Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 15
часть 1.1 16
часть 1.2 22
часть 1.3 29
часть 1.4 33
Глава II 38
часть II.1 38
часть II.2 49
Глава III 68
часть III.1 71
часть III.2 74
Глава IV .86
часть IV.1
часть IV.2
часть IV.3
Список литературы
часть 1.2
Цель настоящей главы - дать корректное определение оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом q(x), являющимся сингулярным распределением первого порядка, более точно, при q(x) = и (х), где и(х) Є L i{a,b), а производная понимается в смысле распределений. Случаи конечного и бесконечного интервала будут рассмотрены отдельно. Мы покажем, что при указанном условии имеется однозначное "разумное" определение соответствующего оператора. Оператор с указанным потенциалом мы определим явно и покажем, что для любой последовательности гладких функций иє(х), сходящихся в Ьъ(а,Ъ) к и(х), последовательность операторов —d2/dx2 + u s(x) имеет равномерный резольвентный предел —d2/dx2+u (x). Этот результат важен, например, для вычисления спектра предельного оператора. Мы покажем, что условие сходимости и(х)—hu(x) для существования однозначного не только равномерного, но и сильного резольвентного предела является точным в следующем смысле: нельзя L i заменить на Lp при р 2. По этой причине определение операторов с потенциалами q{x) = и (х) при и(х) Ь% оказывается некорректным с точки зрения предельного перехода. Конечно, это вовсе не означает, что нет других разумных определений рассматриваемых операторов в случае f q()d L -Некоторые потенциалы такого типа разобраны в главе 4.
Отметим, что сумму оператора —d2/dx2 в Z IR1) и оператора умножения на функцию q(x) из негативного Соболевского пространства Н ІШ1) можно определить, привлекая метод квадратичных форм (см. [40, гл. И]) и теорию мультипликаторов (этот подход был реализован в работе [41]). Однако, метод описанный здесь (он разрабатывался параллельно с методом квадратичных форм (см. [35])) позволяет получить существенно более полную информацию. В частности, явно описывается область определения суммы, дается характеристика всех самосопряженных расширений минимального оператора на конечном отрезке и др. Кроме того, предлагаемый метод позволяет рассматривать не только сингулярные вещественные по 16 тенциалы, но и комплексные. Основные результаты данной главы опубликованы в работе [35].
Несложно видеть, что для гладких функций и(х) и у(х) дифференциальное выражение (1.1) и квазидифференциальное выражение (1.2) тождественно совпадают.
Метод построения операторов по квазидифференциальным выражениям такого (и более общего) вида был разработан В. Эвериттом, А. Зеттлом, Л. Маркусом в работах [42], [43], [44]. В частности, ими был указан способ определения максимального и минимального операторов (см. ниже) и были получены результаты, приведенные в леммах 1-4. Для удобства изложения здесь эти результаты приведены с полным независимым доказательством.
С квазидифференциальным выражением 1{у) свяжем максимальный оператор 1 м, определенный равенствами I 4LM) = {у\ у,уМ Є WHOM Ы Є 1-2(0,1)}. Здесь Wi - пространство функций, обобщенная производная которых суммируема на [0,1]. Очевидно, Wl совпадает с классом абсолютно непрерывных функций на [0,1]. Минимальный оператор Lm определим как сужение LM на область V(Lm) = {У\УЄ V(LM),y(0) = y(l) = з,М(0) = уИ(і) = 0}.
Заметим, что в случае и (х) Є L\ определения максимального и минимального операторов совдают с классическим их определением, т.к. в этом случае условие у Є Wl влечет у Є W/ и наоборот.
Мы не предполагаем, что функция и{х) вещественна. Обозначим через 1{у) дифференциальное выражение —у" + й (х)у. Через LM И Lm обозначим максимальный и минимальный операторы, порожденные 1(у).
