Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая работа посвящена сингулярно возмущенным задачам Штурма—Лиувилля, главным образом, задачам с потенциалом, неаналитически зависящим от малого параметра. Такие задачи возникают в теории сингулярных возмущений при исследовании контрастных структур.
Теория сингулярных возмущений, зародившаяся еще в начале века при решении прикладных задач, в конце 40-х — начале 50-х годов известными работами А. Н. Тихонова была превращена в одно из крупнейших направлений теории дифферешшальных уравнений. Далее А. Б. Васильевой был развит метод асимптотического разложения решения нелинейной тихоновской системы по малому параметру для начальной, а затем и для краевой задачи. Этот метод, развитый затем
A. Б. Васильевой, В. Ф. Бутузовым и их учениками для широких клас
сов обыкновенных дифферешшальных уравнений, уравнений в частных
производных (отметим, что впервые сингулярно возмущенные линей
ные дифференциальные уравнения в частных производных были изу
чены М. И. Вишиком и Л. А. Люстерником), уравнений с отклоняю
щимся аргументом известен в настоящее время как метод погранич
ных функций и получил свое отражение в монографиях. Принципи
ально иной, чем у А. Б. Васильевой, подход предложил С. А. Ломов.
Его метод, называемый методом регуляризации сингулярных возму
щений, акцентирует внимание на более тонком описании неаналитичес
кой зависимости решения сингулярно возмущенной задачи от малого
параметра. Этот подход применительно к нелинейным задачам развит
B. Ф. Сафоновым. Среди различных методов в теории сингулярных воз
мущений выделим метод усреднения, развиваемый в работах Н. Н. Бо-
голюбова и Ю. А. Митропольского, В. М. Волосова, М. М. Хапаева и др., обобщение метода ВКБ на многомерные нелинейные уравнения В. П. Масловым, метод согласования асимптотических разложений А. М. Ильина, теорию релаксационных колебаний Л. С. Понтрягина, Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова.
В 1987 г. А. Б. Васильева и В. Ф. Бутузов построили методом пограничных функций асимптотическое разложение решений с внутренним переходным слоем — так называемых контрастных структур. Такие решения интенсивно изучаются в последнее время не только из теоретического интереса, но также ввиду их высокой прикладной значимости: они возникают в задачах химической кинетики, синергетики, биологии и биофизики, астрофизики, лазерной оптики, теории фазовых переходов, теории автосолитонов. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры были получены также В. Ф. Сафоновым и М. А. Румянцевой с помощью метода регуляризации С. А. Ломова. При исследовании контрастных структур как стационарных решений параболических задач возникают задачи Штурма—Лиувилля с потенциалом, неаналитически зависящим от малого параметра. Именно такие задачи являются основным объектом исследования настоящей диссертации.
Поясним, как возникают эти задачи.
При исследовании на устойчивость стационарного решения иСТ{х, е) параболической задачи
. .. є2ихх -ut = F(u,x), -1 < х < 1, (1)
«*L=_i = «*L=1 = . (2)
«U =»(«). (3)
(є > О — малый параметр) по первому приближению возникает задача Штурма—Лиувилля
еV = [fu{ист(х, е),х)+\}ф, -К х < 1, (4)
Если все собственные значения задачи (4)-(5) отрицательны, то стационарное решение мст(х, є) устойчиво; если же существует хотя бы одно положительное собственное значение, то решение неустойчиво. Знание спектра задачи (4)-(5) требуется также при исследовании области влияния устойчивого стационарного решения и при определении времени жизни неустойчивого стационарного решения.
Если ист(х,є) — решение типа контрастной структуры, то Fu (uCT(a;, є), х) зависит от є неаналитически.
В настоящей диссертации проводится исследование собственных значений \(п\е) задачи Штурма—Лиувилля
є V +[к-1/(х,є)]-ф = 0, а<х<Ъ, (6)
^U^'U = > -(7)
где функция U(x, є) зависит от є, вообще говоря, неаналитически.
Целью настоящей работы является: во-первых, качественное исследование поведения собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма—Лиувилля при є —> 0 и получение оценок для этих собственных значений; и во-вторых, развитие метода пограничных функций в направлении исследования устойчивости контрастных структур. Целью работы является также решение прикладной задачи из области астрофизики.
Научная новизна работы заключается в том, что 1) получена теорема о предельном переходе для собственных значений сингулярно возмущенной задачи Штурма—Лиувилля;
-
получены оценки для собственных значений некоторых классов сингулярно возмущенных задач Штурма—Лиувилля;
-
развит метод пограничных функций в применении к построению асимптотик собственных значений и собственных функций задач Штурма—Лиувилля, получаемых линеаризацией нелинейных сингулярно возмущенных параболических задач на стационарных решениях типа контрастной структуры;
-
исследована устойчивость переориентации крупномасштабных галактических магнитных полей, математическими моделями которых являются контрастные структуры; показано согласие результатов теории гидромагнитпого динамо с экспериментальными данными.
Практическая ценность. Контрастные структуры имеют обширные приложения в различных областях естествознания. При исследовании устойчивости этих контрастных структур возникают сингулярно возмущенные задачи Штурма—Лиувилля. Поэтому результаты настоящей работы представляют значительный практический интерес. В частности, решению прикладной задачи из области астрофизики посвящена последняя глава диссертации.
Апробация работы, публикации. Результаты настоящей работы докладывались на Международной конференции "Singular Solutions and Perturbations in Control Systems (SSPCS-95)" (Пере-славль-Залесский, 1995), на семинарах: под рук. А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова на физическом факультете МГУ, под рук. Е. И. Моисеева на факультете ВМК МГУ, под рук. В. Ф. Сафонова и под рук. Ю. А. Дубинского в МЭИ, а также на зимних математических школах и чтениях Московского государственного социального университета (На-хабино, 1993; Аксаково, 1994, 1995, 1996).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Объем работы — 124 страницы. Список литературы содержит 56 названий.
