Содержание к диссертации
Введение
1 Определение распіиренной сложности трехмерных многообразий 21
1.1 Спайны и сложность трехмерных многообразий 22
1.2 Корни и свободные поверхности в трехмерных многообразиях 28
1.3 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки 32
1.3.1 Разбиения на ручки 32
1.3.2 Нормальные поверхности в разбиениях на ручки 35
1.4 /-компоненты трехмерного многообразия 37
1.5 /-число трехмерных многообразий 42
1.6 Характеристика края трехмерного многообразия 49
1.7 Определение расширенной сложности трехмерных многообразий 51
1.7.1 Определение расширенной сложности. 52
1.7.2 Многообразия малой расширенной сложности 55
2 Свойства расширенной сложности 60
2.1 Поведение расширенной сложности трехмерных многообразий при разрезании по существенной поверхности 60
2.2 Конечность процесса разрезания трехмерного многообразия по существенной поверхности 73
2.3 Свойство конечности 77
- Корни и свободные поверхности в трехмерных многообразиях
- Определение расширенной сложности трехмерных многообразий
- Многообразия малой расширенной сложности
- Конечность процесса разрезания трехмерного многообразия по существенной поверхности
Введение к работе
В настоящее время в топологии трехмерных многообразий существует ряд проблем, одной из которых является проблема эффективной классификации трехмерных многообразий. Обычно классификация геометрических объектов ведется в порядке возрастания их сложности. Поэтому имеется настоятельная необходимость в удобной и естественной характеристике многообразия, которую можно было бы взять в качестве такой сложности. Она должна представлять собой функцию, определенную на достаточно широком классе трехмерных многообразий и принимающую значения в некотором вполне упорядоченном множестве. Значение этой функции на каждом конкретном многообразии М удобно называть слоэюностью этого многообразия. Разумеется, было бы желательно, чтобы такая сложность обладала следующими полезными свойствами.
Свойство монотонности. При разрезании многообразия по существенной поверхности сложность многобразия строго уменьшается.
Свойство конечности. Для любого значения сложности существует только конечное число многообразий, сложность которых совпадает с данной.
Таким образом, возникает следующая важная задача, решение которой является основным результатом диссертации.
ЗАДАЧА. Построить функцию сложности, которая для достаточно широкого класса трехмерных многообразий обладает свойствами 1,2.
Так как при разрезании по существенной поверхности построенная сложность строго уменьшается, то ее существование полезно при индуктивных доказательствах, когда удается установить, что справедливость нужного свойства сохраняется при таких разрезаниях.
СЛОЖНОСТЬ ВАЛЬДХАУЗЕНА.Впервые такой метод был применен Ф.Вальдхаузеном ( [20]). Он использовал ее для доказательства того, что любая гомотопическая эквивалентность достаточно больших многообразий деформируется (с помощью гомотопии) в гомеоморфизм. Этот результат весьма замечателен, поскольку он относится к чрезвычайно важному классу утверждений, устанавливающих связь между понятиями различных категорий (в данном случае, гомотопической и топологической). Например, недавно решенная трехмерная гипотеза Пуанкаре ( [19] ) относится именно к этому классу.
В процессе доказательства Вальдхаузен последовательно разрезал данное многообразие по собственным существенным поверхностям с краем (если начальное многообразие замкнуто, то первый разрез выполняется по замкнутой существенной поверхности, для этого и нужно условие, что многообразие является достаточно большим). Для доказательства того, что процесс таких разрезаний конечен (и закончится на наборе шаров) Вальдхаузен ввел свою сложность (XiViO-
Рассмотрим разбиение трехмерного многообразия на ручки ( [8,20]). Напомним, что ручки индексов 0, 1, 2 называют, соответственно, шарами, балками и плитками.
Рис.1: Разбиение на ручки
Определим сложность разбиения ( [20]). Пусть В — некоторая балка разбиения и пусть 5 — число плиток, примыкающих к В. Обозначим 5" = тах(5 — 2,0), 5' = тах(6 — 1,0) и определим числа х и V как X — 2 S", r\ = Е 6', где суммирование ведется по всем балкам разбиения. Пусть теперь є — число компонент пересечения некоторого шара разбиения с объединением балок и плиток разбиения. Тогда ( = Е(є — 1), где сумма берется по всем шарам данного разбиения. Таким образом, каждому разбиению трехмерного многообразия на ручки можно поставить в соответствие тройку (х, г/, С) неотрицательных чисел, которые, рассматриваемые в лексикографическом порядке, дают сложность Вальдхаузена данного разбиения.
Обозначим через Мр многообразие, полученное из многообразия М разрезанием вдоль собственной нормальной поверхности F. Эта поверхность разбивает каждую ручку на несколько ручек того же индекса, поэтому Мр обладает есте-
ственным разбиением на ручки, сложность которого мы обозначим через (x'lrfiO- Вальдхаузеи доказал, что в любом многообразии с краем найдется собственная существенная поверхность, при разрезании по которой сложность строго уменьшается, т.е. (x'iV'iC) < (XiViO- Нужно отметить следующее.
