Введение к работе
Актуальность темы. В спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов центральное место занимают вопросы, связанные с исследованием их спектральных характеристик, в частности, вопросы о нахождении индекса дефекта и спектра таких операторов в зависимости от поведения коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. Систематическое изучение этих вопросов было начато Г. Вейлем в начале 20 века и, впоследствии, нашло своё отражение в монографиях многих авторов, например, Э.Ч. Титчмарша1, Б.М. Левитана2, Н.И.Ахиезера и И.М.Глазмана3, Н.Данфорда и Дж.Т.Шварца4, М.А.Наймарка5. Отметим, что в указанных монографиях в основном изучались скалярные дифференциальные операторы, в том числе, оператор Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением
1[у] =-У" + q{x)y (1)
в гильбертовом пространстве С2(а,Ь), где — оо < а < Ь < +оо. При этом стандартным условием на потенциал q(x) по существу является условие Ф) eL}0C(a,b).
В литературе активно изучаются и операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространства распределений (как модельный случай, операторы с потенциалами короткого взаимодействия типа (^-функции). К изучению таких операторов приводят, например, некоторые задачи квантовой физики. Математическое исследование таких операторов было начато в 60-ые годы прошлого столетия в работах Ф. А. Березина, Л. Д. Фаддее-ва6 и Р. А. Минлоса, Л. Д. Фаддеева 7. Современное состояние и новые направления развития теории таких операторов изложено в монографиях С. Альбеверио, Ф. Гештези, Р. Хоэг-Крона, Г. Хольдена 8 и С. Альбеве-
"Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Часть I: Пер. с анг. -М.:Издательство иностранной литературы, I960.— 276с.
2Левитан Б.М. Разложение по собственным функциям дифференциальных уравнений второго порядка.—М.-Л.:Гостехиздат, 1950.—159 с.
3Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука, 1966.— 544 с.
4Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: Пер. с анг.— М.: Мир, 1966.- 1063 с.
5Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы.— 2-е изд., перераб. и доп.—М.:Наука, 1969.- 526 с.
6Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. Замечания об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом// ДАН СССР.- 1961.- Т. 137.- № 7.- С. 1011-1014.
7Минлос Р.А., Фаддеев Л.Д. О точечном взаимодействии для систем из трёх частиц в квантовой механике // ДАН СССР.- 1961.- Т. 141.- № 6.- С. 1335-1338.
8Albeverio S., Gestezy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Some exactly solvable models in quantum mechanics Springer-Verlag, 1988— 452 p.
рио, П. Курасова 9. Корректное определение оператора Штурма-Лиувилля со скалярным потенциалом-распределением первого порядка как оператора, порождённого квазидифференциальным выражением второго порядка с локально суммируемыми коэффициентами (точное определение см. ниже, п. 2.2), впервые, по-видимому, было дано A.M. Савчуком и А.А. Шкали-ковым 10'11. Ими же обстоятельно были изучены спектральные свойства такого оператора, особенно в случае, когда интервал (а, Ь) конечен.
В 2010 году появились работы А.С. Костенко и М.М. Маламуда 12'13; в которых проведён довольно подробный спектральный анализ оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом-распределением
+оо
q{x
^ак8{х-хк).
к=\
где Xk - строго возрастающая последовательность положительных чисел такая, что lim хк = +00, a ак - некоторая вещественная последователь-
к—т>+оо
ность (к = 1,2,...). В этих работах методом граничных троек и соответствующих им функций Вейля установлено, что некоторые спектральные характеристики оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом (2) эквивалентны соответствующим свойствам разностного оператора, порождённого якобиевой матрицей вида
/4
«і + І + І і
r\r2d2
Г\Г2(І2
+
Г2ГЗ<1-3
?"2?"з<*3
аз + і + і
\
в гильбертовом пространстве /2, где т\ := y/dk + dk+i и dk = Xk — Xk-\ {к = 1,2,...). В частности, показано, что индекс дефекта минимального оператора, порождённого дифференциальным выражением (1) с потенциалом (2) в пространстве L2(R+)} равен (2,2) в том и только том случае,
9Albeverio S., Kurasov P. Singular perturbation of differential operators London Math. Society Lecture Rems Series. Cambridge Univ. Press, 2001.— 271 p.
