Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Основные понятия и определения 12
1.1. Обобщенные функции в банаховом пространстве... 12
1.2. Сведения о жордановых наборах 21
1.3. Определение и свойства семейства M,N— функций 25
1.4. Полиномиально ограниченные пучки операторов. 27
ГЛАВА 2. Обобщенное решение полного дифференциального уравнения второго порядка 29
2.1. Некоторые свойства AX,A —присоединенных элементов 29
2.2. Построение непрерывного и обобщенного решений . 32
ГЛАВА 3. Фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в банаховых пространствах 43
3.1. Фундаментальная оператор-функция в условиях коммутирования 43
3.2. Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности 60
ГЛАВА 4. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка в банаховых пространствах 73
4.1. Вспомогательные результаты (сведения) 74
4.2. Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка 80
ГЛАВА 5. Фундаментальная оператор-функция дифференциального операторы с производной от функционалов
5.1. Фундаментальная оператор-функция в случае непрерывной обратимости 97
5.2. Фундаментальная оператор-функция в случае фредгольмовости 100
5.3. Фундаментальная оператор-функция в случае нетеровости 103
Список литературы 109
- Определение и свойства семейства M,N— функций
- Построение непрерывного и обобщенного решений
- Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности
- Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка
Введение к работе
В приложениях возникают начально-краевые задачи, которые можно трактовать как дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной (в иной терминологии такие уравнения также называют уравнениями Соболевского типа). Возрастание интереса к уравнениям, неразрешенным относительно старшей производной, обусловлено необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, динамике колебаний стратифицированной жидкости, теории флаттера, теории ползучести металлов, теории фильтрации жидкости и многих других, а также естественным стремлением к изучению новых математических объектов.
В настоящее время имеется огромное количество теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, неразрешенных относительно старшей производной.
В связи с этим можно выделить два направления исследований: решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [62, 85 - 87,] и изучение абстрактных уравнений и систем математической физики [22, 39, 65, 66, 77, 78,79,].
К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы [26]. К этому разделу можно отнести результаты С.А. Гальперина, А.Г. Костюченко и Г.И.Эскина, В.Н. Вра-гова, А.И.Кожанова, В.П. Глушко и многие подобные. А.И. Янушаускасом и его учениками хорошо развита аналитическая теория эллиптических уравнений с вырождением [45 — 48].
Ко второму направлению относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения, а конкретные
начально-краевые задачи служат иллюстративными примерами полученных общих абстрактных результатов.
Различные методы исследования и построения непрерывных решений дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах разрабатывались С.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким [21, 22], В.А. Трено-гиным, Б.В. Логиновым [24, 25, 26 — 30, 79,], Н.А. Сидоровым [31 — 39], О.А. Романовой [10,40 — 42], B.C. Шароглазовым [43, 44].
В этих работах применялись такие методы, как метод эволюционного (разрешающего) оператора, метод сведения исходного уравнения к уравнению с особой точкой с использованием жордановых структур, метод дифференциального уравнения разветвления, метод мажорант и аналитические методы теории дифференциальных уравнений.
И.В. Мельниковой и ее учениками [63, 64 — 69] предложен подход исследования задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, основанный на разработанной ими теории Ы, N — функций, обобщающей теорию косинус, синус — функций.
В работах Р.А. Александряна [72] и Т.И. Зеленяка [61, 62] и их учеников исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях Соболевского типа.
Г.А. Свиридюком [70, 71] введено понятие фазового пространства дифференциального уравнения как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши исследуемого уравнения.
Первым абстрактные операторные дифференциальные уравнения в их связи с уравнениями в частных производных встречаются у R.E. Showalter [88].
Хорошо разработаны теория и численные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в работах
Ю.Е. Бояринцева, А.В. Булатова, В.Ф. Чистякова, R. Marz, М.Р. Drasin [50 — 52,80 — 83].
В большой части работ, посвященных теории краевых задач для дифференциальных уравнений рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи. Подобного рода требования естественным образом сужают возможности применения полученных результатов. Поэтому представляется интересным строить обобщенные решения, для которых нет необходимости в дополнительных условиях.
