Введение к работе
Актуальность темы. В работе изучается сходимость к кдественном оператору последовательностей линейных по-кительных операторов, являющихся обобщением операто-1 Саса-Миракьяна:
М»(/;х) = /(*)^в— (1)
fc=o >аскакова:
мм=і:г&(п+і~1)Аі+*гп-к (2)
к=о ^ '
Пинейные положительные операторы находят больпіое при-іение в теории приближения. Например, теорема о возможен равномерного приближения непрерывных функций по-юмами может быть доказана с использованием хорошо из-тных операторов К.Вейерштрасса(1885):
Wn(f;x) = ^Je-n2^-^f(t)dt
1912г. С.Н.Бернштейном была построена последователь-ть линейных положительных операторов
"* км „\п-к
Bn{f-)X) = J2Kk-){;ky{i-x
fc=0 ч J
іномерно сходящаяся на отрезке [0; 1] к тождественному для акции / Є С[0; 1]. Были построены и другие последователь-ти линейных положительных операторов (суммы Фейера, [иномы Джексона и др.)
Важный вопрос об условиях, при которых последовательное операторов сходится к тождественному и, следовательно, ] шает задачу аппроксимации функции, решается наиболее щ сто именно в случае линейных положительных оператор* Впервые эти условия для / Є С [а; Ь] были сформулированы доказаны П.П.Коровкиным [1] после работ которого теориям нейных положительных операторов получила особенно 6oj шое развитие.
Достаточно большое место среди работ этого направлен занимают результаты, касающиеся операторов (1), котор были предложены Г.М. Миракьяном [2] и О.Сасом [3] и onej торов (2), которые ввел в рассмотрение В.А.Баскаков [4].
Не один десяток работ посвящен изучению свойств опера: ров Саса-Миракьяна и Баскакова и их модификаций (в рабе приводится литература по этому вопросу).
В настоящей работе рассматриваются не изучавшиеся \ нее обобщения операторов Саса-Миракьяна и Баскакова, п котором каждое слагаемое операторного ряда берется с неї торым неотрицательным весом и, кроме того, ядро оператс Саса-Миракьяна зависит от параметров. А именно, по набо параметров
R — (rn,k)^Li t^=o ~ матрица неотрицательных чисел, {pn}^Li - последовательность положительных чисел, {^nl^Li ~ последовательность действительных чисел, для п > 1 строятся операторы
nn(R-J;x)Pn!ftn = J2 rn>fc/(-(—+//п-1)
* ' г^ ТІ
&>max{0;pn (1— fJ>n)}
rGfc+^)
Рп
і приближения функций на полуоси; и их аналоги, опера->ы
к<тах{0;рп(пЬ — д„ + 1)} ,
f„(i?;/;x)Pn;/tn = ^ Гп,*/(-( —+/ІП-1))-
'" Н ТІ
A:>max{0;pn(raa—fin4-l)}
(па;) f"
+ Mn —1 -пі
І-t+Vn
Г(Л+Уп) ^
(5)
я таких тт. для которых —— < Ь) II
„(Д;/;*) = ^/(^)^^^^(1 + ^)-^ (6)
[ приближения функций на [a; 6] (a > 0).
Эчевидно, что 7in, Хп, Sn, Zn - это линейные положитель-
з операторы.
Щель работы. В данной работе находятся условия на па-іетрьі и функцию, которые обеспечивают сходимость рас-ітриваемьіх операторов к тождественному, и порядок ап-жсимации.
УГетоды исследования. Доказательства полученных в юте теорем проводятся методами теории функции действи-ъного и комплексного переменного.
Научная новизна. Автором впервые получены следущис j зультаты:
-
найдены условия, обеспечивающие сходимость nocj довательности обобщенных операторов типа Саса-М ракьяна к тождественному для непрерывной функц на полуоси, и порядок приближения;
-
найдены условия, обеспечивающие равномерную схо,п мость последовательности обобщенных операторов і па Саса-Миракьяна к тождественному для непрерь ной функции на отрезке, и порядок приближения;
-
найдены условия, обеспечивающие сходимость nocj довательности обобщенных операторов Баскакова к т ждественному для непрерывной функции на полуоси порядок приближения;
-
найдены условия, обеспечивающие равномерную схої мосгь последовательности обобщенных операторов Е скакова к тождественному для непрерывной функц на отрезке, и порядок приближения.
Приложения. Работа носит теоретический характер, результаты и методы могут найти применение в теории пт ближения, в вычислительной математике.
Апробация работы. Основные результаты, изложенн в диссертации, докладывались и обсуждались на объединс ном научном семинаре кафедр Саратовского государственнс университета; на Саратовских зимних школах по теории фуі ций и приближений (Саратов 1990г. 1992г. 1994г. 1996г.; Одесской школе по теории функций (Одесса 1991); на междуі родной конференции "Теорія наближення та задачі обчисло] ной математики" Днепропетровск, 26-28 мая 1993; на межд народной математической конференции памяти М.Кравчук
іев 1994);на международной конференции "Теория апрокси-дии и численные методы" (Ровно 1996).
Публикации. Основные результаты диссетации опубли-.аны в работах приведенных в конце автореферата.
Структура работы. Работа состоит из введения, двух lb и списка литературы (37 названий). Общий объем листании 99 страниц машинописного текста.
