) является полной системой и это возмущение более сильное, чем в работе [92J об устойчивости базиса. В отличие от работ [91, 92) , в теореме 2.2.1 дается конкретный алгоритм приближения элементов пространства ІиЩ) новой полученной системой. TE0FEMA 2.2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2.1, тогда система j Qv\ Ц , h = 0,A,..., 1= ОД,..., 2,и-1, является с.п. в Li(0,l) в смысле сходимости п.в. Доказательство теоремы 2.2.2 следует из теоремы 1.1.3, примененной к системе J Qh I VirOl ... С= 0, .,. -10 Прежде чем сформулировать основной результат докажем вспомогательные факты. ЛЕММА 2.3.1. Пусть Т = [ 0,i] /uU) = t, -fcwi = 0. Тогда для произвольных А е R и Е с L о, і] таких, что \ Е \ — 0 верно Доказательство. Действительно, ТЕОРЕМА 2.3.1. Пусть Т= to,i] , fA (і) = t Пусть Uw\ -ЇІЙ = 0 , U) вогнута на [ 0, 00) Сем. [ИЗ] , стр. 91), т.е. — Zl Тогда для измеримых множеств Е [О, і] таких, что Е\ - 0 и для ограниченных, разрывных в конечном числе точек функций таких, что 4W o ttlo,tf).,S4pp4 сЕ , j Jwdt-cA, где Л - некоторое фиксированное положительное число, полу -чаем, что UM 1TFTXEU)4-O 1Е\ ЛЕ l" "V lE\ -M До казат ель ство. Рассмотрим сначала случай, когда {w = 4?(El№- i rEi Ц), где Е4ЛЕЬ = , і Е = ЕііУ Еа.с to,i] d,po. пусть Hwdt Л. J о В этом случае ШЦ -Суг{ц о: Jvp(f-)di+ b()4t u J = ju oiE,lvp(f)+lEx\V(i) u} « ІБ.ИІЕіІ ІЕіІ-flEi и{\и оШ+\Ы)у (J lh,HlhUJ u} E A v ,. 1 , A -83 То, что II 4 ХЕ W І, -О , при фиксированном А, следует из леммы 2.3.1.
Рассмотрим теперь положительную ступенчатую функцию -f (і.), заданную на множестве Е - [0,1], вида vv 414 = 2- ole E. Ц), jjujdt « А, (2.3.1) =i 1 Е w где ЕСЛЕІ = 0 , ь j Е= U Et , о«с О,І-ІЛ. Тогда II-flh? = Ь 0: і Ч5 C f )o(t u } = i =4 F. J iwu o; j (Z-%-1- -%f _, U))olt u f _A_ IE! XE Ш К if . (2.3.2) - 24 Так как точки разрывов ступенчатой функции произвольны, то рассмотрим произвольную, неотрицательную, ограниченную, раз -рывную в конечном числе точек функцию -f (i) О і (і) Jit A Тогда существует последовательность j 4h()}._ ступенчатых функций вида (2.3.1) таких, что Пусть fj(qdt = . A, JiU) = /W. о о Тогда A» 4 flu и существует Но . такое. что Ао Aw А ПрИ К / И.о , Очевидно, что Так как соотношение (2.3.2) выполняется для каждой функции из последовательности J -fh () г, то, используя лемму 2.3.1, получаем IIIЦ II к \\ч 4 II , ХЕ. It) І у -85 ТЕОРЕМА 2.3.2. Пусть Т= [0,і] , /u W= і, fcm- =0 и Ч1 it) вогнута на [О, OQ) . Пусть функция 44-4 (0,11, esj: Ч С-е) = Uo)] = К Фоу где o y(te) = vmQxv/.a)i , va) = o МіДі) і u)d= о. ИІ J м/ I00 Если подсистема j i L ( системы {Хк}= j 44 4- )] ,VL = U,... ,K = 0,1,..., -1, (2.3.3) удовлетворяет условию такому, что Vs o , W є // 3 л/ ; Vv\ то для произвольных 0 , Д= (c(,J}) c Го,і] ; Y R7 л/еД/, VW существует сумма 2l Се 4 » W такая, что lrvv, /XA(1)-Z .CtY ltllU t, 12.3.4 ) II L Ct% L 4 5 1\У %д L,/\/ Vt Vw, (2.3.4") — 6 — ф:ІШЧ-Х Ші) с] е, (2-3-4"l) Доказательство. Для простоты положим, что у Для у 0 доказательство аналогично. Пусть - произвольное положительное число, такое, что і -- II Jf %дН) Hip . Пусть 0 такое, что 1UIW і Для простоты дальнейших рассуждений положим Таким образом \ $с U) \ « 1 (і I О, А])} { = 1,2, .... Назовем сумму 21 Се.4 ( ЛЛ, m„, сс М t \лА , выбраны определенным образом) пачкой. Элементу q (Л соот ветствует ЭЛемеНТ %в,Ко U) гДе ; О 4 К0 4 5, - і . Назовем множество Ее- t : /и0 4 "t p. j основанием элемента eW Очевидно, что bu p tf, (і) С Et . Из теоремы 2.3.1 следует, что для функции -f Ш удовлетворяющей условиям теоремы 2.3.1, 0 и jf 0 найдется - 87 номер fto , что для множеств Е таких, что 1ЕД - Пусть Ъ т— Так как Y IE.W0 что Из (2.3.5) следует, что существует такой номер К/" Vi0) при Е\ ъ и К 4 4 получаем Построим первую пачку следующим образом. Выберем, исходя из (2.3.4), элементы Q, [і) таким образом, чтобы их основания не пересекались, а объединение оснований содержалось в Д и по мере мало отличалось от Д\ . Возьмем Л/і У/ VSA . Так как Е.И " 0 .то из (2.3.4) следует, что для У/ц существуют VY\\ У Л/\ Лм такие, что 1 Ес]сл, 1М-1иЛЕеЦ ?/ч, где 1-і - га м-і \J Ее=0[. t=yV, Положим Се = Y ) -Q И Ct=0 при 1 Получим, что Ц Сі ЩІІ, 4 К КХлШ Hip, Для функции WW верно неравенство с$ j-fc: о « 6-,(-1) 4 «с » (їді- Йі)-К7 где К= И»« j{ : V/(t)=: V(to)j о. Тогда к-Я пачка, где К , строится рекурентно, также как и первая, следующим образом. Функция K-i wit ограничена на [o,IJ и разрывна не более чем в конечном числе двоично-рациональных точек. Поэтому для функции Gr (t) существует ступенчатая функция
Свойства систем представления в пространствах Еif , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов
Вопросы неединственности представления в пространствах Lf(0,i) 0 р І, ив пространстве S(0,i)t измеримых, конечных почти всюду, функций, в смысле различных сходимостей рассматривались А.А.Талаляном в [l7-2l] , где существенно использовалось, что в пространствах 1р(0, і), О P і. 5(0, ) нет линейных непрерывных ненулевых функционалов (л.н.н.ф.). В.И.Иванов [29] рассматривал те же вопросы в линейных метрических симметричных пространствах. В данном параграфе рассматриваются те же самые вопросы для пространств Ец ucwt —г— =0 в случае, когда ме І-JOQ. ь » ра м М {Ч) непрерывна, а множество Г ((&,) Теоремы 3.2.1, 3.2.2 анонсировались автором в работах [105, III] , где Т= ГМ] , а мера - непрерывная мера Лебега-Стилтьеса. ТЕОРЕМА 3.2.1. Пусть Т= \ (а,ё) }, - Х « а 6 s + оо. Пусть мера [W - непрерывная мера. Для того чтобы система элементов \ \Л\\\ пространства Е с ЬУЛ-у =. О была системой представления в этом пространстве, необходимо и достаточно, чтобы для произ -вольных (и ] (: В