Введение к работе
А к і j з л ьп о о і ь томи. Развлтпе теорпп ks-июсепчпякпх краавих задач началось п послэвсешшв года О :й6от.-іх сойртскяХ іі зарубззгЕне математиков: Трпкомп* *Гразік— га, Геллорстчдтп, М.А.Лрврвіиьвва, А.В.Бацадзз. В Союзе бн-[О представлено несколько школ, в которих продолжались ра-іота этого направления: Новосибирск (.М.АЛавреитьев, ^В.Блцадзе), Москва {А.Л.Сэиарокпа, Л.В.Бяцадзо. Щ.А.Алл-юв, Е.И.Мопееев), Нальчик (А.М.Пахуітав), Тзмкаат (i.f.C.Cs-зхптдаиоз» Т.Д>Джур.іг.і!}.
В частности, пптвтісивному развптіга твортд нелокальных pnoB'U задач полоаалл работы А.В.Бпцадзз а А.А.Самарского ISS9 г.). Оня б«ля отяг.цгдзровз:?и псследошпгямл в творвп яаз'.с. Хотя періз;;о результати б гидроданомичесітх и готаз-екных прялатоипях биля получены тяісжс? М.А.Лаврентьевым ІЇЮа г»>» 1ЫКДагалк*оя (1970 г.), в монографии Фрпдмапа RSfflanjiOTisjra ярпіїцппн и задача со свободными границам». .: Наука. 19ЯЗ Г.) П статьях Телішп R. (1972), Fraenkel Ь., iergor М. (1974), 3tunrt С, Тоїап-Л (75вО) В др., отаут-fsyof ссылки На работы М.А.Лзврептьепа п ИЛІ.Дчяалк;ш. Тзіїпсантоко.і школо двффарвкцяадшме уравпвниіі многомзрио-і обобщенна задачи И.И.Даняликя {15*70 г.) посвящена пор-!Я главо диссертации (п книги) А.СЛІаллкулова (1992 г.).
В работах J.SJjbrand (1979), Bereetjrcki И.і Brezis И. 1976), Alssr.suev U.K., ?lel««tann 3.A. (1S01) В болое )ЗДШ)Х Cuett*r А.А. (1985), St'iart А.К. (1989), НогЪи-у J., 3tuavt а.іі. О 988) для решения обобсопші задачи
Данилюка И.И, применяются методы теории иетвления решении нвлиивїіїшх уравнение и, в частнооти, вариационные методы, Существенно связано о этимц методами нелине."шая задача на соботвешшэ вначения для оператора кривизны. Она представляет собоіі промежуточны;! этап в бифуркационном подходе к решению такого рода аадач со свободно!) границей.
Нелинейная задача на собственные значения со смещениями для оператора кривизни находит также приложения в теории капиллярных явлении двуслойных и многослойных жидкостей.
При решении бифуркационных задач начальним этапом слу-дит соответствующая спектральная теория линеаризованных в точках бифуркации нелинейных операторов (гл. УШ, 29 книги М.М.Ваііцбарг, В.А.Треногий "Теория ветвления решении нелинейных уравнении'! !4.: Наука, I9S9). Поэтому первая глава диссертации' поовлщена вычислению собственных и присоединенных функций задач со смещением (или типа Бицадзе-Самар-ского) для оператора Лапласа, лвлявдогося линейно*! частью оператора кривизны. Эти результаты представляют и самостоятельный интерес. Однако, они находят прилояашіе, кроме задач теории ветвления (Б.В.Логинов, A.M.Нагорный, 1987), также при решении.дифференциальных уравнении с малым параметром при старше производное и в теории разложении в ряды по собственным и присоединенным функциям (В.А.Ильин, .И.моисеев, И.Сломов). В диссертации теория многомерного ьетвланнл в условиях групповой симметрии применяется к решению нелинейных задач на собственные значеная со смещениями для оператора кривизны.
і1, оль работы заключается в построении абвмп-тотпкн малых развзтэляицихся решений нелинейных задач на собственные значения для оператора кривизны оо смещениями, з также в исследовании спектральних вопросов соответствующих линеаризованных задач.
Методи 1с о исследования* В работе используются методы спектральной теории линейных дифференциальных операторов, функционального анализа, теории ветвления решений нелинейных уравнений и методы группового анализа дн.йеренциалышх уравнении.
Научная новизна п практической значимость. В работа даны различные обоб-щааия постановок задач типа Бицадзе-Самзрского для оператори Лапласа с последующим исследование?,* жордаковоЛ отрук-тур'ї (определение собственных и присоединенных элементов)I Основным моментом в постановке плоских и пространственных зздеч такого типа является установление факта; что для возможности их решения методом Фурье разделения переменных /J./.-по, чтобы смещение происходило по траекториям, ор* тогональна:.» к поверхностям, на которых задаются нелокальные условия сиэщени.ч. Для соотвоїотвувдих нелинейных задач на собственные значения для оператора кривизны построена асимптотика малых разветвляющихся решений в окрестности точек бифуркации. Представляет несомненный самостоятельный интерес построение общего вида непрерывных и аналитических уравнений рэзветвленкл, аопускнгиих симмат-' риЬ'групп вращений, язхяодееся основой построения асимптотики палых рачввтилявдвхоя peaemw. Результати работы могут на.1ти пр;і:.'.єноі№« о теория задач со свободно!! грани- '
_ to -
цей и в іеорші капиллярных явлена.!.
Аиробвцая работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференция по краевым задачам и их спектральным вопросом' для дифференциальных уравконий (г. Адма-ата, маИ 1991 г.), на втором международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (г. Пловдив^ Болгария, август 1991 г.), на международной научное конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям, .математической физике и специальным функциям (г, Самара, tsaii 1992 г»'),'на УШ конференции СНГ но качественной теории дифференциальных уравнении (г. Самарканд, сонгябрь 1902 г.), на конференции по моделированию и исследованию устойчивости процессов (г. Киев, aaii IS33 г.), па городском научном семинаре Института математики All РУз, (в октябре 1993 г., рук. акад. М.С.Салахитдинов, акад." Ї.Д.Джураек), на конференциях молодых учеши: Института математики ЛІЇ РУз.
П у б л и к а ц и и. .По теме диссертации опубликовано семь работ, в которых отракено её основное содержание.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, и изломена на 114 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 56 наименований.