Соответствующая теория, касающаяся обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построена СТ. Завалищиным, В.И.Шариным, Ф.З. Рафиковым [49].
Обобщенные решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений или уравнений специального вида строились в работах И.М. Карасева [53], И.П. Лесковского [54, 55], Р.М.Малаховской [56, 57], И.Я. Винера [58], Ф.С. Алиева [59] и других.
Н.А. Сидоров, О.А. Романова, М.В. Фалалеев исследовали некоторые классы дифференциальных уравнений с вырождением на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений [3, 4, 10, 14, 15, 33 — 35, 40 — 42], широко используя при этом теорию псевдообратных операторов и теорию ветвления.
Однако непосредственно построение обобщенного (и непрерывного в том числе) решения сопровождается очень громоздкими и достаточно неудобными выкладками, что в свою очередь затрудняет поиск решения.
М.В.Фалалеев ввел понятие фундаментальной оператор-функции как расширение понятия фундаментального решения дифференциального (интегрального и интегро-дифференциального) оператора на банаховы пространства. Это дает возможность отойти от прямого построения обобщен-
ного решения, получая его как свертку фундаментальной оператор-функции с источником (правой частью уравнения — свободной функцией). Знание фундаментальной оператор-функции позволяет в замкнутой форме выписывать обобщенные решения и определять условия существования непрерывного решения исследуемой задачи, избегая непосредственного построения последнего.
НОВИЗНА РАБОТЫ
В работе исследуется полный дифференциальный оператор второго порядка с фредгольмовым оператором при старшей производной. Для этого оператора, используя различные подходы, построена фундаментальная оператор- функция.
Построены фундаментальная оператор-функция для неполного дифференциально-разностного оператора высокого порядка и фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора первого порядка с производными от функционалов в различных случаях.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
При исследовании применялись идеи и техника, развитые Н.А.Сидоровым при решении вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [10, 31, 54 — 57], М.В.Фалалеевым при построении фундаментальной оператор-функции [3, 4]. Также в работе использовались элементы теории псевдообратных операторов, теория М, N — функций [12], теория полиномиально ограниченных пучков операторов [13] и сведения из функционального анализа.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Кроме введения диссертация содержит пять глав и список литературы.
Первая глава носит реферативный характер. В ней вводятся основные понятия обобщенных функций в банаховых пространствах, фундаментальной оператор-функции дифференциальных операторов и приведены основные правила действия с ними [1, 2, 4].
Также здесь представлены некоторые сведения о жордановых наборах операторов [4 — i\],oM,N— функциях [12], о полиномиально ограниченных пучках операторов [13].
Вторая глава посвящена исследованию задачи Коши для полного дифференциального уравнения второго порядка в случае вырожденности оператора, стоящего при старшей производной. Т.е. исследуется задача
Bx(t) = Axx(t) + A0x(t) + f(t), где x(0) = x0, i(0) = x{. (* *)
В п. 2.1 представлены некоторые соотношения для присоединенных элементов А{, А0 —жордановых наборов фредгольмова оператора В.
В п.2.2 проведено непосредственное построение обобщенного и непрерывного решений исследуемой задачи (теоремы 2.2.1, 2.2.2) как распространение на этот класс задач методов, апробированных ранее в [10, 14,15].
В третьей главе проведено исследование полного дифференциального оператора второго порядка В —- - А, — - А*, где В, А,, А - замкнутые
dr dt
линейные операторы, действующие из банахова пространства Е] в банахово пространство Е2, оператор В фредгольмов.
В пункте 3.1 построена фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в условиях коммутирования, а именно: 1) в терминах М, N - функций [12], когда операторы А^Г, AqT являются производящими операторами семейства М, N — функций
(теорема 3.1.2); 2) когда операторное уравнение X — А1ГХ-Аі)Г = 0 имеет
пару решений Х\ и.Х2 [18] таких, что существует оператор V - (Х^ -Х2)~ , здесь Г — оператор Шмидта для оператора В (теорема 3.1.4).