Важную роль в дальнейшем играет следующий результат. Теорема 0. Пусть А(х) - матрица размера п х п, элементы которой являются функциями пространства Li(0,1), a f Є [і(0,1)] - вектор-функция. Тогда при любом с Є [0,1] уравнение y = AWy + f, у(с) = єС\ имеет единственное решение у(х), причем у(х) - абсолютно непрерывная на [0,1] вектор-функция. Если последовательность матриц, А(х) с элементами из Li(0,l) такова, что \\Ає(х) — A(x)\\il — 0 при s — 0. то решения уравнений у є = Ає(х)ує + f, у(с)=, сходятся к у(х) равномерно на [0,1] (и даэюе в метрике пространства Wl[Q, 1]). Кроме того, справедлива оценка ІУМ - Уе(х)\ C\\f\\Ll\\A(x) - Ae(x)\\Ll (1.3) с постоянной С не зависящей от f и є. Доказательство. Первое утверждение известно [2, 16]. Оценку (1.3) можно получить следующим образом. Рассмотрим оператор с Он является вольтерровым в пространстве С[0,1] (это доказывается методом сжимающих отображений). Поэтому операторы I — А и I — Ае обратимы. Имеем
Наша ближайшая цель — показать, что операторы Ьм и Lm являются взаимно сопряженными фредгольмовыми операторами. В частности, в случае вещественной функции и(х) оператор Lm симметричен и замкнут, его индексы дефекта равны {2,2}, а его самосопряженные расширения описываются явно.
Доказательство. Докажем, например, первое равенство. Из леммы 1 следует, что LM С L m. Докажем обратное включение. Пусть g Є P(Z ), L mg = h. Пусть z Є V(LM) — решение уравнения f(z) = /г, т.е. h — LMZ. Тогда для любого у Є V(Lm) (h,y) = (L mg,y) = (g,Lmy) = {LMz,y) = (z,Lmy) в силу леммы 1. Т.е. функция z — g ортогональна образу 1Z(Lm), а значит z — g Є КегХ согласно лемме 2. Следовательно, g Є V(LM) И LM9 = LMz = h = L mg.
Оператор F с плотной областью определения в гильбертовом пространстве называется фредгольмовым, если его образ замкнут, а числа {&,/?} соответствующие размерностям ядра и коядра конечны. Пару {а,,3} называют дефектными числами оператора F, а число а — (5 — индексом F.
Теорема 1.1 При любом А Є С операторы Lm — X и LM фредголъмо-вы, а их дефектные числа равны {0,2} и {2,0} соответственно. Рассмотрим расширение L оператора Lm, являющееся сужением оператора LM на область вида V(L) = {у\уе ViLMhUM = U2(y) = 0}, где линейные формы U\, U2 имеют представление Uj(y) = 0,12/(0) + W1](0) + bjiy(l) + bj2y[1](l) = 0, j = 1,2. (1.6) Тогда оператор L имеет непустую резольвенту тогда и только тогда, когда коэффициенты ajk и bjk, j, к = 1,2 удовлетворяют одному из следующих условий 1)—3) (невырожденные краевые условия (см. [2], [16])).
часть II.2
В этой главе мы продолжим изучение свойств операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами. При этом мы ограничимся случаем конечного отрезка. Нас будут интересовать такие свойства, как асимптотика собственных значений и асимптотика собственных функций. Сравнивая эти асимптотические формулы с их аналогами для операторов Штурма-Лиувилля с регулярными потенциалами можно сделать следующий вывод. Основные свойства классических операторов Штурма-Лиувилля при переходе к случаю сингулярных потенциалов сохраняются с незначительными изменениями.
Здесь мы получим формулу главного члена в асимптотической формуле для собственных значений при минимальных требованиях на потенциал и общих краевых условиях. На протяжении всей главы 2 нам будет удобно изучать оператор на отрезке [0,тг], что конечно не является ограничением. Мы будем предполагать потенциал q(x) комплекснозначным, если не оговорено противное.
