Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению месторасположения точек среднего значения непрерывных функций в теоремах о среднем значении. Наиболее четко постановка такой задачи проявилась в связи с теоремами Лагранжа, Коти и представлением ряда Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Другой тип таких теорем - интегральные теоремы о среднем значении. Основным ис-точмкг^м интереса, і: іі^оїі ими дослужил* «« гиноточн Ь.К.Иснкла, доказательству которых носиящелы работы [1] и [3]. Анализ этих доказательств привел к достаточно общей постановке задачи, в которой все конструкции стали более наглядными и компактными. Рассматриваемые в диссертации задачи могут быть отнесены к теории дифференциальных и интегральных неравенств с отклоняющимся аргументом. Первая гипотеза В.К.Ионина выглядела следующим образом: Для произвольной непрерывной на отрезке [0,1] функции / выполняется неравенство
Ш^ > е-\
х-*0 X
где (ж) определяется как максимальное из чисел г Є [0, ж], для которых выполняется равенство
jf(t)dt = xf(r). о
Истинность этой гипотезы была показана в [і]. В результате развития идей этой статьи появилась работа [2]. Главным результатом проделанной работы является доказательство нетривиального асимптотического поведения точек среднего значения. Представленные в диссертации результаты убедительно свидетельствуют в пользу дальнейшего изучения интегральных уравнений и неравенств с отклоняю щимся аргументом.
Цель работы. Целью данной работы является развитие метода пор-лучения асимптотических оценок поведения точек среднего значения в интегральных теоремах о среднем.
Общая методика исследования. В диссертационной работе используются методы теории функций вещественной и комплексной переменных. Основным методом являются теоремы сравнения решений интегральных неравенств и интегральных уравнений с отклоняющимся аргументом.
Научная новизна. Научная новизна работы заключается в получении принципиально новых точных оценок асимптотического поведения точек среднего значения.
Теоретическая ценность. Теоретическая ценность результатов диссертации заключается в применимости их к получению оценок в классических теоремах математического анализа, таких как теоремы Лагранжа и Тейлора, первая интегральная теорема о среднем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН под руководством академика Ю.Г.Решетняка, на семинаре лаборатории качественной теории дифференциальных уравнений ИМ СО РАН под руководством профессора Т.И.Зеленяка, на семинаре кафедры математического анализа Алтайского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I 3].
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 83 страницах и состоит из введения, восьми параграфов и списка литературы. Библиография включает 9 наименований.