П. 3.2 посвящен построению фундаментальной оператор-функции полного дифференциального оператора второго порядка в условиях полиномиальной ограниченности пучка операторов Ai, Aq [13] (теоремаЗ.2.1).
Здесь же построено обобщенное решение задачи Коши (**) и определены условия существования непрерывного решения этой задачи.
В четвертой главе исследуется дифференциально-разностный опера-
тор высокого порядка L(D,AM) - В AAfl, где В, А -замкнутые линей
ные операторы, действующие из банахова пространства Е} в банахово
пространство Е2, AMu(t,x) = u(t,x-ju)-u(t,x).
В п. 4.1 приведены некоторые свойства А —- жорданова набора оператора В и специальных операторных функций, облегчающие в дальнейшем изложение сути проведенных исследований.
В п. 4.2. представлены основные результаты исследования дифференциально-разностного оператора высокого порядка, т.е. построена фундаментальная оператор-функция этого оператора при условии как фред-гольмовости, так и нетеровости оператора В (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3).
Пятая глава посвящена дифференциальному оператору первого по-
. п
рядка с производной от функционалов: --/ (' ,«,- Ц,- А, где А — замк-
dttt '
нутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий
из банахова пространства Е, в банахово пространство Еэ , аі є Е2, or,- є Ех ,
і-[,п. В этой главе, используя операторные записи систем уравнений построены фундаментальные оператор-функции названного оператора:
в пункте 5.1 — в случае непрерывной обратимости оператора А (теорема 5.1.1);
в пункте 5.2 — в случае фредгольмовости оператора А (теорема 5.2.1);
в пункте 5.3 -— в случае нетеровости оператора А (теоремы 5.3.1, 5.3.2).
Каждая глава сопровождается примерами.
АПРОБАЦИЯ
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на: Второй восточно-сибирской межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания (Иркутск, 2003) [89], Ш-м Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск, 2004) [97], конференции «Ляпунов-ские чтения и презентации информационных технологий» (Иркутск, 2003, 2004) [96, 98], ХШ-ой Байкальской международной школе - семинаре (Се-веробайкальск, 2005) [99], конференции «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005) и опубликованы, помимо материалов конференций, в [90 — 95, 100]. В совместных с MB. Фалалесвьш работах руководителю принадлежит постановка задачи, а все необходимые исследования проведены диссертанткой в полном объеме самостоятельно.
БЛАГОДАРНОСТИ
Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доценту М.В.Фалалееву за постановку задач, постоянное внимание и чуткое руководство; Н.А. Сидорову за отзывчивость и полезные замечания и советы; коллективу кафедры математического анализа ИМЭИ ИГУ за конструктивные дискуссии; своему мужу Вячеславу Викторовичу за заботу и поддержку.
Определение и свойства семейства M,N— функций
В приложениях возникают начально-краевые задачи, которые можно трактовать как дифференциальные уравнения в банаховых пространствах с необратимым оператором при старшей производной (в иной терминологии такие уравнения также называют уравнениями Соболевского типа). Возрастание интереса к уравнениям, неразрешенным относительно старшей производной, обусловлено необходимостью решения важных прикладных задач, в частности, в области физики атмосферы, физики плазмы, теории электрических цепей, динамике колебаний стратифицированной жидкости, теории флаттера, теории ползучести металлов, теории фильтрации жидкости и многих других, а также естественным стремлением к изучению новых математических объектов.
В настоящее время имеется огромное количество теоретических и прикладных работ, посвященных изучению уравнений и систем, неразрешенных относительно старшей производной.
В связи с этим можно выделить два направления исследований: решение некоторых задач для конкретных уравнений и систем математической физики [62, 85 - 87,] и изучение абстрактных уравнений и систем математической физики [22, 39, 65, 66, 77, 78,79,].
К первому направлению следует отнести работы, в которых результат о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получается посредством коэрцитивных оценок как следствие из какой-либо глубокой топологической теоремы [26]. К этому разделу можно отнести результаты С.А. Гальперина, А.Г. Костюченко и Г.И.Эскина, В.Н. Вра-гова, А.И.Кожанова, В.П. Глушко и многие подобные. А.И. Янушаускасом и его учениками хорошо развита аналитическая теория эллиптических уравнений с вырождением [45 — 48].