Итак, рассмотрим оператор L, порожденный дифференциальным выражением i{y) = -v" + q( )v, (2-і) где q(x) = г/(У), и(х) Є Ьг[0,7г], а производная понимается в смысле теории распределений. Оператор L определим так, как это было сделано в теореме 1.1. При этом мы не накладываем никаких дополнительных ограничений на краевые условия (1.6), кроме одного из условий (1.7). Прежде всего, докажем лемму 1.5, сформулированную в главе 1 (здесь мы формулируем ее для отрезка [0,7г]).
Лемма 1.5 Обозначим через z\{x,X) и zi(x,X) фундаментальную систему решений уравнения 1{у) = Ху (решения понимаются в смысле определения 1.1) с начальными условиями zi(0, А) = 1, z\ (О, А) = 0; (0, А) = 0, z\-"(О, А) = 1 ( напомним, что первая квазипроизводная функции f(x) была определена формулой f (x) = f (x) — u(x)f(x)). При А — 4-оо внутри любой полосы /тА а справедливы асимптотические формулы (ветвь корня выбирается здесь с разрезом по отрицательному лучу) внутри любой полосы \1тХ а\ (j = 1,2, к = 0,1), причем последовательность pjk{zn), п = 1,2,... принадлежит пространству 1ч, если последовательность точек zn удовлетворяет условиям 1) zn Є Па := {z Є СI \Imz\ a, Rez 0} для некоторого а, 2) Для любого квадрата с вершинами в точках т + га, т — га, т + 2а 4- га, т + 2а — га количество чисел zn внутри него ограничено постоянной, не зависящей от т 0.
Доказательство. В соответствии с определением оператора L, уравнение 1{у) = Ху можно записать в виде системы (ее можно трактовать как переход к обобщенным полярным координатам), которая является модификацией замены Прюфера (см. [17]). Тогда систему (2.4) можно записать в виде А 2г cos 0 — А2г9 sin 0 = —Ar sin 9 — и2г sin 9 — Аз w cos 0, где г = г(ж,А), в — в(х,\), и = и(х), а все производные есть дифференцирование по переменной х. Умножим первое уравнение в (2.6) на Аз cos# и вычтем второе уравнение, умноженное на s m9. В результате получим уравнение на функцию 9(х, А)
Если же мы сложим первое уравнение в (2.6), умноженное на Л sin 9 со вторым уравнением, умноженным на cos 9, то получим уравнение на функцию г (я, А)
Таким образом, от системы (2.4) мы перешли к системе двух уравнений (2.7), (2.8). Эти уравнения не являются линейными. Основное достоинство новой системы состоит в том, что уравнение (2.7) не содержит неизвестной функции г(х, А) и является независимым дифференциальным уравнением на функцию 9(х,\). При этом, если мы хотим получить асимптотические формулы для zi(x,X), начальные условия необходимо выбрать следующими
Теперь мы найдем асимптотические формулы для функций 9(х, А) и г (я, А), которые сформулируем в двух следующих леммах. Доказательство этих лемм сопряжено с техническими сложностями, но следствием их будут не только формулы (2.2) и (2.3), но и более точные результаты о поведении собственных значений и собственных функций изучаемых операторов. Вначале мы введем следующие обозначения.
Выберем положительное число Ло таким, что при ЯеЛ Ло выполнено неравенство rj(c,X) 1 (в силу леммы Римана-Лебега (см., например [52]), rf(c,X) — 0 при Л — +оо внутри полосы \1тХ\ а). Тогда несложно видеть, что \Im9i(x,X)\ тта + 1 при ReX Ло- Разложим тригонометрические функции в формуле для 02(х, Л)
На отрезках [a ,a +i] можно провести в точности те же рассуждения, а поскольку число таких отрезков конечно, то в результате мы получим требуемую оценку остатка р(с,х,Х). Лемма доказана.
