Введение к работе
Актуальность темы. Термин разделимости в теорию дифференциальных операторов ввели английский математик В.Н.Эверитт и шведский математик М.Гирц. Они изучали разделимость дифференциального оператора Штурма-Л иу вилл я и их степеней с целью выяснения вопроса о том, имеет ли место для данного оператора случай предельной точки или круга. В настоящее время опубликовано достаточно большое число работ, в которых применяются теоремы разделимости в спектральной теории дифференциальных операторов и в вопросах теории весовых пространств.
Проблемой разделимости занимались также A.Zettl, W.D.Evans, F.V.Atcinson, М.О.Отелбасв, К.Х.Бойматов, К.Т.Мьшбаев, А.Ша-рифов, А.С.Мохамед и другие. В работах М.О.Отелбаева, К.Х.БоИ-матова и их учеников с помощью, модифицированного метода Тит-чмарша и пового варианта метода локализации получены представлений резольвент рассматриваемых операторов. Это позволило им доказать важные-результаты, в. осповном принципиально новые или существенно обобщающие основные достижения зарубежных математиков.
Разделимость для дифференциальных выражений с частными про-изводныш! впервые исследовались в работе Войматова К.Х.1 и далее в работах Ойварова Р., Отелбаева, М.О. и других авторов.
Разделимость дифференциальных операторов с частными производными, в банаховых пространства* вектор-функций исследовацч недостаточно полно,.
Вопросами, разделимости, в гильбертовых пространствах вектор-, но-значных функций занимался Мохамад А.С. Им получены ряд
'[1]. Боїмжто» КХ Тисрсиы рид-мтоста. ЛАК СССР. 1»73. T.31S, J* І, «.10НКІС11.
результатов для оператора Шрсдннгера с. матричним потенциалом. Мохамадом исследовап также линейный оператор Шрединге-ра в пространстве -,*(#)', где р Є (1, -foe).
Настоящая диссертация посвящена разделимости дифференциальных операторов второго порядка в пространстве вектор-функций с взвешенно суммируемыми компонентами. Наши результаты осповываются на применении неравенства Като, которое в случае систем, в нашей работе, применяются впервые. Поэтому условия разделимости, полученные в нашей работе, коренным образом отличаются от условий других работ и являются нршщшшально ыо-выми и установлены здесь впервые.
Цель работы. Для широкого класса матричных потенциалов q(i) и весовых функций k(t) установить Lij, - разделимость оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом д{1) и обобщить соответствующие результаты для нелинейных операторов. Установить новые результаты по разделимости матричных многомерных операторов тина Шредингера. Получить соответствующие коэрцитивные неравенства. Исследовать близкие к этому кругу вопросов такие проблемы, как m - аккретивнотть, т - секториальность и самосопряженность рассматриваемых онераторои.
Метод исследования. Основными методами исследования являются современные методы функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Применяется неравенство Като и развивается метод Эверитта и Гирца применительно к случаю систем.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Основные из них следующие:
— получены принципиально новые условия разделимости оаера-
тора Штурма-Лиувилля с матричным потенциалом;
получены соответствующие коэрцитивные неравенства;
исследовапы условия непрерывной обратимости оператора Штурма-Лиувилля;
найдены условия m - аккретшгаости, т - секториальпосги и самосопряженности оператора Штурма-Лиувилля;
получены условия разделимости и соответствующие"коэрактивные неравенства в различных случаях для нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом;
получены условия однозначной разрешимости уравнения типа Шредингера с матричным потенциалом.
Теоретическая и практическая ценность работы. Исслідова ния, содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер. Они могут найти дальнейшее применении в спектральной теории дифференциальных операторов и в вопросах теории весовых пространств.
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедры математического анализа ТГПУ им. К.Джураева (руководитель про-
фессор Эргаш Рузметов в период 1996-1997 гг.), математического факультета КГУ им. Н.Хусрава (руководитель профессор Икром Курбанов в период 1996-2000 гг.), на научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава, uoc-вященной 50-летию Победы в ВОВ (ТКИ, г.Душапбе, 19% г.), на научной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения'1, посвященной 60-летию профессора Эргаша Рузметова (ТГПУ им.К.Джураева, г.Душанбе, 1999 г.), па Республиканской паучпоіі конференции "Дифференциальные уравпепия с частыми
проіиводньши и их приложения" (КГУ им.Н.Хусрава, г.Курган-Тюбе, 1997 г.), на Международной научной конференции "Математическое моделирование и компьютерные эксперименты* (ТГНУ, U-18.10.2000 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы а сгаїьях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертация. Диссертация состоит из вве-дедни и двух глав, разбитых на семь параграфов, а также списка литературы. Общий объем диссертации составляет 90 страниц машинописного текста, в редакторе "РСТЕХ". Библиография насчитывает 55 наименований.
