Введение к работе
Актуальность исследуемой проблемы Огромное количество различных систем (физических, электронных, биологических, социальных и т.п.) являются колебательными или волновыми. Причем простые периодические или, тем более, гармонические колебания и волны рождаются в них как исключение, а правилом для реальных систем является сложная динамика, включающая хаотическое поведение. Именно открытие сложности привело к тому, что подобные системы в последние десятилетия находятся в центре внимания исследователей. -.
Выявлению закономерностей сложного и хаотического поведения способствовало развитие качественных и количественных методов анализа динамических систем, которое привело к формированию новой междисциплинарной науки — нелинейной динамики. В настоящее время в основном сформировался предмет этой науки. В частности, понятие детерминированного хаоса прочно вошло в современную картину мира.
Помимо фундаментального и даже мировоззренческого значения нелинейная динамика имеет ряд важных практических применений. Например, таких, как разработка новых принципов обработки сигналов (распознавание образов, кодирование-декодирование сигналов, сжатие информации), развитие возможностей нелинейного моделирования, и прогнозирования поведения систем, диагностика состояния различных (механических, физических, биологических, экономических и т.п.) систем по колебаниям, которые они порождают.
Большие успехи, достигнутые в качественной теории динамических
систем и в экспериментальном исследовании низкоразмерной хаотической динамики, связаны с переходом к рассмотрению образов колебаний в фазовом пространстве, например, аттракторов и репеллеров. Основная нагрузка при этом легла на качественные методы анализа и их визуальную интерпретацию в виде проекций аттракторов или их сечений Пуанкаре. Но визуализация ограничивает возможности анализа лишь трехмерными образами, и продвижение в выявлении закономерностей поведения высокоразмерных процессов требует развития методов количественной оценки характеристик сложных колебаний, которые могли бы стать инструментом для ранжирования развитых хаотических колебаний по их сложности.
Идеология количественной оценки сложности колебаний активно начала развиваться в 70 - 80 годы нашего столетия. Этому развитию предшествовал ряд основополагающих работ, среди которых особо следует отметить труды Мандельброта, вводящие понятие фракталов и "переоткрытие" фрактальной размерности; публикации Паккарда, Мане, Такенса по доказательству возможности однозначного восстановления аттракторов динамических систем по скалярным временным реализациям колебательных процессов; гипотезу Каплана-Йорка о связи размерности со спектром ляпуновских характеристических показателей (ЛХП); развитие методов определения спектра сингулярностей Брумхидом и Кингом; выдвижение алгоритма оценки корреляционной размерности Грассбергером и.Прокачиа; разработка алгоритма оценки размерности по ближайшим соседям Бадии и Полити и т.д. Среди отечественных исследователей, внесших заметный вклад в развитие количественных методов нелинейной динамики, следует отметить работы А.И.Хибника с соавторами по разработке и внедрению программного обеспечения для анализа поведения динамических систем; большое количество работ нижегородской школы радиофизиков (М.И.Рабинович, Ю.И.Неймарх, В.С.Афраймович, АМ.Рейман, Й.С.Арансон, и т.д.); работы, выполненные в МГУ под руководством П.СЛанда; работы ИРЭ РАН (В.Я.Кислов, А.С.Дмитриев, А.О.Старков и др.); работы Ю.А.Кравцова (ИКИ РАН); фундаментальные труды Ю.Л.Климонтовича; работы, выполненные под руко-
водством В.С.Анищенко; работы харьковских ученых (Д.М.Ваврив, В.В.Рябов, О.А.Третьяков); работы К.Пирагаса, А.Томашавичюса, А.Намоюноса ив Института Физики Полупроводников (Вильнюс) и многие др. Среди современных западных исследований по проблемам восстановления аттракторов и вычисления размерностей наиболее заметны, кроме вышеперечисленных, работы следующих авторов: E.Ott, J.Yorke, C.Grebogi (University of Maryland); L.Smith (University of Warwick); T.Sauer (George Mason University); J.Theiler (Los Alamos National Lab); L.Pecora (NAVY); H.Abarbanel (Center of Nonlinear Science, San Diego) G.Pfister и Th.Buzug (Institute fur Angewandte Physik, Kiel). Почти все сколько-нибудь значимые публикации, посвященные вопросам диагностики сложного поведения систем по их временным реализациям, собраны в библиографической базе данных Бекмана (), включающей более 7000 наименований.
Устойчивый интерес исследователей к проблемам развития методов количественных оценок сложного динамического поведения объясняется надеждами на возможности построения динамических моделей по наблюдаемым временным реализациям колебательных процессов или, по крайней мере, создания методов оценки меры сложности различных хаотических процессов для их идентификации. Это необходимо для развития аппарата предсказания сложного поведения систем по известному их поведению в прошлом, а также для выявления закономерностей развития хаоса в распределенных системах, т.к. идеология восстановления, хорошо приспособленная для анализа поведения конечномерных динамических систем, с не меньшим успехом может применяться для любых систем — "черных ящиков", которые демонстрируют незатухающие во времени колебания. В случае получения конечномерных аттракторов можно утверждать, что исследуемая система — динамическая и к ней применимо все многообразие методов нелинейной динамики. Более того, путь восстановления аттракторов по временным реализациям — один из основных инструментов анализа поведения распределенных систем с бесконечномерным фазовым пространством (например, электронных или гидродинамических систем) даже при числен-
ном моделировании нелинейных процессов, т.к. он позволяет перейти к рассмотрению поведения распределенных систем в конечномерном пространстве, по крайней мере, на пороге возникновения хаоса и при низкоразмерном хаосе.
Таким образом, идеология восстановления аттракторов и оценки их сложности представляется актуальной для следующих целей.
-
Анализ поведения конечномерных динамических систем, описываемых математически в виде уравнений в конечных разностях или системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
-
Анализ поведения экспериментальных систем — " черных ящиков" — по порождаемым ими колебаниям.
-
Анализ поведения распределенных систем, представленных уравнениями в частных производных (численный эксперимент).
Основные трудности применения методов оценки количественных характеристик степени хаотичности сложных динамических колебаний связаны с тем, что: 1) алгоритм восстановления аттракторов по скалярным временным реализациям в условиях конечной точности данных и конечной длины временных реализаций становится критичным не только к выбору величины размерности вложения т, но и к выбору постоянной времени восстановления г, а критерии корректного выбора т и г ищутся до сих пор; 2) количественные характеристики сложности хаотических колебаний, такие, как размерность, могут быть определены лишь по большому количеству точек, представляющих аттрактор системы, причем число точек растет быстрее, чем экспонента при росте размерности, что ограничивает реальные возможности оценки размерности на уровне пяти - восьми; 3) алгоритмы вычисления количественных мер сложности колебаний (размерности, ляпуновских характеристических показателей, энтропии и т.п.) не имеют каких либо средств оценки точности и достоверности полученных результатов, а сами эти характеристики для хаотических колебаний априори не известны; 4) естественные шумы и шумы квантования, присутствующие в наблюдаемых временных реализациях и вычислительных экспериментах, оказываются неустранимыми при помощи методов фильтрации, развитых для периодических и повторяющихся сигналов, и приводят
к неопределенным или принципиально неверным результатам в оценке количественных, характеристик хаоса; 5) более того, линейная фильтрация дшзкораомерных хаотических колебаний даже в отсутствие шумов трансформирует сигнал в более высокоразмерный, который неотличим от шумов.
Технической причиной всех перечисленных трудностей является то, что все методы оценки количественных характеристик сложных колебаний определены алгоритмически для бесконечно точных и бесконечно длинных временных реализаций. Поэтому принципиальной оказывается недостаточная производительность вычислительных машин, т.к. для достоверной оценки самой простой меры хаотичности — корреляционной размерности — требуется 105 - 1012 точек в представлении аттракторов и /V2 операций по их обработке. Причем выбор параметров процедуры восстановления и параметров алгоритма вычисления размерности требует многократного повторения вычислений для их различных значений. И поэтому из-за технических ограничений методы оценки корреляционной размерности оказываются более применимыми, т.к. обладают наименьшим количеством параметров.
Недостаточность информации о закономерностях фрактального мира странных аттракторов и отсутствие эталонных хаотических колебаний с заранее известной размерностью, а также большое количество определений размерности привели к широкому распространению стереотипных, но не всегда строго обоснованных результатов. В то же самое время остается недосказанность в вопросах учета свойств неоднородности аттракторов при оценке их сложности даже для простых низкоразмерных колебаний. Отсутствуют не только строгие, но и просто достаточные для осмысления экспериментальные результаты по линейному взаимодействию хаотических сигналов, и, соответственно, не ясны свойства восстановленных но таким сигналам аттракторов. К последней проблеме относятся вопросы учета влияния аддитивных шумов на хаотический сигнал, вопросы линейного сложения сложных колебаний и проблемы фильтрации хаотических колебаний.
