Введение к работе
Актуальность темы исследования. Историю дробного интегрирования следует, по видимому, вести с работ И. Абеля и Ж. Лиувилля. В работе И. Абеля1 в связи с задачей о таутохроне решено интегральное уравнение
= f(t), х > а, 0 < а < 1.
Решение дано для произвольного а Є (0,1), хотя задача о таутохроне приводит к случаю a = -^. В 1832—1837 гг. появляется серия работ Ж. Лиувилля, сделавших его по праву создателем уже достаточно полноценной теории дробного интегродифференцирования. Она еще не достигла той формы, которую ей придало дальнейшее развитие другими исследователями, но в ней уже высказаны и далеко продвинуты важные идеи. Исходное определение Ж. Лиувилля, предложенное им в 1832 г., основано на формуле дифференцирования показательной функции и относится к функциям f(x), представимым в виде ряда
f(x) = J2ckeakX.
к=0
Для них, по определению Ж. Лиувилля,
Daf(x) = J2ckaakeakX} (0.0.1)
к=0
при любом (комплексном) а. Ограничительность этого определения, очевидно, связана со сходимостью ряда. Исходя из определения (0.0.1), Ж. Ли-увилль2 получает формулу дифференцирования степенной функции. Более того, в этой же работе Ж. Лиувилль выводит (не совсем строго с современной точки зрения) формулу
1 f
D-f(x) = -—-^-- / ш(х + t)t-ldt, -ос < х < ос, а > 0, (0.0.2) J v J (-1)аГ(а) Jo
1 Abel N. H. Solution de quelques problemes a l'aide d'integrales definites. // Oeuvres Completes.Grondahl, Christiania, Norway, 1881. V. 1. P. 16-18.
2Liouville J. Memoire sur quelques Questions de Geometrie et de Mecanique, et sur un nouveau genre de Calcul pour resoudre ces Questions. // J. Ecole Polytech., 1832. T. 13. Sec. 21. P. 1-69.
называемую теперь (без множителя (—1)а) лиувиллевской формой дробного интегрирования.
Рядом с работами Ж. Лиувилля по значимости следует поставить работы Б. Римана3, и X. Хольмгрена4. Работа Б. Римана, выполненная им в 1847 г. в студенческие годы, была опубликована только в 1876 г.— спустя 10 лет после его смерти. Б. Риман пришел к конструкции дробного интегрирования
1а(р(х) = —— / , К'_ dt, х > 0, а > 0, (0.0.3)
служащей с тех пор наряду с конструкцией (0.0.2) Ж. Лнувилля одной из основных форм дробного интегрирования. Подробный исторический обзор по данному кругу вопросов имеется в капитальной монографии5, где, в частности, выражение (0.0.3) и сопряженные к ним называются дробными интегралами Римана-Лиувилля.
Для 0 < р < оо обозначим через W := І/(М+) множество всех измеримых на Ш+ = [0, оо) функций таких, что
II/\\р -~ При р = оо полагаем \\f\\p := ess sup|/(ж) | = inf {а > 0 : mes({:r Є Ш+ : \f(x)\ > a}) = 0} .
х>0
Первой из круга задач, связанных с дробным интегрированием, в диссертации рассматривается задача о нахождении критериев выполнения весовых неравенств вида
' \ \ { гоо \\
\{Iafu){x)v{x)\qdx\ <СІ \f{x)\pdx) , (0.0.4)
где 0 < p,q < ос,р > 1, и(х) и v(x)— локально суммируемые весовые функции.
3Riemann В. Versuch einer Auffassung der Integration und Differentia-tion. // Gesammelte Werke. Leipzig: Teubner, 1876. P. 331-344.
4Holmgren H. Om differentialkalkylen med indices af havd natur som heist. // Kongliga Svenska Ventenkaps-Akademiens Handlingar. 1866. V. 5. № 11. P. 1-83.
5Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. // Минск: Наука и техника. 1987.
Данная задача восходит к работам Г.Г. Харди и Д.Е. Литтлвуда6, в которых найдены критерии выполнения (0.0.4) со степенными весами. Кроме того, для некоторых приложений имеется необходимость исследовать компактность оператора / ь-» vla(uf) в пространствах Лебега.
Активное развитие выделенной области началось с 70-х годов прошлого века, когда в работах Г. Таленти7, Д. Томаселли8, Б. Мукенхаупта9, Дж. Брэдли10, А.Л. Розина и В.Г. Мазьи11, В.М. Кокилашвили12, С.Д. Римен-шнайдера13 и других авторов был полностью изучен случай а = 1. В конце 80-х в работах В.Д. Степанова14, были найдены критерии ограниченности и компактности операторов 1а при а > 1. Далее, в 90-х годах, эти результаты были обобщены на более широкий класс операторов в работах Р. Ойнаро-ва15, X. Мартина-Рейеса и Э. Сойера16, С. Блума и Р. Кермана17 а также В.Д. Степанова и его учеников.
Случай а Є (0,1), за исключением одного результата К. Андерсена и
eHardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. // 2nd ed.Cambridge Univ. Press. 1952 (first ed. 1934).
