Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Функциональные пространства и теоремы вложения . 19
1.1. Теоремы вложения и некоторые следствия 19
1.2. Обобщение результатов 26
Глава 2. Задача Дирихле 30
2.1. Постановка задачи 30
2.2. Решение вариационной задачи 32
2,3. Решение сингулярной задачи Дирихле с оператором Ав 35
2.4. Единственность решения сингулярной задачи Дирихле 44
2.5. Случай нескольких сингулярных переменных 49
2.6. В - полигармоническое уравнение 51
2.7. Решение основной краевой задачи для уравнения АЩи = 0 55
Глава 3. Задача Неймана 61
3.1. Постановка задачи 61
3.2. Решение вариационной задачи 63
3.3. Задача Неймана 65
Глава 4. Задача о собственных значениях 67
4.1. Постановка задачи 67
4.2. Предварительные неравенства 68
4.3. Существование первой собственной функции 71
4.4. Существование следующих собственных функций 79
4.5. Неубывание последовательности собственных значений 84
4.6. Замкнутость множества собственных функций 86
Список литературы 90
- Решение сингулярной задачи Дирихле с оператором Ав
- Случай нескольких сингулярных переменных
- Задача Неймана
- Существование первой собственной функции
Введение к работе
Актуальность темы. В ряде работ академика С.Л. Соболева, выполненных 40-х годах 20-го века, заложены основы применения функционального анализа в задачах для дифференциальных уравнений в частных производных и в математической физике. Эти исследования (объединены в его книге "Некоторые применения функционального анализа в математической физике", вышедшей в 1950 г., а переработанные и дополненные вышли в 1988 г.) послужили отправным пунктом многочисленных исследований дифференциальных уравнений, функциональных пространств и привели к созданию современного функционального анализа, подходов и методов для его применения в теории уравнений в частных производных. Важнейшую роль в этих исследованиях играют теория обобщенных функций, теоремы вложения функциональных пространств и теоремы о следах функций. Дальнейшее развитие заложенной С.Л. Соболевым методики исследования задач теории дифференциальных уравнений связано с широким использованием операционного исчисления Фурье обобщенных функций, созданное Л. Шварцем в 50-х годах и теории функциональных пространств дробной гладкости (типа пространств Соболева-Слободецкого). Первые окончательные результаты по проблеме следов функций из пространств С.Л. Соболева были получены Н. Ароншайном и независимо от него Б.М. Бабичем, Л.Н. Слободецким, Г. Фройдом и Д. Краликом. Л.Н. Слободецким построена полная теория анизотропных пространств с целыми и дробными показателями. Большой вклад в теорию вложения пространств внесли СМ. Никольский, О.В. Бесов, В.И. Буренков, В.П. Ильин, П.И. Лизоркин, СВ. Успенский и др.
Ясно, что идеи применения теорем вложения и теорем о следах для развития вариационных методов в задачах для сингулярных дифференциальных уравнений позволят открыть новые подходы к исследованию их решений, а, следовательно, являются в современном естествознании весьма актуальными.
Исследованию сингулярных эллиптических уравнений с оператором Бесселя В = -ggz -f 3- g- (7 > 0) посвящено много исследований как в нашей стране, так и за рубежом. Эти исследования вызывают большой интерес в связи с проблемой нахождения осесимметрического решения гармонического уравнения. Теория таких уравнений, известная как обобщенная осесимметрическая теория потенциала, развита американским математиком А. Ванштейном и его школой. В частности, АВанштейном в 1942г. (в двумерном
случае) построено фундаментальное решение уравнения Ав u = О,
Дв = Д.. + &г + зЬ Ь > 0)- м.н.
фундаментальное решение в многомерном случае в терминах гипергеометрических функций, при условии, что индекс 7 7^ 2,3,4, —
Принцип Дирихле для уравнения Двм = 0 в полупространстве изучался П.И. Лизоркиным. Он же впервые построил функцию Грина для краевой задачи с оператором Бесселя, используя результаты А. Ванштей-на и рассмотрел некоторые вариационные задачи. Среди исследователей сингулярных задач с оператором Бесселя такие известные математики как Я.И. Житомирский Л.Д. Кудрявцев, Б.М. Левитан, Л.Г. Михайлов, СА Терсенов.