Лемма 2.2 Пусть /тА а. Тогда существует положительное число AQ, такое что при ReX XQ функция г(х,Х) — решение уравнения (2.8) с начальным условием г(0, А) = С, где $(х, А) есть решение уравнения (2.7) с начальным условием 9(0, X) = с удовлетворяет асимптотике
Здесь и в дальнейшем асимптотические формулы понимаются в том смысле, что начиная с некоторого номера N в окрестности с центром в точке п N и радиуса 5п (где числа 5п подчинены соответствующей оценке) лежит единственное собственное значение оператора L, которому мы сопоставляем номер п. Мы не будем останавливаться на вопросах, насколько велико число N и с какого номера необходимо начинать нумерацию при таком способе (т.е. сколько собственных значений находится в круге с центром в нуле и радиусом N), хотя в данном случае ответы на них получить не сложно.
часть III.2
Здесь мы получим формулу регуляризованного следа для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с сингулярными потенциалами, не являющимися локально интегрируемыми функциями. По прежнему через S обозначаем оператор, порожденный дифференциальным выражением
Здесь А - собственные значения оператора S, и предполагается, что среднее потенциала q(x) равно нулю. Эта работа получила многочисленные продолжения. Здесь приведем ссылки на статьи [20] - [34], [56] - [58] в которых читатель сможет найти более полную библиографию по данной тематике. Для обобщения этой формулы на случай операторов как второго, так и высших порядков, а также для операторов в частных производных, были развиты несколько тонких методов. Первый из них основан на исследовании гиперболического уравнения для ядра оператора S [19]. Другой мощный метод связан с изучением дзета-функции оператора S (см.[21], [25]). Он был развит не только для подсчета следов операторов, но и для вычисления регуляризованных сумм корней некоторых целых функций. Третий метод, предложенный в [26], использует параболическое уравнение для аналитической полугруппы, генерируемой оператором —S. Существенное развитие в применении к операторам в частных производных он получил в работе [30]. Идеи этого метода будут во многом использоваться и в настоящей работе. Четвертый метод [24] использует резольвентные тождества. Наконец пятый метод [22], [29] основан на теории возмущений операторов. Конечно, эти сведения дают лишь схематичное представление о рассматриваемой проблеме, но мы не ставили здесь цели развернутого изложения ее истории.
Не ограничивая общности, всюду далее предполагаем, что среднее потенциала bo = 0 (этого можно добиться прибавлением к q(x) постоянной). Из формул (3.4), (3.6) видно, что ряд абсолютно сходится, если q{x) - гладкая функция (например, если и"(х) = q (x) Є L2, то bn = an,{an}f Є h). Но уже в случае q(x) Є AC (т.е. в случае q (x) Є L\) для коэффициентов Фурье справедливы лишь оценки Ъп = о(п 1), которые не гарантируют абсолютной сходимости ряда (3.7). Тем не менее, классическая формула следа остается справедливой для произвольного потенциала q(x) Є L i, если ряд Фурье для q(x) сходится в точках х = 0 и х = ж (тогда значения q(0) и q(7r) полагаются равными соответствующим суммам). Доказательство этого результат получил В. А. Марченко [16][гл. 1], но метод Л. А. Дикого [20] позволяет получить такой же результат, хотя в [20] этот метод реализован при более сильных предположениях на функцию q{x). Конечно, абсолютная сходимость ряда (3.7) при таких условиях не гарантируется. Поэтому полезно отметить (см. [32]), что абсолютная сходимость ряда J2 hn влечет абсоло-ютную сходимость ряда (3.7). Такое условие выполняется, например, для функции q(x) из класса Липшица Ла при а 1/2 (см. [52][гл. 6, 3]).
