Приближение функций двух переменных и задачи восстановления значений линейных операторов и функционалов Шабозов Мирганд Шабозович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Приближение дифференируемых функций двух переменных билинейными сплайнами

1.1. Классы функций. Определение билинейных сплайнов. Вспомогательные факты. 39

1.2. О погрешности интерполяции билинейными сплайнами в каждой точке области .49

1.3. Точные оценки погрешности интерполяции билинейными сплайнами на классах функций 55

1.4. Точные оценки одновременного приближения функций и их производных интерполяционными билинейными сплайнами...61

Глава II. Точные значения квазипоперечников некоторых функциональных классов

2.1. Постановка задач о вычислении квазипоперечников... . 73

2.2. Точные значения квазипоперечников в для некоторых классов функций .75

2.3. Точные значения квазипоперечников.для классов дифференцируемых функций в С 85

2.4. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта 90

Глава III. Восстановление значений линейных операторов определяюцих решение некоторых краевых задач

3.1. Постановка краевых задач 119

3.2. Некоторые свойства ядер Яр(t) ja.Qp(t) 123

3.3. Наилучшее приближение ядер Kp(t) и <&pftJ тригонометрическими полиномами в метрике L1 127

3.4. Наилучшее одностороннее приближение ядер Kp(t) и Фр(і) в метрике Lf 135

3.5. Восстановление решения краевых задач Дирихле и Неймана с помощью тригонометрических полиномов в метрике 141

3.6. О восстановлении решения краевых задач по усреднённым значениям граничных функций 146

3.7. Оптимальное кодирование и восстановление операторов решения краевых задач по заданной информации о граничных функциях 150

3.8. Восстановление решения краевой задачи Дирихле для шара 166

Глава IV. Оптимизация квадратурных и кубатурных формул : на классах функций малой гладкости

4.1. Постановка экстремальной задачи теории квадратур Классы функций 173

4.2. Об одном подходе к исследованию оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью 178

4.3. Оптимизация квадратурных формул для класса 185

4.4. Наилучшие кубатурные формулы вычисления многомерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью для классов!Ггм;Іі и W(unL .190

4.5. Наилучшие квадратурные формулы для классов 193

4.6. Наилучшие кубатурные формулы с весом для классов 199

Литература 205

• Точные оценки погрешности интерполяции билинейными сплайнами на классах функций
• Точные значения квазипоперечников в для некоторых классов функций
• Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта
• Наилучшее приближение ядер Kp(t) и <&pftJ тригонометрическими полиномами в метрике L1

Введение к работе

К настоящему времени в теории приближения глубоко и тщательно исследованы задачи, связанные с аппроксимацией функций одной переменной.. По этой проблематике, берущей свое начало от основополагающих .работ Вейерштрасса и Чебышева, написаны десятки монографий (см..,например .П.Натансон С743,В.Л.Гончаров [393,Н.И.Ахиезер [43, А.Ф.Тиман [943,О.М.Никольский С773, Н.П.Корнейчук [50,53,543, В.К. Дзядык [431,В.М.Тихомиров [953, P.J.Davis И003, G.G.IiOrentz [1073 и другие).

Особую роль сыграли пионерские работы А.Н.Колмогорова и СМ. , Никольского, связанные с.решением.экстремальных задач, когда надо „ найти точную верхнюю грань погрешности приближения на заданном кла-. ссе функций и указать для этого класса наилучший аппарат,приближе-. . ния фиксированной размерности. Усилиями многих математиков и, в первую очередь, учеников и последователей Колмогорова и Никольско- ......

го, такие задачи решены. в одномерном случае для наиболее употребляемых классов функций. Однако оказалось, что разработанные методы.....

. иногда существенно используют одномерную специфику и не срабатывают . при . исследовании экстремальных задач на классах. функций двух и ,. большего числа переменных.

Поэтому, естественно, что в.последнее время внимание многих специалистов, работающих в области теории аппроксимации, обращено ... на экстремальные задачи приближения в многомерном случае.

.Другое направление, которое сейчас интенсивно разрабатывается, . возникло на стыке теории приближения и численного анализа. Оно связано, во-первых, с оптимизацией приближенного интегрирования, а во- ...

вторых, с восстановлением значений у=Аг оператора 4, когда известна неполная информация об элементе х. Оказалось, что разработанные в последнее время методы и полученные результаты в теории приближения позволяют и в этих задачах находить в ряде случаев точное в том или ином смысле решение.

.... В диссертации, состоящей из четырёх глав, решается ряд конкретных экстремальных задач, связанных с:

а) приближением функций двух переменных (главы I и II);

б) восстановлением значений линейных операторов (глава III);

в) оптимизацией приближённого.интегрирования, то есть с оптимальным восстановлением линейного функционала (глава IV).

При решении указанных задач в качестве аппарата приближения используются интерполяционные сплайн-функции, тригонометрические полиномы и блендинговые конструкции (обобщённые полиномы и смешанные сплайны).

Среди актуальных задач теории приближения особое место занимают экстремальные задачи, связанные с приближением функций сплайнами (кусочно-полиномиальными функциями). К настоящему времени ап-проксимационные и экстремальные свойства сплайнов достаточно хорошо изучены. Этим вопросам посвящен ряд работ, наиболее важными из которых являются следующие монографии: Дж.Алберг, Э.Нильсон, Дж. Уолт [6], С.Б.Стечкин, Ю.Н.Субботин [871, Ю.С.Завьялов,Б.И.Квасов, В.Л.Мирошниченко Г473, Н.П.Корнейчук 53,54], Н.П.Корнейчук, А.А. Лигун, В.Г.Доронин [513, Н.П.Корнейчук,В.Ф.Бабенко,А.А.Лигун [561. В перечисленных монографиях в основном рассматриваются решения экстремальных задач теории сплайнов для функций одной переменной, а экстремальным задачам, связанным с многомерными сплайнами, уделяется значительно меньшее внимание. По сравнению с одномерным слу чаем, исследование экстремальных свойств многомерных сплайнов и & приближение функций многих переменных значительно усложняется вви ду появления принципиально новых обстоятельств, связанных с много- ; мерностью. В частности, область, на которой осуществляется прибли- t жение, может иметь весьма сложную структуру, в результате чего возникают трудности при описании дифференциально-разностных свойств . функций многих переменных. При этом усложняется и приближающий аппарат. Поэтому точные результаты в задачах многомерных сплайн-аппроксимаций известны в редких случаях.

Отметим, что некоторые результаты окончательного характера, : связанные с приближением функций двух переменных локальными сплайнами, получены в работах В.Ф.Сторчая [88,89] ,В.Ф.Бабенко и А.А.Ли-гуна [93,В.Ф.Бабенко [12],С.В.Переверзева [81,82]Д.М.Авакяна [1], С.Б.Вакарчука [30], G.BirkhDff,M.Scnultz,R.Varga [973, R.Carlson, O.Hall.196], O.de Boor [101].

. Изложим основные результаты диссертации по главам. ...

В первой главе рассматриваются задачи одновременного приближения функций двух переменных и их частных производных билинейными „ интерполяционными сплайнами и их соответствующими производными. Указанные задачи рассмотрены на классах функций, задаваемых модулями непрерывности.

Пусть ft.C(G)r где G = [0,1]х[0,1]. Через C(r s)(G), где r,s -целые неотрицательные числа, обозначим класс функций f(x,y), обладающих непрерывными частными производными f(hq3(xry) = dl+clf/dxldycltl где 1 г и q К s. Далее, при r=s=o полагаем G(°ta)(G)=G(G) с обычной нормой тс - Шею) = тах {\f( V \: (х ууе G} Специфика двумерного случая позволяет функции feu(G) сопоставить как полный модуль непрерывности:

u(f;t,x) = sup fo(x ,у W(x",у")\: \х -$п t, ІУ-у"К т}; где (х\у )f(x 4 ,у" ;eG, так и частные модули непрерывности:

tDf/;t,o; = зир {/гяЧу;-/ - ,у Л •" \ХЩ-Х"\&, о s у «iVf.

- ,шС/;о,т; = аир 1\ /(х9у )-/(х,уГ)\: \у -у"\Ф, ол х &\,

характеризующие изменение f(x,y) вдоль каждой переменной.

Модулем непрерывности функции /€ C(G) также называют функцию

wtf/;t,T; = Bi9 jrrx%tf;;-/rf, %tf,vV( V%y /№V-»tff,;i :

; (х ,у ),(х9\у")&9 \x -x \\ .t, у -у Ч«їт}

При определении приведенных ниже классов функций /Сд\ у Л предполагается, что feO(r 1tS 1)(G)(r,s 1J.