7 Talenti G. Osservasioni sopra una classe di disuguaglianze. // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano. 1969. V. 39. P. 171-185.
8Tomaselli G.A. A class of inequalities. // Boll. Un. Mat. Ital. (4) 1969. V. 2. P. 622-631.
gMuckenhoupt B. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. 1972. V. 44. P. 31-38.
10Bradley J.S. Hardy inequalities with mixed norms. // Canad. Math. Bull. 1978. V. 21. № 4. P. 405-408.
иМазъя В.Г. Пространства С.Л. Соболева. // Л.: ЛГУ 1985.
12Кокилашвили В.М. О неравенствах Харди в весовых пространствах.// Сообщ. АН ГССР. 1979. Т. 96. № 1. С. 37-40.
13Riemenschneider S.D. Compactness of a class of Volterra operators. // Tohoku Math. J. 1974. V. 26. P. 385-387.
14 Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля I. // Препринт. ВЦ Л ВО АН
СССР. Владивосток. 1988.
Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля П. // Препринт. ВЦ Л ВО АН
СССР. Владивосток. 1988.
Степанов В.Д. Весовые неравенства типа Харди для производных высших порядков и их приложения.
// Доклады АН СССР. 1988. Т. 302. № 5. С. 1059-1062.
Степанов В.Д. О весовых неравенствах типа Харди для производных высших порядков. // Труды
МИАН. СССР. 1989. Т. 187. № 5. С. 178-190.
Степанов В.Д. Двухвесовые оценки интегралов Римана-Лиувилля. // Известия АН, сер. матем. 1990.
Т. 54. № 3. С. 645-656.
15 Ойнаров Р. Весовые неравенства для класса интегральных операторов. // Доклады АН СССР.
1992. Т. 44. С. 291-293.
Ойнаров Р. Двусторонние оценки норм для классов интегральных операторов. // Труды МИ РАН.
1993. Т. 204. С. 240-250.
16Martin-Reyes J.F., Sawyer Е.Т. Weighted inequalities for Riemann-Liou-ville fractional integrals of order one and greater. // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. V. 106. P. 727-733.
17Bloom S., Kerman R. Weighted norm inequalities for operators of Hardy type. // Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113. P. 135-141. Bloom S., Kerman R. Weighted Ьф—integral inequalities for operators of Hardy type. // Preprint.
Э. Сойера18, оставался слабо исследованным. В 1994 г. в рамках изучения поведения s—чисел одновесового оператора / ь-» v(Laf) в L2 в работе И. Ньюмена и М. Соломяка19 был указан критерий ограниченности и компактности при а > |. Этот результат послужил отправной точкой для исследований в работе Д.В. Прохорова20, где получены критерии выполнения (0.0.4) при и = 1,0 < р, q < оо,р > тах(1,-) и критерии компактности. Отметим, что для более узкого интервала параметров суммирования аналогичные результаты независимо получены А. Месхи21.
Во второй главе диссертации мы обобщаем эти результаты для оператора
с локально суммируемыми весовыми функциями и{х) и v(x): при условии, что и монотонно убывает на Ш+. Также даны двойственные варианты этого результата.
В третьей главе рассматривается задача о нахождении необходимых и достаточных условий LP —> Lq—ограниченности и компактности интегрального оператора вида
т „ , , w l^-1^)f(y)u(y)dy
La,pj{X) = V{X^ '
[х-уу-
где и{х) и -и(ж)—неотрицательные локально суммируемые весовые функции, при условии, что и монотонно убывает на Ш+.
Такая задача является новой, потому что ядро оператора не является ни дробным, ни класса Ойнарова, а произведением ядер этих типов.
В четвертой главе для семейств операторов Римана-Лиувилля рассматриваются проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору.
18 Andersen K.F., Sawyer Е. Т. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators. // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. V. 308. № 2. P. 547-558.
19'Newman J., Solomyak M. Two-sided estimates on singular values for a class of integral operators on the semiaxis. // Integr. Equat. Operl. Th. 1994. V. 20. P. 335-349.
20Prokhorov D. V. On the boundedness and compactness of a class of integral operators. // J. London Math. Soc. 2000. V. 61. P. 617-628.
21Meskhi A. Solution of some weight problems for the Riemann-Liouville and Weyl operators . // Georgian Math. J. 1998. V. 5. P. 564-574.
Цель работы
Получить необходимые и достаточные условия весовой ограниченности и компактности дробных операторов Римана-Лиувилля.
Получить критерии выполнения весовых неравенств для интегральных операторов с ядрами, представимыми в виде произведения ядра Ойнарова и ядра дробного оператора Римана-Лиувилля.
Изучить проблемы сходимости почти всюду и по норме весовых пространств Лебега к тождественному оператору для семейств операторов Римана-Лиувилля.
Методика исследования. В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа, теории интегральных операторов в пространствах суммируемых функций, блочно-диагональный метод и другие.
Научная новизна. Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
Аппробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова. Доклады, основанные на результатах диссертации, сделаны на международных конференциях: The 8th Congress of ISAAC, Москва 2011; "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования,"посвященная 90-летию член-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2013.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях и тезисах докладов на научных конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы (86 наименований). Объем диссертации составляет 82 страницы.
