Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Классические и специальные постановки нелинейных задач уравнения теплопроводности 27
1.1. Общие характеристики задач по исследованию температурных полей в теплопроводящих средах 27
1. 2. Априорные оценки 33
1. 3. О разрешимости задач для некоторых нелинейных уравнений теплопроводности 45
1.4. О сильно нелинейных уравнениях параболического типа 52
Глава 2. Нелинейные задачи теплопроводности для ограниченных и полу ограниченных стержней в многослойных системах 58
2.1. Периодические решения нелинейных задач уравнения теплопроводности для ограниченных и полуограниченных стержней 58
2.2. Распространение тепловых процессов в полуограниченных стержнях для сред с памятью 71
2.3. Решение нелинейных уравнений теплопроводности для слоистых сред с использованием метода эквивалентной линеаризации 76
2.4. Решение нелинейных задач уравнений теплопроводности в многослойных системах 86
2.5. Одномерные нестационарные задачи теплоизлучения в полупространстве 93
2.6. Решение задачи уравнения теплопроводности в массивных ферромагнитных телах при одновременном намагничивании постоянным и
переменным магнитными полями 98
Литература
- Априорные оценки
- О сильно нелинейных уравнениях параболического типа
- Распространение тепловых процессов в полуограниченных стержнях для сред с памятью
- Одномерные нестационарные задачи теплоизлучения в полупространстве
Априорные оценки
Уравнение теплопроводности. Явление теплопроводности в материальной среде, характеризуемой коэффициентом теплопроводности Я, теплоемкостью с и плотностью р, описывается скалярным полем температуры и = u(p,t), зависящихот трёх пространственных координат х, у, z и времени t. Связь между временными и пространственными изменениями температуры устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности Простейшие случаи тепло физические характеристики среды и источники тепла не зависят от температуры, и уравнение (1.1.1) становится линейным. Если Я, с и р постоянны, то среда называется однородной и изотропной.
Уравнение теплопроводности для такой среды преобразуется к стандартному виду охватывает все реальные среды и протекающие в них тепловые процессы. Уже в случае неоднородных, кусочно-однородных, а также анизотропных сред приходится обращаться к соответствующему (1.1.1) линейному уравнению, полагая Х = X(p,t), с = с (p,t), р = р (p,t) и рассматривая коэффициент теплопроводности Я как тензорную величину.
С повышением температуры коэффициент теплопроводности для большинства твердых тел увеличивается примерно по линейному закону [1], а в случае лучистого механизма передачи тепла его зависимость от температуры становится степенной - Я = Л0ик, к О [2].
Более сложные зависимости теплофизических характеристик Я, с и р от температуры привлекаются при рассмотрении низкотемпературных процессов и процессов, сопровождающихся фазовыми переходами. В перечисленных и некоторых других случаях уравнение теплопроводности (1.1.1) квазилинейно.
Источники тепла могут быть сосредоточены в точке на линии или на некоторой поверхности. В этих случаях их объемная плотность (производительность) W выражается с помощью дельта - функции Дирака с носителем в точке, на линии или поверхности, умноженной на мощность источника, его линейную и соответственно поверхностную плотность. В частности, при процессах кристаллизации и плавления W = + р Фг8 (Ф), где р - скрытая теплота кристаллизации; S (Ф) - дельта-функция Дирака с носителем на подлежащей определению поверхности фазового перехода Ф(х,у,гД) = 0. [1,3,4].
В некоторых случаях необходимо учитывать зависимость источников тепла от температуры, например, когда они порождаются протеканием электрического тока в электропроводящей среде или химическими реакциями в процессах с возгоранием.