Через If fr2sV(r,s=o,1,...,) обозначим класс функций, у которых производная f(r,s)(x,y) всюду в G существует,кусочно-непрерывна, допускает перемену порядка дифференцирования и для любых двух точек (хч,у\),(хч\,уч )& удовлетворяет неравенству

, \f r s)(x ,y ) - f(r s)(x\\y")\ ы()х -х"\,\у -у"\), где tiift, т). -заданный полный модуль непрерывности. ,

Будем говорить, что функция / е Wir s/B , если она имеет кусочно-непрерывную производную f(rfS)(x,y)t удовлетворяющую для любых двух точек (х ,у ),(х У,у4 • JeG условию І Чу ; - /fr sV",y".) s wrfx -x-j; + ш2(уггу;ЧЛ где u);ft; и w2f ,) - заданные модули непрерывности. Через If(г 5)]р г обозначим класс функций, у которых.существует кусочно-непрерывная на G производная /(ГіВ)(х,у), удовлетворяющая для любых двух точек if (xf ry ;, Jf (х f ,у )eG условию vO(jf; _ /fT a jf»«; w[p(M ;M")], где p(M ;M \) = /(хч-х")г + (y -y"f -- расстояние меаду точками и М , a w(t) - заданный на отрезке [о,У?3 модуль непрерывности.

Через lf(r a3lf обозначим класс функций, у которых существует кусочно-непрерывная на G производная Т(г а)(хгу)у удовлетворяющая для любых двух точек (х\ ,у ;, {хщ ,у )eG условию \fr a)(x\y )- /fr sV\y";- f(r a)(x \y )+ /fr ajV ,y"; S где iuj,(t,i) - заданный модуль непрерывности. Вместо W(0 0)H\ W(° 1,tU29 W(0 0)lF sr уг ° ° 1? будем соответственно писать Я , Я 1 2, Я 2, Я . Зададим в области G сетку Д = Ах х А", где Af ; х. = і/т (і=о7й); 6? z у. = j/n (/=о"7її), ill І ТІ J которой задаётся разбиение квадрата G на ячейки Guj = [xi-i xi3 х %-f 0J а=ї7й; j=T7n;.

Поставим в соответствие каадой ftC(G) функцию 5. Af;x,y) € G(G)r однозначно определённую условиями:

1). на каадой ячейке G, , ft i vnz; J=T7n.) функция S, ЛТ;х,у) яв-ляется алгебраическим многочленом первой степени по і и по у;

2). Su1(f;xi9yj) = f(xvyj) (l=Q,m;J=o,n).

Если Я1г,а0%з=о,1 ;-один из определённых выше классов функций, то требуется найти точное значение величины

О . fWmr s; == sup \\e(b (f)ic ; /€mr sJ

для Z г, . g s; 1 r + s 2, r,s=o7T, где

,М}# (?;х9у) = f(l qy(x,y) - 8\\ Нт;х.у)у (i,q=o - погрешность интерполяции билинейными сплайнами.

, Порядковые оценки величины, аналогичной (0.1 )7 , но дл классов функций, имеются в монографиях: Дж.Алберг, Э.Нильа Уолш [6], О.Б.Отечкин, Ю.Н.Оубботин [87], Ю.О.Завьялов,Б.И.: В.Л.Мирошниченко [47]. Оценки, связанные с наилучшим выборо интерполяции функции f(xry) многогранными линейными функция держатся в работе В.Ф.Бабенко и А.А.Лигуна [9] .Интерполяцию рывных отображений кусочно-линейными рассматривал В.Ф.Бабен

В одномерном случае задача (0.1) для класса 1ГГЛ0,11 исследовалась В.Н.Малозёмовым [67,68],А.С.Логиновым [66] и

В случав приближения функций двух переменных билинейным йнами первые точные результаты решения задачи (0.1) прин В.Ф.Сторчаю [88,891. Он доказал, лто для произвольных выпук дулей непрерывности {D(tf%),{ii(Q)tb31 (t)rw2(i) имеют место рав была решена. Оставалось найти точное решение указанной задачи в случаях 1=г=1, q=s=o z_ l=r=Q, q=s=\ для класса irfT s-,flw и при К г, q s; 1 r+s г, г=а=о,л для остальных введенных выше классов функций.

В ходе получения точной оценки погрешности интерполяции e(f;x,y) в каждой точке (х, ) . (і=ТЩ; J=T n} на классах функций важную роль играет , Лемм 1.2.2. Пусть /€Ou 0:,fG;n G(0 1)(G) и S, AJ;t,%)-билинейный сплайн, интерполирующий функцию /(t,i) б узлхс (t.,i.) произвольного разбиения Gt, = fti_r,tiJxf«u,_;,TJi т (t=ifm;J=T7n) . квадрата G. Тогда в каждой точке (x,y)zG, , выполняется неравенство _at- M ;. rV f-f- fJO .:,::С-::Ж;: •;- ; л г Л " ы(Т(1 0);М. ft.J.ftfo ir + . ft,, ;f J - і_ї l ; - .Д.-і;-., 1-ї/, -- о.;« неулучшаелое на всел лножестве G(1 0)(G)n G(0 1}(G). ,,. Если же ftpV liG), то в каждой точке (x9y)eG. ..справедливо неравенство _ . . (t -x) (x ) (t,#fy, J ;, неулучшаелое на всел лножестве G{1 ;fG). Из леммы 1.2.2 при равномерном разбиении квадрата G следует Теоремы 1.3.1 и 1.3.2. Пусть ( (г), ) uum(t,t) - произвольные выпуклые лодули непрерывности. Тогда для любых т и п справедливы равенства: 1% г rift /л 7/m .. J/n Веди же (ot (t) и w(t)- произвольные лодули непрерывности, то о ї/m л J/n j wfft;dt + w2(4;dr, f % ї). При получении точных значений величины (0.1)г для l& , qza; 1 $ r+s s 2f r=s=o7T на перечисленных классах функций широко используются свойства разделённых разностей функций двух переменных. Эта техника даёт весьма удобное интегральное представление погрешности интерполяции частных производных функций соответствущими производными билинейного сплайна. В результате получаем следущее утверждение: Теорема 1,4.1. Пусть o)(t,T)- выпуклый лодуль непрерывности по переленной л. Тогда имеет лесто равенство .n,o; fі, o#j_ = Щ "m, i/2n)at. • • о Если же u (tri) является выпуклыл лодулел непрерывности по переленной t, то ... . Одной из центральных в данной главе является Теорема 1.4.2. Пусть w{Q)- произвольный лодуль непрерывности. • :Тогда для любых ти п имеет лесто равенство Г/т 1/п о о ,. Если же ы(0) -выпуклый лодуль непрерывности, то для любых ти п . справедливы равенства Л/м - ( і я"-2) .= j o)(/t2+ 1/4пг ]dt, "о 1/п - (fr V 2] •;- п.J Ц/і/4тг т2 )UT. Во второй главе, на основе блендинговых методов приближения (blendlng-approxlmatlon method), вычислены точные значения квази- . ,.„ поперечников некоторых, классов функций. Интенсивное развитие сме-., шанных (blending) методов приближения функций многих переменных в работах А.И.Вайндинера [27,28], Н.П.Корнейчука и О.В.Переверзева г .. [523, О.Н.литвина [653, С.Б.Вакарчука [29,311, W.Gordon t1023, W. Haupmann, K.Jetter, B.Steinhaus [1093, J.Reaperaa, E.Oheney [1103 ,1 и других, позволило расширить рамки применения названных методов и .

,. эффективно использовать их при решении задач оптимизационного; содержания. Определение понятий различных квазипоперечников компактов на основе блендинг-методов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближения, круг которых для обычных п-поперечников очертил А.Н.Колмогоров [104].