Значительный вклад в исследование сингулярных дифференциальных уравнений внес И.А. Киприянов. Им построены весовые аналоги анизотропных пространств Соболева-Слободецкого (1967 г.), при этом он показал, что в задачах с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и оператором вида gx смешанное преобразование Фурье-Бесселя является столь же мощным инструментом исследования, как и классическое преобразование Фурье в задачах с оператором Лапласа. Создана завершенная теория весовых функциональных пространств (в настоящее время эти пространства известны как пространства Киприянова), которые оказались замкнутыми относительно прямых и обратных теорем вложения на многообразиях меньшей размерности. С помощью этих пространств им и его учениками создана методика исследования сингулярных эллиптических уравнений. В этой методике впервые используется идея о выделении в сингулярном операторе одного или нескольких особых направлений, которая в дальнейшем была применена в ряде работ, как у нас в стране, так и за рубежом.
Другой подход к построению весовых функциональных классов на основе операторов преобразования был предложен В.В. Катраховым, при этом весовой параметр может принимать не только действительные значения, но и комплексные. Эти исследования позволили перенести современную теорию дифференциальных уравнений на задачи для уравнений в частных производных с операторами Бесселя, действующим по одной или нескольким переменным.
В диссертации используется идея С.Л. Соболева исследования краевых задач Дирихле и Неймана вариационным методом, которая применяется к сингулярному дифференциальному уравнению
^ О2 52 , 7 д Дви = 0, Дв = ^ + ~ + -—, 7>0,
на основе результатов И.А. Киприянова по теоремам вложения и его идеи о выделении особых направлений.
Несмотря на довольно долгое исследование подобных уравнений разными учеными и школами подход, развитый С.Л. Соболевым при изучении задач Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа, так и не был реализован в задачах для сингулярных дифференциальных уравнений в ограниченной области, где роль оператора Лапласа играет оператор Ag Здесь можно увидеть две причины. Соболевский подход для таких задач легко осуществляется (разумеется при подходящем выборе весовых функционалов) применением срезок для шаровых окрестностей с центром на сингулярной гиперплоскости хп = 0, но не может быть распространен на задачи в области граница которой, принадлежащая полупространству хп > 0 (обозначение Г+), удалена от сингулярной гиперплоскости на расстояние большее половины диаметра той части границы, которая принадлежит сингулярной гиперплоскости хп = 0 (обозначение Г). Тем самым принцип Дирихле оказывался обоснованным лишь в полупространстве хп > 0. Вторая причина состоит в том, что методика применения кип-рияновских теорем вложения требует неизменности веса в применяемых при решении сингулярных задачах весовых интегральных формах, но это возможно, лишь при соответствующем поведении границы в окрестности гиперплоскости хп = 0.
Таким образом, в диссертационной работе ставится и решается одна из актуальных проблем теории сингулярных дифференциальных уравнений, имеющая широкое теоретическое и практическое значение для уравнений в частных производных и в задачах математической физики с элементами осевой или многоосевой симметрии.
Цель работы. Обоснование принципа Дирихле и разработка вариационных методов решения задач Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специального вида. Разработка вариационных методов решения основной задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида. Постановка и решение задачи о собственных значениях для оператора Дв- Разработка вариационных методов построения собственных функций в ограниченной области.
Методика исследования. В диссертации использованы методы теории функций, функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений.
Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты. 1. Разработан вариационный метод решения задачи Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специаль-
ного вида.
Разработан вариационный метод решения основной краевой задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида.
Найдена конструкция функционалов, минимизирующие последовательности которых сходятся к решениям задачи на собственные значения для сингулярного дифференциального оператора Дз- Доказано существование первого и последующих собственных функций и доказана теорема о замкнутости соответствующей бесконечной последовательности собственных функций.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в конкретных задачах математической физики с осевой симметрией. Методы вариационного исследования могут быть использованы для уравнений, содержащих по одному или нескольким направлениям оператор Бесселя, в частности для уравнения Пуассона, и в методе Фурье разделения переменных в задачах математической физики со сферической или осе-симметрической симметриями.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках", (Воронеж, 2000г.), на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения — X" (1999г.), "Понтрягинские чтения — XI" (2000г.), "Понтрягинские чтения - XIII" (2002 г.), на Воронежской зимней математической школе (2004 г.), на ежегодных научных конференциях Воронежского госуниверситета (2001г., 2002г., 2004г.), семинарах кафедры дифференциальных уравнений.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [12]. В совместной работе [7] И.А. Киприянову принадлежит идея и формулировка некоторых результатов, доказательства же принадлежат автору работы. Работы [10] - [11], посвященные обобщениям результатов диссертации, касающихся задач для В-гармонических функций, выполнены совместно с Л.Н. Ляховым, которому принадлежит идея этого обобщения, доказательства соответствующих теорем (и соответствующих теорем вложения) получены лично автором.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, объединяющих в общей сложности 18 параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации 95 страниц. Библиография содержит 48 наименований.
