Содержание к диссертации
Введение 3
1. Разложения по собственным функциям краевой задачи
для дифференциального уравнения Бесселя 10
2. Разложения по собственным функциям краевой задачи
штурм-лиувиллевского типа (ряды Фурье по классичес
ким ортогональным многочленам) 33
3. Разложения по тригонометрической системе функций
(ряды Фурье 2 л"-периодических функций и
преобразования Фурье) 61
4. Разложения по собственным функциям краевой задачи для дифференциального уравнения Чебышева. ... 73
5. Разложения по собственным функциям краевой задачи
для дифференциального уравнения Эрмита 81
Литература . 100
Введение к работе
Известно, что специальные функции математической физики — классические ортогональные многочлены (многочлены Лагерра, Эр-мита, Якоби), цилиндрические, сферические и гипергеометрические функции — обычно возникают при решении уравнений математической физики методом разделения переменных, который основан на теоремах разложения по различным ортогональным системам функций. Проанализировав эти системы, можно убедиться, что среди них практически не встречаются ортогональные разложения, не являющиеся разложениями по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля
- (А(ж)1)
+ q{x)u ~ \р(х)и (х Є (a,b),k(x) > 0,p(ar) > 0),
ґ ащ{а) + 0іи'(а) = 0, 2 2
і а2и(Ь) +/W(6)=0 ("*+А *<>,* = 1,2)
или не представляющие собой аналоги таких разложений, т. е. когда приходится иметь дело с обобщениями задачи Штурма-Лиувилля на случай, когда интервал (а, Ь) бесконечен, функция к(х) обращается в нуль на одном или обоих концах интервала (а, Ь) и т. д., то есть когда граничные условия имеют "неклассический" вид.
В задачах математической физики метод разделения переменных, как правило, приводит нас к задаче Штурма-Лиувилля с некоторыми "неклассическими" граничными условиями.
Так, например, задача о собственных колебаниях круглой мембраны, радиуса единица, приводит нас к уравнению Бесселя
d { du\ р2
— — х~ Н и = Ххи
ах \ ах J х
і к{х) = ж, q(x) = —, р(х) = х, (а, Ь) ~ (0,1) J ,
функции Бесселя определяются как решения краевой задачи на собственные значения этого уравнения при граничных условиях
|«(0)| <+оо, и(1) = 0;
задача о гармоническом осцилляторе в квантовой механике приводит нас к уравнению
d ( _xidu\ _ dx \ dxj
е х и
#
(к(х)~е х*,q{x) = 0,p(z) = е ж2,(а,Ь) = (-co,+oo)J ,
многочлены Эрмита определяются как решения краевой задачи на собственные значения этого уравнения при граничных условиях
и(х) = 0(хп) (х -> ±оо)
и т. д.
Так как метод разделения переменных, как отмечено выше, приводит нас к разложениям функций в ряды по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля, то мы естественно приходим к рядам Фурье по функциям Бесселя, по классическим ортогональным многочленам и по тригонометрической системе функций.
fc>
Известно, что система функций Бесселя, системы классических ортогональных многочленов и тригонометрическая система функций обладают свойством полноты.
Вопросами разложения функций в ряды Фурье по указанным
здесь системам занимались многие математики. Им посвящены
фундаментальные монографии Н.К. Бари, А. Зигмунда, Г. Сеге,
Г.Н. Ватсона, Б.М. Левитана и И.С. Саргсяна, а также ряд обзор
ных статей известных математиков П.Л. Ульянова, Б.И. Голубова,
Л.В. Жижиашвили, В.А. Ильина-Е.М. Никишина-Ш.А. Алимова.
История развития этих исследований в последние годы изложена в
ф обзоре В.М. Тихомирова ([24], стр. 103-270).
Настоящая работа также посвящена некоторым вопросам разложения функций в ряды Фурье по функциям Бесселя, по классическим ортогональным многочленам и по тригонометрической системе функций в пространстве L2((a,b);p(x)) с подходящим весом р(х), относительно которого ортогональна соответствующая система на интервале ее определения.
Остановимся вкратце на ее содержании. Работа состоит из пяти параграфов.
Первый параграф посвящен вопросам разложения функций в ряды Фурье по собственным функциям краевой задачи для дифференциального уравнения Бесселя (ряды Фурье-Бесселя) в пространстве г((0,1); х). Здесь даны точные или слабые эквивалентные оценки скорости их сходимости на различных классах функций из пространства 1<2((0,1)',х), доказана теорема, устанавливающая связь между структурными свойствами функций и скоростью сходимости их рядов Фурье-Бесселя, называемые в классическом анализе теоремами Джексона-Бернштейна, указаны достаточные условия абсолютной сходимости ряда Фурье—Бесселя, найдены точные значения или слабые эквивалентные оценки N -поперечников Колмогорова классов функций в пространстве 2((0,1);х), для которых экстремальными или экстремальными по порядку будут подпространства, порожденные системами функций Бесселя.