При разрезании по замкнутой существенной поверхности сложность Вальдхаузена может увеличиться (за счет увеличения параметра г] при сохранении параметра %).
Вальдхаузеи доказал уменьшение сложности не для любой существенной поверхности с краем. Он доказал только существование поверхности, при разрезании по которой сложность уменьшается (на самом деле, все используемые им поверхности являются перазбивающими, т.е. после разрезания многообразие остается связным).
При исследовании многообразий часто приходится резать их как по замкнутым, так и по разбивающим существенным поверхностям. Поэтому поставленная задача (построение расширенной сложности со свойством строго монотонного убывания при разрезаниях) весьма актуальна.
Таким образом, свойство монотонности для сложности Вальдхаузена выполнено только частично. Свойство конечности выполняется полностью.
Приведем другой пример такой характеристики.
ДЛИНА МНОГООБРАЗИЯ. Эта характеристика использовалась еще В. Хакеном. Мы будем следовать работе В. Джейко ( [14]). Пусть М — компактное трехмерное многообразие. Частичной иерархией для многообразия М называется конечная или бесконечная последовательность пар (Мь Fi),..., (Mn, Fn),..., где Mi = M, и Fn есть двусторонняя, несжимаемая, не параллельная краю поверхность в Мп, и
Mn+i — многообразие, полученное из многообразия Мп разрезанием по поверхности Fn. Если все поверхности Fn гранично несжимаемы и отличны от диска, то длина (число используемых поверхностей) любой частичной иерархии конечна. Поэтому можно определить длину v(M) миогобразия М как максимально возможную длину таких иерархий. Справедливость свойства 1 (см. стр. 4 диссертации) для такой сложности сразу следует из определения, но только для случая, когда используемые поверхности отличны от диска (чтобы учесть разрезания по дискам, нужно вводить дополнительную характеристику, например, число д^(дМ), см. стр. 15). Поэтому его можно использовать для индуктивных доказательств. Свойство 2 здесь не выполняется. Например, все многообразия Столлингса со слоем тор имеют длину 2, а их — бесконечное число.
Камерная сложность. Эта сложность, представляющая собой упорядоченную семерку чисел (смотри [4], с. 271, определение 6.5.1), была введена С.В.Матвеевым для доказательства теоремы классификации достаточно больших многообразий. Там же доказано (предложение 6.5.2), что эта сложность строго уменьшается при так называемых расширяющих преобразованиях, каждое из которых состоит во вставке существенной поверхности-перегородки в одну из камер. Вставка поверхности в камеру Q означает, что Q разбивается на две новые камеры Q' и Q", т.е. операция вставки перегородки в камеру очень близка к разрезанию камеры по этой перегородке. Таким образом, строгое уменьшение сложности было фактически достигнуто, но только для очень специальных поверхностей. Наличие общей теоремы о строгом уменьшении для произвольных существенных поверхностей позволило бы существенно упростить доказательство теоремы классифика-
ции. Поэтому решение задачи построения расширенной сложности в настоящей диссертации является весьма полезным результатом.
Приведем примеры некоторых других мер сложности, явно или неявно применявшихся различными авторами.
Сложность Хегора. Напомним, что разбиением Хегора трехмерного многообразия М называется его представление в виде объединения двух лежащих в нем полных кренделей с общим краем (но без общих внутренних точек). Родом разбиения Хегора называется род кренделей разбиения. Известно, что любое замкнутое ориентируемое многообразие допускает разбиение Хегора некоторого рода ( [6,7]). Говорят, что род Хегора замкнутого ориентируемого трехмерного многообразия М равен д, если М допускает разбиение Хегора рода д и не допускает разбиений Хегора меньшего рода. Считается, что чем больше род, тем многообразие сложнее (в неформальном смысле этого слова). Во всяком случае, все многообразия рода 1 классифицированы (это линзовые пространства), а многообразия рода 2 — пока нет. Род Хегора аддитивен по отношению к связному суммированию трехмерных многообразий, но уже для д > 1 число различных многообразий рода Хегора д бесконечно. Поэтому свойства конечности здесь нет, а о свойстве монотонности говорить не приходится, поскольку при разрезании многообразия по поверхности оно перестает быть замкнутым (так как появляется край).
Диаграммная сложность Хегора. Пусть НиН' = М
разбиение Хегора замкнутого многообразия М, F — дН — дН' — общая поверхность рода g кренделей, и = {щ, ...,ид}
система меридианов кренделя Н, и v = {v\, ...,} — система меридианов кренделя Н'. Тогда тройка (F, w, v) называется
диаграммой Хегора многообразия М. Диаграммной сложностью Хегора с9(М) многообразия М называется минимальное число точек пересечения меридианов системы и с меридианами системы v, где минимум берется по всем возможным диаграммам Хегора заданного рода ( [5]). Так как сд(М) строится по разбиению Хегора определенного рода, сложность Хегора определяется только для замкнутых многообразий. Можно доказать, что для любого числа п > 0 число различных многообразий рода д со сложностью сд = п конечно. Поэтому свойство конечности выполнено.
