Введение к работе
Актуальность темы. Среди экстремальных задач теории приближения функций многих переменных наиболее трудными являются задачи нахождения точных оценок приближения на классах функций, связанные с отысканием значений поперечников и квазипоперечников в различных банаховых функциональных пространствах. В связи с этим исследования задач, связанных с приближением функций п (п > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае.
Определения понятий различных квазипоперечников компактов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближений функций многих переменных, круг которых для обычных поперечников очертил А.Н.Колмогоров.
При решении экстремальных задач теории приближения функций многих переменных одной из важных является задача о приближении заданной функции f(x\, х^-, , хп) суперпозициями функции меньшего числа переменных, то есть требуется построить такой полином, в котором коэффициенты определяются по заданным п (п > 2) переменным каким либо процессом приближения и являются функциями не более к (0 < < к < п — 1) переменных. При этом указанный полином должен иметь лучшие аппроксимативные свойства по сравнению с любой другой линейной формой полиномов, содержащих функции не более к переменных. Такой постановке задачи приближения функций многих переменных отвечают обобщенные полиномы (так называемые квазиполиномы) порожденными тензорным произведением одномерных функций.
Вопросами приближения функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных в разное время занимались D.D.Stancu, Н.П.Корнейчук, А.И.Вайндинер, М.К.Потапов, В.Ю.Брудный, В. Н. Темляков, М.-Б.Бабаев, А.Н.Литвин, В.В.Федько, С.В.Переверзев, С.Б.Вакарчук, М.Ш.Шабозов и мн. другие.
Дальнейшему развитию указанной тематики и посвящена данная работа.
Цель работы:
1. Получить неравенства типа Джексона-Стечкина для дифференцируемых периодических функций двух переменных, связывающие наилучшее
приближение функций обобщенными полиномами с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в пространстве L2{Q), Q = {{х,у) : 0 < х,у < 27г}.
2. Вычислить точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов дифференцируемых периодических функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных в пространстве L/2(Q).
Метод исследования. В работе широко использованы общие методы функционального анализа, методы решения экстремальных задач функции многих переменных, а также некоторые подходы к решению многомерных задач вариационного содержания.
Научная новизна исследований
Найдены новые точные неравенства, связывающие наилучшие приближения обобщенными полиномами функций двух переменных с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций В L/2(Q).
Вычислены точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций В L/2(Q) с положительными весами.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог 2002-2005 гг.), на международной конференции „Развитие горных регионов в XXI веке "(Хорог, Таджикистан 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции „Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на
международной конференции „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной конференции „Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. В работах [2,4], выполненных в соавторстве с М.Ш.Шабозовым, последнему принадлежит постановки задачи и выбор объекта исследований.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 56 наименований и занимает 73 страниц машинописного текста и набрана на LATEX'e.