Решение сингулярной задачи Дирихле с оператором Ав
Доказательство. Покажем, что VQ (четная по переменной хп) внутри 1+ имеет непрерывные производные любого порядка и удовлетворяет уравнению (2.7). Пусть Є W2y{&+), f+ = 0 в остальном произвольна. Рассмотрим функционал где функционал Ф7(и) определен равенством (2.2), а Так как г/0 + А И М, то Ф7(и0 + Л) d = Ф7(г?о). Поэтому (2.9) имеет минимум при А = 0. По известной теореме Ферма из классического анализа Следуя С.Л.Соболеву [46] выберем функцию специальным образом. Пусть ф(г}) такова, что ф{г\) = 1 при 0 7) 1/2, ф{т}) — 0 при т/ 1; ф(т}) монотонна в [1/2,1] и имеет для всех Г} Є [0, со) непрерывные производные любого порядка. Рассмотрим некоторую внутреннюю точку области Г, которая лежит на гиперплоскости хп = 0, так что координата по хп этой точки будет равна нулю; расстояние до (жі, ...,жп-і,0) от любой точки {у1,..-,уп-ъу) Є + (здесь у 0) обозначим через г, так что г2 = (хі - у\)2 + ... + (яп_2 - уп-2)2 + (z„-i - уп_і)2 + у2. В области у О рассмотрим обобщенный сдвиг следующего вида [24], Оператор Бесселя применяется по n-ой переменной, т.е. по у, Соответственно, Билинейная форма Ф7(т/о,) принимает следующий вид Известно, что функция г2 п у является сингулярным решением уравнения А и = 0 с особенностью в точке (#1,..., жп_і,0), лежащей на гиперплоскости жп = 0, т.е. Ад г2-""7 = 0. Применение оператора Туп приведет к функции Тупг2 п у, особенность которой будет находиться внутри области П+, т.е. в точке (xi, ...,xn-i,xn). Оператор обобщенного сдвига и оператор Бесселя коммутируют, следовательно, поэтому Ту "г2-"-7 также будет сингулярным решением с особенностью во внутренней точке области Q+. Предполагается, что точка (xi,..., жп-ь 0) Є Г отстоит от участка грани-цы Г4" на расстоянии S. Выберем числа Лі и / такими, что 0 h\ h% 5. Положим Очевидно, что f+ = 0 в силу выбора /її и /іг, четна по переменной у. Кроме того, — 0 для г - и, следовательно, функция непрерывна, четна и имеет непрерывные производные любого порядка, и поэтому принадлежит W2y(Q+). Для такой имеет место (2.12). В силу определения обобщенной производной имеем: Очевидно, что правая часть есть функция только от j . Пользуясь тем, что V CF) для г if и Дв 2_п_7 = 0, получаем, что ш( ) = 0 при У 2
Следовательно, Дд есть разность двух четных, сколько угодно раз дифференцируемых во всем полупространстве функций, и равенство (2.14) дает Умножим обе части равенства (2.15) на n+- W-, где ап+1 - весовая площадь поверхности единичной полусферы с центром на гиперплоскости у = 0 [19]. Тогда получим полупространству равен единице. В самом деле, от участка границы Г+ дальше, чем на 5. Следовательно, предел при h — О (vo)h совпадает с самой последовательностью, т.е. (vo)h = Щ- Так как (vo)h четна и имеет непрерывные производные любого порядка, то это же верно и для vo Пусть теперь - любая четная функция, непрерывная с производными первого порядка в 0+ и равная нулю вне некоторой подобласти области П+. Тогда, очевидно, с помощью интегрирования по частям в (2.12) получаем іШг /sin7"1 a . „ {у/у + х1-2хпусойа} da =Т;»\/(у)\2. 