Кристаллизационная сложность. Это понятие было введено итальянскими математиками ( [10,11]) па языке теории графов. Геммой называется граф Г, все вершины которого имеют валентность четыре, а ребра раскрашены четырьмя цветами так, чтобы в каждой вершине сходились четыре ребра разных цветов. По каждой гемме можно построить двумерный полиэдр Р, который получается приклеиванием к этому графу 2-клеток по всем двуцветным циклам. Можно доказать, что Р всегда утолщается до трехмерного многообразия М с краем, причем любое многообразие с краем можно получить указанным способом. При выполнении некоторых дополнительных условий граф Г называется кристаллизацией многообразия М. Кристаллизационная сложность многообразия М по определению равна минимальному числу вершин задающих его кристаллизации. Свойство конечности для такой сложности выполнено по очевидным причинам. Однако, поведение кристаллизационной сложности при разрезаниях по поверхностям достаточно сложно, причем свойства монотонности нет.
СЛОЖНОСТЬ с(М). Эта сложность была введена СВ. Матвеевым на основе построенной им теории спайнов ( [1,7,17]).
Напомним, что полиэдр Р С М называется спайном многообразия М с краем, если М\ Р гомеоморфію дМ х (0,1]. Полиэдр Р называется спайном замкнутого многообразия М, если Р является спайном многообразия M\IntD3, где IntDz — открытый трехмерный шар в М.
Простой двумерный полиэдр имеет особенности только двух типов: конус над полным графом с четырьмя вершинами и конус на окружностью с диаметром. В первом случае особая точка называется истинной вершиной, во втором — тройной точкой. Тройные точки организуются в тройные линии, соединяющие истинные вершины, и тройные окружности. Неособые точки организуются в 2-компоненты. Если спайн имеет хотя бы одну истинную вершину и все его 2-компоненты являются клетками, то полиэдр называется специальным. Почти простой полиэдр получается из простого добавлением графа, валентность вершин которого не меньше двух, и приклеиванием к компонентам связности дуг по обоим концам.
Спайн Р трехмерного многообразия М называется специальным, простым или почти простым, если он является специальным, простым или почти простым полиэдром соответственно.
Сложность с(М) многообразия М определяется как число истинных вершин его минимального (в смысле числа вершин) почти простого спайна. Как доказано в [1,4,17], сложность с(М) обладает свойствами монотонности и конечности следующего типа.
1. Свойство монотонности. При разрезании многообразия по существенной поверхности его сложность не увеличивается.
2. Свойство конечности. Для любого числа к существует только конечное число замкнутых ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий, сложность которых не превосходит данного числа к. Аналогичный факт верен и для тех неприводимых гранично неприводимых многообразий с краем, которые не содержат существенных колец.
Более того, если многообразие замкнуто и не содержит проективных плоскостей, а поверхность отлична от сферы, то при разрезании по ней сложность многообразия строго уменьшается. Однако, она может сохраняться при разрезании по поверхностям с краем. Чтобы исправить этот недостаток, в работе [4] был предложен модифицированный вариант сложности. Расширенной сложностью с(М) многообразия М называется тройка чисел (с(М), Ci(M), С2(М)), где с(М) — обычная сложность многообразия М, Сі(М) — минимальное число тройных окружностей, взятое по всем почти простым спайнам многообразия М с с(М) вершинами, и С2(М) — минимальное число 2-компонент, взятое по всем почти простым спайнам многообразия М, имеющим с(М) вершин и с\{М) тройных окружностей. Там же доказано, что если поверхность F с краем существенна и отлична от диска, то с(Мр) < с{М).
Условие dF ф 0 является существенным. В работе [21] мы показали, что при разрезании многообразия по замкнутой поверхности данная расширенная сложность может увеличиться, что ограничивает применение этого инварианта.
В настоящей диссертации решается задача построения расширенной сложности ориентируемых трехмерных многообразий, которая принимает значения в некотором вполне упорядоченном множестве и обладает следующим ключевым свой-
ством: при разрезании многообразия М по несжимаемой гранично несжимаемой поверхности F она строго уменьшается, т.е. с{Мр) < с(М). Исследуются свойства построенного расширения.
Пусть М —компактное ориентируемое трехмерное многообразие. Напомним, что с(М) и С\{М) обозначают, соответственно, число истинных вершин и число тройных окружностей минимального почти простого спайна многообразия М. Как показано в [4] , это пара чисел, рассматриваемая в лексикографическом порядке, неплохо отражает сложность многообразия в неформальном смысле этого термина. Однако, простые примеры показывают, что такая сложность при разрезании по существенной поверхности может сохраниться. Например, умножим тор с дырой прямо на окружность S. Получим многообразие М, минимальным спайном которого будет прямое произведение тета-кривой на окружность, смотри рисунок 2. Тогда с(М) = 0, ci(M) = 2.