Напомним определение, квазипоперечников для функций двух пере .,. менных. ,

Пусть (X, \ • х; и (Y, »\х) - некоторые линейные нормированные пространства функций одной переменной, а ., Y.= (v (х)}ш ,.— .. U ..» (и (у))п их конечномерные подпространства, то есть Ут с X, ff с г. Выражение вида m . п k=0 v=o где ftp (х)1 : и Гф (у)) _ -наборы произвольных функций, принад-лежащих соответственно пространствам X и Г, назовём обобщённым полиномом, порождённым подпространствами Vm и U . Известно_ [23,110 ], что обобщённые полиномы указанного вида образуют подпространство , G(v ,и ) & v ФУ + хт ,„ где операции "Ф" и "+п обозначают соответственно операции декартова произведения и прямой суммы множеств. Обозначим «№s {і/пвц /;! (0.2) /,, 4R Gf7m Un Z: -- -.( : } : (0 3) Величина (0.2) характеризует наилучшее приближение фиксированного элемента / є ж множеством G(T ,U )9 а величина (0.3) - отклонение множества ж от G(yn,Un) в нормированном пространстве CZ »\z) І Для центрально-симметричного множества ж с Z величину....:= называют квазипоперечником множества ж по Колмогорову [104]. _ Величины, аналогичные (0.4) изучались в работах В.Н.Темлякова [933 и М.-Б.А.Бабаева [83. Точные значения квазипоперечников некоторых функциональных классов найдены С.Б.Вакарчуком [31,323. Пусть w -множество натуральных чисел, Д=[о,2хЗ, Д2=АхА,ъг(ДгЛ - множество гтс-периодических по каждой переменной функций f(x,y), для которых Через. b2»s(A2;jfr,s€W). обозначим множество функций /€0fА2 ,. у штар :fS (Xiy)eO( ) . (Чмэ,п-1, i o,s-i;, производные /Гг" « Cji=o,s-i и f(v,s) fv=o,r-i;, всюду на А2 существуют,кусочно-непрв-рывны, допускают перемену порядка дифференцирования, a / r,s;fд",у; ebgfA2;., Для произвольной функций f(x,y) € igfА2) определим смешанный модуль гладкости где Пусть Ф,(х) (x o;J=i,2) - положительные неубывающие функции, -"• • ••ч. «J"- -» - Л- ;--.-. » .-.„ ... ....... удовлетворяющие условию lim Ф.(х) = Ф,Го; О. Через И Гф, „1 (r,s&H) обозначим множество функций / € іо -ГА27і, для которнх:/Іг»а Сх,у; при . о u,v 2 удовлетворяют условию .-,.j о о Обозначим г(1-созпі)ш, nt тс; «Г П-cosrtt.)™ 2Ж , nt %. ; имеет место следующее утверждение. : Теорема 2.2.1. Пусть функции, Ф.(х) (7=1,2,) удовлетворяют условиям. о при любых.xt (о,2%] и цх . Тогда при всех m,new справедливы равенства Пусть Щ(х) CxX);J=i,2; - произвольные, выпуклые возрастающие функции, для которых lim f ,.fij •- Ш.(о) = О. Через 1Г ГФ/2; (r,s&) обозначим класс функций /€bJ»."/Ajf удов ЛвТВОрЯПЦИХ При О U,U 21С условию и и о о Теорема 2.2.2. Пусть для любого заданного де (0,11 и для всех \ю, х(о,%1 фунщии, Ф.(х) fj=i,2; удовлетворяют условиям , « гцх. Г f 7-cost;Jdt « г W. Г (1 -cost; dt. ТогОа д\ля любих т,пви имеет место равенство W r % n - J ft-cp3mt;kdt . j И-созпт т . Отметим, что условиям теорем 2.2.1 и 2.2.2 удовлетворяют, например, функции [91] ї(х) = х /16, Шш(х) _т- ха, где а М iic.siii2 flMi/2J А Гз1пгкГ1/2ДО" . а Множество мажорантных функций этим вовсе не ограничивается.Используя определение и некоторые свойства правильно менящихся функций L(x),L(x) из [833, можно построить широкое множество мажорант вида Ф(х) = (х)гЪ(х)9 Щх) ш i(x) L(x), для которых выполняются условия указанных теорем. ЧерезіІҐ"»8(Аг/ (r,s&N) обозначим множество функций /€Or »s""rfA2;, у которых частные производные і}г }(х9у) (\i o7s) и f( s)(x lf) (у=Щг) всюду на Аг существуют, кусочно-непрерывны, причём Через їГ (Ь?) обозначим класс функций,тригонометрически сопряжённых по обеим переменным с функциями f(x,y) из класса !fr,sfA2;. Сформулируем основной результат из параграфа 2.3.

Теоремы 2.3.1 и 2.3.2. При любых m,n9rts є м справедливы равенства

Л.. " VVflFPIjS1] где Гої _..- целая часть числа о; К , К - константы. Фавора (ел,, например, С54і;.

В параграфе 2.4 второй главы рассмотрена задача построения ку- г батурных формул для приближенного вычисления многомерных сингуляр- ных интегралов с ядрами Гильберта. Предложен метод оптимизации ку- • батурных формул, основанный на теории квазипоперечников и аналогичных идеях конструктивной теории функций. Отметим, что изложенный оптимизационный подход к приближенному „вычислению сингулярных интегралов ранее нигде не рассматривался. Все известные автору результаты (см.,например,[35,363) касались лишь построения конкретных ку батурных формул на определённых классах функций. Пусть X - некоторое банахово пространство вещественных функ-ций s переменных f(x) = f(xl9xz,..mfxs) гіс-периодических по каждой переменной х. (Jjs/. X™ (J=T7s) -банахово пространство функций - подпространство размерности mt с базисом {ф }(х.)\ J (J=T7s). Положим • SI шл ,—, Ш_ J S—1 Шл S—і - 111 I, S- I s где операции,"•- и"+" есть соответственно декартово произведение. и прямая сумма множеств. Элементы множества G можно представить в виде обобщённых полиномов порядка Mg = {m1tm2, .,,ms} ранга в-1, линейно зависящих от функции s-1 переменных [28] : g (х) = . фк (хя- XjMk (Xjh . J=1 .»Г J J — ":v" «7 J) (J)m __ Пусть fc,s /; e"VTHS r " множествонепрерывных операторов, переводящих Xs в Gs то есть & 1 : Хв - G fu u,...,D fs;]._; Рассмотрим многомерный сингулярный интеграл с ядром типа Гильберта IJ - IJf, )..- r-J—. Г /Го;. П ctg 1 « »» где Qs «. П [- , 1, x = fx; ,x2,... ,xs), о = Го, ,o2,... ,os;, do »" da dOg» -.. •dDgV Интеграл Ig/ понимается в смысле главного \ значения по Коши 353,и будем рассматривать его как оператор, действующий в пространстве X . Аппроксимируем его плотность / различ- . ными выражениями вида J(f). Тогда принимая за кубатурную фор ся-»; я мулу для IJ - Is(ffx) выражение и и, полагая; 1 С/; = Isf - . /, обозначим я ; s s я /€Ж :?- "V Я" я fi Эти величины характеризуют качество кубатурной формулы 2 / для

:

сингулярного интеграла I f на множестве % с х . Если U(J) сі экстремальные или фиксированные подпространства размерности т. и существует оператор s ,;€ Swfi ,J» Для которого выполняется одно "- _ — j существует из условий -rsx в s A s s _ ш5 Jx su JX vfs-/;. [ ,3- )!% )z - vMz • !# -fs-JX .__— - " S 5 то кубатурную формулу Is(f,x) а\ а 1}(/)9 \ будем называть соответственно оптимальной,асимптотически оптимальной» оптимальной по порядку на классе Ж среди всевозможных кубатурных формул вида -•І r fs; • •- я- ч s . Рассмотрим далее важный в практическом отношении частный случай, когда s ,, - {Лн г - мно"вство линейных непрерывных one-; -.я - ,,Лраторов, переводящих Хв в Ge с X .Пусть Л, - { 1 J (J Ts) S S S J { Л JJ J — произвольные наборі линейных непрерывных функционалов .определённых на JCj„ и линейно независимых при каждом фиксированном «/.При этом каждый функционал % } действует -на f(x)= Х(х1Гхг,ш 9хв) как на-функцию,зависящую только от одной переменной х. при фиксированных х.,...,x,_j,x, j,-....,х_. Под Л. понимаем непрерывный линейный оператор, переводящий Х7 в конечномерное подпространство" :, :Ч .- span fo J,(t),Q(2J}(i) .., VJ.Cv\ и представимый в виде t=i (S-l) 2(5-1) Тогда каждый линейный оператор Л € JH выражается формулой (s) s s " _. s_j /./ ъ «»» • • » i L s» i J— - i f» p» • • » » J fkf ji2 . .. ,; 1 « - «,ж_,...» j JeJ k ik.•••,k,= # fJi; k2 ... -k,; k x : .-.- 2J 4 W V (0.5) где J -единичный оператор, (Д В)/ - произведение операторов А и В, - s -fkp J fk j jfkf; f Jf fk f fk.j v ..-V - r t К —(Ч WJ—J = 1 в; J = 1, ;.; r Используя выражение (0.5), запишем кубатурную формулу J«7 kj»k,.., .»? Гкт кг -..Л к, V... ) ПА (х ) Х J (f), (0.6) V v " (J)fr r = т /tk J) где A fx,;:- 1,Гф ,ду ДО,я,; J«i,s;. Полагая для остаточного члена формулы (0.6) :l4 -fc wfV ]z •-ГДВ J " {# ,- . s представим ее погрешность на классе Ж в_виде («•«Л- »jVf); в Лл-1 » ЫГ--- (0Л) s /€Ж " As Цри помощи соотношения v( j - ™. ( f;\,W %4t)x • (0-8 определяем оптимальную оценку погрешности кубатурных формул (0.6) на функциональном классе Ж. , Если существуют множества функционалов (Л,) , , и непрерывных функций fA J f таких, что имеет место одно из условий- , . % «v S г» S ...VIJMj; — 7(»Я\ W Vj-dv • __.- - As S As то кубатурную формулу (0.6), в которой вместо луи Л, использованы IV. . ГУ .,я А,, назовём соответственно оптимальной, асимптотически опти- -; мальной, оптимальной по порядку на классе Ж. Если фигурирующие в ; формуле (0,5)_линейные операторы A., (J7s) - проекционные, ТО ї л Л можно рассматривать как линейный проектор, действующий из % X в ГСв- В этом. случае оптимизационные характеристики (0.7)-(0.8) ; ;;• :: ;;•. ::; Г__-л.. . .Л . -" • "" " "" " обозначим символами V( )7 и yw (-)• При рассмотрении ряда задач - - - - .\ я: : s ..-.-.. .. оптимизационного содержания, связанных с методами смешанной аппро-. -ксимации многомерных сингулярных интегралов, нам понадобятся еле-/ дущие определения [31 ,32]. Пусть.-31 ,с-X —. центрально-симметричное множество. Тогда вели-. . dL, Г5ГДЙ;л-л..... inf sup Hit .., fcg Uhz;,. : xt : fM75; /€31 Л "Г f «, " "?" . • - - : s Inf ЇМ if зирц Ь Л - І », -.гдеz&fftzib.г.линейный оператор, переводший Xs в С , называют соот-. ветственно колмогоровским и линейным квазипоперечниками множества Я. Ранее величины, аналогичные б , изучались в работах [8,931./ "•« " Я Проекционным квазипоперечником назовем величину % (3t,XL ;...-„, _inf v ; mf_ sup bv.,nt?.T!?Jb.., .. .ГГДЄЙЦІ "1-?;;- непрерывный линейный проектор, переводящий в.G ... Пусть 51 с Zs - класс функций, тригонометрически сопряжённых к сопряжённые к которым входят в 31. Символом Lms, множество таких 2к-пвриодических по каждой перемє для которых і Под ОГП5; понимаем множество непрерывных в Qc по каждой переменной функций f(x). Положим rs = . Гн-,„ Введём множество Я S(Q J заданных в s-кубе С по каждое переменной функций f(x)= /(хл 9хг, .„-. ,х тные производные непрерывны в Q_, а производные всюду в Qe существуют,существенно ограничены, кус Теорема 2.4.1. Пусть X -одно из пространств L (Q ), К p r oo или 0(Q ),класс 91 с Xs ц соответствующие елу классы Я и Й являются колпактныяа а оператор Is действует в пространстве Xs. ТогОа - в - « •-« " -•• S гЗе ищ € z=, z = fka -. ,.._,,ks); kj&, f.M75jr7s № теорем 2.3.1 и 2.4.1 вытекает Следствие 2.4.1. Яри всехws є z справедливы равекс«бш ; - ) = v p o ;] =Д [г +і;/2] ;і гвеЧ» - цедая часть чисда, а , С - - константы Фавора. Одним из основных результатов §2.4 является .Теорема 2.4.4. Яусяь Mfi е z и 1 р « . Тогда V$H VV) X ЧИ [«fr V VM .?, ..[ftjMJfS] . • • г0е б качестве Ti выступает любая из величин УИ ., Ум и Тм а б - - в " — s я"" - я качестве П - любой из квазипоперечников ( ,ЙИ ик s.,. ; В третьей главе диссертации, состоящей из восьми параграфов, рассмотрен вопрос оптимального кодирования и восстановления решения краевых задач математической физики по информации о граничной функции. Краевая задача Дирихле ..для - бигармонического уравнения формулируется следущим образом: требуется найти бигармоническую в единичном круге V ш {(х,у):х?+у2=рг 1) функцию u(p,t) (О р. 1, OX t с 2%), удовлетворявшую уравнению tJfe gfjVt; -о- (0.9, для которой : "(P VltetJ 8(t) — \р=1 = О (0.10) Решение задачи (0.9)-(0.10) существует и задаётся формулой (см.,например,[96,0.3983) 2« U(p,t) ; U(gip,t) » 1.J Kp(t-U)g(u№, где ядро Яр Г t; определяется равенством И-Ьр П-Р СОзи - чг ї-рг 2 2, 2 Т][ + "" ),Pb,coa&t 2 (1-2»p coat pfy j Краевая задача Неймана для уравнения Лапласа ставится следующим образом гнайти гармоническую в единичном круге D функцию u,( ,t; (схр 1, xt 2ic; удовлетворяющую уравнению ЙЇ ЙМР ---Ч,-. ....«».ІІ).: и двум граничным условиям .. --ЩрПР-і = • J WW = О. (0.12) Решениа задачи (0.11)-(0-12) определяется с точностью до пос-. тоянной и задается формулой: ,urrp,t; =: urf9;p,t; - С, + .J «pftWcWc, 0, = conat, о _ где ядро ФрГ Х имеет вид ;.. рГ Г - s— cosftt о р. f . Отметим, что для выяснения дифференциальных .свойств бигармо-нических и гармонических в единичном круге функций, с целью приложения к теоремам вложения краевые задачи (0.9)-(0.10) и (0.11) -(0.12) были исследованы Я.С.Бугровым [24]. .