Известно, что в вопросах сходимости тригонометрических рядов Фурье существенную роль играет оператор сдвига Tflf(x) = f{x-\-h) и определяемые с его помощью модули непрерывности различных порядков. В вопросах же, связанных со сходимостью рядов Фурье по другим системам собственных функций, в частности, по функциям Бесселя, аналогичную роль играют операторы обобщенного сдвига. Рассматриваемый здесь оператор обобщенного сдвига в свою очередь связан с теоремой сложения для функций Бесселя, которая играет важную роль в математической физике ([9], стр. 275-276).
В первом параграфе с помощью оператора обобщенного сдвига
вводится понятие обобщенного модуля непрерывности функции, характеризующее ее гладкость. Рассматриваемые в этом параграфе классы функций характеризуются с одной стороны обобщенным модулем непрерывности, а с другой — тесно связаны с дифференциальным оператором
d2 1±_Р^
dx2 х dx х2'
по собственным функциям которого исследуются разложения функций. Это позволяет нам получить сформулированные выше результаты.
Во втором параграфе мы рассматриваем аналогичные вопросы, связанные с разложениями по собственным функциям краевой задачи штурм-лиувиллевского типа (рядам Фурье по классическим ортогональным многочленам — Эрмита, Якоби, Лагерра) в про-странстве L2{(a,b);p(x)), когда 1) (а, Ь) = Е, р(х) = е~х , 2) (а, b) ~ (-1,1), р[х) = (1-х)«(1+х)0 (а,/? > -1), 3) (а,Ь) = (0,+оо), р(х) — е~хха (а > —1). Второй параграф завершается применениями оценки скорости сходимости рядов Фурье—Чебышева в пространстве г ((—1) 1); ~7f==f) в оценках остатков квадратурных формул
/ 7^f{x)dx = %Р (cs ^)+ RnU)
по узлам в нулях многочленов Чебышева.
Результаты третьего параграфа связаны с разложениями 27Г-периодических функций в тригонометрические ряды Фурье. Он включен в диссертацию для сравнения с результатами остальных параграфов. Вопросами разложения функций в ряды Фурье по тригонометрической системе занимались почти все известные математики. Тем не менее нам кажется интересным (аналогичных взглядов придерживаются и некоторые другие авторы [12], [15], [25]), изменив традиционное определение модуля непрерывности, доказать
аналоги теорем, доказанных в первых двух параграфах. В этом параграфе помимо оценок скорости сходимости рядов Фурье даны также их континуальные аналоги.
Хорошо известно, что ряды Фурье по тригонометрической системе
/(ж) ^ "5" + Z-j а" cos пх "*~ ^" s*n пх
и ряды Фурье по собственным функциям краевой задачи
|u(±l)| <+оо, т.е. ряды Фурье по многочленам Чебешева
/(cos в) ~ — -f Vj сп cos n# ( = arccos x)
обладают многими общими свойствами.
В четвертом параграфе, мы введя в рассмотрение классы функций, характеризующиеся дифференциальным оператором
и обобщенными модулями непрерывности, порожденных с помощью оператора обобщенного сдвига
Fhf(x) — — f(x cos h + y/l — x2 sin h) + f(xcosh — \/l — x2 sin /i)
доказываем аналоги всех теорем, доказанных в первых трех параграфах этой работы.
Пятый параграф посвящен вопросам разложения функций по собственным функциям (многочленам Эрмита) краевой задачи
dx \ dx )
~ \е~х и (х Є R),
#
u(x) ~ 0(xn) (x -» ±co),
называемых нами ради краткости рядами Фурье-Эрмита, в про-странстве І2(^;е-Х ). Здесь также доказаны аналоги всех утверждений, доказанных в первых двух параграфах. Кроме того, в этом параграфе нам удалось с исчерпывающей полнотой доказать теорему, характеризующую связь между скоростью сходимости ряда Фурье—Эрмита и гладкостью разлагаемой в ряд функции. С этой целью, мы вновь пользуемся операторами обобщенного сдвига.
Операторы обобщенного сдвига, в последние годы, широко применяются в вопросах теории аппроксимации функций, как одной, так и многих переменных (см., напр., [1], [19] и цитир. там литер.).
В дальнейшем мы неоднократно будем пользоваться следующими двумя хорошо известными утверждениями, которые, для удобства ссылок, сформулируем в виде теорем А\ И А2.
Теорема Аг ([14], стр. 341).
Цусть Н — гильбертово пространство. Если множество МсН содержит шар *уВ радиуса 7 некоторого N + 1-мерного подпространства И, то
где d^(M;M) — N-поперечник Колмогорова множества М в пространстве Н.
Теорема Аг ([10], стр. 51). Если А : Н -> Н — вполне непрерывный самосопряженный оператор в пространстве Ш,
1^11 ^ 1^21 ^ ^ !Ллг| ^...,
отличные от пуля собственные значения оператора А, расположенные в порядке убывания их абсолютных величин, причем в написанной цепочке неравенств каждое собственное число повторяется столько раз, какова его кратность, то
$ <ММ;Н) = |Алг+і|,
М = {йєН:0 = Л/,/єИ,||Я|$гі}
и, как я выше, dp/ (М; Н) N -поперечник Колмогорова множества М в пространстве Ш.
Автор выражает искреннюю благодарность председателю президиума ДНЦ Российской АН член-корр. РАН И.К. Камилову за внимание и поддержку, а также научным руководителям за оказанную помощь во время работы над диссертацией.