х "* V / \ XS
Рис. 2: Многообразие М и его спайн
Разрежем многообразие М по существенному тору. Получим многообразие, которое можно представить как прямое про-
изведение N2 — диска с двумя дырами на окружность. Минимальный спайн полученного многообразия N2xS также представляет собой прямое произведение тета-кривой на окружность, смотри рисунок 3.
Рис. 3: Многообразие N2 х S и его спайн
Т.е. и в этом случае c(N2 х S) = О, Ci(iV2 х S) = 2. Таким образом, при разрезании по существенной поверхности данная сложность сохраняется.
Поэтому, в дополнение к этой паре чисел, мы введем еще три характеристики многообразия.
Пусть М — компактное ориентируемое трехмерное многообразие, R{M) — его (5,1))-корень, смотри [13]. Если поверхность F лежит в дМ и dR(M) одновременно, то F будем называть свободной поверхностью многообразия М.
Многообразие R(M) в общем случае несвязно.
Определение 1.19.1-компонентой (S, 1))-корня R{M) многообразия М будем называть его компоненту связности вида G х I (прямое произведение поверхности на отрезок), где G — замкнутая ориентируемая поверхность либо вида Gxl (ориентируемое косое произведение поверхности на отрезок), где
G — замкнутая неориентируемая поверхность. Поверхность G в обоих случаях называется базой /-компоненты.
Первая характеристика, которую мы вводим, ді(М) равна числу свободных поверхностей края многообразия М, не лежащих в /-компонентах корня этого многообразия.
Вторая характеристика /(М) зависит от числа и типов /-компонент, которые можно выделить в соответствии с типом базы G и числом свободных поверхностей края /-компоненты. База /-компоненты может быть ориентируемой или неориенти-руемой поверхностью. В первом случае /-компонента может иметь две, одну или не иметь свободных поверхностей, во втором — одну свободную поверхность или ни одной.
Определение 1.20. I-числом ориентируемого трехмерного многообразия М будем называть число /(М) = 3/q"(M) + /+(М) + /2+(М) + 4/0-(М) + 2/f(M), где
Ц{М) есть число /-компонент (5, /))-корня многообразия М, имеющих ориентируемую (при є = +) или неориентируе-мую (при е — —) базу и к свободных поверхностей края.
Коэффициенты в определении /-числа подобраны так, чтобы при разрезании /-компоненты по замкнутой существенной поверхности оно всегда уменьшалось.
Третьей введенной характеристикой многообразия является число, зависящее от рода компонент его края. g&\dM) = Ег- g2{Fi), где g{Fi) — род компоненты F{ С дМ, и суммирование ведется по всем компонентам края дМ.
Определим расширенную сложность трехмерных многообразий.
Определение 1.21. Расширенной сложностью компактного ориентируемого трехмерного многообразия М называется пятерка с(М) = (с(М),сі(М),-а7(М),/(М),^2)(аМ)).
Наборы рассматриваются в лексикографическом порядке.
Например, S3 имеет расширенную сложность (0, 0,0, 0,0), а /-расслоения над замкнутой поверхностью F — (0,0, 0, 2, (п — I)2), если F — связная сумма п проективных плоскостей, и (0,0, 0,1, 2с/2), если F — ориентируемая поверхность рода д.
Основной результат диссертации можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 2.1. Пусть F — связная существенная поверхность в ориентируемом неприводимом трехмерном многообразии М, каждая компонента связности которого отлична от проективного пространства RP^. Тогда с(Мр) < с(М).
Доказательство этой теоремы основано на использовании метода нормальных поверхностей Хакена ( [12]). Сначала мы доказываем, что утверждение верно для нормальной поверхности, а затем показываем, что процедура нормализации поверхности F (смотри, например, [4]) не меняет первых двух компонент расширенной сложности и не уменьшает остальные. Отсюда следует, что с(Мр) < с(М).
Из этой теоремы следуют два важных результата. Первым результатом является
Терема 2.2. Процесс последовательного разрезания ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенным поверхностям конечен.
Заметим, что данная теорема не является принципиально новым результатом. Например, теорема конечности Кпезера-Хакена (смотри, например, [14, Теорема III.20]) ограничивает число разрезаний компактного ориентируемого многообразия по попарно непересекающимся существенным поверхностям.
Джейко в работе ( [14, Теорема III.24]) обобщил эту теорему для произвольного компактного многообразия и несжимаемых поверхностей. Там же он доказал (Теорема IV.7), что последовательность разрезаний компактного трехмерного многообразия по двусторонним существенным поверхностям конечна. В отличие от приведенных результатов, мы не требуем, чтобы разрезающие поверхности попарно не пересекались или были двусторонними, хотя и ограничиваемся рассмотрением только ориентируемых неприводимых многообразий. Автор выражает искреннюю благодарность Марине Файвушевне Прохоровой за обзор этих результатов.