2 о Рассмотрим сначала одномерный случай преобразования Фурье - Бесселя (Ганкеля). Пусть f(x) 6 S+, где S+ - подпространство пространства Шварца бесконечно дифференцируемых и быстро убывающих функций, состоящее из четных по х функций. Тогда преобразование Фурье - Бесселя основной функции j{x) будет иметь вид: Ясно, что T%f(x) Є S+ вместе с f(x) Є S+, так как нормированная функция Бесселя первого рода jari(sy) ограничена на действительной оси и f(s) Є S+. Другими словами, оператор обобщенного сдвига переводит основную функцию, принадлежащую 5+, снова в функцию из 5+. Формула обращения преобразования Фурье - Бесселя имеет следующий Оператор обобщенного сдвига обладает следующими свойствами: 1) линейности и однородности; 2) положительности T f(x) О, если f(x) 0; 3) ТУ{1} = 1; 4) если f(x) = 0 для х з, то T%f{x) = 0 для \х — у\ а; 5) ограниченности Т/(з;) T \f(x)\ sup/(a;) при х 0. Выше мы отметили его свойство ограниченности в 2,7 (см- формулы (2.21)-(2.24)). Заметим также, что C(R+) D S+{R+). Нетрудно показать, что если VQ И "1") по переменной у, то и Tynvo W2 (0,+) по переменной хп. Это следует из того, что Здесь речь идет о смешанном преобразовании Фурье - Бесселя порядка 2 —. Аналогично справедливо утверждение и о принадлежности T VQ В терми 1/2 нах граничного функционального пространства W2 (Г+). В самом деле, 1 /2 пусть W2 (R+) пространство функций v Є Ь2П(Я), смешанное преобразование Фурье - Бесселя которых (см, [17]) порядка , определенное по формуле
Случай нескольких сингулярных переменных
В этом параграфе рассматривается задача Дирихле для уравнения с оператором д = дЧв„ Д = . Д = + , где 7Ї - фиксированные положительные числа, образующие мультииндекс 7 длиной І7І = 7n+i + — + 7JV Здесь иод Q+ понимается ограниченная область из R — {(х ,х"), х = (жі, ...,жп),х" = (жп+1, ...,xjv),a;j 0, = n + l,7V}, прилегающая к координатным гиперплоскостям жп+і — О,.,,, ж# = 0, такая, что область ГЇ, полученная объединением данной области П+ с областью І7-, образованной зеркальным отображением Q+ от гиперплоскостей xn+i = 0,..., ждг = О, имеет границу, являющуюся гладким многообразием размерности N — 1. Кроме того, предполагается, что каждый цилиндр (в J? -) с основанием на XJ 0 с направляющей {rrj = 0} П Г+ П Г, j = п + 1, N и с образующей, параллельной оси OXJ, содержит область Г+. Через W l } обозначим множество функций v Є И П"1"), принимающих на Г+ значения tp 6 W2{7 (Г+). Для каждой функции v Є W i } функционал удовлетворяет условию 0 Ф7(? ) оо; следовательно, существует точная нижняя граница значений функционала можно выделить последовательность {v }, для которой Теорема 2.5. Минимизирующая последовательность (} сходится в W27{n+); предельная функция принадлежит W p] и дает функционалу &y(v) (2.31) наименьшее значение среди всех таких функций. Доказательство проводится аналогично теореме 2.1. Норма в Ж21 (Г2+) определяется формулой В ограниченной области Q+ из 1.1 уравнение вида или, что то лее самое, уравнение которое мы и называем В - полигармоническим. Уравнение (2.34) является уравнением Эйлера для (функционала) интеграла Следуя С.Л.Соболеву [46], под Ll2AQ,+) будем понимать множество, элементами которого являются классы из Wg (П+), имеющие все одинаковые производные I — го порядка. Множество образует векторное пространство. Ясно, что Пусть и Є т( +)- Приведенные вначале прямые и обратные теоремы вложения о следах на Г+ позволяют утверждать, что в этом случае имеет смысл говорить о производных по нормали (j — 0,1,..., m — 1) на Г+, принадлежащих соответственно функциональным пространствам Основная краевая задача в этом случае состоит в нахождении В - полигармони ческой функции из W JQ, ), то есть нахождении в ограниченной област аналогично теореме 2.1. Норма в Ж21 (Г2+) определяется формулой В ограниченной области Q+ из 1.1 уравнение вида или, что то лее самое, уравнение которое мы и называем