Здесь рассмотрен вопрос нахождения точных значений наилучших приближений ядра и решения краевых задач Дирихле и Неймана тригонометрическими полиномами. По заданной информации о граничных функциях находится наилучший линейный метод восстановления решения указанных задач в метрике Ъ при р=1 и р=ю. Пусть "Pj Jf--- множество тригонометрических полиномов вида порядка п-1. Тогда величина есть наилучшее приближение функции (реи множеством 2n-J в мвтРикв ІВ ходе изучения вопроса о восстановлении решений указанных краевых задач тригонометрическими полиномами важную роль играет Теорема 3.3.1. Для всех пен и р€(о,1; справедливы раденстба ЕёкР 1 = 4 EObtgpn + 2 (1-рг) прп (1+ргпГг, : Из этой теоремы и общих теорем двойственности вытекает Теорема 3.3.2. Цля всех new и pt(o,4) при р=1_и р=ю илеют лесто соотношения агф n("rg,p,«;]p = erotePn + тЛфп ( Р Г;.. р - о Аналогичные утверждения в параграфе 3.4 доказаны для наилучших • односторонних приближений ядер и решений сформулированных выше V. краевых задач. В §3.5 рассмотрены вопросы восстановления решения задач (0.9)-(0.10) и (0.11 )-(0.12) тригонометрическими полиномами вида Т—гГи(ф;р, .;,A.,t; = - -2 + ) X a coakt +_jtyrii&t;. (0.13) в метрике L (1 р$оо), когда известны значения первых 2п-1 коэффи циентов Фурье граничной функции фГи: с ГФ.) (ft=o,n-Uf.ofc(ty.J ."-. fft=i ,n-i;. ,Приведем, например результаты, полученные для задачи Нэймана. Теорема 3.5.3. Для погрешности, восстановления решения itf(ty;p,t,J задачи Неймана (0.11)-(0.12) тригонометрическим тюлинолол (0.13)6-лешрике L (Л р$») справедлива оценка агф Hit и,Гф;р,.; - Г Ги,Гф;р, ;д;_ = "У—Р - аир и,Гф;р,.; - Г (и (тр, ),\?)\ Wi - pN °-14 гЯе вектор \г = fi°,i°,."..fp, _fJ определен равенствами ш n2sn ш 2sn+J» _г«п- „. - і t J 1tr •• м =о. о Неравенство (0.14) неулушзело при р=1 u р=ю._і Из неравенства (0-14)-сразу вытекает, что для рсЬ ( 5Р ».)- : о Использование тригонометрического полинома (0.13) позволяет получить также следующее утверждение Теорема 3.5.4. Справедлива более тонкая оценка .Jarc dr .ЕпГФ;р. (0,15) Существует функция pe€b fi p »;, с нормой . рI 7, для которой б (0.15) при, р=1 и р=о uieem десто-знак равенства. В параграфе 3.6 рассматривается.вопрос восстановления решения задач Дирихле и Неймана по усреднённым значениям граничных функций. В параграфе 3.7 рассмотрена задача оптимального кодирования и восстановления значений операторов, обіцая постановка которой принадлежит Н.П.Корнейчуку [58,105]. В другой постановке, задачи оп тимального восстановления линейных операторов и функционалов рассматривались в работах О.Б.Стечкина [86], Н.О.Бахвалова 161, Ю.Н. Субботина 1903, В.В Арестова Е7], А.Г.Марчука, К.Ю.Осипенко 693, В.Л.Великина Е34],А.А.лигуна 106], А.А.Женснкбаева [463, А.И.Гребенникова, В.А.Морозова 40] и других. Задача оптимального кодирования в общей постановке сформулирована в монографии В.М.Тихомирова 95]. Пусть X и Y - линейные нормированные пространства, .4 - линейный непрерывный оператор из х в Г,"Ж, -набор заданных на X линейных непрерывных кционалов ,,, ц,,.... где X -пространство, сопряжённое к X. Каждому хеХ сопоставим вектор информации который можно рассматривать как кодирование элемента х точкой из iR . -Если 31 - некоторое ограниченное множество в X, то положим ; G(9t9A,Ma)r » аир [\Ах - Ay\Yz х,у&; Т(х,Ыя) =.Т(у,Жя)\ \ (X,A,Y) = lnf km,AwMx)r : Ж сХ }. ЕСЛИ 9t - некоторое выпуклое центрально-симметричное множество в ХІ то согласно результатам работы 105]: ::G( M,Vr-:-e 2,3UP fl ly" «зі» rtoiy-oj, (О.ІТ) - г Дусть 4 = -оператор свертки с гх-периодическим ядром K(t). Полагаем f А р = К ф, если : ас .-f(t)- ш; Ajtft) ш JvJxrt WUT. (0.18) " „.о" • Как правило, априорная информация о функции p(t) задаётся классом . где К, - некоторое другое ядро. Очевидно, что Л (Xj). выпуклое центрально-симметричное множество. Пусть вектор информации (0.16) имеет вид »г т&9 2п 1 - я {а0W»aiW»• • • »ап-т W»of ГФЛ-..,ъп_,ГФ;. а Ш п-і шожвство тригонометрических полиномов, порядка не выше п-1. Тогда согласно (0.17) г% EDmXt(t) -Br(t;_ ,многочлен Бернулли, то как известно [54] лр( ,) - дргвг; = иг гг 1,2,..., f л р »;. В случае Я=Яр и Я=Фр справедлива следующая Теорема 3.7.1. Для всех г =1,2,...; p€fO,i; при р=1 м р спрабеОлибы неравенства IP ir.r -4 f2v+i;r+r + - --r Pz;T r;vfr+u ) аО г Р C2Vfi; Р « .. -р К-Ч ьр] &•4-4-,), f2V+1 .Г 2 " » _(2y+f. n В этом же параграфе рассматривается интерполяционный метод Jf -i восстановления в метрике Ь (1 р$») свёртки (0.18), где K(t) есть Гг любое из ядер Kpftj или ФрГі; по информации В соответствии с равенством (0.10) будем иметь. 2% _• " о Одной из центральных теорем данного параграфа является • Теорема 3.7.2. Дде всех м,г,..., рєГоуі;, и і$р& справедливы нераВенстда . При г=1 и p=a справедливы более точные результат: (jC Jv °) ct - V с .,l.ff.p ,.! + 1.J l dr в» Ж%,-С] ;«(»:. Ч " "И-? - М В последнем параграфе 3.8 главы 3 результаты о приближении функций билинейными сплайнами из главы 1 использултсящж восстановлении решения краевой задачи Дирихле для шара, при атом доказывается, что погрешность восстановления решения указанной задачи совпадает с погрешностью приближения билинейными сплайнами. Четвёртая глава диссертации посвящена экстремальным задачам ". теории квадратур. Кратко изложим содержание этой главы. Пусть Ж - некоторый класс функций f(t), определенных на отрезке fa,b J; q(t) - положительная суммируемая на Ш,Ъ] функция, удо влетворяющая условиям: 1) q(t) непрерывна на интервале (а,Ъ); 2) q(t) монотонна-в некоторых окрестностях точек_а и о, если она там неограничена. Набор узлов и коэффициентов Р = {Pjjfjjlf.- определяет квадратурную формулу Ь п. ; ]q(t) f(t)ut « PfcVfV Вь(/Ж )» (0.19) a Ji=f Величина ЯпГЖ;д;Т,Р; = зир Rn(f;q,T,F)\: /€ } (0-20) определяет наибольшую погрешность квадратурной формулы (0.19) на функциях класса Я. Требуется найти величину JJMW = ipj япгт;д,т,р; (о.гі) а также указать вектори узлов и коэффициентов для которых в (0.&) достигается точная нижняя грань, то есть :V - = япгж;д;г ,р ;. Постановка этой задачи и первые основополагающие результата принадлежат О.М.Никольскому 75,78].Задача (0.21) в случае q(t)=1 для различных классов функций исследовалась многими авторами. Наи- • .более существенные результаты принадлежат Н.П.Корейчуку и Н.Е.ЛУш-паю [49], Н.П.Корнейчуку [481, В.П.Моторному 171-733, А.А.Яенсык-баеву L4&,46], А.А.Лигуну [63,64], Б.Д.Боянову [19], В.Ф.Бабенко • . [10,11,13,14], К.И.Осколкову [80] и многим другим. Результаты этих и ДРУгих,исследований приведены Н.П.Корнейчуком в дополнении к кни- -V ге О.М.Шпсольского [78]. Темне менее, существует еще много клас- сов функций и определённых интегралов, для которых задача (0.21) не решена. К, их числу относится, например, задача о нахождении оптимальных квадратурных формул для сингулярных интегралов с фиксированной особенностью следующего вида [60] JXiiat, _ (о в 1)9 (0.22) : - ts о на классах ИСг)Ъ =: W(r)L (1;0,1), 1 р _». Для интеграла (0.22) желая указать зависимость квадратурной формулы (0.19) и погрешность (0.21) от параметра s (0 s&), запишем их в виде f t = ]Г Рк Г( ж) & (/) (0.19) • € j( ;q) = int В Я}(П;Г9Р) n frp; n

