Содержание к диссертации
Стр.
Введение 3
Глава 1 20
Глава 2 49
Библиография 89
Введение к работе
Вопрос оптимизации собственных значений задачи Штурма - Лиувилля за счет выбора потенциала из некоторого фиксированного класса функций часто возникает в приложениях. Например, в теории упругости в процессе поиска наиболее прочных конструкций из данного материала. Примером такой задачи является задача Лагранжа о нахождении наиболее прочной колонны единичной длины и единичного объема, являющейся телом вращения плоской кривой.
Задача Лагранжа продолжает вызывать интерес исследователей и оживленную полемику в научной печати. Она послужила источником для различных постановок экстремальных задач на собственные значения, в том числе — с интегральным условием на потенциал, одной из которых является задача, рассматриваемая в данной работе. В связи с этим приведем физическую постановку задачи Лагранжа и исторический обзор результатов, полученных в процессе ее исследования (см., например, [27]).
В 1773 году, развивая работы Л. Эйлера [33] об устойчивости упругих стержней, Ж.-Л. Лагранж [15] поставил задачу об оптимальной форме колонны, нагруженной продольной силой Р:
найти форму колонны (упругого тела вращения), мак-
симизирующую критерий "прочности ", т. е. доставляющую
max ^, (0.1)
где Рс - критическая сила потери устойчивости, а V -объем колонны.
Потеря устойчивости колонны описывается известными уравнениями изгиба тонких стержней Бернулли - Эйлера (гравитационные силы не учитываются)
{Ely")" + Ру" = 0, 0 < х < L. (0.2)
где у{х) - функция прогиба, Е - модуль Юнга, 1{х) = irRA(x)/4: - момент инерции стержня круглого сечения радиуса Л, штрихи обозначают дифференцирование по х.
Ж.-Л. Лагранж рассматривал условия шарнирного опирання колонны на обоих концах:
1/(0) = (В7/)«-о = 0, y(L) = (EIy")x=L = 0. (0.3) Объем колонны описывается интегралом
V= [ A{x)dx, (0.4)
где А(х) = nR2(x) - площадь поперечного сечения. Для удобства введем безразмерные переменные
х = -, у = , (0.5)
. . A(Lx)L а (х) = -
А =
V 4тгРЬА
EV2 '
Тогда соотношения (0.1) — (0.4) примут вид (знак ~ над символами ж, у здесь и ниже опускаем)
{а2(х)у")п + \у" = 0, 0 < х < 1 (0.6)
у(0) = (a Wo = 0, 2/(1) = (аУ%=1 = 0, (0.7)
/ a(x)dx = 1. (0.8)
о Соотношения (0.6), (0.7) определяют задачу на собственные значения. Таким образом, задача Лагранжа сводится к максимизации первого собственного значения Л при изопериметрическом ограничении (0.8). Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж [15] пришел к выводу, что оптимальное решение задачи - колонна постоянного сечения (цилиндр). Ошибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член - корреспондентом С.-Петербургской Академии наук Томасом Клаузеном [5]. Как оказалось, оптимальное решение имеет вид
aQ(x) = -sm26(x),
у0(х) = sin3 9(х), 9{х) - - sin 2в(х) = тгх, (0.9)
Собственная функция уо{х) (форма потери устойчивости) определена с точностью до произвольного множителя. Критическая сила Ао для решения (0.9) в 4/3 раза превосходит соответствующее значение для колонны постоянного сечения а(х) = 1 и одинакового объема V = 1.
Задача Лагража (0.1) может быть сформулирована и слудующим образом: при заданной критической силе Рс найти колонну минимального объема (веса). Решение этой задачи и было, собственно, получено Т. Клаузеном [5] для граничных условий: жесткая заделка - свободный конец.
Ошибка Лагранжа и решение Клаузена описано в работе известного петербургского механика Е.Л. Николаи [22], опубликованной в 1907 году. Он обобщил решение Клаузена, введя дополнительное ограничение на минимально допустимую толщину колонны. Из отечественных исследований 30-х годов отметим статью Н.Г. Ченцова [32], рассмотревшего различные формы поперечного сечения стержня, и дипломную работу А.Ю. Ишлинского (1935г.).