10Савчук A. M., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциала-ми//Математические заметки.— 1999.— Т. 66.— вып. 6.— С. 897-912.
пСавчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-
распределениями//Труды ММО — 2003.- Т. 64.- С. 159-212.
12КостенкоА. С, МаламудМ.М. Об одномерном операторе Шрёдингера с 6-
взаимодействиями//Функциональный анализ и его приложения.— 2010.— Т. 44.— вып. 2.—С. 87-91.
13KostenkoA. S, MalamudM.M. 1-D Schrodinger operators with local point interactions on a discrete set//Journal of Differential Equations.- 2010.- 249.- P.P. 253-304.
когда индекс дефекта минимального оператора, порождённого матрицей J в пространстве /2, равен (1,1).
Цель работы. Исследование минимального замкнутого симметрического оператора Lq, порождённого в гильбертовом пространстве C2n(R+) дифференциаьным выражением вида
Цу] = -{у' - уУ -{у'- У) - а1 У и эквивалентным ему выражением
Ш = -у" + '{*)у, (з)
где х Є R+: у(х) = (г/і (ж), г/2 (ж),... }уп(х)У (t - символ транспонирования), а{х) = (pij) - вещественнозначная симметрическая матрица порядка п такая, что pfj Є Ljoc(R+) (г, j = 1, 2,..., п), а ', в случае выражения (3), есть производная в смысле теории распределений.
Методы исследования. В диссертации используются методы вещественного и функционального анализа, методы и результаты спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве, а так же асимптотические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту, являются новыми. Из них выделим следующие.
Получены формулы асимптотической близости на бесконечности решений двух дифференциальных уравнений la[y] = 0 и lai[y] = 0, где l(Jl [у] - векторное симметрическое квазидифференциальное выражение второго порядка, порождённое при помощи матрицы а\, удовлетворяющей тем же условиям, что и матрица а.
Получены достаточные условия минимальности, не максимальности и максимальности дефектных чисел минимального замкнутого симметрического оператора Щ: порождённого выражением (3) в гильбертовом пространстве 2n(R+), в терминах элементов матрицы а.
Установлено, что условие максимальности дефектных чисел оператора Lq (в случае, когда элементы матрицы а являются ступенчатыми функциями с бесконечным числом скачков) равносильно условию максимальности дефектных чисел разностного оператора, порождённого некоторой обобщённой якобиевой матрицей в пространстве /2.
4. Построены примеры сингулярных операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями в пространстве вектор-функций с минимальными, не максимальными и максимальным дефектными числами.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы специалистами, работающими в области спектральной теории дифференциальных и разностных операторов и математической физике.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих научных семинарах и конференциях: семинар "Спектральная теория дифференциальных операторов "кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В.В.Власова, проф. К.А.Мирзоева (2010-2011 гг., неоднократно); семинар "Операторные модели в задачах математической физики "кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А.А.Шкаликова (2010 г.); Крымская осенняя математическая школа-симпозиум КРОМШ-2009, 2011 (Симферополь, 2009 г., 2011 г.); Международная научно-практическая конференция "Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика"(Архангельск, 2010 г.); научно-практическая конференция "Научные исследования аспирантов и молодых учёных: возможности, перспективы "(Архангельск, 2010 г.); Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.); Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского (Москва, 2011 г.); Международная конференция "Спектральная теория операторов и её приложения", посвященная памяти А.Г. Костюченко (Уфа, 2011 г.); Международная научная конференция "Спектральный анализ симметрических квазидифференциальных и разностных операторов "(Архангельск, 2011 г.); а также на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Поморского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова (2008-2011 гг., неоднократно).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[11], 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделённых в общей сложности на 8 параграфов, и списка литературы из 46 наименований, включая работы автора. Общий объём диссертации составляет 104 страницы машинописного текста. Нумерация