В - полигармоническим. Уравнение (2.34) является уравнением Эйлера для (функционала) интеграла Следуя С.Л.Соболеву [46], под Ll2AQ,+) будем понимать множество, элементами которого являются классы из Wg (П+), имеющие все одинаковые производные I — го порядка. Множество образует векторное пространство. Ясно, что Пусть и Є т( +)- Приведенные вначале прямые и обратные теоремы вложения о следах на Г+ позволяют утверждать, что в этом случае имеет смысл говорить о производных по нормали (j — 0,1,..., m — 1) на Г+, принадлежащих соответственно функциональным пространствам Основная краевая задача в этом случае состоит в нахождении В - полигармони ческой функции из W JQ, ), то есть нахождении в ограниченной области Г2+ функции, которая четна по переменной жп_ь 2т раз непрерывно дифференцируема, удовлетворяет внутри области Q+ уравнению Agu = О и принимает на участке границы Г+ заданные значения р (j = 0,1, ...,m — 1), принадлежащие соответственно W 3 (Г+). Пусть WglyiifQyifi, ...,tpm-i} - множество функций v Є VK ,(n+), принимающих на Г+ соответственно значения ро, рі,..., рт-і в указанном в теоремах о следах смысле. Обратная теорема о следах из 1.1 показывает, что множество W lifj] (j = 0,1,..., m — 1) не пусто и каждая ipj Є Wl 3 (Г+). Для каждой v Є И ТД о, 4 ъ Л} имеем 0 Ф7(г ) со; следовательно, существует точная нижняя грань Ф7(гі) где 7 фиксированное положительное число. Из множества W"7{ 0 Vi; Лп-і} можно выделить минимизирующую последовательность {v }, так что Докажем, что (} сходится в W (Q+). Как и выше, мы используем эквивалентные нормы. Определим норму в W2 7(i 2+) формулой эта норма будет эквивалентна соответствующим нормам, указанным и Г2+ функции, которая четна по переменной жп_ь 2т раз непрерывно дифференцируема, удовлетворяет внутри области Q+ уравнению Agu = О и принимает на участке границы Г+ заданные значения р (j = 0,1, ...,m — 1), принадлежащие соответственно W 3 (Г+). Пусть WglyiifQyifi, ...,tpm-i} - множество функций v Є VK ,(n+), принимающих на Г+ соответственно значения ро, рі,..., рт-і в указанном в теоремах о следах смысле. Обратная теорема о следах из 1.1 показывает, что множество W lifj] (j = 0,1,..., m — 1) не пусто и каждая ipj Є Wl 3 (Г+). Для каждой v Є И ТД о, 4 ъ Л} имеем 0 Ф7(г ) со; следовательно, существует точная нижняя грань Ф7(гі) где 7 фиксированное положительное число. Из множества W"7{ 0 Vi; Лп-і} можно выделить минимизирующую последовательность {v }, так что Докажем, что (} сходится в W (Q+). Как и выше, мы используем эквивалентные нормы. Определим норму в W2 7(i 2+) формулой эта норма будет эквивалентна соответствующим нормам, указанным раньше. Из равенств Так как пространство W if "1") полное, то заключаем, что существует предельная функция и 1 2 у( +), для которой \\и — ffciy2m(a+) - 0. Так же как в задаче Дирихле в случае т — 1 доказывается, что Не существует двух различных функций, удовлетворяющих (2.38) и (2.39). В самом деле, если бы и і и «2 были такими двумя функциями, то последовательность Hi, 2, щ, v 2,... была бы минимизирующей и, следовательно, сходящейся, что возможно лишь при условии щ = щ. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2.7. Минимизирующая последовательность {vk} сходится в W JQ ), предельная функция принадлежит И Ду?о, Vb m-i} и дает функционалу Ф7( ) (2.35) наименьшее значение среди всех таких функций. Предельная функция единственна.
