Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотріческие оценки линейных функционалов в классе В 21
1. Дифференциальные уравнения типа Левнера 21
2. Формализация экстремальных задач в классе В 28
3. Общий вид коэффициентов для экстремальной функции линейного непрерывного функционала 37
4. Асимптотические оценки линейных функционалов 40
Глава 2. Некоторые свойства линейных непрерывных функционалов в классе В 54
5. Необходимые условия локального экстремума для канонических функций 54
6. Достаточные условия локального экстремума для канонических функций 68
7. Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,4 75
Список литературы 101
- Формализация экстремальных задач в классе В
- Асимптотические оценки линейных функционалов
- Достаточные условия локального экстремума для канонических функций
- Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,4
Введение к работе
Проблема оценки тейлоровских коэффициентов в различных классах аналитических функций является одной из центральных в геометрической теории функций комплексного переменного.
В данной диссертации рассматривается класс В- аналитических в единичном круге D = {z:\z\ О < |/(г)|*1. Задача об оценке коэффициентов заключается в определении sup \ап\. Существование экстремальной функции для этой задачи очевидно, поскольку В представляет собой нормальное семейство, которое становится компактным, если к нему присоединить функцию /(г) s 0. Так как функция, тождественно равная нулю, не может давать решения задачи, то экстремальная функция принадлежит классу В. Ясно, что max|ar0| = 1. Оценка для первого коэффициента появилась в [1] в 1932 году и в явном виде доказана в [2]. Для \а2\ точная оценка была получена во многих работах (см. [3], [4]). В 1968 году Кшиж [5] высказал гипотезу об оценке коэффициентов в этом классе функций, а именно, он предположил, что 2 max|a„| = -,Vw>l, с равенством для функций вида AF(fc"), где \Я\ = ]*| = 1 и F(z) = exd = - + - z +... В 1977 году Хамел, Шейнберг, Зальцман [3] вариационным методом получили оценку для |а3|. Позднее Браун [13], Делин Тан [42], Эрмерс[8] и другие доказали, что тах|а4| = -. Во всех этих работах было значительное использование компьютерных вычислений. Оценку для пятого коэффициента получил Самарис [39]. Кроме того, тривиальная оценка |в„| <, \,п = 1,2,... была улучшена Хоровицем [7] 1 "' Ъп я 12 и в [8] получено незначительное улучшение этой оценки \а„\ й- + -sin— = 0.9991... 1 "' 5 п 20 2 Но обе эти оценки довольно далеки от - = 0.75... 5 Поскольку класс В инвариантен относительно вращения, можно ограничить рассмотрение такими функциями/из класса В, для которых ao=f(0)>0. Ввиду неравенства о < а0 й 1, можно положить а0 = е~', где 0 < / < «>. Класс функций /є В, для которых а0 = е~\обозначим через Вф.Ясно, что всякую функцию класса B(t) можно представить в виде /(г) = е~*(1), где p(z) функция класса Каратеодори Р, то есть таких аналитических в D функций /?(z) = l + />,z + .„, которые удовлетворяют условию Rep(z) > О, Z Є D . Существует аналитическая в D функция Напомним, что функция/^ называется подчиненной в D функции F(z), f(z) < F(z), если она может быть представлена в D в форме f(z)=F(co(z)), где*у(г) любая функция, удовлетворяющая условиям леммы Шварца [9]. Формулу (1) можно записать следующим образом В статьях [3], [4] техника метода подчинения была применена к классу В. Основным средством метода подчинения является теорема Рогозинского [10] и теорема Каратеодори [11]. В [4] с помощью метода подчинения получаются оценки для |a,J и \а2\ [a, I <2/<Г'для всех 12:0 и , . Г2/е"',01 ' 1(2/2-2/К\/>2% 2 Отсюда видно, что к < -. Применение метода подчинения позволяет также получить асимптотические оценки для |а„|при /, близких к 0, или при достаточно больших /. Обозначим В [4] приведены следующие теоремы. Теорема А Пусть п>0 фиксированное целое. Тогда существует число т(п) < 1 такое, что для любой функции/ є В, для которой \а0\ > т{п), имеем \а„\ 4» г&е Ы = е~'> \ітт(гі) = \. Теорема В Пусть п>1 фиксированное целое. Тогда существует число М(п)>0 такое, что для любой функции/ є В, для которой \а0\ <, М(п), имеем \а„\ <, 4,, где \а0\ = е~', ИтМ(л) = 0. Я-»«о Поскольку класс В тесно связан с классом Р, то в классе В имеется интегральное представление для функций этого класса. Используя это интегральное представление авторы работы [3] привели дифференциальное 7 уравнение типа Левнера для класса B(t). С помощью этого уравнения в той же работе были получены оценки для |e,|f|e3|. Но попытка применить теорию Левнера к задаче об оценке коэффициентов приводит к очень сложным вычислениям для п > 3. Однако для л=3 может быть применен вариационный метод. К сожалению, вычисления для п 4 становятся тоже весьма сложными. В [3] приведен также следующий результат. Теорема С (zn-\\ Для любого п 1 функция Fx (2") = exd —— доставляет строгий локальный максимум для Кеаасреди всех функций / є В, удовлетворяющих условию /(0) > 0. В этой же работе поставлены некоторые задачи о возможном расширении гипотезы Кшижа, а также задачи об оценке коэффициентов в некоторых подклассах класса В. В подклассе Bs однолистных функций авторы [3] доказали результат. Теорема D Пусть f(z) = а„2я принадлежит классу Bs. Тогда |а,| < 12 - 8^2. Оценка точна и реализуется функцией g(z), отображающей D на единичной круг с разрезом вдоль (-1,0], для которой g(0)« л/2-1. В дальнейшем Прохоров, Шинал [12] получили оценку в Bs для второго коэффициента методом оптимизации: 8^(1-^Х1-у-^) = 0455381 2l (\ + d У где d* = 0.1414... корень уравнения d4 + 4d3 + 6d2 -Sd+l = Q. Оценка точна и достигается для функции /(г) = л/(1 + ^)2-2(1-6^Чс/,2)г-КИ-^)У-(1-^Х1-г) /(1 + <Ґ)2 - 2(1 - 6d* + d'2)z + (1 + d'fz2 + (1 - d'Xl - z)' отображающей единичный круг на круг с радиальным разрезом вдоль (-1,0]. Авторы статьи [3] поставили также задачу об оценке в классе B(hF) функций класса В, принадлежащих также классу Харди Pt l^p^co. Ясно, что В = (#"). Было высказано предположение, что max \а„\ = 1 - Г, где - + - = 1, и максимум достигается для функции Некоторые результаты в этом подклассе были получены Брауном [13] и Раджгопалом [14]. Было предложено также рассматривать класс ограниченных функций, не принимающих некоторого значениям > 0. Самарис [15] нашел оценки в этом классе для 1^1,1^1,1^1, зависящие от а. В общем случае гипотеза Кшижа представляет собой очень сложную задачу. Фактически задача об оценке коэффициентов в классе В эквивалентна задаче об оценке нелинейного функционала, зависящего от коэффициентов plt р2,... ,р„ в классе Каратеодори. Для иллюстрации сложности задачи об оценке коэффициентов приведем результат для одного подкласса. В [16] рассматривается подкласс В0(п)сВ, порождаемый классом Р(п) с Рсо свойствамир2~Рз~- ^рп.і~0. Справедлива следующая теорема. Теорема Е Пусть п=3,4,... данное целое и предположим, что Az) = e-'+f>,z*e0("). (а)Если \рх\<\ и к = л/l-|а|2» то имеем: \a„\Zte-'{ (\-кГ>-(1-кГ*+2ку-к2У ,=/-» (1 + *)»-(1-*Г U *> п\* , 1 + --—, t<^{n-\)\ п п\ 1 + -, / = »-^(/i-l)! 1 + ' Г>-^(Л_1)!. (с) Если 1< w*Hi] cos(p = j—r, sin (р = г— Ар -1, то имеем cos*V я! sin(w + \)<р + sin ф 1 t cospsmwp sin(« + \) -sin^ cos 1 sin W 7 cos"^> w! t Используя эту теорему, Левандовский, Шинал доказывают оценку \а„\ <. - в классе В0(п) для п=3,4,... Также в работе [17] были получены точные оценки еще в одном подклассе В. Там рассматривался класс B0(n,k) а В, порождаемый классом P(n,k)cP, содержащим функции p(z) класса Каратеодори со свойствами Pi=P2=- =Ры=Рк+1=- =Рп-і=0. Для подкласса В0(п,к) гипотеза Кшижа также доказана. Важную роль в задаче об оценке коэффициентов играют функции F,(z), выступающие в роли канонических. Даже для этих функций доказательство гипотезы Кшижа очень сложно. Это связано со сложностью формулы для An(t), которые тесно связаны с многочленами Лагерра (см. [18]). Используя определение полиномов Лагерра порядка а: легко получаем, что F,(z) = ^2^(2/)2-, и таким образом, справедлива формула Д{/) = e-4{:l\2t\ п = 1,2 мо = е-. В [19] Батеман определил так называемые к-функции по формуле кп(х) = -fcos(xtg0-n0)d0, дг > 0, л = 0,1,2,... и заметил, что k2n(x) = (-\Te-'L?\2x). Для A„(t) имеется следующее интегральное представление 4.(0 = (-1)" - f cos(ttg0 - 2n0)d9, t>0,n = 1,2,.... тс3 Отсюда видно, что оценки для |ur„J и в частности для |Д,(/)| важны также и в области ортогональных многочленов. Коэпф и Шмерсау [20] были первыми, кто обнаружил связь между гипотезой Кшижа и k-функциями Батемана и доказали некоторые глубокие результаты, касающиеся этих функций и полиномов Лагерра [20]. 12 Из результатов Руни [21] с-'<>|і;Г><ф2~|І^, es-l. » = 1,2,..., видим, что 2 Конечно, константа Л/„ не наилучшая, но она меньше - для п > 5. Задача об оценке линейных функционалов является основной темой данной диссертации. Актуальность задачи иллюстрируется проблемой Ландау[22], который в классе ограниченных функций получил точную оценку для функционала |а, +а2 +...+а„|, эквивалентную оценке линейного функционала Кф(,+а2+...