Следующий шаг в направлении обобщения формулы (3.3) сделали В. А. Винокуров и В. А. Садовничий [58]. Они показали, что ](Ап-п2 + &2п)=0, (3.8) причем ряд сходится для произвольной функции q(x) Є L\. Таким образом, для потенциалов класса L\ задача о вычислении регуляризованного следа оказывается решенной: ряд (3.3) сходится в том и только в том случае, когда сходится ряд XX—&2п), причем их суммы совпадают. В этой связи полезно отметить следующий факт. Формула (3.3) сохраняется для произвольного потенциала q(x) Є L\, если косинус-ряд Фурье для q(x) сходится в точках х = 0 и х = п, а значения q(x) в этих точках полагаются равными соответствующим суммам. Действительно, если &о = 0, то 2 2bkCoskx есть косинус-ряд Фурье функции q{x), поэтому
В частности, формула (3.3) справедлива для потенциалов q(x) класса Li, если функция q(x), являющаяся четным продолжением q(x) относительно точек 0 и 7Г, удовлетворяет условию Дини в этих точках. В нашем случае это эквивалентно сходимости интегралов коказывается, для неклассических потенциалов q(x) L\ равенство (3.8) уже не сохраняется, даже если q(x) — гладкая функция в окрестности точек 0 и 7Г. В работе [36] было показано, что для функции q(x) = Ы(х —) — ряд (А„ — п2 + 62п) сходится к значению —Д2/8. Нашей целью является доказательство общей формулы регуляризован-ного следа для сингулярных потенциалов класса CQ, состоящего из распределений q(x), для которых обобщенные первообразные и(х) = fq(x)dx являются функциями ограниченной вариации ( BV), непрерывными в точках О и ж. Обозначение CQ используется по следующей причине (см. ниже): указанный класс функций совпадает с пространством, сопряженным к Со — Со[0,ж] относительно скалярного произведения в пространстве Z-2 (здесь Со - подпространство в С, состоящее из функций, аннулирующихся на концах отрезка).
Воспользуемся представлением и(х) = v(x) + h(x), где h(x) - функция скачков, a v(x) Є С[0,7г] (отделение сингулярной непрерывной компоненты далее не потребуется). Функция h(x) имеет не более счетного числа скачков в точках {XJ}. Для определенности нормирз ем функцию h(х) в точках разрыва условием h(xj -f- 0) = h(xj). Если hj = h(xj) — h(xj — 0) -скачки функции, то ряд \hj\ сходится, а потому сходится ряд Щ.
Теорема 3.1 Пусть {K}f — собственные значения оператора S, порожденного (3.1),(3.2) с потенциалом q{x) класса CQ, а числа bk определены (3.4). Тогда ряд в левой части (3.8) сходится и
Отметим, что в случае q(x) Є L\ имеем и(х) Є АС, поэтому теорема 1 содержит результат работы [58]. Более того, равенство (3.8) сохраняется, если и(х) содержит сингулярную непрерывную компоненту. Возникает вопрос: если q(x) регулярна в окрестности точек 0 и 7г, то можно ли получить аналог формулы (3.3)? Ответ, вообще говоря, отрицателен. Например, для q(x) = 5(х — ) — имеем Ь іп — (—1)п5 поэтому ряд J 2n расходится. Известно также, что коэффициенты Ъп могут не стремиться к нулю и для сингулярной непрерывной функции и{х). Например, это так для "лестницы Кантора" [52][гл. 5,3]. Но полезно отметить, что ряд Y bn суммируется методом средних (равно как и методом Абеля), если q(x) непрерывна в точках 0 и тт. Поэтому возможна формулировка аналога формулы (3.3) для потенциалов g 6 Q в терминах суммирования рядов. Перед формулировкой соответствующего результата докажем одно вспомогательное предложение.