Полученные результаты позволяют использовать построенную расширенную сложность в качестве параметра индукции в индуктивных доказательствах, поскольку согласно [6] (Предложение 7.2), при разрезании неприводимого многообразия по существенной поверхности мы опять получим неприводимое многообразие.
Далее мы исследовали некоторые свойства расширенной сложности. Было установлено, что, как pi обычная сложность, расширенная обладает свойством конечности. Этот результат является вторым следствием основной теремы.
Теорема 2.3. Для каждого целого набора (к\, &2, &з, &4, &s) существует только конечное число различных компактных ориентируемых неприводимых трехмерных многообразий, которые имеют расширенную сложность (&ъ &2, &з, &4, &б)-
Таким образом в диссертации получены следующие результаты:
— построено расширение сложности трехмерных многообразий (определение 1.21), которое всегда уменьшается при раз-
резании ориентируемого неприводимого многообразия по существенной поверхности (теорема 2.1);
доказано, что процесс последовательного разрезания ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенным поверхностям конечен (теорема 2.2);
доказано, что построенная сложность обладает свойством конечности (теорема 2.3).
Теперь изложим содержание диссертации по главам.
Корни и свободные поверхности в трехмерных многообразиях
Определение 1.14. Многообразие М С М называется D-корнем ( [13]) или сердцевиной ( Щ) неприводимого трехмерного многообразия М, если выполняются следующие условия: 1) М гранично неприводимо; 2) М получено из многообразия М с помощью следующих операций: — разрезание многообразия по существенному диску; — отбрасывание связной компоненты, гомеоморфной трехмерному шару. D-корень трехмерного многообразия М будем обозначать через R(M). На рисунке 1.5 приведено построение D-корня полнотория. Полноторие разрезается по меридиональному диску (он является существенным) и получившийся шар отбрасывается. Таким образом D-кореяъ полнотория пуст. Известно (предложение 4.1.25 в [4]), что для любого неприводимого трехмерного многообразия D-корень существует и единственен с точностью до изотопии, подвижной на крае (см. замечание 4.1.4 в [4]). Однако с точностью до изотопии, оставляющей край многообразия неподвижным, D-корней может быть несколько. Тем не менее D-корень лежит в многообразии (см. замечание 1.1). Отметим также, что многообразие может быть получено из своего .D-корня добавлением нескольких трехмерных шаров и приклеиванием ручек индекса 1. Замечание 1.2. Пусть поверхность F — компонента края многообразия М. Если F несжимаема, то граничные окружности существенных дисков по ней не проходят.
Поэтому поверхность F сохраняется при переходе к D-корню R(M) (причем любому), следовательно, является компонентой dR(M). Обратное также верно: если F С дМ является компонентой края D-корня R(M), то F несжимаема. Определение 1.15. Пусть поверхность F является компонентой края и многообразия М, и его корня R(M). Тогда F называется свободной поверхностью многообразия М. На рисунке 1.6 поверхность F является свободной поверхностью края, а поверхность F такой не является. Выбор термина связан с тем, что при переходе от D-корня к многообразию ручки к поверхности F не приклеиваются, т.е. поверхность остается свободной. Напомним, если поверхность свободна, то она несжимаема. Согласно лемме 1.1 разрезание по дискам сохраняет сложность многообразия и минимальное число тройных окружностей, следовательно, c{R{M)) = с(М) и d(R(M)) = с\(М). Рассмотрим некоторые преобразования трехмерных многообразий (смотри [13]). 1. S-преобразование (сжатие вдоль 2-сферы). Пусть 5--2-сфера в трехмерном многообразии М. Мы разрезаем М вдоль S и заклеиваем две появившиеся на крае сферы двумя шарами. 2. -преобразование (сжатие вдоль диска). Пусть D — собственный диск в М. Тогда мы разрезаем М по D. Замечание 1.3. Преобразование 2, т.е. сснсатие вдоль диска мы использовали при построении D-корня многообразия. Определение 1.16. [13] Пусть F — собственная поверх ностъ в трехмерном многообразии М, такая что F является либо сферой; либо диском. Тогда F называется существенной, если выполняется одно из условий: 1. F является сферой, неограничивающей шар; 2. F является диском, граничная окружность которого DD нетривиальна на дМ.
Если F существенна, то соответствующее F-преобразование (т.е. сжатие М вдоль F) также называется существенным. Определение 1.17. [13] Многообразие М" называется (S, D)-корнем трехмерного многообразия М, если выполняются следующие условия: 1) М" получено из многообразия М с помощью существенных S- и D-преобразований; 2) М" больше не допускает существенных S- и D-преобра-зований. Таким образом, (, )-корень многообразия является неприводимым гранично неприводимым многообразием. Теорема 1.3. [13] Для любого компактного трехмерного многообразия М его (S,D)-корень суш,ествует и единственен с точностью до гомеоморфизма и отбрасывания компонент, гомеоморфных трехмерной сфере или шару. Смотри также [9]. Мы при построении (5, )-корня многообразия будем сразу отбрасывать компоненты, гомеоморфные сфере S2, или шару D\ Отметим также, что многообразие может быть получено из своего (5, Л)-корня добавлением нескольких трехмерных ша
Определение расширенной сложности трехмерных многообразий
Теперь мы готовы дать определение расширенной сложности трехмерных многообразий. Определение 1.21. Расширенной сложностью компактного ориентируемого трехмерного многообразия М называется пятерка с(М) = {с{М),Сі{М),-дІ{М),І{М),д{-2\дМ)), где с(М) — обычная сложность многообразия М, С\(М) — минимальное число тройных окруоісностей, взятое по всем почти простым спайнам многообразия М с с(М) вершинами, ді(М) — число свободных поверхностей в дМ, которые не лежат в I-компонентах (S, D) -корня многообразия М, 1{М) — I-число многообразия М, д{дМ) = Е( g2(Fi), где g(F\) - род компоненты F{ С дМ, и суммирование ведется по всем компонентам дМ. Наборы рассматриваются в лексикографическом порядке. Отметим, что для определения расширенной сложности многообразия необходимо знать его почти простой минимальный спайн. Сначала среди почти простых спайнов многообразия мы выбираем спайны с наименьшим числом истинных вершин. Затем среди этих спайнов выбираем спайн с наименьшим числом тройных окружностей. Полученный спайн и будем называть минимальным спайном многообразия. Рассмотрим примеры. Пример 1.
Многообразия S3 и RP3 имеют расширенную сложность (0, 0,0, 0,0). Пример 2. зд имеет расширенную сложность (0,1,0, 0,0). Пример 3. Если многообразие М пеприводимо, замкнуто и отлично от многообразия L i, то с(М) = (с(М), 0,0, 0, 0). Пример 4. Крендели рода g имеют расширенную сложность (0, 0, 0, 0,#2). Пример 5. /-расслоения над замкнутой поверхностью F имеют сложность (0,0,0, 2, (п—I)2), если F — связная сумма п проективных плоскостей, и (0,0,0,1,2д2), если F — ориентируемая поверхность рода д. Пример 6. Пусть F\, F2, F3, F4 — торы с дырой, А — кольцо и L — дуга. Приклеим торы F\,Fz и F3, F± по два к каждой компоненте края кольца А и концы дуги L к тору F2. Мы получили двумерный полиэдр Р. Будем считать, что он лежит в Я3 так, как показано на рисунке 1.22. Рассмотрим регулярную окрестность М полиэдра Р. Можно доказать, что Р является минимальным спайном многообразия М. Найдем расширенную сложность данного многообразия. Полиэдр Р имеет две тройные окружности и не имеет истинных вершин, поэтому с(М) = О, ci(M) = 2. Найдем .D-корень данного многообразия (так как М непри-водимо, то его (5, jD)-Kopeiib совпадает с D-корнем).
Разрежем многообразие М по существенному диску D, см. рисунок 1.24. Так как при переходе к D-корню сохраняется только три компоненты края многообразия М, и D-корень многообразия 1.7.2 Многообразия малой расширенной сложности В этом разделе мы опишем связные неприводимые многообразия сложности (0, 0, 0, fejj &б), где /с4, къ Є N. Предложение 1.1. Связными неприводимыми многообразиями сложности (О, 0, 0, 0, 0) являются многообразия S3, RP3, D3 и только они. Доказательство. Минимальными спайнами многообразий S3, D3 является точка, многообразия RP3 — проективная плоскость RP2. Следовательно, c(S3) = c(D3) = c(RP3) = 0, и Ci(S3) = Ci(D3) = C\{RP3) = 0. Эти многообразия не содержат /-компонент, поэтому I(S3) — I{D3) = I(RP3) = 0. Кроме того, многообразия S3, RP3 замкнуты, a D3 имеет пустой (S, D)-кореиь, следовательно, —dj(S3) = —di(D3) — —di(RP3) = 0, и g{2){dS3) = g{ 2\dRP3) = 0. Так как 3D3 = S2, и род S2 равен нулю, то g \dD3) = 0, т.е. c{S3) = c(RP3) = c(D3) = (0,0,0,0,0). Покажем, что других связных неприводимых многообразий с данной расширенной сложностью нет. Предположим, что существует связное неприводимое многообразие М с расширенной сложностью с(М) = (0,0, 0,0, 0), отличное от S3, RP3, D3. М не может быть замкнутым, так как единственными замкнутыми неприводимыми многообразиями с нулевой сложностью, спайн которых не имеет тройных окружностей, являются 53, RP3. Следовательно, дМ ф 0. Пусть Р — минимальный почти простой спайн многообразия М. Ясно, что Р является либо графом, либо связным объединением замкнутых поверхностей и графа ( т.к. с(М) = Ci(M) = 0). Рассмотрим оба случая.
Многообразия малой расширенной сложности
В этом разделе мы опишем связные неприводимые многообразия сложности (0, 0, 0, fejj &б), где /с4, къ Є N. Предложение 1.1. Связными неприводимыми многообразиями сложности (О, 0, 0, 0, 0) являются многообразия S3, RP3, D3 и только они. Доказательство. Минимальными спайнами многообразий S3, D3 является точка, многообразия RP3 — проективная плоскость RP2. Следовательно, c(S3) = c(D3) = c(RP3) = 0, и Ci(S3) = Ci(D3) = C\{RP3) = 0. Эти многообразия не содержат /-компонент, поэтому I(S3) — I{D3) = I(RP3) = 0. Кроме того, многообразия S3, RP3 замкнуты, a D3 имеет пустой (S, D)-кореиь, следовательно, —dj(S3) = —di(D3) — —di(RP3) = 0, и g{2){dS3) = g{ 2\dRP3) = 0. Так как 3D3 = S2, и род S2 равен нулю, то g \dD3) = 0, т.е. c{S3) = c(RP3) = c(D3) = (0,0,0,0,0). Покажем, что других связных неприводимых многообразий с данной расширенной сложностью нет. Предположим, что существует связное неприводимое многообразие М с расширенной сложностью с(М) = (0,0, 0,0, 0), отличное от S3, RP3, D3. М не может быть замкнутым, так как единственными замкнутыми неприводимыми многообразиями с нулевой сложностью, спайн которых не имеет тройных окружностей, являются 53, RP3. Следовательно, дМ ф 0. Пусть Р — минимальный почти простой спайн многообразия М. Ясно, что Р является либо графом, либо связным объединением замкнутых поверхностей и графа ( т.к. с(М) = Ci(M) = 0). Рассмотрим оба случая. 1) P — граф. Так как Р минимален, то он не содержит вершин, инцидентных одному ребру. Р не может быть точкой, так как в этом случае М = D3, что протріворечит условию. Поэтому Р содержит хотя бы одну петлю. При утолщении спайна Р эта петля даст полноторие, тогда род края многообразия М будет не меньше 1, т.е. д(2\дМ) 1. Отсюда следует, что с(М) (0,0,0,0,1). Таким образом не существует многообразий с одномерным спайном, отличным от точки, и нулевой расширенной сложностью. 2)Р — связное объединение замкнутых поверхностей и графа. Так как при утолщении замкнутая поверхность даст I-компоненту, то 1{М) 1. В этом случае с{М) (0, 0,0,1,0), поэтому многообразий со спайном такого вида и расширенной сложностью, равной нулю, нет. Следовательно, наше предположение неверно, и многообразий с нулевой расширенной сложностью, отличных от 53, .RP3, D3 не существует. Предложение 1.2. Связными неприводимыми многообразиями сложности (0,0,0,0,д2) являются полные крендели рода 9, 0. Доказательство.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству предложения 1.1. Пусть Нд — полный крендель рода д. Нд коллапсируется на одномерный спайи, не содержит /-компонент, имеет пустой D-корень и его краем является поверхность рода д. Следовательно, с(Я,) = (0,0,0,0,р2). Покажем, что других связных неприводимых многообразий с данной расширенной сложностью нет. Предположим, что существует связное неприводимое многообразие М, дМ = 0 с расширенной сложностью с(М) = (0, 0,0,0, д2). Пусть Р — минимальный почти простой спайн многообразия М. Р не может быть графом, так как одномерный спайн задает полный крендель. Следовательно, Р является связным объединением замкнутых поверхностей и графа ( т.к. с(М) = ci(M) = 0). Но в этом случае с(М) (0,0,0,1,0) с(Нд) Следовательно, наше предположение неверно, и многообразий с расширенной сложностью (0,0,0,0, д2), отличных от полных кренделей не существует. Предложение 1.3. I-расслоения над замкнутой ориентируемой поверхностью рода д, где g 1, имеют расширенную слооїсность, равную (0,0, 0,1, 2д2). Доказательство. Пусть Gi — /-расслоение над поверхностью G, где G — замкнутая ориентируемая поверхность рода д. Так как спайном многообразия Gi является сама поверхность G, то c(Gi) = C\{Gi) = 0. Кроме того, Gi является /-компонентой с ориентируемой базой и двумя свободными поверхностями края, поэтому —di(Gi) — 0 (так как поверхности края /-компонент не входят в число -() и I{Gi) = 1. Многообразие Gi имеет две компоненты края рода д, следовательно, g (dGj) = дЧд2 = 2д2. Получаем, что c(G7j = (0,0,0,1,2д2). Предложение 1.4. I-расслоения над замкнутой поверхностью, являющейся связной суммой п проективных плоскостей, п 1, имеют расширенную сложность, равную (0,0, 0, 2,(тг-1)2). Доказательство. Пусть Gj — /-расслоение над поверхностью G, где G — замкнутая неориентируемая поверхность с п листами Мебиуса. Так как спайном многообразия Gi является сама поверхность G, то c(Gi) = ci(G/) = 0. Кроме того, Gj является /-компонентой с неориентируемой базой и одной свободной поверхностью края, поэтому —dr(Gj) = 0 и I(Gj) — 2 (согласно определению /-числа многообразия). Многообразие Gi имеет одну компоненту края рода п — 1, следовательно, (2)((9(2/) = (п-1)2. Получаем, что c(Gi) = (0,0,0,2, (п-1)2). Предложение 1.5. Связные неприводимые многообразия, имеющие расширенную слооюностъ (0,0,0, к кь), где к къ N, являются граничными связными суммами многообразий, описанных в предложениях 1.1 — 1.4.