+ **„) Левандовский, Шинал [23] рассматривали проблему Ландау в классе В и получили, что і |a0+a,|^2e"2sl.21... la, + a. + а2\ е-'* (1 + 2/0 + —^ ) s 1.33... І о і 21 v о 2(2-/0) и t0 г 0.66... -корень уравнения -4/3 + 19г2-26/ + 10 = 0. Обе оценки точны. Перейдем теперь к разъяснению содержания и структуры диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, которые содержат семь 13 параграфов, и списка литературы. Нумерация формул и теорем производится по главам. В работе рассматриваются линейные непрерывные функционалы, определенные на линейном пространстве всех аналитических в единичном круге функций/ = ^anz* є В, следующего вида L(f) = Re(a„a„ + a„.xa„_x +... + ахах \ где ах,а2,...,«„_,-комплексныечисла,ан=\. Рассматривается задача о нахождении максимума L(f) в классе В и его подклассах. Как уже упоминалось, в [3] представлено дифференциальное уравнение для класса B(t). А именно, авторы работы [3] получили следующий результат. Всякую функцию /из всюду плотного подкласса класса B(t0) молено представить в eudef(z)=f(z,to), где/(г^)является интегралом дифференциального уравнения типа Левнера df(z,t) ,, Л + е-^п2 „ Л1 , ar ~/(*'l-e-«V f(z'^J'zeD' где и(г)-кусочно-непрерывная действительнозначная на [Ojo] функция, называемая управлением. В 1 получено обобщенное дифференциальное уравнение типа Левнера, представляющее класс B(t). Справедлива следующая теорема. Теорема 1.1 Всякую функцию /из всюду плотного подкласса класса B(to),tQ>0, можно 14 представить в виде f(z) = f(z,tQ), где f{z,t)является интегралом обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера ff^ = -f{z,t)Y Лк * * Є'УУ, /(г,0) = 1,гєДг^0, dt fa \-e'iUk(,)z ^...^„-действительные положительные числа, удовлетворяющие условиюу^Хк = 1, urft),...,ит(1)-непрерывные на [Q,to] действительнозначные функции. Следует отметить, что теорема 1.1 не следует из предыдущей теоремы, так как представляет другой всюду плотный подкласс B(t). В 2 показывается, что задачу о максимуме линейного функционала L(f) можно свести к изучению семейства гамильтоновых систем, получающихся из обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера. А также доказывается следующая теорема. Теорема 1.2 В задаче оптимального управления о максимуме функционала вида L(f), где функция/удовлетворяет обобщенному дифференциальному уравнению типа Левнера, существуют постоянные неотрицательные оптимальные управления Ху,...,Хш, ]Гя4 = \,с т <. п и постоянные оптимальные управления щ,...,ип є [0,2я-). В 3 получен общий вид коэффициентов а» для экстремальной функции функционала L(f). 15 Теорема 1.3 Если f(z,t) = ]а4(0** доставляет экстремум функционалу L(f) в классе B(t),f>0, то ak(t), k 1, являются интегралами системы дифференциальных уравнений, получающихся из обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера и справедлива формула ak(t) = e 1-І ^-* ^ ГУ I /У t a,j,+...+a,j,.k где а, аг-целые неотрицательные числа, с, = с/*,,...,!/,, д ,...,яш)= v"m. р > іЛ 4.*о,а»«і, щ,...,ит доставляют максимум функции Гамильтона, тп. Применение этой формулы позволило получить асимптотические оценки для функционалов Z,$ при /, близких к 0, и при достаточно больших /. Положим щ % k = 1,.„>и> Bk =(costt*,sinu,...,cos(n-l)M",sin(M-l)wJ), к = 1,.„,я. В 4 доказаны следующие теоремы. Теорема 1.4 Векторы Bh-BHtk = 1,...,«-1, линейно независимы. Теорема 1.5 Функция, доставляющая максимум Rea_ в классе B(t) для достаточно малых t>0, является интегралом обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера с т=п, положительными постоянными Л,,...,Л„ и различными ult...,u„ е[о,2я-). Теорема 1.6 Множество точек начальных значений сопряженного вектора | = (,,..., ,,.,,1) = ц/(0\ для которых функция Гамильтона при t-О имеет п точек максимума на [о,2;г), является гладкой поверхностью вещественной размерности п-1 в окрестности точки = (0,...,0,1). Теорема 1.7 Пусть в задаче оптимального управления о максимуме функционала вида Ьф, где функция /удовлетворяет обобщенному дифференциальному уравнению типа Левнера, а, =... = а„_, = 0, у(0) = . Тогда управления щ = и*у...,ин = ин удовлетворяют принципу максимума Понтрягина, а вектор у/ удовлетворяет условиям трансверсальности при Л, =... = Л„ = —. Теорема 1.8 Для всякого п > 1 существует tn > 0 такое, что для всех t є [о,/,] max Rear,, =U,(/)|. Следствие 1.9 Пусть векторы a = (a,,...,«„_,,1) из окрестности точки (0,...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда разным векторам а соответствуют различные 17 экстремальные функции задачи о максимуме функционала вида L в классе B(t) при достаточно малых f>0. Теорема 1.10 Для всякого п > 1 существует Тп>0 такое, что для всех t > Тп maxRefiL = UL(0l- Следствие 1.11 Пусть векторы а - (а,,...,«„_,,1) из окрестности точки (0, ...