В послевоенные годы задача Лагранжа стала популярной в США. Хотя эта задача и решение Клаузена упоминаются в книге СП. Тимошенко [30] по истории механики, Клиффорд Трусделл [31], не зная о Т.Клаузене и его российских последователях, предложил задачу Лагранжа для решения американским ученым Дж. Келлеру и Г. Вайнбергеру. Оба ученых с этой задачей успешно справились. Однако работа Г. Вайнбергера осталась неопубликованной, а Дж. Келлер [13] не только повторил решение Клаузена, но и показал, что для выпуклых поперечных сечений оптимальная колонна имеет форму равностороннего треугольника. Он же исследовал закрити-ческое поведение оптимальной колонны с одной формой потери устойчивости.
В работе И. Таджбахша и Дж. Келлера [29] были получены оптимальные решения и для других видов граничных условий: жесткая заделка с обоих концов колонны.
Н.В. Баничук [1] рассмотрел случай свободный конец -упругая заделка. Все описанные выше решения обладали одной формой потери устойчивости.
Однако в 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен [23] обнаружили, что решение приведенное в [29] для случая жесткой заделки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя линейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). В работах А.П. Сейраняна [26] были выведены условия оптимальности бимодального решения, указаны условия его возникновения и найдено аналитическое решение для случая жесткой заделки с обоих концов. Почти одновременно аналогичные результаты опубликовал американский ученый Е. Мейзур [17]. Оказалось, что бимодальные решения для жесткой заделки, полученные разными методами в [23], [26], [17], хорошо согласуются друг с другом.
Отметим, что для решения задачи Лагранжа в общей постановке потребовались практически все разделы вариационного исчисления, включая современные достижения. Эта задача стимулирует развитие новых математических дисциплин, таких как теория экстремальных задач с недифференцируемыми функционалами. Механическая сущность задачи о колонне позволила выявить и выбрать среди возможных экстремалей оптимальные решения, имеющие ясный физический смысл. В большинстве случаев оптимальные решения оказываются бимодальными (обладающими двумя линейно независимыми формами потери устойчивости), и в этом смысле являются равноустойчивыи. Этот факт означает, что для опре-
деления прогиба колонны необходим нелинейный анализ закритического поведения.
Попытки исправить доказательство Келлера - Тадж-бахша привели к потоку статей на тему о необходимых условиях оптимальности собственного значения оператора в том случае, когда оно кратно. См. работы А.С. Братуся [3], А.С. Братуся и А.П. Сейраняна [4], Накамурты [21], Кокса и Овертона [6], Овертона [21], А.П. Сейраняна [26] и другие.
Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в [29] и связанной с ней вариационной задачи.
Пусть Л - величина нагрузки вдоль оси ий- смещение колонны в ортогональном к оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна
і і
Т = [ EI(x)\u"{x)\2dx - Л [ \u\x)\2dx,
о о
где 1{х) - второй момент площади сечения колонны и Е - модуль Юнга. Критической нагрузкой Лі называется максимальное значение Л, при котором infu Т = 0. Таким образом,
Лі = inf F[u],
f EI{x)\u"{x)\2dx
F[u] = ^ ,
f \u'(x)\2dx о
где Hq - пространство функций, имеющих обобщенные
производные до второго порядка включительно, обраща-
ющихся в нуль на концах интервала вместе со своими первыми производными, с нормой
J./*
112/(^)11^(0,1) = ( /V (*) + У'Чх) + У"2Шх
\о
Уравнение Эйлера - Лагранжа для функционала F имеет вид
(Q(x)y"(x))" + \у"(х) = О,
где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям У(0) = 2/(0) = 2/(1) = 2/(1) = 0.
Если S(x) - площадь сечения колонны при 0 < х < 1, то Q(x) = ES2(x) = S2(x) (считаем модуль Юнга Е постоянным и равным 1). При этом объем колонны фиксирован, т.е.
і і
J S(x)dx = J ^/Q(x)dx = 1, Q(x) > 0.
о о
В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, если все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна, то есть составлена из слоев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие на функцию Q{x) можно заменить условием
/«(*)*: = 1.в(*)> 0,
при некотором а Є [0,1].
В работе Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева в [10] предложено альтернативное доказательство теоремы Келлера - Таджбахша, не зависящее от кратности собственного значения. Из результатов этих авторов следует, что форма колонны, найденная в [28] оптимальна, также как и значение 16тг2/3 критической нагрузки.
Поскольку задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны привлекала внимание ученых многих стран мира на протяжении более 200 лет, то представленный выше обзор литературы не может претендовать на полноту, но отмечает лишь наиболее заметные этапы в истории этой задачи.
Приведем некоторые постановки экстремальных спектральных задач, порожденных задачей Лагранжа.