Закон Фурье. Уравнение (1.1.1) предполагает выполнение основного закона теплопроводности - закона Фурье q = —Xgradu, (1.1.3) выражающего коллинеарность векторов плотности теплового потока и градиента температуры с коэффициентом пропорциональности Я = Л(р, t, и). Стратифицированной водной и воздушной среды механизм передачи тепла носит турбулентный характер и вместо (1.1.3) рассматривается сложная нелинейная зависимость q = q(gradii). В простейшем случае принимается [5,6] q = — Я (\gradu\) gradu, где Я - скалярная величина, называемая коэффициентом турбулентным теплопроводности. Для одномерных тепловых полей Я = Я0(1 — /?их)-1, где Я0 и р - экспериментально определяемые постоянные. Такое обобщение закона Фурье, естественно, приводит к нелинейности уравнения (1.1.1).
Условия сопряжения. Пусть Ф (х,у, z, t) = О- некоторая поверхность, разделяющая две среды с различными тепло физическими характеристиками Я, с и р, а источники тепла сосредоточены только на этой поверхности с плотностью W = q- 5(Ф), (1.1.4) где q - мощность источников, отнесенная к единице площади (поток тепла в направлении нормали п). Из дифференциального уравнения (1.1.1) в этом случае следует, что при переходе через поверхность раздела поток тепла терпит скачок, равный коэффициенту при дельта-функции, а сама температура непрерывна
Здесь и п=±0 - пределы функции и справа и слева от точки п = 0, лежащей на поверхности Ф (х, y,z,t) = 0. При неидеальном тепловом контакте, когда [u]n=o 0, условия сопряжения записываются в виде условий теплообмена по закону Ньютона где а - коэффициент теплообмена Я_ и Я + - значения коэффициента теплопроводности слева и справа от поверхности раздела. Они согласованы с условием для потока тепла (1.1.5), выражающем баланс тепла на поверхности раздела. В общем случае a = a (p,t,u) , р Є Ф.
Если q = О, то соотношения (1.1.5) и (1.1.6) определяют условия сопряжения при переходе через поверхностьраздела двух сред, а если Л_ = Л+ - условия перехода через поверхностьс сосредоточенными на ней источниками тепла (1.1.4).
В некоторых задачах коэффициент теплопроводности одной из контактирующих сред настолько большой, что изменением температуры в ней у поверхности раздела в направлении нормали можно пренебречь. Условие для потока (1.1.5) в таких случаях заменяется краевым условием для второй среды, разположенной, например, справа от поверхности раздела ди і Я+-Т- п=+о — Ч Уи\п=о — О Такое упрощение широко используется при сведении двухфазных задач Стефана к однофазным [1,3,4], когда поверхность раздела является изотермической и значение температуры на ней известно - и \ n=+0 = ик, где ик- температура кристаллизации. Получающиеся при этом два краевых условия позволяют найти как температурное поле, так и поверхность раздела Ф(р,О = 0. 1.1.4. Импедансные условия сопряжения. Рассмотрим слоистую среду, содержащую плоский слой п с достаточно большим коэффициентом теплопроводности Я. Если слой тонкий в термическом отношении, то можно ограничиться определением средней по его толщине температуры, полагая
О сильно нелинейных уравнениях параболического типа
При решении ряда насыщенных проблем естествознания возникает необходимость исследования нового типа эволюционных задач для нелинейного уравнения [18,19]
Это уравнения рассматриваются в области flcDc Rn, п = 1,2.3. Постановки задачи. В общем случае требуется определить заданные неотрицательные функции координаты х = ( х1( х2, х3) и времени t; F(u), /(u) - заданный непрерывные дифференцируемые при и 0 ограниченные функции, F(u) 0, /(и) 0, и 0. По смыслу соответствующие физические явления эволюции происходят в ограниченной области П с D с й71, изменяющейся во времени с конечной скоростью, где D - некоторая область Rn, содержащая П при любом значении t.
В реальных физических процессах, описываемых решением поставленных задач, искомое поле и(х, ґ)есть положительная функция, (р (х, t) - монотонная функция t.