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда в задаче о максимуме функционала вида L им соответствует экстремальная функция F,(z) в классе B(t) при достаточно больших t>0. Теоремы 1.8 и 1.10 и следствия 1.9,1.11 являются основными результатами данной диссертации. Эти теоремы и их следствия показывают, что асимптотические оценки при t, близких к 0, и при достаточно больших / имеют различную природу. При t, близких к 0, только один функционал вида L(f), а именно функционал L$=Rea„ имеет экстремальную функцию F/sP). При достаточно больших t любой функционал вида Ьфс вектором a = (a,,...,a„_i,l)ro окрестности точки (0, ...,0,1) имеет экстремальной функцией Ft(z). Поскольку канонические функции Ft(J) играют большую роль в задаче об оценке коэффициентов в классе В, интересно изучить вопрос о том, при каких условиях эти функции дают локальный максимум при фиксированном />0. Эта задача изучается в главе 2. 18 Пусть функции^ соответствуют следующие управления и параметры Лк: Щ = Щ ,...,Um = Um, 4 = 4 ,...,4,, = Лт. Обозначим (и0,Л) = (и?,...,и0тЛ,...,Лт). Поскольку функция^ удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Левнера, то коэффициенты этой функции будут удовлетворять формуле теоремы 1.3. Подставляя эти формулы в выражение для L(f)t получим функцию L(u,X\ и = («!,...,«„,), Л = (4,...,4.). Точку fo называем критической точкой функционала L(f), если дЦи\л0)^ = ациУ) = 0 дих '" дит дци,л)_ = ац«Ля) = о 4 ^*-i В 5 вводится многообразие А4^ таких векторов («„...,«„_,), для которых при фиксированном />0, функция Ft(^) будет являться критической точкой для функционала Ц/) = Re(a„ + ar,,_, В теореме 2.1 определена размерность многообразия Mk(t). Теорема 2.1 Множество Mk(t),\<кйп-^является гладким действительным многообразием размерности 2п-2к-1. Множество M„(t) совпадает с точкой (0, ... ,0). Также в 5 выписаны системы уравнений для #„...,<*„_, из многообразий M„.i(t) и Mn.2(t). 19 В 6 изучаются достаточные условия локального максимума для функции F,(z"). В 7 рассматривается случай л=2, 3,4, в котором задача о локальном максимуме для функций Ft(z") и F/z) решена до конца. Справедливы теоремы. Теорема 2.2 (a) Для функционала L2(f)=Rea2 функция F/z2) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2); (b) Для функционала Ьзф-Яеаз функция Ft(z3) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,г3)), где /3) s 1.91436... -наименьший корень уравнения 200,--364^ 81 9 (c) Для функционала L4(f)=Rea4 функция F/z4) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2). Теорема 2.3 (а) Для функционала L2(fl=Rea2 функция F,(z) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала (1,а>); (Ь)Для функционала L3(0=Rea3 функция Ft(z) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервалов 3->/їП Гз+Тз (с) Для функционала L4(f)=Rea4 функция Ft(z) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервалов(і14\і124)) и 20 (44),оо), где /t(4) = 0.46791l...,/<4) sl.6527...,/<4) s 3.87939... корни уравнения 2/3-12/2+18/-6 = 0. Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [25] - [28], [43]. Они докладывались на Саратовской зимней школе (2002 г.), конференциях Саратовского государственного университета (2002,2003г.), на семинаре по теории аналитических функций в университете Марии Кюри-Склодовской, Люблин, Польша, 2002 г (руководитель профессор Шинал) и на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного в Саратовском государственном университете (руководитель профессор Прохоров Д. В.). Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект №01-01 -00123. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Дмитрию Валентиновичу Прохорову. Пусть f(z,t) имеет разложение и является решением дифференциального уравнения (1.1). Из уравнения (1.1) получаем дифференциальных уравнений для в0(0.ві(0»-»«,,(0 Обозначим через Gi(t,a,u),...,G„(t,a,u) соответственно правые части дифференциальных уравнений для aj(t),...,a„(t) системы (1.5), где Положим Будем рассматривать линейные непрерывные функционалы, определенные на линейном пространстве всех аналитических в D функций f{z) = ]T 2r„z", вида и-0 «,,...,«„_,-комплексные числа, ап = I. Для нахождения максимума функционала L(f) в классе Я(/0) используем методы вариационного исчисления в форме принципа максимума Понтрягина [31]. Уравнения системы (1.5) для в1 ( ),..., ,,(/) запишем в комплексной векторной форме Теперь уравнение (1.6) можно записать в действительной векторной форме Согласно формальной схеме оптимизации необходимо ввести множители Лагранжа фк, к = 0,...,2w, которые образуют сопряженный действительнозначный (2я+1)-мерный вектор Представим задачу о нахождении максимума функционала L(f) на множестве решений/ , t) уравнения (1.2), или эквивалентную ей задачу о минимуме функционала {-L(f)) в интегральной форме Приведем необходимые условия оптимальности управления и и соответствующей траектории в экстремальной задаче (1.8) в виде принципа максимума Понтрягина [ 31, с. 79-80]. еорема F Для того чтобы допустимое управление u(t), 0 / /0 , и соответствующая ей траектория x(t) давали решение задачи о нахождении минимума функционала (-L(f)) (1.8), где фазовый вектор x=x(t) удовлетворяет системе уравнений (1.7), с закрепленным левым концом х и свободным правым концом (момент времени to задан), необходимо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции g (t) = ((pQ(t0), px(t0),..., p2n{t0)), соответствующей функциям u(t) и x(t) и удовлетворяющей уравнению и рассмотрим сопряженный вектор Функцию Гамильтона можно записать в комплексной форме Для произвольного фиксированного управления и и для соответствующего фазового векторах, координаты plt..., p2n векторной функции р должны удовлетворять сопряженной гамильтоновои системе Тогда представим сопряженную гамильтонову систему в комплексной форме Так как координаты вектора G(t,a,u) - аналитические функции по координатам вектора х, то используя условия Коши-Римана для функции G, сопряженную систему Гамильтона можно записать в виде Таким образом, вектор ц/ удовлетворяет сопряженной гамилътоновой системе или в координатной форме Условие трансверсальности для вектора р на правом конце /0 имеет вид Следовательно, вектор у/ будет удовлетворять условию Для любых возможных (/,а,й функция Гамильтона H(t,a,y),u) является аналитической и 2 л--периодической по и. Обозначим через U\t,a,iJ/) множество absma.xH(t,a,y/,u) точек абсолютного и максимума функции Гамильтона. Покажем, что все экстремальные функции/для функционала Ьфъ классе B(t0) имеют вид f(z)=f(z,t0) у Tjmf(z,t) является интегралом обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера (1.2) с постоянными управлениямиuj,...,ит, т ,п. Из уравнения (1.2) получаем систему дифференциальных уравнений у В задаче оптимального управления (1.8), (1.12) существуют постоянные т v неотрицательные оптимальные управления Д,,...,Ят, Хк=\,с т ,п и постоянные оптимальные управления их,...,ит є [0,2л-). Доказательство: В силу связи класса B(t), t 0, с классом Р и описанием множества граничных значений для аналитических функционалов в классе Р [24, с. 124] экстремальная функция / є B(t) задачи (1.8) существует и содержится во множестве функций Каждая функция/ заданная формулой (1.13), является значением при / = t0 интеграла дифференциального уравнения (1.2) с постоянными Л,,...,Лт ми,,...,мт. Дифференциальное уравнение (1.2) взаимно однозначно связано с системой (1.12). Следовательно, некоторый набор постоянных Я,,..., ии1,...,ит является оптимальным управляющим вектором в задаче (1.8), (1.12). Осталось показать, что т п. Предположим, что т=п+1. Тогда найдется набор положительных постоянных y...,A„+l, Лк = 1, и различных постоянных «,,...,«я+, є [0,2л-), удовлетворяющих необходимому условию максимума в задаче (1.8). В частности, для каждого / є [о,/0] точки и1У...,ин+1 являются точками максимума функции Гамильтона (1.9).Условие уп = е обеспечивает невырожденность функции Гамильтона, которая представляет собой тригонометрический многочлен точной степени п. Поэтому функция Гамильтона может иметь не более п точек максимума на [о,2;г). Полученное противоречие заканчивает доказательство теоремы 1.2. Теорема доказана. Поскольку max L{f) = L(f{z,tQ)), то интеграл./fot) удовлетворяет необходи мым условиям максимума Ьф , в частности принципу максимума Понтрягина. Значит, постоянные управления и і, ...,ит доставляют максимум функции Гамильтона H(t,a,yi,u). Задача о нахождении максимума функционала Ьф в классе B(t) равносильна задаче нахождения максимума на классе решений обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера. Таким образом, показали, что для нахождения максимума функционала Ьф в классе B(to) достаточно исследовать семейство гамильтоновых систем, которые получаются из обобщенного дифференциального уравнения (1.2) где тип, А = (А,,..., AJ -произвольный постоянный вектор с положительными координатами, А = 1, и є U (t,aty/\ 0 и, ... wm 2я-. Вектор начальных данных сопряженной системы = („...,,) зависит от условий трансверсальности (1.11). Доказательство: Проверка утверждений теоремы осуществляется непосредственно. Действительно, при условиях теоремы 1.7, правые части систем (1.12) и (1.23) обращаются в 0, поэтому векторы а(/)и y/(t) остаются постоянными, как и функция Гамильтона H{t,a,if/tu) = -Icosnu,t 0. Теорема доказана Теорема 1.8 Для всякого п I существует /„ 0 такое, что для всех / = [o,/„] Доказательство: Пусть /„ 0. Обозначим 4-І и рассмотрим отображение где ц пробегает точки из окрестности Ор точки 0=(0,...,0), пробегает точки из окрестности О- точки , принадлежащие поверхности I, а (/) является интегралом системы дифференциальных уравнений (1.23) с т=п, в которой точки «,,...,«„ удовлетворяют принципу максимума Понтрягина в момент =0 для функции Гамильтона (1.9) с фазовыми значениями а, заданными системой (1.12). Заметим, что (0,) = й „) = (0 0,1) и точка (0, ) согласно (1.2) соответствует функции Fu (z"). Найдем