Содержание к диссертации
Введение
1 Теоремы равносходимости для оператора дифференцирования 20
1.1 Постановка задачи в пространстве вектор-функций. Регулярные краевые условия 21
1.2 Равносходимость разложений по с.п.ф оператора L и три гонометрического ряда Фурье на графе-цикле 26
1.3 Случай оператора с нерегулярными краевыми условиями. Аналог теоремы Жордана-Дирихле 37
1.3.1 Теорема Жордана-Дирихле в скалярном случае 38
1.3.2 Аналог теоремы Жордана-Дирихле для оператора дифференцирования на простейшем графе 42
1.3.3 Теорема о разложении для оператора дифференцирования на произвольном графе 51
2 Теорема равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на геометрическом графе 56
2.1 Резольвента оператора LQ и ее свойства 58
2.1.1 Краевая задача для резольвенты оператора Lo 58
2.1.2 Формула для резольвенты оператора LQ И ее асимптотические свойства 60
2.2 Равносходимость спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля и оператора LQ 80
2.3 Равносходимость разложений по с.п.ф. оператора L и три гонометрического ряда Фурье 85
3 Функционально-дифференциальные операторы первого порядка на графах 92
3.1 Функционально-дифференциальный оператор первого порядка на простейшем графе из двух ребер, содержащем цикл 94
3.1.1 Построение краевой задачи для резольвенты оператора L 94
3.1.2 Преобразование системы (3.8)-(3.9) 99
3.1.3 Исследование решения задачи (3.28)-(3.29) 106
3.1.4 Асимптотические свойства решения задачи (3.8)-(3.9) 114
3.1.5 Теорема равносходимости 119
3.2 Функционально-дифференциальные операторы первого порядка на графе-цикле 125
3.3 О сходимости средних Рисса разложений по собственным функциям оператора L\ 134
Список литературы 140
- Равносходимость разложений по с.п.ф оператора L и три гонометрического ряда Фурье на графе-цикле
- Теорема о разложении для оператора дифференцирования на произвольном графе
- Равносходимость спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля и оператора LQ
- Функционально-дифференциальные операторы первого порядка на графе-цикле
Введение к работе
В последние 25-30 лет получила большое развитие теория дифференциальных уравнений и краевых задач на геометрических графах (пространственных сетях). Начало исследований было положено в работах отечественных (Б.С. Павлов [1], Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин ([2], [3]) и др. ) и зарубежных (J. von Below ([4], [5]), G. Lumer [б], S. Nicaise [7]) математиков и касалось задач, описывающих различные модели: диффузии, колебаний упругих сеток, распространения нервного импульса и др. Работы зарубежных математиков, в основном, посвящены обоснованию разрешимости краевых задач на графах, исследованию структуры спектра этих задач, асимптотики спектра, получению оценок резольвенты. В настоящее время в нашей стране наиболее активные исследования проводятся творческой группой Ю.В.Покорного (А.В. Боровских, К.П. Лазарев, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев, С.А. Шабров), основные результаты которой отражены в [8] (см. также библиографию в [8]). Исследованы спектральные и качественные свойства решений краевых задач, построена теория неосцилляции, изучена функция Грина, рассматривались многие другие проблемы. В последние годы активно исследуются волновые процессы на сетях ([9], [10], [11]).
В настоящей диссертационной работе рассматриваются задачи о разложении произвольных функций в ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) дифференциальных операторов и функционально-дифференциальных операторов с инволюцией, заданных на графах.
Исследование подобных вопросов для различных классов (дифферен-
циальиых, интегральных, интегро-дифференциальных) операторов имеет важное значение во многих областях (например, в граничных задачах математической физики, квантовой механике и т.п.). В том числе, большое внимание уделяется вопросам равносходимости разложений по с.п.ф. и разложений по известным системам функций. Впервые теоремы равносходимости были получены в работах В.А. Стеклова [12], Е. Гобсона [13], А. Хаара [14] для оператора Штурма-Лиувилля. Позже эти результаты, на базе фундаментальных исследований Г. Биркгофа ([15], [16]) об асимптотике решений дифференциальных уравнений при больших значениях спектрального параметра, были распространены Я.Д. Тамарки-ным [17], М.Н. Стоуном [18] на произвольный дифференциальный оператор п-го порядка с произвольными краевыми условиями, удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([19], с. 66-67). Это условие заключается в отличии от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов в краевых условиях. В последующем, проблемы равносходимости активно разрабатывались, разрабатываются и в настоящее время. Большой вклад в развитие этих вопросов внесли отечественные математики В.А. Ильин ([20], [21], [22]), A.M. Седлецкий [23], А.П. Хромов ([32], [33], [36]), А.А. Шкаликов [24], и др.
В данной работе основное внимание также уделяется вопросам равносходимости. Наряду с традиционными операторами дифференцирования и Штурма-Лиувилля, заданными на графах, рассматриваются функционально-дифференциальные операторы первого порядка с инволюцией (порождающей оператор отражения) следующего вида
1{у) = ау'(х) + (1у'{1 - х) + Pi(x)y(x) + р2(х)у(1 - х). (0.1)
Изучение таких операторов представляет значительный интерес. Их исследование имеет давнюю историю [25] и активно проводится в настоя-
щее время (например, [26], [27], [28]). Наиболее полно эти операторы, возникающие в различных спектральных задачах, изучены А.П. Хромовым и его учениками ([30]—[37]). В частности, такие операторы возникают при изучении разложений по с.п.ф. интегральных операторов, ядра которых имеют разрывы на диагоналях. Главная часть 1о(у) = ау'(х) +/3?/(1 — х) оператора (0.1) обладает тем свойством, что ^(у) = (а2 — (32)у"(х). Таким образом, оператор (0.1) выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"(х). Добавление потенциалов Рк(х) значительно усложняет задачу. Другое достоинство оператора / в том, что он сводится к оператору Дирака.