Ко второму направлению относятся работы, в которых объектом исследования выступают абстрактные операторные уравнения, а конкретные начально-краевые задачи служат иллюстративными примерами полученных общих абстрактных результатов. Различные методы исследования и построения непрерывных решений дифференциальных уравнений с вырождением в банаховых пространствах разрабатывались С.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким [21, 22], В.А. Трено-гиным, Б.В. Логиновым [24, 25, 26 — 30, 79,], Н.А. Сидоровым [31 — 39], О.А. Романовой [10,40 — 42], B.C. Шароглазовым [43, 44]. В этих работах применялись такие методы, как метод эволюционного (разрешающего) оператора, метод сведения исходного уравнения к уравнению с особой точкой с использованием жордановых структур, метод дифференциального уравнения разветвления, метод мажорант и аналитические методы теории дифференциальных уравнений. И.В. Мельниковой и ее учениками [63, 64 — 69] предложен подход исследования задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка, основанный на разработанной ими теории Ы, N — функций, обобщающей теорию косинус, синус — функций. В работах Р.А. Александряна [72] и Т.И. Зеленяка [61, 62] и их учеников исследованы спектральные свойства дифференциальных операторов, возникающих в уравнениях Соболевского типа. Г.А. Свиридюком [70, 71] введено понятие фазового пространства дифференциального уравнения как множества, содержащего все его решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных значений задачи Коши исследуемого уравнения. Первым абстрактные операторные дифференциальные уравнения в их связи с уравнениями в частных производных встречаются у R.E. Showalter [88]. Хорошо разработаны теория и численные методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Ю.Е. Бояринцева, А.В. Булатова, В.Ф. Чистякова, R. Marz, М.Р. Drasin [50 — 52,80 — 83]. В большой части работ, посвященных теории краевых задач для дифференциальных уравнений рассматривался случай, когда оператор при старшей производной невырожден. Если условие невырожденности нарушается, то необходимы дополнительные требования на данные задачи. Подобного рода требования естественным образом сужают возможности применения полученных результатов. Поэтому представляется интересным строить обобщенные решения, для которых нет необходимости в дополнительных условиях. Соответствующая теория, касающаяся обобщенных решений вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, построена СТ. Завалищиным, В.И.Шариным, Ф.З. Рафиковым [49]. Обобщенные решения некоторых конкретных дифференциальных уравнений или уравнений специального вида строились в работах И.М. Карасева [53], И.П. Лесковского [54, 55], Р.М.Малаховской [56, 57], И.Я. Винера [58], Ф.С. Алиева [59] и других.
Построение непрерывного и обобщенного решений
Будем решать систему (2.2.20) последовательным дифференцированием, а именно, /-е уравнение будем дифференцировать ру-, j = 1,и, раз.
Причем после каждой операции дифференцирования будем выписывать условие разрешимости, которое состоит в том, что если левая часть уравнения при t — 0 обращается в пуль, то должна обращаться в нуль и правая часть.
В результате, принимая во внимание (2.2.18) и (2.2.19), получим относительно Cjk систему линейных алгебраических уравнений а относительно функций %:{t) систему интегральных уравнений Волысрра второго рода вида (2.2.22) решение которой может быть записано через матричную резольвенту ядра Кг (t-s) ,i7j = \,n . Таким образом доказаны следующие гео ремы. Теорема 2.2.1. Если выполняются условия А) и F), то задача Коши (2.0.1) - (2.0.2) имеет обобщенное решение, которое может быть восстановлено по формулам (2.2.2), (2.2.6) - (2.2.9), (2.2.14), (2.2.22). Теорема 2.2.2. Если выполняются условия А) и F), и начальные условия и функция f{t) таковы, что hy (0) = 0, j-\,n, г = \,р:, то обобщенное решение задачи Коши (2.0.1) -(2.0.2) оказывается классическим (то есть непрерывным). Замечание 1. Если в условии А) отказаться от биканоничности, то систему (3.20) можно решить методом последовательного исключения неизвестных, при этом условия разрешимости будут выглядеть следующим образом Причем из системы (2.2.23) коэффициенты Cik определяются однозначно, так как определитель матрицы этой системы не равен нулю. В самом деле, в силу (2.2.19), матрица системы (2.2.23) имеет блочную диагональную структуру вида А= A-, UJ = Рі,р2 — Рп\\ где у блоки размерности [pi хPj)- Г РИ l = J в блоках по главной диагонали находятся единицы, а над главной диагональю - нули. При / j на главной диагонали и над ней стоят нули, а при / j на главной диагонали и под ней находятся нули. Можно показать, что определитель такой матрицы не равен нулю. Замечание 2.2.2. Условия hj (0) = 0, j = \,п, r = \,pj, как показывает анализ формулы (2.2.17), описывают совокупность правых частей/(/) и начальных условий х0, Х\ исходной задачи (2.0.1) (2.0.2), при которых она однозначно разрешима в классе непрерывных функций. Замечание 2.2.3. Если R(B) R(B), но D(A0) = D(A]) = Е{, то есть А0 и А1 - ограниченные операторы, то утверждения теорем 2.2.1 и 2.2.2 остаются верными. случае, если оператор Замечание 2.2.4. Аналогичные результаты можно получить и в том АХТ неограничен, но порождает сильно непрерыв ную полугруппу, а оператор / порождает сильно непрерывные семейства Замечание 5. В случае невыполнимости условия F) утверждения теорем 2.2.1 и 2.2.2 останутся справедливыми [4], однако формулы для восстановления регулярной и сингулярной составляющих будут выглядеть не столь наглядно.
Фундаментальная оператор-функция в условиях спектральной ограниченности
Теорема 5.3.1. (положительный индекс) Если оператор А нетеров, оператор L имеет полный Т - жорданов набор fj , i-\,h, j \,рф Yk , k=l,q, ./ = 1,/) [И] и h q, то оператор (5.0.1) имеет фундаментальную оператор-функцию вида где сД/1), .(0J i = hn, к = \,т, — элементы обобщенной вектор-функции (c(/),cf(f)), которая восстанавливается по формуле i=l 7=1 je 7 \ i-q + l,h, j \,Pi\ — произвольные функционалы. Теорема 5.3.2. (отрицательный индекс) Если оператор А нетеров, оператор L имеет полный Т - жорданов набор (ер\ і = 1,й, у = 1,/ (), jej \ k = l,q, j-Upjc] [И] и /г ?, то оператор (5.0.1) имеет фундаментальную оператор-функцию вида где C;(t), 4А(0 Ї = І, М Э A: = l,m, — элементы обобщенной вектор-функции (с(/), (?)), которая восстанавливается по формуле L+ — псевдообратный для оператора L; 2 = У] У] ( ,e t7) )7е-р,+І Л; и для ev, v = h + \,q, на классе обобщенных функций u{t) є K {R+iE{) вы полняются ( и условия Замечание. Все представленные теоремы обобщаются на случай обобщенного дифференциального оператора вида (5.0.1) более высокого порядка. Пример 5.1. Рассмотрим задачу u(0,t) = u(l,t) = Q, u(x,Q) = fl(x), d(x)eC[0A]. Пусть ( - банахово пространство дважды непрерывно дифференцируемых на [0,1] функций, удовлетворяющих условиям и(0) = м(1) = 0, - [0,1] Рассматриваемое уравнение можно записать при помощи дифференциального оператора с производной от функционала вида —( ;ax )-А, где ах =d(x), ах =1, Р(Х) ЕЕХ, А = — + {ктг) . Здесь оператор А является фредгольмовым оператором. Ядро оператора A, N(A ) и соответствующие биортогональные системы элементов найдены в примере 2.2. Используя все эти результаты в соответствии с теоремой 5.2.1, можно восстановить фундаментальную оператор-функцию дифференциального оператора данной задачи и, как следствие, само ее обобщенное решение.
Фундаментальная оператор-функция дифференциально-разностного оператора высокого порядка
В работе исследуется полный дифференциальный оператор второго порядка с фредгольмовым оператором при старшей производной. Для этого оператора, используя различные подходы, построена фундаментальная оператор- функция.
Построены фундаментальная оператор-функция для неполного дифференциально-разностного оператора высокого порядка и фундаментальная оператор-функция дифференциального оператора первого порядка с производными от функционалов в различных случаях.
При исследовании применялись идеи и техника, развитые Н.А.Сидоровым при решении вырожденных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах [10, 31, 54 — 57], М.В.Фалалеевым при построении фундаментальной оператор-функции [3, 4]. Также в работе использовались элементы теории псевдообратных операторов, теория М, N — функций [12], теория полиномиально ограниченных пучков операторов [13] и сведения из функционального анализа.
Кроме введения диссертация содержит пять глав и список литературы. Первая глава носит реферативный характер. В ней вводятся основные понятия обобщенных функций в банаховых пространствах, фундаментальной оператор-функции дифференциальных операторов и приведены основные правила действия с ними [1, 2, 4]. Также здесь представлены некоторые сведения о жордановых наборах операторов [4 — i\],oM,N— функциях [12], о полиномиально ограниченных пучках операторов [13]. Вторая глава посвящена исследованию задачи Коши для полного дифференциального уравнения второго порядка в случае вырожденности оператора, стоящего при старшей производной. Т.е. исследуется задача В п. 2.1 представлены некоторые соотношения для присоединенных элементов А{, А0 —жордановых наборов фредгольмова оператора В. В п.2.2 проведено непосредственное построение обобщенного и непрерывного решений исследуемой задачи (теоремы 2.2.1, 2.2.2) как распространение на этот класс задач методов, апробированных ранее в [10, 14,15]. В третьей главе проведено исследование полного дифференциального оператора второго порядка В —- - А, — - А , где В, А,, А - замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства Е] в банахово пространство Е2, оператор В фредгольмов. В пункте 3.1 построена фундаментальная оператор-функция полного дифференциального оператора второго порядка в условиях коммутирования, а именно: 1) в терминах М, N - функций [12], когда операторы А Г, AQT ЯВЛЯЮТСЯ производящими операторами семейства М, N — функций (теорема 3.1.2); 2) когда операторное уравнение X — А1ГХ-Аі)Г = 0 имеет пару решений Х\ и.Х2 [18] таких, что существует оператор V - (Х -Х2) , здесь Г — оператор Шмидта для оператора В (теорема 3.1.4). П. 3.2 посвящен построению фундаментальной оператор-функции полного дифференциального оператора второго порядка в условиях полиномиальной ограниченности пучка операторов Ai, AQ [13] (теоремаЗ.2.1). Здесь же построено обобщенное решение задачи Коши ( ) и определены условия существования непрерывного решения этой задачи. В четвертой главе исследуется дифференциально-разностный опера тор высокого порядка L(D,AM) - В AAfl, где В, А -замкнутые линей ные операторы, действующие из банахова пространства Е} в банахово пространство Е2, AMu(t,x) = u(t,x-ju)-u(t,x). В п. 4.1 приведены некоторые свойства А —- жорданова набора оператора В и специальных операторных функций, облегчающие в дальнейшем изложение сути проведенных исследований. В п. 4.2. представлены основные результаты исследования дифференциально-разностного оператора высокого порядка, т.е. построена фундаментальная оператор-функция этого оператора при условии как фред-гольмовости, так и нетеровости оператора В (теоремы 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3). Пятая глава посвящена дифференциальному оператору первого по . п рядка с производной от функционалов: --/ ( ,«,- Ц,- А, где А — замк dttt нутый линейный оператор с плотной областью определения, действующий из банахова пространства Е, в банахово пространство Еэ , аі є Е2, or,- є Ех , і-[,п. В этой главе, используя операторные записи систем уравнений построены фундаментальные оператор-функции названного оператора: в пункте 5.1 — в случае непрерывной обратимости оператора А (теорема 5.1.1); в пункте 5.2 — в случае фредгольмовости оператора А (теорема 5.2.1); в пункте 5.3 -— в случае нетеровости оператора А (теоремы 5.3.1, 5.3.2). Каждая глава сопровождается примерами.