ЩстъВ1 : (1:0,1) - класс функций , удовлетворяющих на отрезке fO,fJ условию

Ясно, что-If =я . В следующей теореме для интеграла (0.22) при s=t : на классе я найдена оптимальная квадратурная формула с фиксирован-, ными узлами на концах отрезка интегрирования (квадратурная формула типа Маркова).

Теорема 4.2.1. Пусть s=U Тогда среди квадратурных формул пата Парнова, отатмальной. для класса Я1-является формула погрешность которой равна Для произвольной положительной весовой функции gft; и -М f 1 =:W(1 }L(1 ;0,1) доказано следующее общее утверждение. V Теорема 4.3.1. Среди всех квадратурных формул вида ХО.Ю) наилучшей Оля класса W( 1 }Ъ( 1 ;0,1 Уявляєшся, формула і п \q(t)f(t)ut - hF(0)tY.f(t - V# V где узлы th определяются ив системы і : V = гптк (0) (& -&); F(t) т \q(u№.: При атол, о ИЗ этой теоремы, в частности, следует Теорема 4.3.2. Среди квадратурных формул вида (0.19) • при (Xs 1, .наилучшей на классе WC1)L является квадратурная формула . погрешность которой равна €п I Ч - йСі-sM-Отметим, что аналогичные утверждения доказываются и для весо л.... вых функций - Ч(Х) - —=г, q(t) = Щ1-і)Г , 0 s 1, и результаты всех одномерных теорем соответствующим образом обобщаются на двумерный случай. Приведём один из. таких результатов. • Цусть W(1t1)L = W(U1)L(1,G) - класс заданных на квадрате G =: =Е0,1ШО,1] функций f(t,i) у которых существуют кусочно-непрерывные частные производные f( ,py(t,i),.f(0 )(t,,z), f(1t1\(t,i) удо-г влетворяюшие условиям: .. M,fs bW - J J /rMJrt,T;dtdT 1, —•(G): і ;y\f(1tO)( ,0)\L = J/n ° (t,o;dt $ ;, о о Рассмотрим сингулярный интеграл вида sr/; .- Г f ftj&atux о s,7 « и (0.23) где G = .(0,11х[0,,11ш Для вычисления интеграла (0.23) рассмотрим кубатурную формулу n m ЩЗ -- I I PM,/fW &- Q (0.24) определяемую векторами узлов - JF,;: о t, t2 .._С П_, tn n JT rOSi, т2 ... Vj тж f, ІИ вектором числовых коэффициентов Р » {РЬІКІ=І • , Требуется найти величину " (Т Т;Р) /€Ж " - » где It - некоторый класс функций f(t,t)y определённых в квадрате G. Теорема 4.4.3. Яри О а,7 1 среои кубатурных формул виПа (4.4.1) использующих п т значений подынтегральной функции, оптила-лъной Оля класса W(1,1}L(1;G) является формула J J t:f (G) LtdT , ft-fir-O " , П II/(f-l1) -fif ],"V) . :• / . погрешность которой, равна Ли - ь - 2.{i-s)n + Ыл-ч)т + 4(1г )(1-ч)пт • В параграфе 4.5 рассматривается вопрос оптимизации квадратурных формул для регулярных интегралов яа классах функций,задаваемых модулями гладкости. Пусть и г(о) - заданная положительная функция, удовлетворялся условиям: ыг(0) «О, О VV weW2» О в, 02 » -.(0.25) О ыг(ая) - ыг(о±) WV ° °т °2 _ (0.26) : . lcogfOf; + ыг(аг) - g;u)g[ г ) « g,fa)g[ 2 )- °-27 Будем говорить, что функция /ft; e tf fa,oJ, если её модуль :. гладкости шгГо,Л = sup-Ь(ПЮ - z.f(t) + /Ct-?i;jc bJ , Л 0 удовлетворяет условию шг(Q,f) « u2W, где и г(б) - заданный модуль гладкости, удовлетворяющий условиям (0.25)-(0.27). Соответст вущий класс 2іс-пвриодических функций обозначим Я . Заметим, что а - WP если ш_ео; = О , О а с 7, то класс Я совпадает с классом Зиг муяда /1 т зР[а,Ы9 о а ф В квадратурной формуле (0.19) полагаем q(t)s1 и при WJ» - вычисления величины (0.21) в качестве It берем Я и Я . Теорема 4.5.1. Яри gft;=7 сре Эи всех квадратурных формул вида (0.19), Оля которых выполнены условия / V,- — ".-. " Л j, a .: + р€ - ph/2, (Ъ=ип), рЛ«Ъ-а. наилучшей Оля класса Я является формула прямоугольника Ъ п а J» l - (Я ] = п. ucft№ = Г (Dgft/Tijdt. о о Теорема 4.5.2. При q(t)sl среди всех квадратурных формул вида (0.19), Оля которых выполнены условия h п . ,-._- о, V--»f tfc = J] pt - Pj/2, fft=nn;, pr - pn, -; 2 . i«f ь-г rr: наилучшей Оля класса Я г является формула трапеций При этом f Из теорем 4.5.1, 4.5.2 в качестве следствия при ia2(t) 1Kb\ дучавм результаты работы 31 для класса 2а. Таково основное содержание диссертации. По материалам работы были сделаны доклады: - на семинаре "Оптимизация методов приближения", руководимом членом-корреспондентом НАН Украины Н.П.Корнейчуком (институт математики НАН Украины, ежегодно с 1990 г. по 1996 г.) -на семинаре по теории приближения функций-Днепропетровского госуниверситета, руководимом профессорами В.П.Моторным и В.Ф.Бабе- нко (Днепропетровск, май 1996) - на семинаре по теории функций Днепродзержинского индустриального института, руководимом профессором А.А.Лигуном (Днепродзержинск, апрель 1990) - на Республиканской конференции по экстремальным задачам тео- , рии приближения и их приложениям (Киев, 1990) на четвёртой международной научной конференции им.академика :.: М.Ф.Кравчука (Киев, май 1995) на; Международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (Москва, 1995)

Точные оценки погрешности интерполяции билинейными сплайнами на классах функций

Таким образом доказано, что для выпуклых модулей непрерывности ; iHjit) и ш Гт.) неравенство (1.3.4) обращается в равенство. Если же o)j(t) и ш2(т) - произвольные модули непрерывности, то полагаем Тогда функция принадлежит классу r,i0,Hj;; . П lffo uff 2 (смЛ85,с.24]) Однако в этом случае Из (4.3.4) и (1.3.5) следует (1.3.3), чем.и завершается доказательство теоремы 1.3.1. Сопоставляя неравенства (1.3.4) и (1.3.5) получаем Следствие I.3.I. Для любых лобулей непрерывн переходя к верхним граням по всем функциям класса, получаем Неравенство (1.3.7) получено без каких-либо ограничений на шш(%9і). Считая теперь, что u)M(t,t) - выпуклый по обеим переменным модуль непрерывности, докажем,что в (1.3.7) имеет место равенство. С этой, целью на прямоугольнике Со,1/т]хо,1/п) определим функцию 1.4. Точные оценки одновременного приближения функций и их производных интерполяционными билинейными сплайнами Известно 153,гл.5], что интерполяционные сплайны в ряде случаев обеспечивают минимально возможную погрешность приближения на классе функций. Наличие же базиса с локальными носителями в приближающем подпространстве сплайнов обусловливает хорошее приближение интерполяционными, сплайнами ОДНОВреМеННО И ПРОИЗВОДНОЙ ИНТер- ; полируемой функции. В этом параграфе рассмотрим приближение производных функций : из классов 1ГСг а)1?, Щ ГшВ)Н 1 г и її(г а)іґ,г соответствующими :; производными билинейных сплайнов по равномерному разбиению области G. Отметим, что числа г ж а принимают значения только О и 1 и удовлетворяют соотношению 1 3 r+s 3 2. В-следующей теореме приведено точное решение задачи (1.1.10) для функций из класса fffr,e;flw, в,случаях когда г=1=1, s=g=o и г=1=0,1 s=q=i. Полученные в теореме утверждения дополняют резуль тэты (1.1.11) и (1.1.14). Теорема 1.4.1. Пусть о)(,т)- выпуклый лоОулъ непрерывности, по переленной і. Тогда имеет лесто равенство Если же Mt Л) является выпуклым лоОулел непрерывности, по перелей- у, ной t, mo V Доказательство. Равенства (1.4.1) я (1.4.2) доказывается одинаково, поэтому докажем только (1.4.1). Не уменьшая общности, проведём все рассуждения для произвольной ячейки G (1=ТЩ; J=T7n) Согласно доопределения производной билинейного сплайна в параграфе 1.1, для любой точки (x,yHG,. где F.(xiry) определена равенством (1.1.16). В силу этого оценка погрешности, интерполяции еС1 0)(Х;х,у) представима в виде ости, ja (t) и и г(ъ) справедливо неравенство Если Х1Г(и1)& , то из (1.2.14) при равномерном разбиенииобласти G следует, что в каждой точке справедлива оценка откуда сразу получаем следующее утверждение. Теорема 1.3.2. Пусть иш(і,і) - произвольный выпуклый по обвил переленнил лоОуль непрерывности. Тогда Оля любых т и п имеет лёсто Доказательство.

Из неравенства (1.3.6) для любой точки с учётом равенства следует, что и переходя к верхним граням по всем функциям класса, получаем Неравенство (1.3.7) получено без каких-либо ограничений на шш(%9і). Считая теперь, что u)M(t,t) - выпуклый по обеим переменным модуль непрерывности, докажем,что в (1.3.7) имеет место равенство. С этой, целью на прямоугольнике Со,1/т]хо,1/п) определим функцию 1.4. Точные оценки одновременного приближения функций и их производных интерполяционными билинейными сплайнами Известно 153,гл.5], что интерполяционные сплайны в ряде случаев обеспечивают минимально возможную погрешность приближения на классе функций. Наличие же базиса с локальными носителями в приближающем подпространстве сплайнов обусловливает хорошее приближение интерполяционными, сплайнами ОДНОВреМеННО И ПРОИЗВОДНОЙ ИНТер- ; полируемой функции. В этом параграфе рассмотрим приближение производных функций : из классов 1ГСг а)1?, Щ ГшВ)Н 1 г и її(г а)іґ,г соответствующими :; производными билинейных сплайнов по равномерному разбиению области G. Отметим, что числа г ж а принимают значения только О и 1 и удовлетворяют соотношению 1 3 r+s 3 2. В-следующей теореме приведено точное решение задачи (1.1.10) для функций из класса fffr,e;flw, в,случаях когда г=1=1, s=g=o и г=1=0,1 s=q=i. Полученные в теореме утверждения дополняют резуль тэты (1.1.11) и (1.1.14). Теорема 1.4.1. Пусть о)(,т)- выпуклый лоОулъ непрерывности, по переленной і. Тогда имеет лесто равенство Если же Mt Л) является выпуклым лоОулел непрерывности, по перелей- у, ной t, mo V Доказательство. Равенства (1.4.1) я (1.4.2) доказывается одинаково, поэтому докажем только (1.4.1). Не уменьшая общности, проведём все рассуждения для произвольной ячейки G (1=ТЩ; J=T7n) Согласно доопределения производной билинейного сплайна в параграфе 1.1, для любой точки (x,yHG,. где F.(xiry) определена равенством (1.1.16). В силу этого оценка погрешности, интерполяции еС1 0)(Х;х,у) представима в виде

