Введение к работе
у-. ^„.i
! ,,'^!Г"' \
АКТУАЛЬЮСТЬ ТЕШ. Анализ на однородных сикметраческьх пространствах представляет собой интенсивно развивавдайся раздел функционального анализа. Теория симметрических пространств помогает объединить и объяснить с общей точки зрения различные явления в классических геометриях. На симметрических пространствах особый интерес приобретает глобальная теория функцай. Теория интегрирования, анализ Фурье и дифференциальные оператори в частных производных возникают здесь каноническим образом из требований геометрической инвариантности. Хотя эти теории и связи между ними очень хорошо известны з евклидовом пространстве, распространение их на симметрические пространства общего вида немедленно приводит к интересным зачастуи нерешенным задачам. В большей мере это относится к псавдоримановым симметрическим пространствам.
Задача описания неотрицательных собственных функций оператора Бедьтрамя-Дадласа на рикановых симметрических пространствах любого ранга была решена Ф.И.Карпелевичем /1965 г./. Оператор Бельтрами-Лапласа на псевдоримановых пространствах уже Является не эллиптическим, а ультрагиперболическим, и аналогичная задача /естественно без условия неотрицательности/ не была решева даже для пространств ранга I. Однако решения этой задачи требуют как развитие теории псевдоримановых пространств так и интерес к пространствам такого типа со стороны теоретической физики.
ЦЕПЬ РАБОТЫ. Описать собственные функции оператора Бельтрами-Лапласа на любом псевдоримановом однородном симметрическом пространстве ранга I из пространства обобщенных функции с ограничением роста на бесконечности.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются катоды теории алгебр Ли и групп Ли, теории симметрических пространств, анализа на многообразиях, комплексного анализа, теории обобщенных функций, теории интегральных преобразований, теории дифференциальных уравнений, применяется техника специальных функций.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА, ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. Результаты диссертации являются новыми. Отметим основные из них:
-
Впервые дако интегральное представление собственных функций оператора Бельтрами-Лапласа на любом однородном псевдоримановом симметрическом пространстве ранга I /это -главный результат работы/.
-
Построена компактификация однородного псавдорииано-ва симметрического пространства ранга I.
-
Написан явный вид оператора Бельтрами-Лапласа на таких пространствах в орисферической системе координат в в этом операторе произведено разделение переменных.
-
Построено интегральное преобразование на орисферах однородного симметрического пространства, переводящее оператор Бельтрами-Лапласа в обыкновенный дифференциальный оператор. Построена форму:а обращения и указаны функциональные пространства, двойственные относительно этого преобразована
5. Определены операторы свертки, двойственные относительно интегрального преобразования фурье-;/<едлина-Уиттекера.
й. Определены фактор-пространства Функций с фиксированной особенностью на заданной поверхности и исследованы некоторые их свойства.
?. Поставлена корректная задача Коша для ульграгалербо-лического уравнения.
8. Исследованы некоторые"свойства вырожденных гипергео-метряческих функций.
Результаты диссертации могут послужить основой для дальнейшего изучения анализа функций.на псевдоримановых симметрических пространствах ранга большего I, а также могут быть использованы в приложениях к физике.
Ряд результатов диссертация может быть включен в спецкурсы по теории дифференциальных уравнений, интегральным преобразованиям.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты работы докладывались на семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна /.\ИАН/, Н.Я.Виленкина /МГЗЩ/, М.З.Соломяка, А..'Л.Вершика, Б.М.Бабича /ІО.'ДІ/, на Всесоюзных школах в Шнеке, Тамбове, Тарту, Новгороде, на конференции в Томске.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах I - 15.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, семи разделов, заключения и приложения. Объем -190 стриниц. Библиография - 69 наименований.
- fi -
Кадднй раздал /за исключением введения а захдячаная/ разбат на пункты. В соответствии с этша каадне тоороыа, преддоаение, форыула и т.п. нумеруются тремя тамами: первое число - ноиэр раздела, второе - номер пункта, третье -ноиэр теорема, предложения, фородлы в т.п. соответственно. Праддоаеішя а формулы аралоаеная иушруатся одошл чпслсіі н стоящзй шарада буквой П.