Задача Неймана
В ряде работ академика С.Л. Соболева, выполненных 40-х годах 20-го века, заложены основы применения функционального анализа в задачах для дифференциальных уравнений в частных производных и в математической физике. Эти исследования (объединены в его книге "Некоторые применения функционального анализа в математической физике", вышедшей в 1950 г., а переработанные и дополненные вышли в 1988 г.) послужили отправным пунктом многочисленных исследований дифференциальных уравнений, функциональных пространств и привели к созданию современного функционального анализа, подходов и методов для его применения в теории уравнений в частных производных. Важнейшую роль в этих исследованиях играют теория обобщенных функций, теоремы вложения функциональных пространств и теоремы о следах функций. Дальнейшее развитие заложенной С.Л. Соболевым методики исследования задач теории дифференциальных уравнений связано с широким использованием операционного исчисления Фурье обобщенных функций, созданное Л. Шварцем в 50-х годах и теории функциональных пространств дробной гладкости (типа пространств Соболева-Слободецкого). Первые окончательные результаты по проблеме следов функций из пространств С.Л. Соболева были получены Н. Ароншайиом [1] и независимо от него Б.М. Бабичем, Л.Н. Слободецким [2, 45], Г. Фройдом и Д. Краликом [48]. Л.Н. Слободецким построена полная теория анизотропных пространств с целыми и дробными показателями. Большой вклад в теорию вложения пространств внесли О.В. Бесов [4], В.И. Буренков, В.П. Ильин [11, 12], П.И. Лизоркин [25, 26], СМ. Никольский, СВ. Успенский и др. Ясно, что идеи применения теорем вложения и теорем о следах для развития вариационных методов в задачах для сингулярных дифференциальных уравнений позволят открыть новые подходы к исследованию их решений и являются в современном естествознании весьма актуальными.
Исследованию сингулярных эллиптических уравнений с оператором Бесселя В — у + - gf- (т 0) посвящено много исследований как в нашей стране, так и за рубежом. Эти исследования вызывают большой интерес в связи с проблемой нахождения осесимметрического решения гармонического уравнения. Теория таких уравнений, известная как обобщенная осе-симметрическая теория потенциала, развита американским математиком А. Ванштейном и его школой. В частности А.Бакштейном в 1942г. (в двумерном случае) построено фундаментальное решение уравнения Д# и = 0, Дд = Да; + + - gf- (7 0). М.Н. Олевским в 1949 г. получено фундаментальное решение в многомерном случае в терминах гипергеометрических функций, при условии, что индекс 7 Ф 2,3,4, — Принцип Дирихле для уравнения А и — 0 в полупространстве изучался П.И. Лизоркиным. Он же впервые построил функцию Грина для краевой задачи с оператором Бесселя, используя результаты А. Ванштейна и рассмотрел некоторые вариационные задачи. Среди исследователей сингулярных задач с оператором Бесселя такие известные математики как Я.И, Житомирский [10], Л.Д. Кудрявцев [22, 23], Б.М. Левитан [24], Л.Г. Михайлов, С.А. Терсенов. Значительный вклад в исследование сингулярных дифференциальных уравнений внес И.А. Киприянов [17] -[20]. Им построены весовые аналоги анизотропных пространств Соболева-С л ободе цко го (1967 г.), при этом он показал, что в задачах с сингулярным дифференциальным оператором Бесселя и оператором вида -—— смешанное преобразование Фурье-Бесселя является столь же мощным инструментом исследования, как и классическое преобразование Фурье в задачах с оператором Лапласа. Создана завершенная теория весовых функциональных пространств (в настоящее время эти пространства известны как пространства Киприянова), которые оказались замкнутыми относительно прямых и обратных теорем вложения на многообразиях меньшей размерности. С помощью этих пространств им и его учениками создана методика исследования сингулярных эллиптических уравнений, В этой методике впервые используется идея о выделении в сингулярном операторе одного или нескольких особых направлений, которая в дальнейшем была применена в ряде работ, как у нас в стране, так и за рубежом. Другой подход к построению весовых функциональных классов на основе операторов преобразования был предложен В,В. Катраховым [13], при этом весовой параметр может принимать не только действительные значения, но и комплексные.
Существование первой собственной функции
Эти исследования позволили перенести современную теорию дифференциальных уравнений на задачи для уравнений в частных производных с операторами Бесселя, действующим по одной или нескольким переменным. В диссертации используется идея С.Л. Соболева исследования краевых задач Дирихле и Неймана вариационным методом, которая применяется к сингулярному дифференциальному уравнению на основе результатов И.А. Киприянова [17] по теоремам вложения и его идеи о выделении особых направлений. Несмотря на довольно долгое исследование подобных уравнений разными учеными и школами подход, развитый С.Л. Соболевым при изучении задач Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа, так и не был реализован в задачах для сингулярных дифференциальных уравнений в ограниченной области, где роль оператора Лапласа играет оператор Ав- Здесь можно увидеть две причины. Соболевский подход для таких задач легко осущест вляется (разумеется при подходящем выборе весовых функционалов) применением срезок для шаровых окрестностей с центром на сингулярной гиперплоскости хп — О, но не может быть распространен на задачи в области граница которой, принадлежащая полупространству хп 0 (обозначение Г+), удалена от сингулярной гиперплоскости на расстояние большее половины диаметра той части границы, которая принадлежит сингулярной гиперплоскости хп = 0 (обозначение Г). Тем самым принцип Дирихле оказывался обоснованным лишь в полупространстве хп 0. Вторая причина состоит в том, что методика применения киприяновских теорем вложения требует неизменности веса в применяемых при решении сингулярных задачах весовых интегральных формах, но это возможно, лишь при соответствующем поведении границы в окрестности гиперплоскости хп = 0. Таким образом, в диссертационной работе ставится и решается одна из актуальных проблем теории сингулярных дифференциальных уравнений, имеющая широкое теоретическое и практическое значение для уравнений » в частных производных и в задачах математической физики с элементами осевой или многоосевой симметрии. Целью работы является обоснование принципа Дирихле и разработка вариационных методов решения задач Дирихле и Неймана для В-гармонического уравнения в ограниченной области специального вида, разработка вариационных методов решения основной задачи для В-полигармонического уравнения в ограниченной области специального вида, постановка и решение задачи о собственных значениях для оператора Д#.
Разработка вариаци онных методов построения собственных функций в ограниченной области. В диссертации использованы методы теории функций, функционального анализа, теории дифференциальных и интегральных уравнений. Первая глава носит вводный характер и содержит сведения из теории киприяновских пространств, необходимые в дальнейшем. Следует отметить, что эти пространства напоминают анизотропные пространства Сло-бодецкого, но есть принципиальная разница в содержании теорем вложения. Рассмотрим область Q+, расположенную в части пространства R% {{х ,х"),х = (хъ...,хп),х" = (ж і,... ), 0,i = n+l,iV}, прилегающую к гиперплоскостям ХІ = 0, і = п -h 1,..., N. Ее граница состоит из участка Г+, расположенной в части пространства R , и участков Г, каждый из которых принадлежит одной из гиперплоскостей xi = О, і — n + 1,..., JV. Через Г+ обозначим замыкание Г+. Будем предполагать, что П+ ограничена и что Г+ является бесконечно дифференцируемым многообразием размерности JV — 1 с краем, а сама область локально расположена по одну сторону от Г+. Обозначим через Q последовательное зеркальное отображение области Q+ относительно гиперплоскостей ХІ = 0, г = п + 1,...,ЛГ. Предполагается, что граница области П Q+ U Q представляет собой гладкое многообразие размерности N 1 и область Q, расположена локально по одну сторону от Г. Рассмотрим участок границы, имеющий непустое пересечение с некоторыми из указанных выше гиперплоскостей ХІ — 0. Предположения относительно области Q+ и ее границы дают возможность введения локальных координат в покрытиях границы Г+, имеющих непустое пересечение с Г, не меняющее этих весовых переменных. В этом случае весовые функцио нальные классы оказываются инвариантными относительно соответствующих преобразований координат. Обобщением теорем И. А. Киприянова о следах весовых классов для случая нескольких весовых переменных являются следующие теоремы. дк Теорема 1.3. Пусть и Є Ж Гї4"). Тогда существуют следы производных j jjt (& — 0,1,..., m — 1) по нормали на Г , принадлежащие W k 1/2(r+). При этом