Точные значения квазипоперечников в для некоторых классов функций

Всюду в дальнейшем,-как обычно, IN - обозначает множество натуральных чисел, z+ - множество неотрицательных целых чисел. Пусть A=tO,2ic], Дг=АхА, С(&г) - множество всех непрерывных на А "функций f(x,y) гіс-периодичвских по каждой переменной, a LZ(HZ)-множество суммируемых в квадрате 2х-перйодических по каждой переменной функций f(x9y) с обычной нормой ЧврезЬ ГАг) Гп,асв обозначим множество функций feO(АгЛ» у которых (x9yH0(Lz ) (гмэ,г-1, ji=o,s-i;. Кроме того-частные производные f(rt,)(x,y) ftju=0,s-i; и S(VtB (x y) (v=o,r-i) всюду на А2 существуют, существенно ограничены, кусочно-непрерывны,- допускают перемену-порядка дифференцирования, a f(T,ta)(x,y) t L2(h2)u Пусть Уя = tv (х))ижо и Un = fu (/«и - две системы линейно независимых 2іс-периодических функций, принадлежащих пространству M fAJt» а { р (x))n_Q и Гф (у))ш_а - наборы произвольных 2 -периоди-ческих функций из L-(h). Требуется для центрально-симметричного множества l.c IgfAEj: вычислить величину Для произвольной функции f(x,y) є L2(hz) определим смешанный модуль гладкости Доказательство этого утверждения не приводится, поскольку оно основано на стандартных рассуждениях, связанных со спецификой гильбертова пространства [253. Умноживобе части неравенства (2.2.6)-(2.2.7) на -з1іжс»8Іппу и проинтегрировав по прямоугольнику [о,тс/т]х[о,-я:/п], получим: Теперь, с учётом (2.2.11) и определения класса 1Г (Ф, 9) имеем: Для получения оценки, снизу рассмотрим пространство; L (ti) (ve ), состоящие из. функций f(x)f имеющих абсолютно непрерывные производные долорядка v-1 включительно и f(v)(x) Lz(L), Нам также понадобятся классы используя которые полагаем: Применяя результаты работы [311, запишем где а Г»;- обычный ft-поперечник по Колмогорову. Учитывая (2.2.13),-J включение {[(Ф, 2) с "г! а такжв Условие (2.2.1) и, результаты работы [21, имеем! Сопоставив соотношения (2.2.12) и (2.2.14), получим равенство (2.2.2), чем и завершим доказательство теоремы 2.2.1. ТогОа Оля любых т,пєін имеет лесто равенство Оценку снизу получаем по той же схеме,что и в конце доказательства теоремы 2.2.1. Вводим вспомогательный класс ffj/jf , г) = K( f. J! и используем (2.2.15) и результаты работы [31,92]. Отсвда и из (2.2.19) сразу следует утверждение теоремы 2.2.2. Теорема 2.2.3 Пусть функции Q,(x) (7=1,2.) Оля любого pew удовлетворят уславши. О (х) -.. " Q.(x) inf = 1= ttffi . -/ (2 2,20) Г Є(о,!с/р] aln fp2 /ai).- е- о r;6ar« 0!/pj aln fpz/2; Тогда Оля любых т,п& выполняются равенства — a-fx.) — Q»ryX . Іігл х li-m -Д liw\ Ш? —-г = (2.2.21) а о -xiJOrPMl ЗІХГ(тх/2) у? а х(у-тО/п1--ВЛхг(ПЦ/2) Доказательство.

Используя (2.2.4),(2.2.9) и (2.2.10) для про- -извольного SX) выберем номера Ш т ъ Я п такие, что (2.2.22) Выбрав далее тее(о,тс/т), уеє(0, /ti),продолжим неравенство (2.2.22): Оценка снизу следует из [31,413 и соображений, изложенных в конце доказательства теоремы 2.2.1. Отсюда и из „(2.2.25). получаем соотношение (2.2.11), чем и завершается доказательство теоремы 2.2.3.;, из теоремы 2.2.3 вытекает .Следствие 2.2.1. Пусть функции О (х) (J=1,Z) удовлетворяют требованиял теорем 2.2,3, имеют непрерывные производные ot y(x), для которых Х1(. } (о ) о и 0 ( =0 (гмэ,л-1.). Тогда для любых т,п& справедливы равенства В заключение приведем примеры мажорант, удовлетворющих условиям (2.2.1),(2.2.15) и (2.2.20). Такими функциями являются соответственно (см. например, [92]) Отметим, что множество мажорантных функций этим вовсе не ограничивается. Используя определение и некоторые свойства правильно меняющихся функций [83], с помощью специальным образом выбранных мед IV ленно меняющихся функций Ъ(х)г Ъ(х)9 Ъя(х) можно построить широкое множество мажорант вида для которых выполняются соответственно условия (2.2.1),(2.2.15) и (2.2.20). Пусть f(x,yHC(b?) - непрерывная на А2« [0,2 3 гтс-периодичес-кая по каждой переменной функция- Через lT (hz) (г,sen) обозначим множество функций /Cr l e ,fA2,) (г9ё%Л), у которых Кроме того частные производные Т(г (х,у) (\к=&7в) и fiVtB (x,y) -: (v ojr) всюду на А2 существуют, существенно ограничены, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования, причём следующее утверждение Теорема 2.3.1. При любых m+n,r,stw справедливы равенства Доказательство. Пусть Л( и Л - линейные операторы, которые переводят пространства непрерывных гтс-периодических функций в подпространства 7 , dlmV =т, и U , dintf =п соответственно. Полагаем Г далее, что оператор Л? (соответственно Л) действует на fix,у) как на функцию от х (от у) при фиксированном у (фиксированном т), сопоставляя ей в .соответствие функцию A (f;xry) (функцию A (f;x,у)). Для функции f(x,y) запишем оператор [523 Очевидно, что А(/;х,у) G(Y Un), где0(Ул,ип) определено в предыдущем параграфе. Положим Для непрерывной функции f(x) одной переменной, имеющей абсолютно непрерывную производную (г-л)-то порядка и f(Zx(x) e-L (.&), запишем линейный оператор [50,с.1093

Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта

Интенсивное развитие смешанных (blending) методов приближения функций многих переменных [52,99,102,109] и введение на этой основе ряда аппроксимационных характеристик функциональных классов - ква-зипоперечников [8,31,93] позволило существенно расширить рамки применения названных методов и эффективно использовать их при решении ряда задач оптимизационного содержания (см.напр. [32,99]). Данный параграф, посвящен построению оптимальных по точности алгоритмов вычисления многомерных сингулярных интегралов с ядрами } типа Гильберта, при помощи блендинговых конструкций.Предложен метод оптимизации построенных кубатурных формул, основанный на теории ; лсвазипоперечников в функциональных пространствах и на анологичных идеях конструктивной теории функций. ч Вопросы приближённого вычисления указанных сингулярных инте- . тралов при помощи конкретных кубатурных формул ранее рассматривались в работах Б.Г.Габдулхаева [35,36]. В отличие от одномерного f слнеобходимые в дальнейшем. Пусть X - некоторое банахово пространство вещественных функ-ций з переменных f(x) = f(x ,х_,... ,х ) гтс-периодичвских по каждой переменной х, (J=us)m X(J (J=T7&) -банахово пространство функций j интеграл 1J понимается в смысле главного значения по Коши [35 ], и будем-рассматривать его как: оператор, действущий в пространстве X .Аппроксимируем его плотность / различными выражениями вида &а713(/ )- Тогда принимая за кубатурную формулу для lj = Ia(ftx) выражение и полагая введем обозначение Эти величины характеризуют качество кубатурной формулы I f для сингулярного интеграла IJ на множестве Icb Если U с r w существует оператор Z e""TV& e г"\ для которого выполняется одно а а экстремальные или фиксированные, подпространства размерности т. и существует из условий будем называть соответственно оптимальной,... асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе Ж среди всевозможных куба-турных формул вида Рассмотрим далее важный в практическом отношении частный случай, когда -множество линейных непрерывных операторов,переводящих X В GcZ . Пусть -произвольные наборы линейных непрерывных функционалов, определён-; ных на К и линейно независимых при каждом фиксированном J. При этом каждый функционал \ ; действует на f(x) .f(xl9xz,. ..,xg) как на функцию,зависящую только от одной переменной я. при фиксирован-ных х-,ш.ш9х._.,х, -,.«.,т . Под Л, понимаем непрерывный линейный оператор, переводящий Х; в конечномерное подпространство и представимый в виде 1010 V ... ) П X v (X )Л J (f)9 (2.4.3) где Полагая для остаточного члена формулы (2.4.3) гда представим её погрешность на классе Ж в виде