Под классическим решением задачи (1.3.1) будем понимать дважды непрерывно дифференцируемую положительную функцию и (х, t), удовлетворяющим уравнениям и начально-краевым условиям (1.3.1).
Вопросы существования единственности, положительности, монотонности и гладкости таких решений до настоящего времени практически не рассматривались. Одномерные задачи. Ниже мы ограничимся рассматриванием соответствующих одномерных задач вида (1.3.1), когда искомая функция зависит только от одной пространственной координаты и времени. В этом случае для определения функция и = и(х, t), О х /, t О получаем следующую задачу для одномерного эволюционного уравнения [20,21] Интегрируя по частям последний интеграл из (1.3.7) с учетом краевых условий, после ряда тождественных преобразований, получаем цепочку равенств О сильно нелинейных уравнениях параболического типа Краевые задачи для эллиптических и параболических уравнений, содержащих сильно нелинейные младшие члены, изучались М. И. Вишиком [23], Ю.А. Дубинским [24], С. И. Похожаевым [25] и другим авторами с использованием пространств С.Л. Соболева, построенных на классах Орлича. Недавно, в работах [29 — 31], показано, что краевые задачи для эллиптических уравнений указанного вида можно исследовать в обычных пространствах С. Л. Соболева[28]. В этом параграфе исследуются вопросы разрешимости начально-краевых задач для параболических уравнений второго порядка с сильно нелинейными младшими членами. Изучение проводится методом Фаэдо-Галеркина в пространствах С.Л. Соболева.
В этом параграфе установлена теорема существования решения первой начально-краевой задачи для таких уравнений, главная пространственная часть которых является нелинейным монотонном оператором. Здесь же доказана теорема единственности.
Постановка задачи. Пусть Q = П ] О, Т [ -цилиндр в (п + 1) - мерном евклидовом пространстве переменных (х, t). Предположим, что основание цилиндра П есть область, удовлетворяющая условию конуса [28].
Задачи о теплопроводности твердого тела с периодически изменяющимися во времени тепловыми источниками и потоками представляют весьма большой практический интерес. Простейшие из них возникли при исследовании колебаний температуры коры Земли, определения температуропроводности, расчет периодически изменяющихся температур и термических напряжений, в теории автоматических систем регулировки температуры. Особую актуальность приобрели нелинейные постановки периодических и импульсных задач в связи с запросами теплофизики высоких температур, проката металлов, алмазно-абразивной обработки материалов.
Для практики важны приближенные аналитические и численно-аналитические решения рассматриваемых задач, позволяющие определить с заданной точностью время достижения периодического режима, максимальные значения и перепад температуры на временном периоде. Получить простые функциональные зависимости между основными параметрами и входными данными, пригодные для непосредственных инженерных расчетов и решения различных обратных задач с целью прогноза, оптимизации и управления соответствующими периодическими тепловыми процессами.
Дальнейшая конкретизация математической модели рассматриваемого процесса требует определения зависимости Я = Л(и, ди/дх), более или менее точно отражающие теплофизические свойства деятельного слоя. Предлагались различные конкретные выражения Я, в частности, для A = Л0 = const, что в случае = оо приводит к известной линейной задаче Фурье в тепловых волнах в односторонне ограниченном теле д2и 1 ди не позволяет описать реальный процесс распространения вертикальных тепловых волн в стержне. Объясняется это тем, что предположение о постоянств коэффициента теплопроводности с физической точки зрения является очень грубым. Рассматривались также случаи зависимости коэффициента теплопроводности Я от глубины х и времени t. Температуры поля, соответствующие таким линейным математическим моделям, более удовлетворительно согласуются с данными непосредственных измерений в стержне. Дальнейшее уточнение математической модели процесса потребовало учета зависимости Я от градиента температуры
Распространение тепловых процессов в полуограниченных стержнях для сред с памятью
В этом параграфе рассматриваются вопросы построения приближенных решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих при распространении тепловых процессов в полуограниченных стержней.