частную производную QM: Поскольку Таким образом, строчки матрицы QM с точностью до о(1) и знаков нечетных координат состоят из векторов 2(Вк -Вп),к = 1,...,л-1, которые линейно независимы по теореме 1.4. Перейдем к вычислению частной производной Q которая является матрицей со строчками, содержащими частные производные координат вектора \j/(tn) по свободным координатам вектора . Так как ц/(0) = , то при f=0 прямоугольная матрица Q-4 размерности (л -1) х (2л - 2) содержит единичную матрицу размерности (и-1)х(л-1) с номерами столбцов У„...,уи_,. Следовательно, строчки матрицы Q- линейно независимы при /=0, а значит, и при достаточно малых / 0. Наконец, условие скользящего режима требует выполнения равенств или с использованием формулы (1.9) Продифференцируем это равенство по свободным координатам 77 ,...,77 , вектора 1 и в результате получим равенства, означающие, что все векторы Bi -В„,...,В„_Х -В„ ортогональны каждой из строчек матрицы Q-( при t=Q. Вместе они образуют обратимую квадратную матрицу размерности (2л - 2) х (2л - 2). Полная производная Q отображения Q является квадратной матрицей, которая образуется соединением прямоугольных матриц Q0 и Q , и эта квадратная матрица обратима при достаточно малых / 0. По теореме об обратной функции отображение Q обратимо и осуществляет взаимно однозначное отображение окрестности Ом х О- точки (0,) на окрестность Се точки ?(0,) = (0 0,1). Как следует из доказательства теоремы об обратной функции, основанной на принципе Банаха о неподвижной точке сжатого отображения (см., например, [38, с. 231-234]), радиус окрестности О не меньше, чем величина которая не уменьшается с уменьшением /„, а окрестность 0„ х О- определяется неравенством где Е - единичная матрица. Уменьшая /„, добьемся, чтобы согласно (1.24) Й0 є Ov 0 г ; /„, Q(0 0{) с 0-и окрестность 0„ была такова, чтобы соответствующая ей окрестность точки Л в пространстве векторов Л содержала симплекс 5". При этих условиях точке i//(tя) = (0,...,0,1), отвечающей условиям трансверсальности (1.11), соответствует единственная точка (0,), описанная в теореме 1.7. Значит, в классе B(tn)одна только функция / (z") удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в задаче (1.8), (1.12), что заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.9 Пусть векторы a = (aly...,an_Xi\)из окрестности точки (0,...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда разным векторам а соответствуют различные экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) при достаточно малых t 0. Доказательство: Вектор а определяет условия трансверсальности (1.11), которым отображение Q устанавливает взаимно однозначное локальное соответствие с » вектором (Я, ), f є 2, однозначно задающим экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) . Следствие доказано. Теорема 1.10 Доказательство: Сначала сравним фазовую и сопряженную системы (1.5) и (1.10) или их обобщения (1.12) и (1.23) в скользящем режиме с условиями трансверсальности (1.11) при поиске максимума Rea„ в классе (/ ,). Сравнение показывает симметрию фазовой и сопряженной систем с обратной нумерацией координат и умножением на (-1). Одновременно начальные условия в (1.5) или (1.10) заменяются на аналогичные условия на правом конце отрезка [о,/0] в (1.12) или (1.23), что соответствует изменению направления отсчета параметра / и смене знака производных. Таким образом, Значение функции Гамильтона (1.9) в начальный момент принимает вид При достаточно больших t функция Гамильтона (1.9) в начальный момент как функция переменного и имеет ровно одну точку максимума на [о,2яг), что соответствует дифференциальному уравнению типа Левнера (1.2) с т=1, интегралом которого является вращение канонической функции F,{z) и заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.11 Пусть векторы a = (or,,.„,а„_,,1) из окрестности точки (0, ...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда в задаче (1.8) им соответствует экстремальная функция F,(z) в классе B(t) при достаточно больших t 0. Доказательство: При замене функционала Rea„ на близкие функционалы L при достаточно больших / характер функции Гамильтона в начальный момент сохраняется: она по - прежнему имеет ровно одну точку максимума по переменной и на [0,2л-), что соответствует вращениям функции F,(z)KaK экстремальным функциям задачи (1.8) в классе B(t) и заканчивает доказательство следствия. Следствие доказано. Рассмотрим сначала случай, когда /г-четное. В этом случае формула для an(t) имеет следующий вид Вычислим производные первого порядка для функционала L(f) = Ци,Я) = Rea„ Теперь вычислим все частные производные второго порядка в точке (м, Л), где Эта же формула верна и в случае k=j, так как в этом случае будет появляться слагаемое Re(- 2Ппеш"к уг , которое обращается в точке (ІЛЛ)В нуль. Эта формула верна для любых значений k,j. Таким образом, дифференциал второго порядка d2L{u,X) можно записать в виде 2) Рассмотрим теперь случай нечетного п. В этом случае формула для a„(t) имеет следующий вид Вычислим частные производные первого порядка для функционала (a) Для функционала Ьгф=Яеа2 функция Ft(7?) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2). (b) Для функционала Ьзф=Яеаз функция Ft(z3) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [о,/3)),гдв г0} = 1.91436... -наименьший корень уравнения (с) Для функционала L4(f)=Rea4 функция F,(z4) доставляет локальный максимум в классе B(t) при любом фиксированном t из интервала [0,2). Доказательство: (а) В случае п=2 формула для a„(t) имеет вид С помощью формулы (2.11) вычислим производные второго порядка для функционала L2(f) = L2(u,A) в точке (и,Л),где отрицательной определенности згой квадратичной формы воспользуемся критерием Сильвестра [32]. Квадратичная форма d2L2(u,A) является отрицательно определенной, если выполняются условия Это равносильно неравенству t 2. Таким образом, функция F/z2) доставляет локальный максимум на классе B(t), t 2, функционалу Ьгф при фиксированном t из интервала [0,2). (Ь) В случае п=3 формула для an(t) имеет вид С помощью формулы (2.12) вычислим производные второго порядка для функционала L3(f) = L3(u,A) в точке (и,Л?), где і(-/ 3(е- 2"-е" 3 ) e = Квадратичная форма d2L3(u,A) является отрицательно определенной, если выполняются условия Следовательно, справедливы следующие неравенства Многочлены в правых частях неравенств (2.13) имеют соответственно следующие действительные корни, отличные от нуля, Таким образом, неравенства (2.13) справедливы, если 0 / / 3), где Пользуясь формулой (2.11), вычислим все производные второго порядка функ ционала LA{f) = LA{u,X) в точке (и ,/Г), где21 2 о —r-St Многочлены в левых частях последних неравенств имеют соответственно следующие действительные корни Окончательно получаем, что квадратичная форма d2L4(u,A) будет отрицательно определенной, если 0 t 2. Теорема доказана. Теорема 2.3 (a) Для функционала L2(f)=Rea2 функция Ft(z) доставляет локальный максимум в кпассеВ(і) при любом фиксированном t из интервала (l,); (b) Для функционала L3(f)=Rea3 функция Ft(z) доставляет локальный максимум в wiacceB(t) при любом фиксированном t из интервалов и З-л/зЛ Гз + л/3 .00 ) Ч 2 , (с) Для функционала L4(f)=Rea4 функция F,(z) доставляет локальный максимум в классеВ(і) при любом фиксированном t из интервалов ,/24))и (44),). где Функции Ft(z) в уравнении типа Левнера соответствует управление и0 = я-. Функционалы 1 ,к=2,3,4 запишутся в виде функция Ft(z) будет доставлять локальный максимум функционалу Lk(f) в классе B(t) при фиксированном /, есшА 0. Это условие соответственно равносильно : (a) 2 -2 0; (b)4t2-12t+6 0; (c)2t3-12t2+18t-6 0. Отсюда получаем утверждение теоремы. Теорема доказана. Список литературы 1. Levin V., Aufgabe 163, Jber. Deutsch. Math.-Verein. 43 (1933),113; Losung, ibid. 44(1934), 80-83 (solutions by W. Fenchel and E. Reissner). 2. Shapiro H. S., Problem 4468, Amer. Math. Monthly 59 (1952), 45; solution (by M. S. Robertson) ibid. 60 (1953), 131-132. 3. Hummel J. A., Scheinberg S., Zalcman L. A coefficient problem for bounded nonvanishing functions // J. Analyse Math. - 1977. - vol. 31.- p. 169-190. 4. Peretz R. Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishingfunctions //Complex Variables. - 1992. - vol. 17.- p. 213-222. 5. Krzyz J. Coefficient problem for bounded nonvanishingfunctions // Ann. Polon. Math. -1968. - vol. 70.- p. 314. 6. Peretz R. The Krzyz problem and polynomials with zeros on the unit circle// Computational Methods and Function Theory 2001: Abstracts of the Fourth CMFT Conference, Aveiro (Portugal), June 25-29, 2001.- p. 75. 7. Horowitz C. Coefficients of nonvanishing functions inH // Israel J. Math. — 1978.-vol. 30.-p. 285-291. 8. Enners R. Coefficient estimates for boundednonvanishing functions // Wibro Dissertatiedrukkerij, Helmond, 1990. 9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, т.1. M.: Наука, 1967. -488 с. По теореме об обратной функции отображение Q обратимо и осуществляет взаимно однозначное отображение окрестности Ом х О- точки (0,) на окрестность Се точки ?