Целью диссертационной работы является поиск путей преодоления перечисленных выше трудностей при применении методов вос-
становления аттракторов по экспериментальным временным реализациям колебательных процессов, которые обладают конечной точностью и длиной массива данных, и вычисления размерности как характеристики их сложности.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
-
исследовать связь точности результатов оценки количественных характеристик с точностью измерения исследуемых временных реализаций, для чего следует продолжить исследование путей определения корректных параметров дискретного представления экспериментальных сигналов (частота дискретизации), параметров алгоритмов восстановления аттракторов (размерность вложения m и постоянная времени восстановления г) и достаточной для оценки количественных характеристик длины массивов данных;
-
создать численные и экспериментальные модели, генерирующие хаотические колебания с заранее предопределенными количественными характеристиками их сложности, поскольку такие модели необходимы для развития сравнительной метрологии сложности хаотических процессов и для тестирования разрабатываемых алгоритмов оценки и приборов измерения этих характеристик;
-
провести исследование свойств аттракторов, восстанавливаемых по колебаниям, которые получены суммированием нескольких колебаний (одинаковых хаотических, различных хаотических, хаотических и шумовых и т.п.) или преобразованными различными инерционными цепями и средами (фильтрация), т.к. подобные процедуры явно или неявно имеют место при любых экспериментальных исследованиях и существенно влияют на их результаты.
Методы исследований, выбранные для достижения поставленных в диссертации целей, основаны на экспериментальных исследованиям радиофизических объектов — сосредоточенных радиотехнических генераторов хаоса — и последующего радиофизического и компьютерного анализа их временных реализаций. Экспериментальные резуль таты почти всегда подтверждены компьютерным моделированием, a j некоторых случаях (когда это оказывается обоснованным и доказатель
ым) представлены результаты только компьютерных экспериментов, остоверность полученных результатов определялась их согласованно-гью при различных методах исследований и соответствием результа-ам, полученным по эталонным моделям и алгоритмам, которые широко редставлены в литературе по нелинейной динамике и общепризнаны. Научная новиона представленных исследований заключается в ледующем.
Основываясь на интерпретации размерности как функции про-транственного масштаба наблюдения, введена связь между сложно-тыо колебаний (размерностью их аттрактора), необходимой длиной іассива данных, представляющих этот аттрактор, и степенью разре-цения тонкой структура аттрактора. Такой подход позволил рассматривать функцию размерности как характеристику сложности хаоти-іеских колебаний, которая может быть вычислена по данным конечной їлиньї и конечной сложности.
Предложен и создан макет аналого-цифрового препроцессора для щенки размерности колебаний, представленных временными реализациями, и позволяющий в реальном времени работать с сигналами, спектр которых лежит в диапазоне до 1Мгц.
Проведены исследования поведения радиотехнических генераторов хаотических колебаний в пространстве управляющих параметров, что позволило выделить ряд новых черт их динамики, связанных с явлениями добавления периода и мультистабильностыо.
Обнаружены и подтверждены в натурных и численных экспериментах закономерности усложнения хаотических колебаний при линейных инерционных преобразованиях, приводящие к развитию многомерного хаоса в простых системах. Это явление можно рассматривать как новый ранее не исследованный путь возникновения и эволюции высокоразмерного хаоса.
Практическая значимость работы связана с разрешением проблем корректного определения параметров процедуры восстановления и оценки размерности хаотических колебаний. Это позволяет внедрить новый набор измеряемых характеристик сложных сигналов, которые расширяют область инженерно описываемых колебательных процессов,
ограниченную в настоящее время лишь периодическими колебаниями. Появление инструментальных средств для адекватного анализа состояния систем и процессов по временным реализациям ими порождаемым должно обеспечить возможность управления ими.
Конкретными прикладными,результатами таких исследований являются следующие:
выработаны требования к параметрам представления аналоговых данных дискретными последовательностями, пригодных для анализа методами нелинейной динамики;
выработаны требования к выбору параметров алгоритма восстановления аттракторов динамических систем по временным реализациям;
выработаны критериеи достоверности оценки характеристик сложности хаотических колебаний;
разработан принцип формирования хаотических колебаний с заранее известными характеристиками их сложности (размерности), которые могут служить источниками тестовых колебаний для настройки параметров разрабатываемых алгоритмов.
Структура диссертации. Поскольку цель диссертации состоит в развитии методов количественного анализа характеристик сложности сигналов, рожденных динамическими системами, изложение материалов начинается с известных результатов, служащих основой настоящей работы. Нетривиалыюсть процедуры восстановления аттракторов по временным реализациям и понятия размерности аттракторов уже на первых шагах изложения приводят к "подводным камням", не позволяющим достичь цели прямым путем. Сложность ситуации заключается в том, что для определения корректных значений параметров алгоритмов восстановления и вычисления корреляционного интеграла необходимо оценить размерность, а для достоверной оценки размерности необходимо знать значения параметров алгоритмов. Первые три главы диссертации посвящены этой "самосогласованной" задаче. В них продолжается расширенное обоснование постановки задачи и получен ряд новых результатов, необходимых для корректного применения методов оценки корреляционной размерности по скалярным временным реали-
