Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются классы весовых интегральных операторов, представителями которых являются преобразования Лапласа и Стилтьеса, оператор Харди-Стеклова и некоторые многомерные аналоги оператора Харди. Указанные преобразования хорошо известны в классическом анализе. Их изучение берет начало в работах Ж. Лиувилля, И. Э. Фредгольма, Э. Шмидта, Дж. фон Неймана, И. Ц. Гохберга, М. Г. Крейна и многих других. Диссертационная работа охватывает ряд задач, посвященных изучению свойств ограниченности, компактности и поведения характеристических чисел этих операторов. Задачи такого типа возникли в связи с приложениями исследуемых классов операторов к решениям дифференциальных и интегральных уравнений, а также в связи с развитием спектральной теории и теории приближений. За последние 40-50 лет решению этих фундаментальных вопросов уделялось большое внимание как в отечественной, так и в зарубежной литературе. В частности, были разработаны эффективные методы получения точных критериев ограниченности и компактности одномерных весовых интегральных операторов Харди, найдены оригинальные способы анализа поведения их характеристических чисел. Особое внимание в этой связи было уделено операторам Вольтерра с ядрами Ойнарова и Римана-Лиувилля. Однако, многие другие типы линейных интегральных преобразований оставались недостаточно изученными. Результаты данной диссертационной работы дают полное представление о свойствах некоторых из таких интегральных преобразований в функциональных пространствах Лебега на полуоси.
Исследование линейных интегральных операторов, предложенное в настоящей работе, можно назвать комплексным и в то же время детальным анализом преобразований с точки зрения их свойств ограниченности и компактности, особенностей поведения характеристических чисел, а также некоторых приложений исследуемых отображений к решениям смежных задач. Такой подход помогает получить представление о поведении операторов. Он же формирует и основную цель настоящей работы, которая состоит в получении условий или даже критериев выполнения тех
или иных свойств для некоторых типов интегральных преобразований, полезных в анализе и его приложениях.
Основными результатами диссертационной работы являются точные критерии или условия ограниченности и компактности для следующих классов интегральных преобразований:
-
с ядрами, удовлетворяющими условиям монотонности,
-
типа Харди-Стеклова,
-
многомерных типа Харди
в функциональных пространствах Лебега. Найдены оценки на аппроксимативные числа исследуемых операторов. Даны приложения некоторых из полученных результатов к решениям смежных задач.
Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми и имеют теоретический характер. Они могут быть использованы в смежных разделах анализа, а также для исследований в области обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, теории приближений, спектральной теории, теории сигналов, при моделировании экономических процессов и т.д.
Достоверность результатов. Все утверждения, представленные в диссертации, являются обоснованными и подтверждены строгими и подробными доказательствами.
Апробация работы. Все результаты диссертации докладывались на следующих зарубежных и российских международных научных конференциях:
Международная школа-конференция по анализу и геометрии (Новосибирск, ИМ СО РАН, 23 августа — 2 сентября 2004 г.),
International Conference «Mathematical inequalities and applications 2008» (Croatia, Split-Trogir, 8-14 June 2008.),
Международная конференция «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, ИМ СО РАН, 14-20 сентября 2009 г.),
The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (ISAAC) (Moscow, Peoples' Friendship University of Russia, 22-27 August 2011.),
— International Conference on Function Spaces and Variable Exponent
Analysis (Spain, Barcelona, Centre de Recerca Matematica-Bellaterra, 26-
30 September 2011.),
— ICNPAA 2012 World Congress: 9th International Conference on
Mathematical Problems in Engineering, Aerospace and Sciences. Special
Session (SS6): «Harmonic Analysis, Inequalities, Homogenization Theory and
Applications» (Austria, Vienna, The Vienna University of Technology, 10-14
July 2012.),
— 4-ая Международная конференция «Функциональные пространства.
Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математи
ческого образования», посвященная 90-летию со дня рождения Л.Д. Куд
рявцева (Москва, Российский университет дружбы народов, 24-29 марта
2013 г.).
Обсуждение большинства из полученных результатов проводилось на следующих научных семинарах:
Seminar of Dynamical systems, Number Theory and Analysis (Uppsala University, Sweden, 14 May 2009.),
Pure Mathematics Seminar (University of York, United Kingdom, 01 December 2010.),
Analysis Seminar (Lund University, Sweden, 31 May 2011.),
Yorkshire Functional Analysis Seminar (Leeds University, United Kingdom, 11 October 2011.),
Functional Analysis Seminar (University of Oxford, United Kingdom, 29 November 2011.),
Analysis Seminar (Newcastle University, United Kingdom, 08 March 2012.),
Семинар по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, Отдел теории функций, 27 марта 2013 г.).
Исследования, проводимые в рамках диссертации, были частью научно-исследовательских проектов, поддержанных в разные годы следующими организациями:
— Российский фонд фундаментальных исследований (гранты 00-01-
00239, 01-01-06040, 02-01-06572, 03-01-00017, 07-01-00054, 09-01-98516);
— Дальневосточное отделение Российской академии наук (гранты 04-03-
Г-01-049, 04-Ш-Г-01-113, 05-Ш-Г-01-108, 05-Ш-А-01-12, 06-Ш-В-01- 018,
06-Ш-А-01-003, 09-01-98516, 09-I-OMH-02, 09-П-СО-01-003);
— The Swedish Institute: Postdoctoral scholarship grant (Project 00105/2007
Visby Program. 382), Uppsala University, Sweden;
— European Research Agency (Seventh Framework Programme): Marie
Curie Intra-European Fellowship (Project FP7-PEOPLE-2009-IEF-252784),
University of York, United Kingdom.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 статей в журналах из реестра ВАК [1-3, 5-7, 9, 10, 12, 13, 15-18, 22]. Из них 9 работ написано в соавторстве с В. Д. Степановым, одна работа с Л.-Е. Перссо-ном, и одна работа — совместно с В. Д. Степановым и Л.-Е. Перссоном. В диссертационной работе использованы результаты указанных публикаций, полученные непосредственно соискателем.
Кроме журнальных статей по теме работы опубликованы тезисы докладов, сделанных автором на зарубежных и российских международных конференциях [4, 8, 11, 14, 19-21]. В списке публикаций диссертации также перечислены некоторые из работ соискателя в печатных или электронных изданиях с открытым доступом.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, посвященных трем различным классам интегральных операторов, и списка литературы, включающего 124 наименования. Объем диссертации составляет 206 страниц.