(0,) = (0 0,1). Как следует из доказательства теоремы об обратной функции, основанной на принципе Банаха о неподвижной точке сжатого отображения (см., например, [38, с. 231-234]), радиус окрестности О не меньше, чем величина которая не уменьшается с уменьшением /„, а окрестность 0„ х О- определяется неравенством где Е - единичная матрица. Уменьшая /„, добьемся, чтобы согласно (1.24) Й0 є Ov 0 г ; /„, Q(0 0{) с 0-и окрестность 0„ была такова, чтобы соответствующая ей окрестность точки Л в пространстве векторов Л содержала симплекс 5". При этих условиях точке i//(tя) = (0,...,0,1), отвечающей условиям трансверсальности (1.11), соответствует единственная точка (0,), описанная в теореме 1.7. Значит, в классе B(tn)одна только функция / (z") удовлетворяет необходимым условиям оптимальности в задаче (1.8), (1.12), что заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.9 Пусть векторы a = (aly...,an_Xi\)из окрестности точки (0,...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда разным векторам а соответствуют различные экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) при достаточно малых t 0. Доказательство: Вектор а определяет условия трансверсальности (1.11), которым отображение Q устанавливает взаимно однозначное локальное соответствие с » вектором (Я, ), f є 2, однозначно задающим экстремальные функции задачи (1.8) в классе B(t) . Следствие доказано. Теорема 1.10 Доказательство: Сначала сравним фазовую и сопряженную системы (1.5) и (1.10) или их обобщения (1.12) и (1.23) в скользящем режиме с условиями трансверсальности (1.11) при поиске максимума Rea„ в классе (/ ,). Сравнение показывает симметрию фазовой и сопряженной систем с обратной нумерацией координат и умножением на (-1). Одновременно начальные условия в (1.5) или (1.10) заменяются на аналогичные условия на правом конце отрезка [о,/0] в (1.12) или (1.23), что соответствует изменению направления отсчета параметра / и смене знака производных. Таким образом, Значение функции Гамильтона (1.9) в начальный момент принимает вид При достаточно больших t функция Гамильтона (1.9) в начальный момент как функция переменного и имеет ровно одну точку максимума на [о,2яг), что соответствует дифференциальному уравнению типа Левнера (1.2) с т=1, интегралом которого является вращение канонической функции F,{z) и заканчивает доказательство теоремы. Теорема доказана. Следствие 1.11 Пусть векторы a = (or,,.„,а„_,,1) из окрестности точки (0, ...,0,1) задают функционалы вида L. Тогда в задаче (1.8) им соответствует экстремальная функция F,(z) в классе B(t) при достаточно больших t 0. Доказательство: При замене функционала Rea„ на близкие функционалы L при достаточно больших / характер функции Гамильтона в начальный момент сохраняется: она по - прежнему имеет ровно одну точку максимума по переменной и на [0,2л-), что соответствует вращениям функции F,(z)KaK экстремальным функциям задачи (1.8) в классе B(t) и заканчивает доказательство следствия. Следствие доказано. неотрицательные оптимальные управления Д,,...,Ят, Хк=\,с т ,п и постоянные оптимальные управления их,...,ит є [0,2л-). Доказательство: В силу связи класса B(t), t 0, с классом Р и описанием множества граничных значений для аналитических функционалов в классе Р [24, с. 124] экстремальная функция / є B(t) задачи (1.8) существует и содержится во множестве функций Каждая функция/ заданная формулой (1.13), является значением при / = t0 интеграла дифференциального уравнения (1.2) с постоянными Л,,...,Лт ми,,...,мт. Дифференциальное уравнение (1.2) взаимно однозначно связано с системой (1.12). Следовательно, некоторый набор постоянных Я,,..., ии1,...,ит является оптимальным управляющим вектором в задаче (1.8), (1.12). Осталось показать, что т п. Предположим, что т=п+1. Тогда найдется набор положительных постоянных y...,A„+l, Лк = 1, и различных постоянных «,,...,«я+, є [0,2л-), удовлетворяющих необходимому условию максимума в задаче (1.8). В частности, для каждого / є [о,/0] точки и1У...,ин+1 являются точками максимума функции Гамильтона (1.9).Условие уп = е обеспечивает невырожденность функции Гамильтона, которая представляет собой тригонометрический многочлен точной степени п. Поэтому функция Гамильтона может иметь не более п точек максимума на [о,2;г). Полученное противоречие заканчивает доказательство теоремы 1.2. Теорема доказана. Поскольку max L{f) = L(f{z,tQ)), то интеграл./fot) удовлетворяет необходи мым условиям максимума Ьф , в частности принципу максимума Понтрягина. Значит, постоянные управления и і, ...,ит доставляют максимум функции Гамильтона H(t,a,yi,u). Задача о нахождении максимума функционала Ьф в классе B(t) равносильна задаче нахождения максимума на классе решений обобщенного дифференциального уравнения типа Левнера. Таким образом, показали, что для нахождения максимума функционалаФормализация экстремальных задач в классе В
Асимптотические оценки линейных функционалов
Достаточные условия локального экстремума для канонических функций
Достаточные условия локального максимума для канонических функций в случае п=2,3,4
Похожие диссертации на Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения
