Содержание к диссертации
Введение
1 Оценки сложности замкнутых многообразий 27
1.1 Известные и новые оценки сложности 27
1.2 Тэта-кривые на торе и простые относительные спайны . 45
1.3 Доказательство теоремы 1.1.11 55
1.4 Доказательство теоремы 1.1.12 59
1.5 Доказательство теоремы 1.1.13 62
1.6 Нижние оценки числа многообразий, обладающих геометриями 5*3 и Nil 70
2 Оценки сложности многообразий с краем 77
2.1 Многообразия Зейферта с краем 77
2.2 Торические узлы 86
2.3 Кружевные узлы с тремя нитями 95
3 Сложность гиперболических многообразий с краем 98
3.1 Гиперболические многообразия с краем, сложность которых известна 98
3.2 Семейство гиперболических многообразий М%к 100
3.3 Двусторонние оценки сложности многообразий Mdnk . Ill
3.4 є-инвариант 112
Оглавление 3
3.5 Точные значения сложности многообразий Mn1,k 116
3.6 Точные значения сложности многообразий Mn2,k 119
4 Сложность гиперболических многообразий с каспами 124
4.1 Обезвоженное описание 124
4.2 Многообразия, склеенные из не более чем девяти тетраэдров 131
4.3 Многообразия, склеенные из десяти тетраэдров 138
4.4 Сложность гиперболических многообразий с каспами 145
Заключение 147
Литература
- Тэта-кривые на торе и простые относительные спайны
- Торические узлы
- Семейство гиперболических многообразий М%к
- Многообразия, склеенные из не более чем девяти тетраэдров
Тэта-кривые на торе и простые относительные спайны
Следующий шаг был сделан Р. Фрижерио, Б. Мартелли и К. Пет-ронио [36]. При помощи компьютера они показали, что среди всех компактных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с геодезическим краем 150 многообразий имеют сложность 3 и 5002 многообразий имеют сложность 4.
Появление в начале 1990-х программного обеспечения для работы с узлами, зацеплениями и трехмерными многообразиями сделало возможным перечисление трехмерных гиперболических многообразий с каспами по числу идеальных тетраэдров в их минимальной триангуляции. Прежде всего, речь идет о компьютерной программе SnapPea [61]. С ее помощью в 1989 г. был составлен список многообразий с каспами, для построения которых достаточно пяти идеальных тетраэдров [44]. В 1999 г. был составлен список многообразий с каспами, для построения которых достаточно семи идеальных тетраэдров [25]. В 2010 г. был составлен список многообразий с каспами (он содержит 12846 многообразий), для построения которых достаточно восьми идеальных тетраэдров [56].
Из вышеизложенного видно, что точные значения сложности известны для большого, но конечного числа систематически перечисленных многообразий. В.В. Таркаев при помощи компьютерных вычислений показал, что известные верхние оценки сложности линзовых пространств [9], расслоений над окружностью со слоем тор и замкнутых многообразий Зейферта [48] точны для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12.
К настоящему моменту есть лишь несколько бесконечных серий многообразий, сложность которых известна. Точные значения сложности для бесконечого числа линзовых пространств и обобщенных пространств кватернионов получены В. Джейко, Х. Рубинштайном и С. Тиллманом в [40, 41]. Точные значения сложности для бесконечого числа ориентируемых гиперболических многообразий с геодезическим краем, имеющих специальные спайны с одной 2-компонентой, получены в [34]. Наконец, точные значения сложности накрытий дополнительного пространства узла восьмерка получены С. Анисовым в [22].
Цели и задачи. Целью диссертации является развитие теории сложности трехмерных многообразий. Диссертация посвящена решению следующих актуальных задач данной теории.
Задача 1. Построение верхних оценок сложности для бесконечных серий замкнутых граф-многообразий Вальдхаузена, точных для всех многообразий, сложность которых не превосходит 12. Граф-многообразия были введены и классифицированы Ф. Вальдхаузеном [59, 60]. Среди замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности 12 их более 90% [50]. Однако верхние оценки сложности, точные для всех многообразий сложности 12, были известны только для линзовых пространств [9] и для замкнутых многообразий Зейферта [48]. Поэтому задача нахождения таких точных оценок сложности для новых серий граф-многообразий весьма актуальна.
Задача 2. Нахождение точных значений сложности для бесконечного числа многообразий, в частности, для многообразий Паолюци – Циммермана [53] и гиперболических многообразий с каспами. Так как сложность является одним из важнейших инвариантов трехмерных многообразий, то эта задача также весьма актуальна. До получения результатов, представленных в диссертации, точные значения сложности для бесконечного числа неприводимых многообразий были известны только для линзовых пространств и обобщенных пространств кватернионов [40, 41], для многообразий с краем, имеющих специальные спайны с одной 2-компонентой [34, 35], для накрытий дополнительного пространства узла восьмерка [22] и для многообразий сложности 0 [16, 12].
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Они содержат решения соответствующих актуальных задач теории сложности трехмерных многообразий. Новыми являются и методы получения результатов, особенно метод нахождения точных значений сложности гиперболических многообразий с геодезическим краем.
Торические узлы
Склеим многообразия Nf х S1, iVf х $1 по гомеоморфизму ip : Т — Т", задаваемому матрицей А. Полученное многообразие обозначим через MQ. Зададим узор Го на крае многообразия MQ. Для этого мы введем понятие базовой тэта-кривой. Пусть Т — тор с фиксированной системой координат /І, Л. Тэта-кривая 9 на торе Т называется базовой, если кривые /І и Л изотопны кривым, содержащимся в 9. С точностью до изотопии существует ровно две базовые тэта-кривые: положительная и отрицательная. Базовую тэта-кривую будем называть положительной и обозначать #+, если ФМ;д(#+) = о . Аналогично, базовая тэта-кривая 9 называется отрицательной, если ФМ;д(# ) = а д. В качестве узора Го выберем объединение четырех положительных базовых тэта-кривых 9 С 7], 1 і 4, на крае многообразия MQ.
Для упрощения доказательства теоремы выделим наиболее существенные моменты в отдельные утверждения.
Доказательство. На каждом из граничных торов Т", Т" зададим узор, являющийся базовой тэта-кривой. Тип (положительный или отрицательный) базовых тэта-кривых в С Т", в" С Т" выбирается так, чтобы число d((p(6f)i в") было наименьшим из возможных. Из леммы 1.2.3 следует, что d((p(6 )i в") = тах( (А)—2,0). Нам осталось показать, что каждое из многообразий (Nf х S1,9 U Q\ U в ), (iVf x U U #") имеет простой относительный спайн с 3 внутренними истинными вершинами. Достаточно рассмотреть первое многообразие.
Напомним, что на каждом торе 7], 1 і 2, выбрана систе ма координат /ij,Aj, тогда как на торе Т выбрана система коорди нат //(А )-1, А . Если вернуться к первоначальной системе координат //, А тора Т", то пользуясь методом примера 3 можно построить два простых относительных спайна многообразия Nf х S1, которые инду цируют узоры на d(Nf х 5 1), состоящие либо из двух положительных и одной отрицательной, либо из одной положительной и двух отри цательных базовых тэта-кривых. Можно считать, что на торе Т эти спайны индуцируют отрицательные базовые тэта-кривые. Поэтому в системе координат //(А )-1, А на торе Т", эти же спайны индуцируют узоры на d(Nf х Sl), состоящие либо из трех положительных, либо из двух положительных и одной отрицательной базовых тэта-кривых 9+,9+,0 .
Предложение 1.3.2 ([70]). Пусть (М, Г) єТ,Т — компонента края дМ с фиксированной системой координат и Т П Г есть положительная базовая тэта-кривая наТ. Предположим, что многообразие (М, Г) имеет простой относительный спайн с v внутренними вершинами. Тогда многообразие (W, Д), получающееся заклейкой компоненты Т края дМ полноторием с параметрами (р, q), гдер 0, q Глава 1. Оценки сложности замкнутых многообразий 58 иА = Г\(ТПГ); имеет простой относительный спайн с S(p, q)—2+v внутренними вершинами.
Доказательство. Напомним, что многообразие (V,$v), рассмотренное в примере 1.2.1, имеет простой относительный спайн без внутренних вершин. Заметим, что ни одна из трех кривых, содержащихся в ву, не изотопна меридиану т полнотория V. С другой стороны, если к Qy применить флип-преобразование вдоль ребра, лежащего в т, мы получим тэта-кривую 9т С dV, которая содержит меридиан.
Обозначим через (/І, А) заданную условием предложения систему координат на Т. Среди всех гомеоморфизмов тора dV на тор Т, которые переводят меридиан т в кривую // А9, выберем такой гомеоморфизм (/?, что тэта-кривая (р(вт) будет ближайшей к тэта-кривой Т П Г среди всех тэта-кривых на торе Т, содержащих кривую fipXq. Поскольку V U M = W, то по лемме 1.2.4 многообразие (W, А) имеет простой относительный спайн с v + d((p(Qy) T П Г) внутренними вершинами. Нам осталось доказать, что d((p(Qy) T П Г) = S(p,q) — 2.
Напомним, что отображение ФМ;д сопоставляет каждой тэта-кривой тора Т треугольник триангуляции Фарея. Опишем треугольники, соответствующие тэта-кривым ТПГ, cp(Qy), (p(Qm). Так как ТПГ есть положительная базовая тэта-кривая на Т, то ей соответствует треугольник аЕ = с"(0/1,1/0,1/1). Из условия выбора гомеоморфизма ср следует, что Ч/ \((р(9т)) = a (p/q), где o (p/q) — ближайший к о д треугольник среди всех треугольников, имеющих вершину в точке p/q. Наконец, поскольку тэта-кривая Qy получается из тэта-кривой 9т одним флип-преобразованием и Qy не содержит меридиан т, то треугольник jy = Ф/Х;д((/?( у)) имеет общее ребро с треугольником cr(p/q), но точка p/q не является его вершиной.
Оценки сложности замкнутых многообразий 59 Теперь, переходя от тэта-кривых к соответствующим треугольникам и применяя лемму 1.2.2, мы имеем d((p(9y)} Т П Г) = d{(Jvi & Е) = d(a(p/q), сг ) - 1 = S(p, q) - 2. Доказательство теоремы 1.1.11. Последовательно применяя предложения 1.3.1 и 1.3.2 мы строим простой спайн многообразия М с тах{ (А) - 2,0} - 2 + \ S(pi, qi) внутренними истинными вершинами. Число вершин этого спайна и дает нам верхнюю оценку сложности многообразия М. Проведенный нами компьютерный эксперимент показал, что эта оценка точна для всех многообразий класса Л сложности 12. Доказательство теоремы 1.1.12
Для упрощения доказательства теоремы выделим наиболее существенные моменты в отдельные предложения.
Рассмотрим двухзвенную ломаную, ребра которой ориентированы от вершин валентности 1 к вершине валентности 2. Каждой вершине ломаной сопоставим многообразие Зейферта (Л 2, (1,-1)), а ребра пометим матрицами Аі,А2 Є G. Таким образом, мы имеем меченую молекулу, определяющую некоторое граф-многообразие М с краем.
Семейство гиперболических многообразий М%к
Преимущества построенных оценок сложности. В [50] описан способ построения почти простых спайнов дополнительных пространств зацеплений в сфере 5 3. Предположим, что зацепление L в пространстве М3 = 5 3 \ { } с координатами ж, у} z находится в общем положении по отношению к проекции пространства М3 на плоскость М2 с координатами ж, у. Мы будем использовать общепринятый способ задания зацепления L его проекцией L, разрывая ее в нижних двойных точках. Слова ниже и выше понимаются в смысле величины координаты z. Связные компоненты таким образом разорванной проекции называются переходами. Концы каждого перехода находятся в нижних двойных точках, и он может содержать несколько верхних двойных точек. Число этих верхних двойных точек называется степенью перехода. Мы можем посмотреть на зацепление снизу и разрезать его в верхних двойных точках. Тогда получатся проходы. Число нижних двойных точек на проходе называется степенью прохода. Переход и проход называются независимыми, если их множества двойных то Глава 2. Оценки сложности многообразий с краем 91 чек (включая концы) не пересекаются. Часто удобнее считать, что L лежит в сфере 5 3 = М3 U { }, а не в I3. Тогда проекция L зацепления L будет лежать в 52 = I2 U { }.
Предложение 2.2.1 ([50]). Пусть зацепление L С 5 3 задано такой проекцией L, что L имеет п двойных точек и независимые переход и проход степеней кит. Тогда сложность дополнительного пространства зацепления L не превосходит 4(п — т — к — 2).
Таким образом, для торических узлов теорема 2.2.1 дает более точную оценку сложности, чем предложение 2.2.1. Действительно, для больших значений чисел а и /3 верхняя оценка сложности из предложения 2.2.1 дает 0(af3), тогда как из теоремы 2.2.1 — О (а). Кроме того, из теоремы 2.2.1 мы получаем с(Е(3,2)) = 0 и с(Е(Ъ,2)) 1.
Также наши результаты превосходят верхние оценки сложности дополнительных пространств торических узлов, полученные в [27] при помощи кристаллизаций. Например, для (11,4)-торического узла соответствующие верхние оценки сложности равны 4 и 8.
Доказательство теоремы 2.2.1. Хорошо известно [23], что дополнительное пространство Еаф торического узла Т(а, /3) является многообразием Зейферта с базой диск и двумя особыми слоями.
Доказательство. Торический узел Т(а, /3) является регулярным слоем обобщенного расслоения Хопфа трехмерной сферы 5 3. Действительно, рассмотрим отображение F пространства М4 = С2 в риманову сферу
Ограничим отображение F на единичную сферу 5 3 в С2), получим отображение С U оо. Тогда полный прообраз /_1(1) является торическим узлом Т(а,/3), а его дополнительное пространство Еаф расслаивается на окружности вида f l(z) с двумя особыми слоями
Рассмотрим тор, являющийся краем регулярной трубчатой окрестности одного из особых слоев. На этом торе индекс пересечения края меридианального диска трубчатой окрестности со слоем равен /3, а индекс пересечения любой параллели тора со слоем равен — a + k-(3, где к — целое число. Тогда приклеивающее отображение этого особого слоя задается матрицей вида
Для доказательства свойства (3) используем идеальную триангуляцию Фарея F гиперболической плоскости Н2. Напомним, что через имеющих вершину в точке а/(3. В силу леммы 1.2.2 и свойства (1) этого предложения нам достаточно доказать, что расстояние между треугольниками а(0/1,1/0,1/1) и а (а/(3) равно расстоянию между треугольниками а (0/1,1/0,1/1) и а((3 /а).
Несложно заметить, что эти тройки являются вершинами треугольников а(а/(3) и a((3f/а). Рассмотрим дробно-линейное преобразование
Кружевное зацепление (pretzel link) с тремя нитями K(p,q,r) (см. рис. 2.3), лежащее в трехмерной сфере, определяется тройкой (p,q,r) целых ненулевых чисел. Зацепление K(p,q,r) не изменится при лю Глава 2. Оценки сложности многообразий с краем бой перестановке чисел p, q, r местами. Поэтому можно считать, что p q r. Хорошо известно, что зацепление K(p,q,r) является узлом тогда и только тогда, когда среди чисел p, q, r как минимум два нечетны.
Кружевное зацепление с тремя нитями Следующая теорема устанавливает точные значения и верхние оценки сложности дополнительных пространств некоторых кружевных узлов с тремя нитями вида K(1,q,r). Для каждой пары натуральных чисел q, r, где q r, определим целое число f(q,r) следующим обра зом:
Доказательство. Опираясь на метод, описанный в доказательстве предложения 2.2.1 из [50], строим почти специальный спайн P(1, q, r) дополнительного пространства узла K(1,q,r). При помощи преобразова Глава 2. Оценки сложности многообразий с краем 97 ний из [50][параграф 7.2] упрощаем спайн P(1, q, r) до тех пор пока это возможно. Число истинных вершин полученного почти простого спайна Q(1,q,r) и дает нам искомую верхнюю оценку сложности f(q,r) дополнительного пространства узла. Поскольку узел K(1,1,1) является трилистником, т.е. торическим узлом T(3, 2), то сложность его дополнительного пространства равна 0. Если спайн Q(1,q,r) имеет не более 8 истинных вершин, то дополнительное пространство узла K(1, q, r) содержится в списке многообразий из [25, 56], сложность которых известна.
Следующий шаг был сделан Р. Фрижерио, Б. Мартелли и К. Петро-нио [36]. Многообразия перечислялись и распознавались при помощи компьютера.
Теорема 3.1.1 ([36]). Среди всех компактных ориентируемых гиперболических 3-многообразий с геодезическим краем 150 многообразий имеют сложность 3 и 5002 многообразий имеют сложность 4.
Первый результат в установлении точных значений сложности для бесконечого числа компактных ориентируемых гиперболических 3-мно-гообразий с геодезическим краем был получен в [34]. По определению, компактное ориентируемое многообразие М с непустым краем лежит в классе Л4П, где п 2, если оно имеет специальный спайн с п истинными вершинами и одной 2-компонентой.
Многообразия, склеенные из не более чем девяти тетраэдров
Непосредственные вычисления с помощью компьютерной программы 3-Manifold Recognizer показывают, что обе триангуляции задают одно и то же многообразие MV1Q \ — дополнение к 5-компонентному зацеп лению L10nll3, приведенному на рис. 4.5. Отметим, что Hi(MVlOl) = Z0Z0Z0Z0Z. Последний рассмотренный случай завершает дока зательство теоремы. 4.4 Сложность гиперболических многообразий с каспами Будем говорить, что сложность с(М) гиперболического многообразия М с каспами равна Т, если М допускает идеальную
Известно, что объем vol(M) трехмерного гиперболического многообразия M является его топологическим инвариантом. Среди всех тетраэдров в H3 наибольший объем v3 = 1.0149426... имеет правильный идеальный тетраэдр. На этом основано следующее свойство, отмеченое в [22]:
Тем самым сразу находятся значения сложности для всех многообразий из теоремы 4.2.1, теоремы 4.2.2 и теоремы 4.3.1. Накрытия этих многообразий дают бесконечные семейства гиперболических многообразий с каспами, сложности которых допускают точное вычисление. В частности, в [22] были вычислены сложности циклических накрытий многообразия MV 211.
В диссертации решены следующие актуальные задачи теории сложности трехмерных многообразий. 1. Найдены верхние оценки сложности для двух бесконечных классов замкнутых граф-многообразий и для многообразий, полученных хирургиями Дена на узле восьмерка. Эти оценки точны для всех указанных многообразий сложности 12 (теоремы 1.1.11, 1.1.12 и 1.1.13). 2. Получены верхние оценки сложности для всех многообразий Зей-ферта с непустым краем и, как следствие, для дополнительных пространств торических узлов в трехмерной сфере (теоремы 2.1.1 и 2.2.1; совместно с Б. Вистом). 3. Решена задача вычисления сложности для бесконечного семейства гиперболических многообразий Паолюци – Циммермана и их обобщений (теоремы 3.5.1 и 3.6.1; совместно с А.Ю. Весниным). 4. Табулированы и исследованы гиперболические многообразия с каспами, склеенные из не более чем 10 правильных идеальных гиперболических тетраэдров, а также установлены точные значения сложности их накрытий (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.3.1 и 4.4.1;
Все результаты диссертации получены впервые. Они вносят существенный вклад в теорию сложности трехмерных многообразий. Например, верхние оценки сложности замкнутых граф-многообразий в совокупности с аналогичными оценками сложности линзовых пространств [9] и замкнутых многообразий Зейферта [48], являясь точными для многообразий сложности 12, позволят дать более систематическое и компактное описание всех замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий сложности 12 (их более 36000).
Рекомендации дальнейшего развития результатов диссертации:
1. Использовать разработанные и успешно реализованные в диссертации методы вычисления точных значений сложности для новых классов трехмерных гиперболических многообразий.
2. Изучить ранее не исследовавшийся, но представляющий самостоятельный интерес, класс многообразий, имеющих специальные спайны без собственных простых подполиэдров. Представялется, что для изучения этого класса могут быть применены методы, развивающие идеи третьей главы.
Таким образом, все 17 многообразий с одним каспом из множества Л4 попарно различны. Для случая многообразий с двумя каспа-ми установлено, что две триангуляции, кодировки которых приведены в строке для многообразия MV8f, задают одно и то же многообразие 5 3 \ 10f38. После сравнения объемов и первых групп гомологий многообразий с двумя каспами остаются открытыми вопросы о гомеоморфности многообразий MV4:f и МУЩ и о гомеоморфности многообразий MV81, MV82,, МУ83, МУ84, MV82,. Различить указанные многообразия удается путем сравнения значений инвариантов Турева — Виро TV4, TVs и TVQ (см. табл. 4.8). Таким образом, число различных многообразий с двумя каспами, построенных из не более чем восьми правильных идеальных тетраэдров, равно 12 (см. табл. 4.6).