Рассмотрена задача о распространении тепловых процессов в полуограниченных стержней с учетом физических и наследственных нелинеиностеи, при такой постановке задача сводится к линейной и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных.
В линейной постановке получено точное решение, в нелинейной постановке решение получено в первом приближении. Задача распространения тепловых процессов сводится к отысканию периодической во времени краевой задачи [35] Решение уравнения (2.2.3) будем строить для четырёх случаев: 1. Будем искать решение уравнения (2.2.3) на полупрямой х О, ограниченно для всех х и t при граничных и начальных условиях м(оо, t) = 0,u(x, t + Т) = и(х, t),u(0, t) = У ип cos(срп — па)t), (2.2.4)
Решение краевой задачи (2.2.1),(2.2.2) с учетом (2.2.8) будем искать в виде (2.2.5) с подлежащими определению постоянными к1п и к2п. Краевые условия (2.2.4) при этом выполняются автоматически. Аналогично предыдущему случаю, для определения к1п и к2п получаем систему алгебраических уравнений
В отличие от линейных постановок краевая задача (2.2.10), (2.2.11) не допускает точного решения. Её периодическое по времени приближенное решение будем искать в таком же виде, как и в линейном случае u(x, t) = u0exp[—ktx] cos(k2x — cot + cp), (2.2.12)
где kt и k2 подлежат определению. Удовлетворение же уравнения (2.2.10) в смысле метода Бубнова-Галеркина [37,38] приводит к системе алгебраических уравнений относительно кг и к2
Сопоставляя системы (2.2.13) и (2.2.8), заключаем, что учет физической нелинейности приводит к зависимости коэффициента затухания и частоты изменения во времени от амплитуды щ ее начальной формы.
Приближенное решение вида (2.2.12) для уравнения (2.2.10) определяется из системы нелинейных алгебраических уравнений можно воспользоваться методом последовательных приближенных для определения кг и к2. В качестве начальных значений для кг и к2 можно принять их значения согласно (2.2.9), при п = 1.
Решение нелинейных уравнений теплопроводности для слоистых сред с использованием метода эквивалентной линеаризации
В этом параграфе отыскивание решений нелинейных краевых задач для уравнений теплопроводности сводится к решению нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. В частных случаях удалось получить точные решения таких задач, при отыскании приближенных аналитических выражений задач, не допускающих точных решений, применяется метод эквивалентной линеаризации, использующий конструкции точного решения линейной задачи. При этом параметры задачи определяются из условия удовлетворения нелинейному дифференциальному уравнению в смысле одного из приближенных методов - метода Бубнова-Галеркина или метода наименьших квадратов.
Математическая задача об определении решений уравнений, описывающих динамику различных физических процессов, сводится к отысканию неизвестных функций, в общем случае зависящих от пространственных координат и времени.
Такая задача, как правило, очень трудна и для ее решения требуется вводить дополнительную схематизацию, связанную с постоянных конкретных физических задач, и вносить допустимые упражнения в их математическую постановку. Одним из таких упражнений является уменьшение числа независимых переменных.
Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из трех слоев A, U и С, толщина двух из которых - А и С, намного превышает толщину промежуточного слоя U (см. рис.3).
Трехслойная система (8Ц « 8А и 8Ц « 8С). Повышение температуры приводит к развитию диффузионных процессов в такой системе, интенсивному размытию концентрационных распределений и исчезновению первоначально четких границ раздела между слоями.