При помощи соотношения определяем оптимальную оценку погрешности кубатурных формул (2.4.3) на функциональном классе Ж. Если cW -напева фувкц.оналов Лр-„ и неп рааш функцииучая эти задачи еще далеки от своего завершения.Поэтому результаты, приведенные в данном параграфе, в некотором смысле заполняют : этот пробел. Приведём понятия и определения, необходимые в дальнейшем. Пусть X - некоторое банахово пространство вещественных функ-ций з переменных f(x) = f(x ,х_,... ,х ) гтс-периодичвских по каждой переменной х, (J=us)m X(J (J=T7&) -банахово пространство функций j интеграл 1J понимается в смысле главного значения по Коши [35 ], и будем-рассматривать его как: оператор, действущий в пространстве X .Аппроксимируем его плотность / различными выражениями вида &а713(/ )- Тогда принимая за кубатурную формулу для lj = Ia(ftx) выражение и полагая введем обозначение Эти величины характеризуют качество кубатурной формулы I f для сингулярного интеграла IJ на множестве Icb Если U с r w существует оператор Z e""TV& e г"\ для которого выполняется одно а а экстремальные или фиксированные, подпространства размерности т. и существует из условий будем называть соответственно оптимальной,... асимптотически оптимальной, оптимальной по порядку на классе Ж среди всевозможных куба-турных формул вида Рассмотрим далее важный в практическом отношении частный случай, когда -множество линейных непрерывных операторов,переводящих X В GcZ . Пусть -произвольные наборы линейных непрерывных функционалов, определён-; ных на К и линейно независимых при каждом фиксированном J. При этом каждый функционал \ ; действует на f(x) .f(xl9xz,. ..,xg) как на функцию,зависящую только от одной переменной я. при фиксирован-ных х-,ш.ш9х._.,х, -,.«.,т . Под Л, понимаем непрерывный линейный оператор, переводящий Х; в конечномерное подпространство и представимый в виде 1010 V ... ) П X v (X )Л J (f)9 (2.4.3) где Полагая для остаточного члена формулы (2.4.3) гда представим её погрешность на классе Ж в виде При помощи соотношения определяем оптимальную оценку погрешности кубатурных формул (2.4.3) на функциональном классе Ж. Если cW -напева фувкц.оналов Лр-„ и неп рааш функции.-( ..J f таких, что имеет место одно из условий

Наилучшее приближение ядер Kp(t) и <&pftJ тригонометрическими полиномами в метрике L1

Пусть L (ї р&о)- пространство суммируемых в р-й степени 2%-периодических функций p(t) с нормой Кроме того, О (или L ) - пространство непрерывных 2тс-периодических функций p(t) с нормой порядка Ti-1. Тогда величина есть наилучшее .приближение функции (p(t; множеством 4gn_, в метрике Задача-о нахождении точных значений наилучших приблжений индивидуальных функций тригонометрическими полиномами решена для некоторых конкретных функций. Для ядра Бернулли [51 В этом параграфе приведены результаты о наилучших приближениях ядер Kp(t) и Фр(і) тригонометрическими полиномами порядка п 1 в метрике L}. Имеет место следующее утверждение. Теорема 3.3.1. Для бсех п = 1,2, . и р є (О,I) справедливы равенства Доказательство. Докажем сначала равенство (3.3.1). Пусть Tn_1(t)- чётный тригонометрический полином порядка п-т, совпадающий с функцией р ft; в узлах Если положить О/1) = Kfi(t) - Г ,ft , то Узлы (3.3.3) являются нулями функции coant, и нам надо доказать, что Q(t) обращается в нуль на [o,2icl только в узлах (3.3.3),в каждом из них меняя знак. Предположим, что ато не так. Тогда чётная функция Q(t) на отрезке С о, тс] имеет не менее чем п+1 нулей с учётом ихлсратностей. Но тогда и функция Ш)= ufarccost.) имеет на интер Аналогичным образом, если 2 _J(t - тригонометрический полином, интерполирущий функцию p(t) в узлах (3.3.3), то надо доказать, что разность О (t)= Q a(t) - Т At) меняет знак только в указанных узлах. Предположение противного приводит к заключению, что производная п-го порядка L It) = 0ofarcco3t; имеет по крайней мере один нуль в интервале (-1,1). Но так как то, дифференцируя последнее равенство п раз, получаем откуда следует, что для всех значений tel-1,13 функция Arn2ft X), что.противоречит предположению. Итак, Поэтому имеем: 2 f(t)r доставляющих-наилучшее приближение в метрике і7 функциям - тригонометрический полином порядка п-1 наилучшего _ приближения функции Xpft; в метрике bJf коэффициенты p.fc С2г=о,п-і; которого находятся из условия интерполяции Запишем равенства (3.3.10) в развёрнутом виде Чтобы найти явный вид коэффициентов .воспользуемся хорошо извес Суммируя левую и правую части (3.3.11) по I от 1 до п, -о учётом (3.3І 12) получим значение ц : Умножим обе части (3.3.11) на соз 2 п и замвнив произведение косинусов на сумму, просуммируем по I.

Получим Вычислив суммы по і с помощью равенств (3.3.12), находим явный вид остальных коэффициентов \хъ fft=i,n-i;: тригонометрический полином порядка п-1 наилучшего приближения функции Qp(t) в метрике -Lf .Поступая аналогично вышеизложенному, из условия интерполяции коэффициенты р ffc=o,n-l J определим однозначно: Коэффщиенты (3.3.13)-(3.3.15) будем использовать в параграфе 3.5 при построении наилучшего метода восстановления решения краевых задач (3.1.1)-(3.1.2) и (3.1.6)-(3.1.7) тригонометрическими полиномами в метрике пространства L при р=1 и р=оо. Свойства ядер Kp(t) и Фр{ , изученные в параграфе 3.1, дают возможность вычислить точные значения наилучших односторонних приближений этих функций тригонометрическими полиномами в метрике Ъ1." Напомним [513, что величина называется наилучшим приближением сверху ограниченной функции /W множеством И п-т а величина - наилучшим приближением снизу функции f(x) множеством Hgn_ j. При доказательстве основных результатов даного параграфа потребуются следующие утверждения. Бели, 2%-периодическаядифферениируелая функция f(t) такова, что то существует единственный тригонолетрический полинол т (ТЛ) из лножества J j порядка не выше п-1,дважды интперполирущий функцию f(t) в узлах tfc, k=T7h . Теорема 3.4.1. С51,с.65-66]. Пусть f(t)- 2%-периодическая дифг-ферениируелая функция, и пусть функция б уздаг аир имеет соответственно лаксилул и линилуЛш Через т AJ t) и т i(f t) обозначил тригонолетрические по линолы порядка не выше п-1, дважды интерполирующие функцию f(t) в узлах t. - а + Щ&, и і - = fi + 2 (к=л,п) соответственно. Тогда, если разность a t) = tn1(f,t) - f(t) не леняет знак на 10,2%), то д (t) = f(t) --т .(f,t) не леняет знак на [0,2%), то Отметим, что для ядер Бернулли Br(t) и Пуассона p(t.) величины (3.4.1) и (3.4.2) вычислены А.А.Лигуном и В.Г.Дорониным [51]. Теорема 3.4.2. Для наилучших односторонних приближений ядер Kp(t)_u fi(t) при.любых п - 1,2,... и pfo,i справедливы точные оценки доказательство. Схемы докозателъства равенств (3.4.3)-(3.4.6) примерно одинаковой потому приведём лишь доказательство равенств (3.4.3),(3.4.4). Из соотношений (3.2.10),(3.2.11) леммы 3.2.2 непосредственно получаем Фп(Кр,0) = О, фпГЯр, = о. (3.4.7) Из тождества (3.2.8) и соотношений (3.4.7) вытекает, что для ш т - R + гГ ft = Т ї (3.4.8) выполняются равенства п п Поэтому, согласно лемме 3.4.1, существуют единственные тригонометрические полиномы ч (Kp,t-). ж T jfKp,!,) порядка не выше n-1, дважды интерполирующие функцию Kfi(t) в узлах tfc и т (&=1 ,п). Из единственности интерполяционных полиномов и чётности Kp(t) следует, что функции.