часть IV.2
В силу четности потенциала, эти же функции будут образовывать ФСР на отрезке [—1,0]. Остается склеить ФСР на отрезке [—1,1] из функций c V\(y/cx) и с" Уч(\/сх). Первую функцию мы опять продолжим четным, а вторую - нечетным образом. Получаемое семейство операторов L(a), а Є Па также будет голоморфно и все утверждения теоремы 1 верны. Отличие данного семейства от предыдущих состоит в том, что в точках ап = —2 + , п = 1,3,5,... предельный оператор будет отличен от прямой суммы. Это легко понять, если заметить, что соотношение (4.18) будет иметь место для всех х Є [—1,1] а не только для х 0, т.к. в (4.21) коэффициенты г1/ и —i llm совпадут. Подставляя (4.18) непосредственно в (4.16) получим в пределе оператор, отличный от прямой суммы. Нетрудно показать, что при четных п предельный оператор по прежнему будет прямой суммой. IV.3 Определение оператора методом последовательной регуляризации
Другой способ определения оператора Ь{а) состоит в последовательной регуляризации дифференциального выражения (4.2). Напомним, что основным шагом в построении оператора при а —3/2, т.е. для случая q(x) = и (х), где и(х) Є L i было введение квазипроизводной
Процесс последовательной регуляризации можно неограниченно продолжать. На каждом шаге необходимо добавлять очередное слагаемое в формулу для у2- Заметим, что точки а = — 2 + , га = 1,2,... являются исключительными - метод не позволяет определить оператор для таких Так как а —2, то степени у членов ряда (4.25) а + 1, 2а + 3,... растут, что доказывает его равномерную сходимость на [—1,1] в силу того, что \ап\ С("_Д"; Кроме того, найдется номер N, такой что степень Na + 2N — 1 0. Обозначим остаток ряда, начиная с этого члена через г (х) а начальную часть ряда w(x) — r (x) =: WN(X). Если теперь в резольвентном уравнении (4.23) осуществить переход к системе с помощью замены
Замечание 4.1 Поскольку функция w (x) является гладкой в окрестности точек ±1, в формулах для расширений (4-28) квазипроизводная может быть заменена обычной производной. При этом коэффициенты форм Uj изменятся, но соотношения (4-29) сохранятся.
Доказательство. Поскольку элементы матрицы (4.26) системы (4.24) лежат в пространстве Ь\, для системы верна теорема существования и единственности решения задачи Коши (см. [2, 16]). Далее доказательство является дословным повторением доказательств теорем 1.1 и 1.2 главы
Замечание 4.2 Выбрав краевые условия в предложении 3 условиями Дирихле у(—1) = у(1) = 0, получим оператор, совпадающий с оператором Ь(а), построенным в первой части главы методом аналитического продолжения для потенциала \х\а (см. часть 4-2 пункт 2).
Доказательство. Из аналитичности матриц (4.26) по параметру а и классической теоремы из курса обыкновенных дифференциальных уравнений следует аналитическая зависимость решений однородного уравнения по а. Это означает, что фундаментальная система решений однородного уравнения совпадает с функциями Vi(x), V x).
В заключение остановимся на вопросе о возможности приближения построенных операторов операторами Штурма-Лиувилля с гладкими потенциалами. В главе 1 была доказана
Теорема. Если функции q{x) — q(x) при є — 0 в пространстве W 1 (т.е. их обобщенные первообразные сходятся в пространстве L ), то операторы Штурма-Лиувилля L с потенциалами qe{x) сходятся в сильном резольвентном смысле к оператору L с потенциалом q(x).
В нашем случае потенциалы \х\а не лежат в пространстве W2_1 при а — , а значит теорема не гарантирует возможность приближения построенных операторов. Более того, в четвертой части первой главы был приведен пример, показывающий, что различные последовательности операторов с потенциалами, сходящимися в пространстве W l при р 2 могут сходиться к разным пределам или не сходиться вовсе. Тем не менее можно описать класс последовательностей гладких потенциалов, таких, что операторы Штурма-Лиувилля с этими потенциалами будут приближать построенные операторы в сильном резольвентном смысле. где уе = у1)Є. В силу теоремы о непрерывной зависимости решения системы дифференциальных уравнений от параметра, решения системы (4.30) будут сходиться и мы получим сильную резольвентную сходимость опера d2 торов Ьє = —т 2 + vN,e + W N,S + WN,S к построенному оператору L.