if , натурального числа Л/ и положительного числа О существовала линейная комбинация VA , удовлетворящая условиям: к-л/Ц где с if - постоянная, зависящая только от у . Доказательство достаточности теоремы 3.2.1, как частный случай, следует из теоремы В, данной в ЗЛ, так как пространство Ец» является F - пространством. Для доказательства необходимости теоремы 3.2.1 потребуются следующие леммы. ЛЕММА 3.2.1. Пусть Т= { (Q,&f) , - ос Q + 00 . Пусть мера уЦ - непрерывная мера. Пусть [ { г с.п. в Е-Ч I - действительное число и О. Тогда существует 6 0 такое, что, если J [c,d] г = Д W - мерный куб, который содержится в Т Д с НП , и уц (Д) с t то дЛЯ произвольного числа А/ 6 /V и поло жительного v? 0 существуют функция J ( У) 1 = ( У Г"» У ), и линейная комбинация обладающие свойствами: Е,. Е, где c,tf\ x - множества, состоящие из конечного числа И/ - мерных параллелепипедов вида (21 Іс-н) ( c d) t=0,( -() где С 4 20 . 2 ... 2ц, d , и такие, что 11 И с; l-ij) L і , //fit s к s Л Доказательство. Так как мера /U = /Ш Ч) непрерывна на Т , то для кавдого к = і Д, существу ют числа Пусть o 0 удовлетворяет требованиям теоремы А 3.1, в формулировке которой вместо 0 взято /Z . Для достаточно малого о\ О из условия М (д) дл г будут выте кать неравенства 1 к ( )IL X , К 1 ИГ" и, тогда, согласно теореме А 3.1, для каждой функции gk U) мож но определить сходящийся к ней в метрике Е у ряд 2 Ct -f ( такой, что и. II X cf ;Cj) 11ч. -f- И = 1Д"" = .- (3.2.2) Из (3.2.2) следует, что для каждого фиксированного і II С-0 .[Л ІІір (3.2.3) к1}:, (к) і оо и, следовательно, последовательность ограниченная.
Действительно, если бы это было не так, то суще ствовала бы { К [ К / оъ у Ос) [ ]h= С,; г со , У\- оо и соответственно, что Н -ft Пір О0, и,- оо » что противоречит (3.2.3). Для фиксированного Л/ 6 У\/ можно выбрать последователь . s . (КО ность К-j -гак, чтобы С; сходилась для каждо го I , 4 4l«// , при Иоо , Возьмем V настолько большим, что «і (C -C J jth ?A (3.2.4) и, затем, выберем такое, что Из (3.2.2), (3.2.4) и (3.2.5) следует, что функция CJ Ч " L и линейная комбинация Cf-fi , ГДЕ с С -С , лЛі Л/, удовлетворяют требованиям леммы 3.2.1. D В дальнейшем, если Е - множество, состоящее из конечно го числа И/ - мерных параллелепипедов, то есть множество ви да Е - { «Эох (.С) Ч \ , где 0о - множество; сос тоящее из конечного числа интервалов, через 4 ( tyj будем обозначать функции, которые принимают значения +1 и -I соответственно на некоторых множествах Е и тоже состоящих из конечного числа параллелепипедов вида множества Е . К тому же эти множества Е и такие, что Е ПЕ"= 0 , E UE" = Е, /u( ) = /u(E") = -/ul). Эти функции Q (b ,4-) вне множества Е. полагаются равными нулю. ЛЕММА 3.2.2. Пусть Т= { ( а &) } . Пусть /Ц непрерывная мера. Пусть j -L И) j с,п в ПРСТ ранстве Е , 1 - действительное число и множество Ео = \ SoXlC .d1) ] С Т , где 5)о состо ит из конечного числа ограниченных интервалов. Тогда для произвольного натурального /V /v и у & существуют функция 9 0) ї) и линейная комбинация вида (3.2.1), удовлетворяющие условиям: Доказательство. Эта лемма устанавливается путем последовательного применения леммы 3.2.1. Возьмем , , о г І {\\1 ХЦ)Ц , /и() = і/и(Є.),ЕсТ[, и представим множество Ео в виде объединения достаточно малых попарно непересекающихся параллелепипедов Ак , ± 4K-S \/. Тогда, согласно лемме 3.2.1, для произволь A ного h , 0 р - , мы можем определить ступенча тые функции J { Y и линейные комбинации Это означает, что имеет место утверждение, подобное сформулированной лемме 3.2.2,с той разницей, что функция 3 \ "в ) заменена функцией Гі ( Ч) , удовлетворяю -щей условиям (3.2.6) и (3.2.7). Лемма 3.2.2 немедленно полу -чается последовательным применением указанного утверждения. На втором шаге это утверждение применяется к множеству и числу , когда вместо взято VA\ , И вместо у/ц взято а вместо ь взято ИЛ Е {;i- «i-{lieXE(i) )EcT /u(E)4/, fE«)i}. Поступая также и на следующих шагах, мы получим функции Fj () , множества Ej } Ej , Pj = Ej L/ Ej и линейные комбинации K=w\i-«+( такие, что для всех j = &, Ь,. . і имеем Е;.АЕ; = 0, Е;.иЕ ]с{Ео\1?рг]}; . , (3.2.8) /UIE;)-/U(E;]=:-V/.(E.\V яг}). К = »\и+ " .. +, U Х 1 FJ ЫЙ Vt S; j = f,V" . -. I , , г И Не Множества г j = t v II. попарно все ересекаются, из (3.2.8) следует, что /u(Eo\ { V Fjj) = /u(E.). Разделим множество ЕЛ \ \J F,- на два множества F и г , /u(P/=/W(F/ , которые состоят из конечного числа параллелепипедов типа множества Е. . Тогда (E.,y)=iFjij) + еxF.()-еxF-o;. (3.2.9) Jc В силу непрерывности меры М - МІЧ) Для достаточно большого J о, будем иметь; Цк о: j Y(if) Дм и 1 = I FVF„ u / ) 4iu o: if)/u(FlUF") u} . %. Легко проверяется, что определенная равенством (3.2.9) функция I Q ( Ео , Ч) и линейная комбинация « удовлетворяют требованиям леммы 3.2.2. Доказательство необходимости теоремы 3.2.1. Поскольку множество ступенчатых функций плотно в Eif , то достаточно рассмотреть случай -\ (Ч) = и Ид ( У), где v - постоянная, а /\д 1ч) - характеристическая функция некоторого параллелепипеда 4= [С, dj f С Т. М(А)-Ъ 0. Из леммы 3.1.2 следует, что существует і Хи } ,что km іь{ \ u o : if (-—) " } = 0. Тогда для любой последовательности J xLJ такой, что rr X X $: X \ , выполняется (3.2.10) что 4 е. 4 К - и Для последовательности множеств -jE f , ЛЛ (Е ) - ,, в силу (3.2.10) существуют ] ик 1 И j М 3 А в силу того, что Evf F - пространство,
Об обобщениях системы Хаара в пространствах , в которых нет линейных непрерывных ненулевых функционалов
Полнота по мере подсистем системы Хаара рассматривалась в работе [l20] , где получена подсистема. ТЕОРЕМА А [120] . Пусть Х \ ХЛ - системы Хаара. Для любого \ пусть Ек - носитель Хи и Е = tiwv Sup EVN = A \J Ev . Тогда X явля ется полной системой по мере на измеримом множестве 6 СЦІ]ТОГ-да и только тогда, когда JiA \(r) - JU \ (г(\ с.) В работе [ЮЗ] автора получена следующая ТЕОРЕМА 3.4.1. Пусть -few - = 0, Т = (0, і), /Ц 1) = Для Ч выполнено условие (0.2). Тогда для того чтобы подсистема /Гцк (Л) гк.і системы Хаара была системой представления в Е v{ , необходимо и достаточно, чтобы mes J t: Z. I U) I o] i-e , «3.4.D которое эквивалентно условию (см. [I20] ): (3.4.2) Рассмотрим системы функций следующего вида. Пусть 4у ("О имеет конечное число точек разрыва и Щі)\ = і (t to, 13), Ч М.-О (t t [0,lj, і 0 Обозначим \ ,к\= у(іЧ-к)], vi = i.a,..., к=ол...,ац-і. (3.4.4) / \ 00 Мы будем рассматривать подсистемы J ц С системы J V"" (3,4.3)-(3.4.4). Для простоты записи положим Q () = уи ц) _ Назовем сумму С, Ч где М, ., Се выбраны определенным образом, пачкой. Назовем, в этом параграфе, основанием элемента й () множество Р = t: g,( i о], к-- ,» 3-4-б) Более общей чем теорема 3.4.1 является следующая. ТЕОРЕМА 3.4.2. Пусть fci іШ. = 0 , Т =(0, і) 21 С, У Ц) (3.4.5) /U (t) = t .для if выполнено условие (0.2). Тогда для того чтобы подсистема \\,\ системы (3.4.3)-(3.4.4) была системой представления в , необходимо и достаточно, чтобы Vt 0 , V Л/ /V.. Л 1ЛЛ д/ такое, что ил , V eslf. X I Уц, W\ 5 0 / 1- . (3.4.6) e=/v Є J ТЕОРЕМА 3.4.3. Пусть fcm - = 0 , Т- {Л) , /ц (4) "t для у выполнено условие (0.2). Подсистема [ системы (3.4.3)-(3.4.4) удовлетворяет условию (3.4.6 ). Тогда для произвольных 0 , A=(d,J ) [0, 1];A R существует сумма _ Cg и,(-{;) такая, что = /1/ е IIА Уд w-2 сечу Ц , (3-4-7) VL Ц2. CeYn/WL И APfA( )Hlf,/V Vt Wi, (3.4.8) HesU: AXAU)-5L Cef () ej . (3.4.9) Ce SujhA О (3.4.10) Преаде чем доказать теоремы 3.4.2 и 3.4.3 установим следующие леммы. ЛЕММА 3.4.1. Пусть JiLl — 0 0 Т=(0;і), уи(Ч:) = "t Ц удовлетворяет условию (0.2). Тогда существует такая последовательность J - - u- » Л: / , h- oo, что для любой последовательности множеств Evu , где Ew [o.i]. } I Еь1 г ЗЕТ. и. = ч,г,..., справедливо ил Гр-1 %f 1 )4 . (3.4.II) Доказательство леммы 3.4.1 непосредственно следует из леммы 3.1.2, так как где і л» J - последовательность из доказательства леммы 3.1.2. D ЛЕММА 3.4.2. Пусть 4р-0, Т = ( О, l) , t-»oo г /UU)=t , ф удовлетворяет условию (0.2). Тогда для произвольных Л R ЕЦС ІР» 3 таких, что Ewl I Ец \ 3 Е w, I , Ь,= 1Д,... , (3.4.12) где Е w I ЗГи. верно Г. Л Хр WIU - 0 . (3.4.13) Доказательство. Для произвольных Z)K С [ 0, i. J К - ,,... » которые удовлетворяют условию 5)кІ-ЗІЕкІ, получаем, что Очевидно, также, что и "А ТаГі к w1 V i Тогда для Е к таких, что Ек І Е« I 3 ) Е к I ; А --? получаем IIА XE U)11 4{U O: [7T1/ )E: U}4 fi o hri /ы )3IEK\ U I — О. Q Доказательство теоремы 3.4.3.