Помимо вопросов равносходимости для функционально-дифференциальных операторов на графах, в работе также исследуются вопросы о сходимости обобщенных средних Рисса для таких операторов.
Для интегрального оператора, ядро которого является функцией Грина дифференциального оператора n-го порядка с регулярными по Бирк-гофу краевыми условиями, М. Стоун [18] исследовал средние по Риссу спектральных разложений вида
-hJi1-*)'^ 1>0' (а2)
|А|=г
и доказал, что на каждом [а, Ь] С (0,1) имеет место их равносуммируе-мость с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Позже, этот результат был распространен А.П. Хромовым в [29] на случай, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G(x,t, А) резольвенты при больших |Л| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В [38] В.В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай некоторых классов дифференциальных операторов. В [39] А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на f(x), обеспечивающие равномерную сходимость
к ней на всем отрезке [0,1] средних вида
~Ь / 2(V№/A (о.з)
|А|=г
которые являются обобщением средних Рисса вида (0.2).
Из работ, наиболее близких к вопросам, рассматриваемым в диссертации, можно отметить работу J. von Below [5] и работы воронежских математиков М.Г. Завгороднего ([41], [42]), В.В. Провоторова [43]. Их исследования, в основном, связаны с оператором Штурма-Лиувилля. Так, например, в [42] для оператора Штурма-Лиувилля, заданного на графе, с условиями типа Дирихле в граничных вершинах и определенными условиями связки во внутренних вершинах, получена теорема о разложении истокопредставимой функции в равномерно сходящийся ряд по корневым функциям соответствующей краевой задачи. Теоремы о разложении истокопредставимых функций для оператора с более общими краевыми условиями установлены в [5]. Также в [5] получены теоремы о разложении непрерывных на графе функций по корневым функциям оператора Штурма-Лиувилля по специальной норме.
Цели диссертационной работы: получение теорем о разложении по с.п.ф. оператора дифференцирования на графе (теоремы равносходимости и аналога теоремы Жордана-Дирихле); получение теоремы равносходимости для оператора Штурма-Лиувилля на графе-пучке; получение теорем равносходимости и исследование вопросов суммируемости по Риссу для некоторых классов функционально-дифференциальных операторов на графах.
В работе используется метод контурного интегрирования резольвенты по расширяющимся контурам комплексной плоскости.
Диссертация содержит 146 страниц, состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, часть из которых делится на подразделы,
и списка литературы.
Первая глава посвящена оператору дифференцирования (Ly)(x) = у'(х) на геометрическом графе Г, отвечающему краевым условиям, включающим условия непрерывности у(х) во внутренних вершинах графа.
В 1.1 вводятся необходимые в работе понятия и обозначения (такие как геометрический граф, дифференциальное уравнение на геометрическом графе, пространства функций, заданных на графе, и др.) Используя векторный подход, порождаемое оператором L дифференциальное уравнение Ly = Ху + f сводится к краевой задаче в пространстве вектор-функций
у' = XDy + Df, (0.4)
U (у) = Роу(0) + Piy(l) = 0, (0.5)
где у(х) = {уі(х), у2(х),..., Уп(х))т, f(x) = {fi(x),..., fn(x))T (Т - знак транспонирования), D = dmg(di,d2,...,dn), dk > 0 — коэффициенты, характеризующие длину ребер графа, п — количество ребер графа, Pq, Pi — квадратные (п х п) матрицы коэффициентов в краевых условиях. Сам оператор L принимает вид
Ly = D~ly\ /(2/) = 0, У = (уъ...,Уп)Т.
Здесь же доказывается, что для регулярности краевых условий (в нашем случае условие det Ро det Pi ф 0) необходимо, чтобы граф имел структуру цикла.
В 1.2 рассматривается оператор дифференцирования на графе-цикле из п ребер. Здесь условия (0.5) представляют собой условия непрерывности у в вершинах графа (все вершины являются внутренними) и являются регулярными по Биркгофу. Если R\ — резольвента оператора L, то у(х) = (R\f)(x) есть решение краевой задачи (0.4)-(0.5), которое имеет
у(х, A) = Rxf(x) = -V(x, Л)А-1(Л) J UM*> *> л) WW dt+
о і
+ Jg{x,t,X)Df(t)dt,
где V(x,X) = diag(eA/lV..,eAdnX), А(А) = U(V{x,\)), a g{x,t,\) -квадратная матрица, которая определяется неоднозначно и так, чтобы ее компоненты были ограничены при больших значениях |Л|. Далее строится область Ss0 путем удаления из комплексной плоскости нулей некоторой аналитической функции вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса 5q. В области Ss0 получены необходимые оценки для у = R\f. Аналогичные оценки имеют место и для у = Rxf, где Rx — резольвента оператора Lq : L^y = D~ly'', Щ{у) = у(0) — у(1) = 0, у =
(Уи---,Уп)т-Сравнивая резольвенты этих операторов, доказана теорема Теорема 1.3 (теорема равносходимости). Для любой функции
f(x) с компонентами из L[0,1] имеем
l\m\\Sr(f,x)-Zr(f,x)\\c[5,i-V = b (0-6)
где Sr(x,f) — частичная сумма ряда Фурье функции f по с.п.ф. оператора L, включающая слагаемые, отвечающие собственным значениям Хк, для которых \Хк\ < г; г(/,ж) = (urdl(fhx),..., o-rdn(fn, х))Т, crrj(fj,x) частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции fj{x), включающая слагаемые, для которых \2кк\ < ту
1.3 посвящен оператору дифференцирования, заданному на графе произвольной структуры, когда краевые условия оказываются нерегулярными, и возникают трудности, связанные с экспоненциальным ростом резольвенты при больших значениях спектрального параметра. По-
лучены достаточные условия сходимости ряда Фурье к функции /, которые являются аналогом известной теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. В п. 1.3.1 приводится новое доказательство этой теоремы с использованием метода контурного интеграла.