Так как толщина слоев А и С (8А и 8С) велика по сравнению с толщиной слоя U(8и), то эти слои можно рассматривать как полу бесконечные, а тонкий слой U отождествить с плоскостьюих раздела х = 0, с единицы площади которой в единицу времени выделяет вещество U, с интенсивностью 2q (t). Начиная с момента времени t = 0, вещество U Диффундирует В ПОЛубеСКОНеЧНЫе СЛОИ А (—00 х 0) и С (0 х оо) с коэффициентами диффузии DA ([/) и Dc ([/) соответственно. Определение концентрации U(x, t) в такой системе сводится к нахождению решения квазилинейного уравнения Фика
Одномерные нестационарные задачи теплоизлучения в полупространстве
В этом параграфе мы рассмотрим диффузионные процессы растворения очень тонкой пленки прилегающей к ней сравнительно толстых пленок, а также диффузию в массивной подложке при напылении на нее тонкой пленки. Рассматриваемые математические модели диффузионных процессов учитывают плоскослоистость среды, зависимость коэффициентов диффузии от концентрации и ограниченную растворимость.
Практический интерес представляют задачи о диффузии в полупространстве х 0, когда на его поверхности поддерживается постоянная концентрация вещества В0: Её можно рассматривать как модельную в случае, когда пленка В обладает большим запасом вещества В или когда изучается диффузия в подложке в процессе напыления пленки В. Вместо этого [54] d
Используя конструкцию приближенного решения (2.5.2), можно предложить простые формулы для определения D3 по некоторым измеренным величинам. Действительно, согласно (2.5.3), количество вещества, поступающего в полупространство х 0 с единицы площади поверхности х = 0 в единицу времени, определяется по формуле где может служить для экспериментального определения /)эпо измеренным величинам Q и tt. Эквивалентный коэффициент диффузии может быть определен также по измеренному значению концентрации В (х, t) в некоторой точке х 0 и в некоторое время t± 0. По измеренному В(х±, t±) согласно (2.5.3) определяется величина
Обращение интеграла вероятности, то есть вычисление правой части соотношения, проще всего осуществляется с помощью графика Ф(х).
Решение задачи уравнения теплопроводности в массивных ферро-магнитных телах при одновременном намагничивании постоянным и переменным магнитными полями
Массивные стальные детали являются неотъемлемыми составными элементами конструкций мощного электроэнергетического оборудования. Для выбора оптимальных конструкций такого оборудования и обеспечения его высокой надежности в процессе эксплуатации очень важной является задача определения потерь от вихревых токов в массивных ферромагнитных телах, подверженных одновременному действию переменного и постоянного магнитных полей. Особую актуальность приобретает эта задача в связи с созданием мощного электрооборудования для линий электропередач постоянного тока, электрооборудования выпрямительных подстанций и в ряде других случаев.
Ввиду резко выраженного поверхностного эффекта поле в массивных ферромагнитных телах концентрируется в тонком поверхностном слое, что позволяет с достаточной для практики точностью вместо массивных тел сложной конфигурации рассматривать ферромагнитное полупространство. Такое предположение справедливо в том случае, если все размеры тела значительно больше толщины поверхностного слоя.
Постановка задачи. Определение электромагнитного поля в ферромагнитном полупространстве z О, характеризуемом проводимостью а и нелинейной зависимостью между индукцией В и напряженностью магнитного поля Н — В = д (Н) Н. По заданной на его поверхности z = О линейно поляризованной тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля, содержащая постоянную Н0 и изменяющуюся во времени по гармоническому закону с периодом Т = — , которая сводится к
Осредненные уравнения поля. Если, как и в случае полупространства с постоянной магнитной проницаемостью, приближенно принять, что в ферромагнитном полупространстве напряженность U(Z,T) изменяется во времени по гармоническому закону U{Z,T) « $0з) COST + w(z) sinт, (2.6.6) то применение метода Бубнова - Галеркина к (2.6.3)приводит к следующей нелинейной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений [57 — 59]
Если приближенно принять, что и в ферромагнитном полупространстве напряженность магнитного поля имеет вид (2.6.8), но с другими постоянными кг ик2, то применение метода Бубнова - Галеркина к (2.6.3) приводит к следующей системе двух алгебраических уравнений относительно кг и к2