Для простоты положим А 0 . Для Л 0 доказательство аналогично. Пусть -jr \[ А ХА (О II If - Из условия теоремы 3.4.3 и леммы 3.1.2 следует, что существует последователь ность множеств j Ек} такая, что Е [ 0, H- t o; Ev% с (0,1) и верно (3.4.ІІ). Из леммы 3.4.2 следует, что для Ь/ц , Л 0 найдутся номер И, 0 и такой номер К0= Ко(ц.о,.) » что 3 1Ен. 1р 1 1Еп.1 ТЕ" і 1С і (3.4.14) и Р о1 B4lfc-+i) Wlv е/ч. (3-4Л5) - Так как гКо - Г » я И/ » то Для любого К = 4,(Д -И) получаем II А-КУГ ()L —»0 , где Е.с(0,1 . (3.4.16) Из (3.4.16) следует, что существует такой номер И,, Ко » что при Е . " Т и любом К = 1,(.% -Н) получаем lU-K ajlllf 6А . (3.4.17) Пусть УЦ = LlMi + - Тогда существует И?2 такое, 0 г УЫ_ ZMd 0 7 ici что И илахД1 )— --,и4 j ,что для 1Ц 7Ї7 и всех К; = (Z -M) получаем 1А-кУЕ(1)11 ts- UA4,) Разобьем отрезок Д на равных частей. Возьмем для кон ?-« \ кретности отрезок ( с/, d + —ту J = Л± . Построим первую пачку следующим образом. Выберем, исходя из (3.4.1), элементы $(("0 таким образом, чтобы их основания не пересекались, а объединение оснований содержалось в Лі и по мере заключалось в пределах от Л4"""ио" ДО Д [ . Возьмем А/\ И/л . Так как РК1 - 0 , то из (3.4.1) следует, что существует W\\ такое, что 19) где К Иг\, Рк С ДІ , РкЛІІУ Ре =0, 17 Ре =01 (3.4.20) Положим С к = A , К t-fl , С к = О при К ІЛ . Получим из (3.4.1 ), что Ц Z CKJK[0 II IP- і IM %Aj)IifX k,«ltfU. (3.4.21) K=/V; Далее построение пачек рекуррентное. Построение к-й , К -(d+l) » пачки, исходя из (КН) , следующее. Пусть ч Ок; = І t : Z Сс J. (і) 0 f , is J. (3.4.22) Тогда существует И/К4 h ., такое, что для Е I 4 VAIVK. ( Г ) 0к- I f и всех 1 "-к-м J L — і У {Z +i) получаем t IEI IQK-, , М сХЕК)у + , (3.4.23) Я К 4 (d+i). Используя (3.4.1) так же, как при построении 1-й пачки, .для множества Q .j подберем элементы jjL (і) таким образом, чтобы их основания не пересекались и объединение оснований содер -жалось в QkM и по мере заключалось в пределах от I QKM 1 " -ГГ Д I Q К-11 . Возьмем /VK Ила ( к \ , кч ) ак как 1гк\ - О , то из (3.4.1) следует, что существует ік такое, что Уп Pile QK-, , IQMl-lk ilU 4 1( 1,(3.4.24) где Л к = \i: А/к U , PL C QK- , L-l Л/к" і РіЛІІ/ РЛ = U . Ре =-0 j . (3.4.25) Положим CL = А % для С -А 1 к , Сі =о при і 4- -D- К . Получим для К, 2. $ К . (d -м) vwesU: Z Z. Cf 5,- U) = -А Л j -i— (3.4.26) w 0 І 4И. twes W\l$ К с jt .IZ С: О (Г. - \] Ц N —К4( (3.4.28) -V , (3.4.29) (3.4.30) I QK-I I -jjr J Л/к Vv 4 W\[ . Исходя из (3.4.17) и (3.4.30), получаем, что II 7- . CJ Ь W Hip / ( , И/к К 4 V»K . (3.4.31) 4-Л/к Для отрезков / к — 1 + - „. (к 1) , & - К ), К- Я;/Ы проводим аналогичные построения пачек, как и .для отрезка д , так что верны свойства (3.4.19)-(3.4.31). Для простоты обозначим 3KW = I X CjfcK) (3.4.32) для отрезка Л к, К 1,/И , где пусть Е = [±\ AX W- 5)KU)-Zj; Тогда из (3.4.26)-(3.4.29) получаем M Л AXJE;W+Z( )AXEAV O№+ (3.4.33) ф В силу выбора и,\ , т.е. так как /и? -/ ./lid из (3.4.33) получаем, что верно (3.4.9). Из (3.4.15), (3.4.28) и леммы 3.4.2 следует, что М IUU4Z X"JEKA( )Jwil4 « ІІЛІ - О Х"{РКй](і)ф - . (3.4.34) Из (3.4.29) и (3.4.18) следует, что ПА Z Х{ ЕІ Ш у - . (3.4.35) Из (3.4.23) и (3.4.26) следует, что М «1-І II AU )X"EA(ac+o]wllip т (3-4-зб)