Замечание 1.5. Многообразия, описанные в предлоэюениях 1.1 — 1.4, такоюе имеют расширенную слооюностъ (0,0, 0, к к ), где /и4,/с5 Є N (смотри предложения 1.1-1.4)- Так как эти многообразия мооюно представить как граничные связные суммы их самих и шара D3, то они такоюе удовлетворяют условию предложения. Доказательство. Пусть М — связное неприводимое многообразие с расширенной сложностью (0, 0,0, k±, &з) где к , к$ Є N. Пусть Р — минимальный почти простой спайн многообразия М. Ясно, что Р является либо графом, либо его можно представить в виде объединения замкнутых поверхностей и графа ( т.к. с(М) = с\(М) = 0). Рассмотрим оба случая. 1) Р — граф. Если Р является точкой, то М либо 53 либо D3, так как только эти два многообразия имеют спайном точку. Так как Р минимален, то он не содержит вершин, инцидентных одному ребру. Поэтому все вершины спайна Р имеют валентность, не меньшую двух. Следовательно, многообразие М с таким спайном Р является полным кренделем.
Конечность процесса разрезания трехмерного многообразия по существенной поверхности
В предыдущем параграфе мы доказали, что при разрезании неприводимого многообразия по существенной поверхности расширенная сложность строго уменьшается. Это свойство поможет доказать следующую теорему. Теорема 2.2. Процесс последовательного разрезания ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенным поверхностям конечен. Доказательство. Пусть есть последовательность разрезаний ориентируемого трехмерного многообразия М по существенным поверхностям. 1. Пусть М = RP3. Это многообразие содержит единственную существенную поверхность — проективную плоскость RP2. После разрезания многообразия М по поверхности RP2 мы получим трехмерный шар, который больше не содержит существенных поверхностей, т.е. процесс разрезания закончен. Таким образом процесс разрезания многообразия RP3 конечен. 2. Пусть М ф RP3. Заметим, что если многообразие М не содержит компонент связности, гомеоморфных многообразию RP3, то и в процессе разрезания многообразия М они не появятся (так как М является неприводимым многообразием).
В этом случае доказывать теорему будем от противного. Предположим, что последовательность разрезаний многообразия М по существенным поверхностям бесконечна. При разрезании ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенной поверхности его расширенная сложность строго уменьшается (смотри теорему 2.1). Так как первая компонента с(М) расширенной сложности не увеличивается и неотрицательна, то число шагов, уменьшающих её, конечно. Значит, число всех разрезаний данной последовательности до последнего разрезания, уменьшающего с(М), конечно. Рассмотрим последовательность всех следующих разрезаний. Все они сохраняют с(М), но некоторые уменьшают с\{М). По тем же причинам таких разрезаний также конечное число. Все последующие разрезания сохраняют и с(М), и С\(М). Число —ді(М) не может уменьшаться до бесконечности. Каждой истинной вершине спайна многообразия М соответствует не более 4 компонент края корня, а каждой его тройной линии не более 3, смотри рисунок 2.5. Следовательно, -ді(М) -(4с(М) + Зсі(М)).
Поэтому число шагов, уменьшающих —ді(М) также конечно. Все последующие разрезания сохраняют первые три компоненты расширенной сложности, а часть из них уменьшает /-число многообразия М. Так как 1{М) неотрицательно, то число таких шагов конечно. Рассмотрим последовательность оставшихся разрезаний. Все они сохраняют первые четыре составляющие расширенной сложности, но уменьшают последнюю компоненту. Характеристика д \дМ) — неотрицательное число, следовательно, разрезаний, уменьшающих д 2\дМ), конечное число. Таким образом мы получили, что каждая компонента расширенной сложности, при сохранении предыдущих, уменьшается за конечное число разрезаний. Так как каждое разрезание многообразия по существенной поверхности строго уменьшает расширенную сложность многообразия, то предположение о том, что последовательность разрезаний бесконечна, неверно. Поэтому процесс последовательного разрезания ориентируемого неприводимого трехмерного многообразия по существенным поверхностям также конечен. Так как класс ориентируемых неприводимых многообразий замкнут относительно разрезания по существенной поверхности (смотри, например, предложение 7.2 в [6]), то полученные теоремы позволяют использовать расширенную сложность в индуктивных доказательствах в качестве параметра индукции. Замечание 2.2. Мы не даем никаких оценок на число разрезаний, поскольку после первого разрезания, уменьшающего, скажем, с(М) на 1, какая-нибудь другая характеристика моэюет намного увеличиться. Рассмотрим простой пример. Пусть М — многообразие, построенное нами в приме