Далее исследуется случай простейшего графа из двух ребер, одно из которых образует петлю (п. 1.3.2). На таком графе оператор L принимает вид
Ly = D-1y', y = {yhy2)T, D =
Уі(0) = Уі{1) = У2{0).
В лемме 1.6 доказано, что для любой функции f(x) = (fi(x),f2(x))T частичная сумма Sr(x, /) не зависит от функции f2(x). Поэтому за счет ее выбора можно добиться ограниченности резольвенты, что приводит к следующему результату
Теорема 1.6. Пусть fi{x) непрерывна и имеет ограниченную вариацию па отрезке [0,1] и /i(0) = /i(l), а f2(x) = fi(dx — j), где я Є [jd~l,(i + l)d~l], j = 1,N0. Тогда функция f(x) = (fi(x),f2{x))T разлагается в равномерно сходящийся на всем отрезке [0,1] ряд по собственным функциям оператора L.
Наконец, в п. 1.3.3 полученный результат обобщается на случай произвольного графа из N ребер. Сначала обосновывается, что для корректной постановки краевой задачи для оператора дифференцирования необходимо, чтобы граф содержал один цикл (причем единственный).
Пусть L — оператор дифференцирования Ly = D~ly\ U(y) = 0 (ориентация на Г вводится следующим образом: ребра, входящие в цикл, ориентируем в круговом направлении от одной из вершин (например, по часовой стрелке), все остальные ребра ориентируются в направлении "от цикла").
Теорема 1.7. Если функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на цикле, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся на цикле ряд по собственным и присоединенным функциям оператора L.
Теорема 1.8 (аналог теоремы Жордана-Дирихле). Пусть Г — подграф Г, Г = TilJ^, где Г і — цикл, Г2 — цепочка последовательно соединенных ребер графа, выходящих из какой-либо вершины цикла. Если: 1) функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на Гі; 2) при скаляризации соответствующей Г векторной краевой задачи функция f(x) продолжается с І\ па Гг такоісе как в теореме 6, то fix) разлагается в равномерно сходящийся па Г ряд по собственным и присоединенным функциям оператора L.
Здесь при доказательстве используется скалярный подход, когда векторная задача сводится к скалярной путем введения новой неизвестной функции, значения которой определяются значениями yi(x),... ,уп(х). При этом цикл "вытягивается" в отрезок с замкнутыми концами (т.е. в "петлю"), а цепочка ребер — в одно ребро. Таким образом, задача сводится к задаче, рассмотренной в п. 1.3.2.
Во второй главе исследуется вопрос о равносходимости разложений произвольной функции в ряд по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля, заданного на геометрическом графе Г, и в тригонометрический ряд. Для упрощения выкладок в качестве Г рассматривается граф, состоящий из трех ребер, связанных одной общей вершиной (граф-пучок).
В пространстве функций, непрерывных на Г и дважды дифференцируемых внутри каждого ребра, рассматривается оператор Штурма-Лиувилля
у"(х) + q(x)y{x), z Є Г,
отвечающий условиям Дирихле в граничных вершинах и условию транс-
миссии ([8], с. 27) во внутренней вершине. Предполагаем, что q(x) суммируема на Г. В 2.1 строится соответствующая этому оператору краевая задача в пространстве вектор-функций
у" + q(x)Dy = XDy + Df(x), х Є [0,1] (0.7)
Ul(y) = Piy(0) + P2y'(0) = 0,
Ну) = QivW = о,
где у(х) = (yi(x),y2(x),y3(x))T, f(x) = {fi(x),f2{x),h{x))T, D = diag(d?,di,df), q(x) = diag(q1(x),q2(x),q3(x)); Ph P2, Q\ - матрицы из коэффициентов в краевых условиях: Р^ = (p-)f ,-=i, p\i — v\i — -РІ2 = -P23 = !> v\\ = осо, Plj = oij, 3 = 1,2,3, остальные p\- = 0; Qi = E.
Пусть L — оператор, порожденный задачей (0.7)-(0.8)
L: Ly(x) = D-1y"(x) + q(x)y{x)1
Uk{v) = 0, к = 1,2.
Изучение резольвенты оператора L осложняется наличием потенциала
— функции q{x). Поэтому ее асимптотическое поведение сравнивается с
поведением резольвенты более простого оператора
L0 : L0y{x) = D-ly"(x),
Uk(y) = Q, к =1,2, что позволяет установить равносходимость разложений по с.п.ф. операторов L и Lq.
В п. 2.1.2 построена формула для у = R^f, где Rx = (Lq — \E)~l —
резольвента оператора Lq:
RV = -{Щ*> р)> Ч*> р))а~\р) J их(д(*> *, P))Df{t) dt +
о і
+ Jg(x,t,p)Df(t)dt.
Здесь Л = р\ Vk(x,p) = diag(e(-1)fc+1^-,e(-1)t+1^,e(-1)t+1^^, к = 1,2, А(р) = {Uij{p))itj=v Uij{p) = Ui{Vj{x,p)), a g{x,t,p) - квадратная матрица, компоненты которой выбираются таким образом, чтобы они были ограничены при больших значениях \р\.
Далее проводится оценка элементов Rxf. При этом в явном виде выписываются условия регулярности по Биркгофу для данной задачи: a.\d\ + «2^2 + #з^з Ф 0- Удалением из комплексной плоскости нулей некоторого квазиполинома вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса 5q образуется область Ss0, в которой справедливы следующие оценки
||Л5/11с|о,1] = Ofp-'JII/lb, Kxllqo.n = 0(p~\
для любой функции f(x) с компонентами из L[0,1] и функции x{x)i компоненты которой есть характеристические функции отрезков.
В 2.2 устанавливается соотношение между резольвентами R\ и Rx, которое позволяет доказать, что R\ есть интегральный оператор с ядром, представимым в виде равномерносходящегося ряда, оценка элементов которого приводит к следующему результату.
Теорема 2.3. Для любой функции f{x) = (fi(x), /2(^), h{x))T с компонентами из L[0,1]
Шп ||5Г(/, х) - 5Г(/, ж)||с[0)1] = О,
где Sr(f,x), Sr(f,x) — частичные суммы рядов Фурье функции f по с.п.ф. операторов L и Lq соответственно, || ||с[од] — норма в пространстве непрерывных на [0,1] вектор-функций размерности 3. В 2.3 вводится дифференциальный оператор
Zo : L0y(x) = D-ly"(x), у = (yh у2, у3)Т, х <Е [0,1],
Ну) = у(о) - у(і) = о, Ыу) = № - y'W = о>
с помощью оценок и свойств резольвенты которого устанавливается равносходимость разложений по с.п.ф. оператора Lq и тригонометрического ряда Фурье на отрезке [5,1 — 8] С [0,1]. Согласно теореме 2.3 равносходимость имеет место и для оператора L, а именно, справедлив следующий результат.
Теорема 2.5. (теорема равносходимости). Для любой функции f[x) = (/1(^),/2(^)) /з{Х))Т с компонентами из L[0,1] и любого 5 Є (О,1/2)
Um ||5Г(/, х) - Ег(/, х) \\С[5Л_5] = О,
где Ег(/,ж) = {o-^dl(fhx),a^d2(f2,x),a^:d3(f3,x)))T, и arj(fj,x) - частичная сумма ряда Фурье по тригонометрической системе {e2kmx}kez, включающая слагаемые для которых \2тгк\ < г у
Третья глава посвящена функционально-дифференциальным операторам с инволюцией вида (0.1).
В 3.1 рассматривается случай простейшего графа Г из двух ребер, одно из которых образует петлю. В соответствии с векторным подходом реализацией функционально-дифференциального оператора на Г является следующий оператор L, действующий в пространстве вектор-функций
Ьу = (Іі(уі)МУ2))Т, У = (УъУ2)т,
І/і(0) = Уі(1) = ї/й(0),
к(Ук) - акУк{х) + ДьУІ(І-я) + Рк(х)ук(х) + рк{х)ук(1-х), х Є [0,1],
а\ ф /?|, pij(x) Є С1 [0,1], а краевые условия в (0.9) — это условия непрерывности у{х) во внутреннем узле Г.
Как уже отмечалось оператор L выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"{х). Одно из его достоинств в том, что краевые условия являются регулярными по Биркгофу, в то время как для оператора чистого дифференцирования у'(х) на таком графе они нерегулярны.
В п. 3.1.1 вводится вспомогательная задача
Qz'{x) + P(x)z(x) = \z(x) + m(x), (0.10)
M0z(0) + Miz(l) = 0, (0.11)
rAeQ = diag(Qi,Q2), Qk =
T>( \ A- (D( \ VI W T>< \ ( Pkl№ Pk2(X)
P(x) = diag(Pi(a:),F2W), Pk{x) =
\Pk2{l-x) Pk\(l-x)f
m(x) = (ті(х),т2{х),тз(х),гп4(х))т, где mi (ж) = /і (x), m2(x) = h(l-x), m3(x) = f2(x), m4(x) = f2(l-x),Mk = (Mh)lJ=1(k = 0,l), К = мі, = -M12 = -М3з = 1, Ml2l = M\2 = -M\2 = -Ml = 1, остальные Mfx = 0.
Устанавливается, что если z(x) = (2:1(3:),22(^),^3(2:),2:4(^))7, удовлетворяет (0.10)-(0.11), и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение, то резольвента R\ оператора L существует, и (Да/)(я) = Ы(х),у2{х))т, где yi(x) = zi{x), у2{х) = zz(x).
В п. 3.1.2 проводится диагонализация системы (0.10). С помощью пре-
Л h образования z(x,\) — Ви(х,Х), где В = diag(Bi, В2), Вк —
\Ьк 1
Ък = (З^1 [i\/dk + cxk], dk = РІ~ а\, задача (0.10)-(0.11) сводится к следующей
и'(х) + Р{х)и{х) = \Du(x) + fh(x), (0.12)
М0и(0) + Мги{1) = 0, (0.13)
где Р(х) = diag (ВД, ВД), Рк(х) = B^Q-klPk(x)Bb D = diag(Z)b D2), Dk = diag (i/y/dk, -і/уЩ, 4 = / ~ аЬ m(x) = diag^Qf1, В^<2?)т(х), M0 = M0B, Й = M^B.
В исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи (0.12)-(0.13) серьезным препятствием является ненулевая матрица Р{х).
Поэтому далее проводится преобразование системы (0.12), заменяющее Р{х) на матрицу с элементами О (А-1).
Пусть Н0(х) = diag{H0i(x),H02{x)), где Я0і(яг) = diag(/ii(ar), Л2(^)),
Н02(х) = diag (h3(x), /14(2:)), 1ц(х) = exp < - / j%() Л > и рц(х) — диагональные элементы матрицы Р{х)\ Н\(х) = diag^n(:c), Яі2(:е)), где Н\к{х) {к = 1,2)— кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения:
Н'0к(х) + Рк{х)Нок{х) + (Яи(х)А - ДьЯі*(а;)) = 0.
Тогда преобразованием (х) = Н(х, X)v(x), где Н(х, А) = Яо(ж)+А-1Яі(ж), приводит систему (0.12)-(0.13) к виду
v'(x) + P(s, А)ф) = XDv(x) + m(s, А), (0.14)
Moxv{0) + Mnv{l) = 0, (0.15)
гдеР(о;, A) = X-1H-1{xJX)[H'l{x)+P{x)H1{x)], т(х,Х) = Н~\х, Х)т{х), Мох = М0ВН(0, А), Ми = МіВЯ(1, А).
В п. 3.1.3 для исследования решения задачи (0.14)-(0.15) рассматривается решение краевой задачи
w'(x) — /j,Dw{x) + m(z), (0.16)
U{w) = M0xw(0) + Mlxw(l) = 0, (0.17)
где т = (ті,т2,тз,Ш4), т* = тпі(х) Є [0,1], D = diag(l, —l,d,-d),
d = > 0, /і = iX/y/di, (t. e. AD = //1)), которое имеет вид iu(s, д) = R\^m(x) = -V{x,y)L~l(ii)U(gllm{x)) + gltm{x).
Здесь V(x, /і) = diag (e'iX, e"^, e"dx, e~^), A(/i) = U(V{x, /z)),
1 1
^т(ж) = / g{x,t,ii)m(t)dt, U{g^m(x)) = / Ux{g(x,t,ii))m{t)dt,
о 0
g(x, t, /2) = diag^i(x, t, ц),д2(х, t, (л),д3(х, t, /і), g4(x, t, fj,)j, где при Re \i > 0
дк{хЛ») = -е&х)е^х-*\ к = 1,3, w2 = l,o^ = d,
gk(x,t,^)=e{x,t)^hix~t], к = 2, А, ы2 =-1,щ =-d,
e(x,t) = 1, если ж > t, e(x,t) = О, если x < t (при Re/i < 0 ^ определяются аналогично).
Далее, строится область S$0 в комплексной плоскости, в которой имеют место оценки ||Ді^т||оо = О (||т||і), ||iVHIoo = О (/і-1) , где || 11«, (|| Ці) — норма в пространстве L^, (Li), а ср(х) — вектор-функция, каждая компонента которой есть функция ограниченной вариации.
В п. 3.1.4 для решения v(x,\) задачи (0.14)-(0.15) с помощью полученных оценок устанавливается, что
lirn
Г->00
[ Н(х,Х) [v(x,X) - R^H^fh] dX
\\\=r
= 0,
Г-ЮО
[H(x, X)v(x, X) - H0(x)R2flHQlm} dX
= 0,
|A|=r
где || ||є — норма в С[є, 1 — є], a (./^)(х) — решение задачи
u'{x) = fiDu(x) + m(x),
UQ{u) = u(0) - u(l) = 0. Наконец, в п. 3.1.5 с помощью полученных асимптотических оценок устанавливается основной результат
Теорема 3.2 (теорема равносходимости). Для любой вектор-функции f(x) = (/1(^),/2(^))7 с компонентами fi{x) из L[0,1], и любого є Є (О,1/2)
lim | 5Г(/, х) - (<тГ1 (/ь х), аГ2(/2, х)) \\с[еЛ_е] = О,
где rk = r/y/dk, к = 1,2.
В 3.2 на графе из трех ребер, образующих цикл, рассматривается оператор
(Liy)(x) = (/1(2/1),/2(2/2), /зЫ)Г, У = (2/ь2/2,2/з)Т, (0.18)
2/i(0) = 2/з(1), 2/2(0) = 2/1(1), 2/з(0) = 2/2(1), (0.19)
где h{yi), /2(2/2) - те же, что и в предыдущем случае, а 13(у3) = у'(х) + р(х)у{х). Достоинство этого оператора в том, что на двух ребрах графа мы имеем оператор Дирака, а на третьем — обычный оператор дифференцирования, причем краевые условия имеют естественную природу, так как порождены условием непрерывности решения. Здесь также получена теорема равносходимости.
Теорема 3.4 (теорема равносходимости). Для любой вектор-функции f(x) = (/1(^),/2(^),/3(^))7 с компонентами fi{x) из L[0,1], и любого є Є (0,1/2)
Hm || Sr{f, х) - (<7Гі(/і, х), ar2(f2, х), оу(/3, х))Т ||с[єД_с] = 0,
где г\ = rj\fo\\, ті = r/y/d-i-
Наконец, в 3.3 для оператора L\ найдены необходимые и достаточные условия на функцию f(x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида
Л(/,я) = -^— / g(ii,r)Rxf(x)d\,
|А|=/У4"
где R\ — резольвента оператора L\, а функция g(fi,r) удовлетворяет следующим условиям
а) g((i, г) непрерывна по д в круге |//| < г и аналитична по fj, в |//| < г
при любом г > 0;
б) существует С > 0 такая, что \g(fi,r)\ < С при всех г > 0 и \ц\ < г;
в) существуют положительные /3 и h такие, что g{re%{p, г) = 0(\(р—ф\^),
при \<р — ф\ < h, где ф = {0,7г, ±7г/2};
г) g(fi, г) —> 1, при г -> оо и фиксированном //.
Примерами таких функций могут служить функции вида
9ІИ,г) = gi(n,r)g2{fi, г), ^,г) = (1 - ЙА (1 + ЙА (1 - *е^-/2)/3 (1 - йе»'(^^/2))Л ,
^(/і,г)=П(і-^)7\ / = 1,2,..., ft > 0, 7* > О, /*М целые по /л, Mr(f) = max|/(/i)|.
|/і|=Г
Теорема 3.6. ^слм /(ж) — вектор-функция с непрерывными компонентами, удовлетворяющая краевым условиям (0.19), то
Umll/W -ММ\\„ = 0. (0.20)
Так как Jr(f, х) всегда удовлетворяет условиям (0.19), то теорема 3.6 дает необходимые и достаточные условия равномерной сходимости Jr(f, х) к f(x).
Основные результаты диссертации опубликованы в [48]—[55] и докладывались на Воронежской весенней математической школе (2006 г.), Воронежской зимней математической школе (2007 г.), на научной сессии Воронежского госуниверситета (2006, 2007), на научном семинаре "Качественная теория краевых задач" под руководством Ю.В.Покорного.
Автор выражает сердечную признательность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также большую благодарность профессору Ю.В. Покорному и сотрудникам его семинара за полезные обсуждения.
Равносходимость разложений по с.п.ф оператора L и три гонометрического ряда Фурье на графе-цикле
Введем некоторые понятия, используемые в работе. В соответствии с [8] под геометрическим графом Г понимаем набор гладких одномерных многообразий (кривых) без самопересечений, называемых ребрами графа, и совокупности их концов, называемых вершинами. Вершины, к которым примыкает более одного ребра будем называть внутренними, вершины, из которых выходит только одно ребро — граничными. Будем использовать следующие обозначения из [8] (с. 25). Через С(Г) обозначим множество непрерывных на Г функций. При этом под непрерывностью функции подразумеваем обычную непрерывность на каждом ребре, как на интервале, вплоть до его концов и совпадение пределов функции по ребрам, примыкающим к некоторой вершине, со значением функции в этой вершине. Через С" (Г) обозначается пространство функций непрерывных на Г и п раз непрерывно-дифференцируемых на каждом ребре вплоть до его концов. Обыкновенным дифференциальным уравнением на графе Г в СП(Г) называется совокупность дифференциальных уравнений вида на ребрах (при некоторой фиксированной параметризации ребер графа) и некоторых условий согласования ([8], с. 26). Если к тому же заданы условия в граничных вершинах (условия типа Дирихле), то мы имеем краевую задачу на графе.
Задача считается нормальной, если суммарное число условий согласования (включая условия непрерывности) и условий Дирихле равно числу ребер, умноженному на порядок дифференциального уравнения. Всюду в диссертационной работе при исследовании решения дифференциального уравнения будет использоваться векторный подход ([8], с.21), а именно: каждое ребро графа параметризуется отрезком [0,1], решения на каждом ребре нумеруются в соответствии с предварительной нумерацией ребер; набор этих решений образует вектор-функцию, которая удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению, а условия непрерывности решения оказываются двухточечными краевыми условиями. Кроме того для однозначного определения решения (если есть необходимость) будут задаваться дополнительные краевые условия. В соответствии с таким подходом для дифференциального уравнения получим следующую задачу в пространстве вектор-функций: Здесь коэффициенты dj, характеризующие длину соответствующего j-го ребра (dj 0), возникли в результате параметризации ребер графа, п — число ребер графа. Краевые условия (1.2) включают условия непрерывности решения. Положим у(х) = (yi(x),y2(x),...,yn(x))T, f(x) = (fi(x),...,fn(x))T (Т — знак транспонирования), D = diag(c?i, ,--- ,dn), PQ = (aij)"j=\, Pi = ( ij)h=i квадратные (n x n) матрицы коэффициентов из Введем дифференциальный оператор L: Исследуется вопрос о равносходимости разложений произвольной функции / в ряд по системе {ірк} собственных и присоединенных функций (далее с.п.ф.) оператора L и разложений по тригонометрической системе. При этом используется метод контурного интеграла, основанный на соотношении r; R\ = (L — \E) l — резольвента оператора L (A — спектральный параметр, Е — единичный оператор). Для исследования сходимости последовательности частичных сумм Sr(x,f) построим и исследуем поведение резольвенты при больших Л. Необходимые оценки для Дд удается получить в зависимости от краевых условий.
Будем называть краевые условия (1.2) регулярными (в соответствии с понятием регулярности краевых условий в [19]), если Покажем, что для выполнения условия (1.5) необходимо, чтобы граф являлся циклом. Теорема 1.1. Если краевые условия (1.2) регулярны, то к любой вершине графа не может примыкать более двух ребер. Доказательство. Пусть к некоторой вершине графа примыкает три ребра. Ребра можно перенумеровать так, что в этой вершине будет выполняться одно из условий непрерывности /1 (0) = 2/2(0) или 7/1 (1) = 2/2(1)- Пусть, например, yi(0) = 2/2 (0). Тогда одно из краевых условий (1.2) имеет вид:
Теорема о разложении для оператора дифференцирования на произвольном графе
Пусть теперь граф Г состоит из N ребер. Рассматривается краевая задача где краевые условия Uj(y) = 0 включают требования непрерывности решения в узлах графа. Если Г не содержит цикл, т.е. обладает структурой дерева, то краевые условия содержат (N — 1) условие непрерывности. Для однозначной разрешимости задачи требуется добавление еще одного дополнительного условия, представляющего собой равенство нулю линейной комбинации значений у(х) в граничных вершинах. В этом случае ядро резольвенты оператора у имеет экспоненциальный рост, и нам не удается исследовать сходимость разложений по собственным функциям. Если граф содержит более одного цикла, то число условий Uj(y) = 0 больше числа уравнений в краевой задаче. Поэтому этот случай также не рассматривается. Далее предполагается, что Г содержит только один цикл. Параметризуем каждое ребро графа отрезком [0,1], при этом введем следующую ориентацию на Г: ребра, входящие в цикл, ориентируем в круговом направлении от одной из вершин (например, по часовой стрелке), все остальные ребра ориентируются в направлении "от цикла". Пусть L — оператор дифференцирования Ly = D ly , U(y) = 0, где D — диагональная матрица. Теорема 1.7. Если функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную вариацию на цикле, то f(x) разлагается в равномерно сходящийся на цикле ряд по собственным функциям оператора L. Доказательство. Пусть цикл содержит га ребер (перенумеруем ребра так, чтобы в цикл входили первые га ребер графа). Заметим, что если из соответствующей (1.36) векторной краевой задачи выделить уравнения и краевые условия, относящиеся только к циклу, то получим систему га уравнений и га граничных условий для соответствующих компонент решения, т.е. краевую задачу Используя скалярный подход ([8], с.20), "вытягиваем" цикл в отрезок с замкнутыми концами (т.е. в "кольцо"), сводя таким образом векторную задачу к скалярной. А именно, положим fn(x - (п - 1)), хЄ [п 1,п], тем самым определив функцию z, для которой, согласно (1.37), при х Є [j—l,j] имеем z (x) = y j(x- (j—1)) = Xdjz(x)+djF(x).
Краевые условия (1.38) переходят в условие непрерывности z(x) и условие z(0) = z(n). Таким образом, (1.37)-(1.38) переходит в скалярную краевую задачу в пространстве непрерывных на отрезке [0, п] функций где p(x) = dj при x Є [j - 1, j] (j = 1, n). Для того, чтобы свести задачу (1.39) к краевой задаче на отрезке [0,1] и избавиться от весовой функции при Xz(x), введем новую переменную Z(0(T)) T = гЩтЩ = i\\dlZ(d{r)) + hFMr))] = \dw{r) + й (т). Аналогично, Из краевых условий получим w(0) = z(Q) = z(n) = w(l). Таким образом, задачу (1.39) свели к задаче на отрезке [0,1] w (r) = Xdw(r) + dФ(т), w{0) = w(l). (1.40) Собственные значения этой задачи Л = р, а собственные функции {е2Шт)1_со- в СИЛУ того что ф() = FW)) = F() = /if0) ф(Ц = F(fi(l)) = F(n) = /п(1), и непрерывность функции f(x) на цикле влечет условие Ф(0) = Ф(1), то по теореме Жордана-Дирихле функция Ф(т) раскладывается в ряд по системе {е2ктт} на отрезке [0,1]. Рассмотрим теперь какое-нибудь ребро вне цикла. Пусть Г = Гі (J Г2 — подграф, состоящий из цикла Гі и цепочки Гг последовательно соединенных ребер, идущих от вершины цикла к этому ребру. Выделяя из (1.36) соответствующие ребрам из Гг уравнения и краевые условия (при необходимости изменяя нумерацию ребер), получим векторную краевую задачу y jix) = Xdjyj(x) + djfj(x), j = n + l,...,n + m (1.41) Уп+і(0) = Уп(1), Уп+2Ф) = yn+i(l), . . . , Уп+т(0) = 2/n+m-l(l). (1-42) Скаляризуя (1.41)-(1.42), "вытягиваем" цепочку в одно ребро. Таким образом, векторная задача (1.37), (1.41) - (1.38), (1.42) на Г сводится к задаче типа (1.24)-(1.25) на простейшем графе. Пользуясь полученным для нее результатом имеем:
Равносходимость спектральных разложений оператора Штурма-Лиувилля и оператора LQ
Пусть теперь f(x) = х(х)і гДе компоненты х{х) — характеристические функции отрезков. Для такой функции можно получить более тонкие оценки резольвенты, а именно, справедлива Лемма 2.11. Для функции \(х) имеет место оценка Компонентами вектора / g(x,t,p)Dx{t)dt в силу построения g(x,t,p) о являются линейные комбинации интегральных выражений вида Рассмотрим случай, когда /() = %() — характеристическая функция отрезка [а,Ь] С [0,1]. Пусть Rep 0 и 7 = min{rc,b}. Тогда Так как Rep (x - a) 0 и Rep (x — 7) 0, то выражение в квадратных скобках ограничено, откуда фк{х, р, х) = 0(р 2)- Аналогично можно показать, что эта оценка имеет место и при Rep 0. Следовательно, о Также можно показать, что для компонент g (x,t,p) и характеристической функции х() (при дифференцировании появляется множитель р). Поэтому используя оценки из леммы 2.2, для компонент вектора / Ux(g(x,t,p))Dx(t)dt имеем:
Отсюда, так же как и в лемме 2.8, с учетом оценок из леммы б 2.7, для компонент первого слагаемого имеем Yl r]kj(x,p)0(p 2) + xWIU = (р-2), что и доказывает утверждение леммы. D Перейдем к изучению резольвенты R\ оператора L : Ly = D 1y"+q(x)y1 Uk(y) = 0, k= 1,2. Покажем, что R\ удовлетворяет уравнению Фредгольма II рода, решение которого есть интегральный оператор с ядром, представимым в виде равномерно сходящегося ряда. Оценки элементов этого ряда позволяют получить необходимые оценки для R\. Лемма 2.12. Для резольвенты R\ = (L — ХЕ) 1 оператора L имеет место формула Доказательство. Функция у = R\f есть решение краевой задачи откуда D У - Ay = f(x) - q{x)y, или Следовательно, если существует Лд = (Lo — А_Е)-1, то у = Rx(f — qy) = Rxf - R\qy = Rxf - R\qRxj = (R\ - R\qRx)f, откуда следует утвер-ждение леммы. Обозначим (р{х) = R\f{x), А(х) = Rxq{x). Тогда, согласно (2.41), у = R\f есть решение уравнения Уравнение (2.42) есть уравнение Фредгольма II рода в пространстве вектор-функций размерности 3. Определим класс функций, которому принадлежит у{х). Так как Rx и Rxq — интегральные операторы с ядрами G(x,t,p) и G(x,t,p)q(t) соответственно, непрерывными по х, то (р(х) и А{х)у непрерывны по х, а следовательно и у Є С[0,1].
Функционально-дифференциальные операторы первого порядка на графе-цикле
Тем самым мы рассматриваем случай графа-цикла из трех ребер, когда на двух ребрах заданы операторы Дирака, а на одном — обычный дифференциальный оператор первого порядка. 1. Для у(х) = (R\f){x), где у(х) = (уі(х),у2(х),уз(х))т, f{x) = (fi(x)1 /2(2), Із{х))т, R\ — резольвента оператора L\, имеем следующую подчиненную краевым условиям (3.59). По аналогии с предыдущим параграфом, рассмотрим следующую краевую задачу в пространстве вектор-функций размерности 5: (3.63)-(3.64). Обратно, если z(x) удовлетворяет (3.63)-(3.64), и соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение, moR\ существует, и (R\f){x) = (уі(х),у2(х),у3(х))Т, гдеуі(х) = zi(x), У2{х) = zz(x), уъ(х) = z5(x). Доказательство. Пусть у = R\f. Тогда у(х) = (уі(х),у2(х),у3(х))т удовлетворяет системе (3.60)-(3.62). Меняя в (3.60)-(3.61) х на 1 — х получим еще два уравнения, образующие вместе с (3.60)-(3.62) систему, которая при переходе к функциям Z{(x) приводится к (3.63). Далее, так как У1{0) = 2І(0) = 22(1), У1(1) = zi(l) = z2{0), 1/2(0) = 23(0) = z4(l), 2/2(1) = 23(1) = 2:4(0), 2/з(0) = 2:5(0), 2/3(1) = 2:5(1), то краевые условия (3.59) дают следующие условия для %(х): z\(0) = 2:5(1), (1) = 2:5(1), 2:2(0) = 2:3(0), 2:1(1) = 2:4(1), 2:4(0) = 2:5(0), которые и есть (3.64). Обратно, пусть z(x) является решением задачи (3.63)-(3.64). Преобразовывая первые четыре уравнения в системе (3.63) с использованием замены х на 1 - х, получим, что вектор-функция (2:2(1 — x),zi(l — 2:),2:4(1 — 2:),2:3(1 - x),z-0{x))T также является решением (3.63)-(3.64). В силу невырожденности задачи (3.63)-(3.64) имеем, в частности, соотношения 2:2(2:) = 2:1(1 — ж), Zi(x) — 2:3(1 — 2:), с учетом которых из (3.63)-(3.64) получим (3.60), (3.61), (3.62), (3.59) относительно 2:1(2:), z2,{x)i zb{x). Так как однородная задача для (3.60)-(3.62), (3.59) также имеет только нулевое решение, то R\ существует, и (RxS)(x) = (zl(x),zi(x),zb(x))T. Введем также в рассмотрение следующую краевую задачу и\х) + Р{х)и{х) = XDu{x) + т(ж), (3.65) М0и(0) + Miu(l) = 0, (3.66) Легко убедиться в справедливости следующего утверждения. Лемма 3.18. Если и(х,Х) — решение краевой задачи (3.65)-(3.66), то z(x, А) = Ви(х,Х) есть решение задачи (3.63)-(3.64), и наоборот. Как и в предыдущем параграфе, далее проводится преобразование системы (3.65), заменяющее Р(х) на матрицу с элементами О (А-1).
Пусть Щ{х) = diag (#oi(s), Н02(х), Н03(х)), где #01 (ж) = diag (/11(2:),/12(2:)), #02(2) = diag кодиагональная матрица, являющаяся единственным решением матричного уравнения: H ok{x) + Pk(x)Hok{x) + (Hlk(x)Dk - DkHlk{x)) = 0, где Pk{x) = B lQllPk{x)Bk. Так как элементы матрицы Р(х) и, соответственно, Р(х) из С1 [0,1], то элементы #1(2;) из Сх[0,1], а Щ(х) из С% 1]. Теорема 3.3. Преобразование и{х) = Н(х, X)v(x), где Н(х, А) = #0(2:)+ А_1#і(2т), приводит систему (3.65)-(3.66) к виду Доказательство этой теоремы повторяет доказательство теоремы 3.1. 2. Для того чтобы исследовать решение задачи (3.67)-(3.68), рассмотрим сначала краевую задачу Лемма 3.19. Если fi таково, что матрица Д(/х) = U(V{x,fi)) обратима, то краевая задача (3.69)-(3.70) однозначно разрешима при любой т(х) с компонентами из L[0,1], и ее решение имеет вид: (Ux означает, что U применяется к д по переменной х). Лемма 3.20. Имеют место оценки: IIV Hcc, = 0(mi), Wig Woo = 0(\\т\\і), где oo ( Ці) норма в пространстве вектор-функций размерности 5 с компонентами из L (Li). Доказательство легко следует из ограниченности компонент матрицы g(x,t,fi). П Непосредственным вычислением получаем следующее утверждение: Лемма 3.21. Имеет место формула: ( l + /rV2(0) 61 + / 74(0) причем vk ф 0; АА(Д) = 0(1), к = 5,20, ajt/x + bkfid + Cjt/za; — различные комбинации, отличные от показателей экспонент первых четырех слагаемых (числа ак, bk, с& есть 0, 1 или —1). Далее предполагаем, что Re fi 0, Refiu 0 (остальные случаи рассматриваются аналогично). Тогда det Д(//) = е + + Т(//), где T(fi) = AM + А2(ц)е + Az{ii)e- - d- + Aiirie-2»-2 + + Efci5 ( )ea + +c w есть квазиполином. Так как ф 0 (fc = ї 4), то по лемме 1 ([46], с. 113), Т(ц) имеет счетное количество нулей, все они находятся в полосах вдоль мнимой и вещественной оси, причем в любых прямоугольниках Im/i — t\ 1, Re// — t\ 1 соответствующих полос их число ограничено некоторой константой, не зависящей от t. Вырежем из комплексной плоскости эти нули вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса So. Полученную область обозначим Ss0. Тогда в Ss0 при Re fi О, Reцій 0 для 5(/i) = det Д(/і) справедлива оценка