Оценки собственных значений задачи Штурма - Лиу-вилля
-у"{х) + q{x)y(x) = \у(х),
2/(0) = У{1) = 0,
рассматривались в работах А.Г. Рамма [25], Дж. Таленти [28], X. Эгнелла [8], Ю.В. Егорова и С. Караа [9], С. Караа [12].
Среди этих работ можно выделить работы, в которых рассматривается задача Штурма - Лиувилля с интегральным условием на потенциал. Приведем некоторые из результатов, полученные в этом направлении.
Ю.В. Егоровым и В.А. Кондратьевым в [10] и [11] рассматривалась задача
у"(х) + \q{x)y(x) = 0,
2/(0) = г/(і) = о,
где q{x) - вещественнозначная суммируемая на (0,1) функция с положительными значениями, удовлетворяющая условию
/Л^ = 1, ^о.
о Были получены оценки минимального собственного значения Лі этой задачи в зависимости от потенциала q(x) при различных значениях /3. В процессе решения этой задачи рассматривались функционалы
і f y,2(x)dx
L[q,y] = -f2
J q(x)y2(x)dx о
і f y'2(x)dx
ЭД - -v ^
J\y(x)\Pdx
где P = jzf-
Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Лі может быть найдено следующим образом:
Лі = inf L[q, у].
у(х)еЩ(0,1)
Оценивались значения
тр = inf Лі, Мр = sup Лі,
Ч{Х)ЄЩ q(x)eRj3
где Rp множество вещественнозначных суммируемых на (0,1) функций q с положительными значениями и таких, что
Jq?(x)dx = l, /3^0,
о Основным результатом работы Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева является следующая теорема:
Теорема 0.1. Если /3 > 1, то
(/3-1)1+1# 2/1 1 1\ "* =/3(2/3-1)W* U'2"^J'M/5 = ' где В - бета-функция Эйлера
3(^) = /,-(1-^.
Существуют функции и(х) Є Яо(0,1) и q(x) Є і?# гаа-кие, что
inf Lfe,2/] = L[g,M] = m^.
Если j3 = 1, то ті = 4, Мі = оо. Если 0 < /3 < \, то
Существуют функции и(х) Є Щ(0,1) м д(х) Є і?# ша-?ше, что
inf b[g, 2/] = L[q, и] = Мр. у{х)єн№,\)
Если Р < 0, то
Существуют функции и(х) Є iJg (О? 1) и я(х) Є ^ такие, что
inf L[g, у] = L[g, и] = ІЦд.
у(х)еЯ^(0,1)
ifo/ш | < /3 < 1, то тр = О, Мр = оо.
К.Э. Куралбаевой в [14] рассматривалась подобная задача
у"(х) + \Р{х)у{х) = 0,
г/(о) = 1/(1) = о,
где Р(х) - измеримая неотрицательная функция, такая что
J *(1 - Х)Р(фХ < оо
/р>К(і-ж)^ = і,
о где 7 Є R, 7 7^ 0, а Є R, /З Є і?.
Были получены оценки наименьшего собственного значения Аі этой задачи при различных предположениях относительно Р(х) и соотношениях между а, /? и 7-
О.В. Мурышкиной в [20] рассматривалась задача Штурма - Лиувилля с симметричными краевыми условиями.
у"(х) + Хр{х)у(х) = 0,
{
2/(0) - fc22/(0) = О,
1/(1) + fc22/(l) = О, где р(ж) - функция из класса Аа, где Аа при а > 0 - множество неотрицательных ограниченных функций (при а < О Аа - множество положительных ограниченных функций), удовлетворяющих условию
/
pa{x)dx = 1, а ф 0.
о Исследовалась зависимость минимального собственного значения Лі этой задачи в зависимости от потенциала р(х) при различных значениях а. Рассматривался функционал
Jy,2{x)dx + k2y2{0) + k2y2(l)
L\p,y] = J
J p(x)y2(x)dx 0
Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Лі может быть найдено следующим образом:
Ai= inf L\p,y].
у(х)єНН0,1)
Оценивались значения
та = inf Лі, Ма = sup Лі.
р(х)єАа р(х)еАа
Обозначив
Q, = {у(х) : у(х) Є H\0,1)J \у(х)\Чх
приведем основной результат [20]:
Теорема 0.2. Если а > 1, то 0 < та < оо; Ма — оо7
причем существуют функции и(х) Є iJ1(0,1) и р(х) Є Аа, что
inf L\p, у] = L[p, и] = та.
у(х)еНЦ0,1)
Если а = 1, то ті = рт^, М\ = 2к2, причем эти оценки являются точными.
Если О < а < 1, то 0 < Ма < со, та = 0, причем существуют функции и(х) Є Нх(0,1) и _р(ж) Є Д*; что
inf L[p, у] = L\p, и] = Ма.
у{х)еНЦ0,1)
Если а < 0, то 0 < Ма < оо; та = 07 причем существуют функции и(х) Є if1 (О,1) и р(х) Є Аа, что
inf L[p,2/] = L\p,u] = Ма.
у{х)ЄЩ
Исследованиями подобных задач занимались также В.А. Винокуров, В.А. Садовничий [7]. Ими рассматривалась задача
у"(х) + (А - q(x))y(x) = 0,
2/(0) = 2/(/) = 0,
где q(x) - вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (О,/) функция.
Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить или уменьшить) собственное значение,
если q(x) меняется в пределах некоторого подмножества Q С Li[0j /], а именно,
Q = Up[t] = {дЄ Lp{0, l], \\q\\p < t}
есть замкнутый шар радиуса t > 0 с центром в нуле банахова пространства Lp[0, /],р Є [1, +оо].
В работе использовались следующие обозначения
An,pOO = sup An(g),
qeUp[t]
В случае q = О собственное значение Хп(о) = ^п,о-Оценивались
vn,p\t) = Лцр() — ЛП)о
- верхний сдвиг собственного значения на множестве Up[t]
и
un,P(t) = К,о - Ап,р(0
- нижний сдвиг собственного значения на множестве Up[t]
Получены следующие оценки сдвига собственного значения в пространстве L\.
Теорема 0.3. Для любых п Є N и t Є [0, оо[ верно неравенство
Теорема 0.4. Для любых п Є N и t Є [0, -~[ верно неравенство
В диссертации рассматривается следующая задача Штурма - Лиувилля:
у"(х) + 5Q(x)y{x) + \у{х) = О,
у(0) = 2/(1) = О,
где 5 = ±1, Q(x) - неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая условию:
/
Qa{x)dx = 1, а ф 0.
Исследуется зависимость минимального собственного значения Ai этой задачи от потенциала Q(x) при различных значениях а.
Для исследования первого собственного значения этой
задачи рассматривается функционал
і і
J y'2(x)dx — 5 f Q(x)y2(x)dx
R[Q,y] = r^
f y2(x)dx о
Согласно вариационному принципу
Ai= inf R[Q,y].
у(х)єЩ(0Л)
Пусть
ma = inf Ai, Ma = sup Ai,
Q{x)eAa Q{x)eAa
где Aa - множество неотрицательных ограниченных на
[0,1] функций таких, что J Qa(x)dx = 1.
Результаты, полученные в первой главе, формулируются в виде следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть S — —1. Если а > 1; то та = 7г2? Ма = const < оо; причем существуют такие функции и(х) Є Hq(0, 1) и Q(x) Є Аа, что
inf R[Q,y] = R[Q,u] = Ma.
у(х)еЩ(0,1)
о
Если а = 1, то ті = 7г2, Mi = у + 1 + \Лг2 + 4, причем существуют такие функции и(х) Є ^(0,1) м Q(sc) Є Аа, что
inf ад,2/] = д[д,м] = Мі.
уфєЯ^ОД)
Если 0 < а < 1, то та = 7г2, Ма = оо.
^"сли о; < 0; то та = const > 7г2, Ма = оо? причем существуют такие функции и(х) Є #g(0,1) w Q(^) Є Д*, что
inf Я[<3, г/] = R[Q, и] = та.
у{х)еЩ(0,1)
Результаты, полученные во второй главе, формулируются в виде следующей теоремы.
Т е о р е м а 2. Пусть 6 = +1. Если а > 1, то та = const > 0, Ма = тг2, причем существуют такие функции и(х) Є #о(0,1) и Q(x) Є Аа, что
inf R[Q,y] = R[Q,u]= та.
у(х)еЩ(0,1)
Если а = 1, то ті есть решение уравнения 2л/А = tg ( *y), Mi = 7г27 причем ті достигается на
функции Q(x) = 5 (х — ^).
Если 0 < а < 1/3; то та = —оо, Ма = const < 7г2.
ifc/m 1/3 < а < 1/2, то гаа = —оо, Ма < 7г2.
Если 1/2 < а < 1, то та = —оо, Ма = 7г2.
#а/ш а < 0, то та = — оо, Ма = const < 7г2; причем существуют такие функции и{х) Є іі/q (0,1) w Q(x) Є Ла; -что
inf R[Q, у] = R[Q, и] = Ma.
уфєЯ^ОД)
